Lista de Exercícios Aula 02

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Lista de exercícios da Aula 02
Módulo ou Valor Absoluto de um Número Real 
Exercícios resolvidos:
Calcular:
a) |6|+ 1 = 6 + 1 = 7
b) |-5|+ 9 = 5 + 9 = 16
c) |-10|- 1 = 10 -1 = 9
d) |-6|- |-2| = 6 - 2 = 4
e) |0,2 - 0,9|= |-0,7|= 0,7
f) 
g) |3 - x|, para x = -3
|3 - x|= |3 - (-3)|= |6|= 6
h) 
Note que . Assim:
	
Escrever uma expressão equivalente sem o módulo:
a) |x - 6|, sendo x um número real qualquer
	
b) |x - 6|, com x > 6
Como x > 6, a expressão de dentro do módulo é positiva. 
Logo, nesse caso, |x - 6|= x - 6.
c) |x - 1|+ |x - 3|, com x > 3
Como x > 3, as duas expressões são positivas.
Logo, nesse caso, |x - 1|+ |x - 3|= x - 1+ x - 3 = 2x - 4.
3) Achar os possíveis valores de x, em cada caso:
a) x = | - 1|
Resposta: x = 1
b) |x|= 1
Resposta: x = 1 ou x = -1, pois |1|= |-1|= 1
c) |x|= -1
Resposta: x não existe, pois não existe um número tal que seu módulo seja negativo.
d) x2 = 36
Resposta: x = 6 ou x = -6
e) |x|= |-2|
Resposta: x = -2 ou x = 2, pois |2|= |-2|= 2
Princípio das Casas de Pombos
Quantas pessoas são necessárias para se ter certeza que haverá pelo menos duas delas fazendo aniversário no mesmo mês? 
R: Considerando que o mês tem 30 dias, serão necessárias 31 pessoas fazendo aniveersário no mês.
Um serviço de empregados domésticos por computador tem uma lista de 50 homens e 50 mulheres. São selecionados nomes aleatoriamente. Quantos nomes devem ser selecionados para se garantir que apareçam dois nomes de pessoas do mesmo sexo?
R: 3
Quantas pessoas precisam estar presentes em uma sala para garantir para que duas delas tenham o último nome começando pela mesma letra.
R: 27
Quantas vezes é preciso jogar um dado de modo a garantir que um mesmo valor apareça duas vezes.
R: 7 vezes
Princípio da Multiplicação
A última parte do seu número de telefone contém quatro dígitos. Quantos desses números de quatro dígitos existem.
Podemos construir números através de uma sequência: o primeiro dígito, depois o segundo, depois o terceiro e, finalmente, o quarto.
O primeiro dígito pode ser qualquer um entre 0 a 9, de modo que há 10 possibilidades para a primeira tarefa. Da mesma forma, existem 10 possibilidades para o segundo dígito, 10 para o terceiro dígito e 10 para o quarto dígito.
Portanto, pelo princípio da multiplicação: 
 10 x 10 x 10 x 10 = 10.000
A última parte do seu número de telefone conte, quatro dígitos. Quantos desses números existem se um mesmo número não puder ser repetido.
Não podemos ter repetições. Temos 10 possibilidades para o primeiro, 9 para o segundo, 8 para o terceiro e 7 para o quarto.
Portanto: 10 x 9 x 8 x 7 = 5.040
De quantas maneiras podemos escolher três representantes em um grupo de 25 pessoas.
A primeira tarefa tem 25 possibilidades. A segunda, 24 e a terceira, 23. 
O número total de possibilidades é: 25 x 24 x 23 = 13.800
De quantas maneiras podemos escolher três representantes, para três comissões, em um grupo de 25 pessoas, se um representante pode participar de mais de uma comissão.
Nas três tarefas são permitidas repetições, então: 
25 x 25 x 25 = 15.625
Princípios e Técnicas de Contagens
Na linguagem de programação BASIC original, um identificador tem que ser uma única letra ou uma letra seguida de um único dígito. Quantos identificadores podem ser formados?
 Sequência de tarefas
Tarefa 1: Escolher uma letra para o identificador
Total de possibilidades de escolha de uma letra = 26 
Tarefa 2: Escolher uma letra e um dígito para o identificador
 Usando o Princípio da Multiplicação temos que o
 
