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Potencial Elétrico
Evandro Bastos dos Santos
21 de Maio de 2017
1 Energia Potencial Elétrica
Vamos começar fazendo uma analogia mecânica. Para um corpo caindo em um campo
gravitacional ~g, a partir de uma altura hi até uma altura hf , a diferença de energia potencial
gravitacional entre os dois pontos será
Uf − Ui = −
∫ hf
hi
m~g · d~l. (1)
Fazendo o produto escalar(~g · d~l = gdl cos pi) e resolvendo a integral, temos que
Uf − Ui = mgh, (2)
que é nosso resultado conhecido para a energia potencial gravitacional.
No caso do campo elétrico temos uma situação análoga
Uf − Ui = −
∫ hf
hi
q ~E · d~l. (3)
em que trocamos o campo gravitacional pelo campo elétrico e a massa pela carga elétrica.
É importante lembrar que a integral acima é uma integral de linha, porém como o campo
elétrico (assim como o campo gravitacional) é conservativo, para essa integral não importa o
caminho. Então escolhendo o melhor caminho (linha reta) e fazendo que Ui = 0 no infinito,
pois no infinito a carga elétrica está livre de campo (E
ltimes 1
r2
), temos que
U(r) = −
∫ r
∞
q ~E · d~l. (4)
que é interpretado como a energia necessária para trazer a carga de um ponto muito
distante até um ponto ~r próximo. Se for entre duas cargas pontuais, temos que:
U(r) =
1
4piε0
qq0
r
(5)
Exemplo: Um elétron está posicionado em uma região do espaço. Qual o trabalho neces-
sário para trazer um pósitron (q=+e) do infinito até a posição de 2m de distância? Expresse
sua resposta com a melhor unidade ou subunidade que se adequar ao valor final.
1
1.1 Sistema de partículas
Assim como vimos na força elétrica, quando temos diversas cargas (q1, q2, q3, ..., qn) gerando
um campo elétrico, que faz uma força sobre uma carga q0, teríamos a força sobre ela sendo:
~F0 =
1
4piε0
n∑
i=1
qiq0
(ri − r0)2 (6)
E o campo elétrico nesse ponto, seria:
~E(r) =
1
4piε0
n∑
i=1
qi
(ri − r)2 (7)
No caso da energia potencial elétrica, vale a mesma relação, sendo portanto a energia de
interação entre n partículas,
~U =
1
4piε0
n∑
i=1
qiq0
(ri − r0) . (8)
2 Potencial Elétrico
O potencial elétrico nos ajudará no cálculo do campo elétrico, pois eles estão intimamente
ligados. Sendo, por vezes, mais fácil calcular o potencial elétrico e em seguida o campo
elétrico a partir dele.
Imagine um campo elétrico gerado por uma carga Q, ao ser colocada um carga de prova
q em seu espaço de atuação podemos perceber que, conforme a combinação de sinais entre
as duas cargas, esta carga q, será atraída ou repelida, adquirindo movimento, e consequen-
temente Energia Cinética.
Lembrando da energia cinética estudada em mecânica, sabemos que para que um corpo
adquira energia cinética é necessário que haja uma energia potencial armazenada de alguma
forma. Quando esta energia está ligada à atuação de um campo elétrico, é chamada Energia
Potencial Elétrica ou Eletrostática, simbolizada por Ep.
Ep =
KQq
r
(9)
A unidade usada para a energia potencial é o joule (J).
Pode-se dizer que a carga geradora produz um campo elétrico que pode ser descrito por
uma grandeza chamada Potencial Elétrico (ou eletrostático).
De forma análoga ao Campo Elétrico, o potencial pode ser descrito como o quociente
entre a energia potencial elétrica e a carga de prova q. Ou seja:
V =
Ep
q
(10)
Logo
V =
KQ
r
(11)
2
A unidade adotada, no SI para o potencial elétrico é o volt (V), em homenagem ao físico
italiano Alessandro Volta, e a unidade designa Joule por coulomb (J/C).
Quando existe mais de uma partícula eletrizada gerando campos elétricos, em um ponto
P que está sujeito a todas estes campos, o potencial elétrico é igual à soma de todos os
potenciais criados por cada carga, ou seja:
V = V1 + V2 + V3 + ...+ Vn (12)
2.1 Superfícies Equipotenciais
Uma maneira muito utilizada para se representar potenciais é através de equipotenciais, que
são linhas ou superfícies perpendiculares às linhas de força, ou seja, linhas que representam
um mesmo potencial.