Total de possibilidades de escolha de uma letra seguida de um dígito = 26. 10 
Como a tarefa 1 e a tarefa 2 são procedimentos disjuntos, pelo Princípio da Adição, temos que 
Total de identificadores que podem ser formados = 26 + 26 . 10 = 286.
2. Uma senha de usuário para acessar um sistema computacional consiste em três letras seguidas de dois dígitos. Quantas senhas diferentes existem? 
Tarefas 1, 2 e 3 – Escolher uma letra para a senha.
Tarefas 4 e 5 – Escolher um dígito para a senha
Seja o esquema 
	
	
	
	
	
 L1 L2 L3 D1 D2 
Posição L1 – 26 possibilidades
Posição L2 - 26 possibilidades
Posição L3 - 26 possibilidades
Posição D1 – 10 possibilidades
Posição D2 – 10 possibilidades
Pelo Princípio da Multiplicação o total de senhas = 26 . 26. 26. 10 . 10 = 263. 10
3. Um cliente está encomendando um computador. Ele tem as seguintes escolhas: O monitor pode ser de 17,19, 21 ou 23 polegadas; o processador pode ser de 1.0, 1.3, 1.5, 1.7 ou 2.0 GHz; o acionador de CD pode ser de 10, 12, ou 14 vezes; a memória RAM pode ter 64, 128 ou 256 MB; a placa de fax é opcional; a placa de som é opcional.
(a) Quantas configurações diferentes são possíveis?
(b) Quantas máquinas diferentes podem ser encomendadas sem monitor?
(c) Quantas máquinas podem ser encomendadas com um processador de 1.7 GHz?
(a)
Tarefa 1 – Escolha do monitor
Total de possibilidades = 4
Tarefa 2 – Escolha do processador
 
Total de possibilidades = 5
Tarefa 3 – Escolha do acionador de CD
Total de possibilidades = 3
Tarefa 4 – Escolha da memória RAM
Total de possibilidades = 3
Tarefa 5 – Escolher ou não a placa de FAX
Total de possibilidades = 2
Tarefa 6 – Escolher ou não a placa de SOM
Total de possibilidades = 2
Pelo Princípio da Multiplicação, 
Total de Configurações possíveis = 4 . 5. 3 . 3. 2 . 2= 720
Total de configurações = 5 . 3 . 3. 2. 2 = 180
Total de configurações = 4 . 1 . 3 . 3. 2. 2 = 144
4. Sejam os conjuntos A = {1, 2} e B = {3, 4, 5}. 
(a) Encontre A x B.
(b) Encontre a cardinalidade de: A, B e A x B. 
 
R: (b) A = 2, B= 3 e A x B = 6
Obs:
 Se A e B são conjuntos finitos então
A x B = A . B 
5. Uma moça possui 10 blusas, 8 saias e 4 sapatos. De quantos modos ela pode se vestir?
R: 320
6. Qual o valor da variável Contagem após a execução do pseudocódigo a seguir?
Contagem = 0
para i = 1 até 5 faça
 para Letra = ‘A’ até ‘C’ faça
 Contagem = Contagem + 1
 fim do para
fim do para
 R: 15
7. Quantos números de três algarismos distintos podem ser formados com 1, 3, 5, 6, 8, 9.
R: 120
8. Quantas placas de automóveis podem ser feitas, se cada uma contém duas letras seguidas por dois dígitos diferentes? Resolva o mesmo problema se não puder ser zero.
R: (i) 468 000 (ii) 421 200
9. Seja o conjunto das cadeias binárias de comprimento 8 (cada caractere é 0 ou 1)
Quantas contêm exatamente um zero?
Quantas contêm sete caracteres iguais a u?
 
 R: (a) e (b) 8
 
10. Um homem tem oportunidade de jogar no máximo cinco vezes na roleta. Em cada jogada ele ganha ou perde um dólar. Começa com um dólar e irá parar de jogar antes de cinco vezes, se perder o dinheiro todo ou se ganhar três dólares, isto é, se tiver quatro dólares. Ache as maneiras possíveis do jogo se desenrolar.
 Sugestão: Fazer a árvore de decisão
 R: 11 maneiras diferentes
11. Os times A e B disputam um torneio de basquete. O primeiro que ganhar dois jogos seguidos ou um total de quatro jogos vence o torneio. Ache o número de maneiras que o jogo pode se desenrolar.
R: Fazer árvore de decisão – 14 maneiras.