Para o caso particular onde o campo é gerado por apenas uma carga, estas linhas equipo-
tenciais serão circunferências, já que o valor do potencial diminui uniformemente em função
do aumento da distância (levando-se em conta uma representação em duas dimensões, pois
caso a representação fosse tridimensional, os equipotenciais seriam representados por esfe-
ras ocas, o que constitui o chamado efeito casca de cebola, onde quanto mais interna for a
casca, maior seu potencial).
Figura 1: Linhas equipotenciais
Um resultado interessante é que se todas as cargas em um condutor estão em repouso, e
como já vimos elas vão pera a superfície, então essa superfície é uma equipotencial.
2.2 Diferença de Potencial
Considere dois pontos de um campo elétrico, A e B, cada um com um posto a uma distân-
cia diferente da carga geradora, ou seja, com potenciais diferentes. Se quisermos saber a
diferença de potenciais entre os dois devemos considerar a distância entre cada um deles.
3
Figura 2: Diferença de potencial entre pontos
Então teremos que sua tensão ou d.d.p (diferença de potencial) será expressa por U e
calculada por:
U = V1 − V2 (13)
U =
KQ
r1
− KQ
r2
(14)
3 Cálculo do Potencial Elétrico
Sendo o potencial elético para uma distribuição discreta dado por
V =
U
q0
(15)
em que
~U =
1
4piε0
n∑
i=1
qiq0
(ri − r0) . (16)
então o potencial elétrico é simplesmente
V =
1
4piε0
n∑
i
qi
ri
. (17)
Porém se as cargas estiverem distribuídas infinitesimalmente é conveniente escrever
V =
1
4piε0
∫
dq
r
(18)
que é muito parecido com o que vimos para o campo elétrico. Como o integrando tem
um grau menor do que no caso do campo elétrico, esse cálculo pode ser ligeiramente mais
fácil.
4
3.1 Potencial Elétrico a partir do Campo Elétrico
Nosso objetivo, no entanto, é calcular o potencial elétrico a partir do campo elétrico. Se a
força sobre uma carga q0 é dada por
~F = q0 ~E. (19)
O trabalho dessa força entre dois pontos a e b é
Wa→b =
∫ b
a
~F · d~l (20)
Wa→b =
∫ b
a
q ~E · d~l. (21)
Como o trabalho entre dois pontos é a diferença de energia entre eles, temos que
Wa→b
q0
= Va − Vb. (22)
Então
Va − Vb =
∫ b
a
~E · d~l (23)
é a diferença de potencial entre os pontos a e b, quando um campo elétrico ~E age na
região do espaço. Perceba, portanto, que o Volt é N
C
m.
No caso de um elétron em uma região de potencial 1V, terá sua energia como sendo
U = qV (24)
U = 1.6 · 10−19C · 1V (25)
pode ser escrito simplesmente como U = 1eV (um elétron-volt). Portanto a unidade eV
é unidade de energia!
Exemplo: Considere um próton, em uma região de campo elétrico ~E = 1.5 · 107iˆV/m.
Calcule:
(a) A força sobre o próton.
(b) O trabalho do campo sobre o próton, para levar do ponto A(0,0) até o ponto B(3m,3m)
(c) A ddp entre os pontos A e B.
4 Gradiente de Potencial
Já vimos que
Va − Vb =
∫ b
a
~E · d~l. (26)
Queremos, agora, determinar o campo elétrico a partir do potencial conhecido. A varia-
ção de potencial pode ser escrita como
5
Va − Vb =
∫ b
a
dV. (27)
Então
∫ b
a
dV =
∫ b
a
~E · d~l. (28)
Portanto,
dV = ~E · d~l. (29)
Calculando o produto escalar
dV = −(Exdx+ Eydy + Ezdz). (30)
Por exemplo, se não há dependência com y e z, temos que
dV = −Exdx (31)
Ex = −∂V
∂x
(32)
Para y e z temos formas análogas.
Ey = −∂V
∂y
(33)
Ez = −∂V
∂z
(34)
Então
~E = −
(
∂V
∂x
,
∂V
∂y
,
∂V
∂z
)
, (35)
portanto,
~E = −∇V. (36)
Ou seja, o campo elétrico é o gradiente do potencial elétrico.
5 Exercícios
Halliday 8ed: 3, 2, 14, 15
Halliday 9ed: 1, 2, 12, 17
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