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egenda: Resposta Certa Sua Resposta Errada 1. Quando conhecemos as propriedades de um conjunto X, por muitas das vezes, podemos aferir condições existentes para quaisquer subconjuntos não-vazios de X. Pois os subconjuntos carregam as propriedades e características do conjunto em que estão contidos. Sobre as propriedades que qualquer subconjunto X não- vazio dos naturais possuem, classifique V para as sentenças verdadeiras e F para as falsas: ( ) X é infinito. ( ) X é limitado. ( ) X possui elemento neutro. ( ) X possui um maior elemento. Assinale a alternativa que apresenta a sequência CORRETA: a) V - V - F - F. b) V - F - V - V. c) F - F - V - V. d) F - V - F - V. 2. Durante o aprendizado em matemática, e em particular no estudo da analise matemática, faz-se necessário construir os raciocícios ligados aos métodos de transformação. A parte mais importante e mais complicada talvez seja o processo de decidir qual estratégia será utilizada para demonstrar certo teorema, propriedade ou proposição. Baseado nisto, para mostrar que a raiz de 2 é irracional, o tipo mais aconselhado de demonstração a ser utilizado é a por: a) Prova direta. b) Contradição. c) Absurdo. d) Indução. 3. Muitas vezes pensamos que a Análise Matemática procura provar fatos que intuitivamente parecem ser bastante simples. É claro que a matemática que conhecemos hoje é fruto de uma grande quantidade de anos, onde estudos foram cada vez mais aperfeiçoados, sendo que, hoje ainda existem problemas matemáticos ainda não resolvidos. Logo, partindo de um fato simples, a soma de números naturais, analise as sentenças que são provadas matematicamente: I- Seja n um número natural qualquer, então a soma m + n está bem definida para todo número natural m. II- Sejam m, n e p três números naturais quaisquer. Então (m + n) + p = m + (n + p). III- Sejam m, n, temos que m + n = m + (-n). IV- Seja m natural, temos que m é sucessor de algum número. Assinale a alternativa CORRETA: a) As sentenças I e II estão corretas. b) Somente a sentença I está correta. c) As sentenças I, II e IV estão corretas. d) As sentenças II e III estão corretas. 4. O conjunto IN = {1, 2, 3, 4, ...} é usado para contagens. De tão natural, IN é chamado de conjunto dos números naturais, o primeiro conjunto numérico que aparece na história de qualquer civilização ou em qualquer tratado sobre os fundamentos da Matemática. Quanto à característica dos números naturais: I- Um dos axiomas de Peano é justamente o princípio da indução, já visto por nós como método de demonstração. II- A adição de números naturais e a multiplicação de números naturais podem ser definidas a partir do conceito de número inteiro. III- O Princípio da Boa Ordenação nos garante que qualquer subconjunto não vazio dos números naturais possui um elemento mínimo. IV- O mesmo Princípio da Boa Ordenação tem como consequência imediata o Primeiro Princípio da Indução, que é uma boa ferramenta matemática a ser utilizada em demonstrações. Assinale a alternativa CORRETA: a) As sentenças I, II e IV estão corretas. b) As sentenças I e III estão corretas. c) As sentenças I e IV estão corretas. d) As sentenças II e III estão corretas. 5. Quanto ao método de demonstração por redução ao absurdo, sabemos que a teoria é muito curta e intuitiva, porém a pratica pode ser muito complicada. Para demonstrar alguma proposição por absurdo você deve assumir que a negação dela é verdadeira e com isso mostrar que a veracidade da negação implica que a negação é falsa, que de acordo com a hipótese inicial, torna a negação falsa e a afirmação verdadeira. Baseado nesta técnica, analise as sentenças a seguir que podem ser provadas por redução ao absurdo: I- Se x + x = x, obrigatoriamente x = 0. II- Mostrar que o conjunto dos racionais é enumerável. III- Mostrar que a soma dos primeiros n números pares é n + n². IV- Provar que raiz de 3 é irracional. Assinale a alternativa CORRETA: a) As sentenças I, II e IV estão corretas. b) As sentenças I e IV estão corretas. c) As sentenças II e III estão corretas. d) As sentenças I e II estão corretas. 6. Existem alguns métodos de demonstração conhecidos. Porém, os mais importantes da matemática são os métodos da indução, a demonstração direta e a redução ao absurdo. Baseado nestes casos, assinale a alternativa CORRETA que pode ser provada pelo método da indução: a) Teorema de Tales. b) Para todo número real a não nulo, temos que a . 0 = 0. c) Prove que 1 + 3 + 5 + ... + (2n - 1) = n² para todo número natural n. d) Se m é um número inteiro e m² é um número par, então m também é um número par. 7. Em matemática, uma prova é uma demonstração de que, dados certos axiomas, algum enunciado de interesse é necessariamente verdadeiro. Utiliza como base premissas intrínsecas a um modelo conceitual e um silogismo que, a partir de uma série de operações, chega ao resultado. Historicamente, a matemática foi construída através de demonstrações que constituíram os alicerces até hoje conhecidos. A figura anexa faz a alusão a um dos teoremas mais intrigantes de todos os tempos, o famoso Último Teorema de Fermat. Ele, apesar de ter sido enunciado no século XVII, apenas há poucas décadas, através do matemático Andrew Willes, conseguiu ser demonstrado. FONTE DA IMAGEM: Disponível em: <http://www.editions- harmattan.fr/index.asp?navig=catalogue&obj=livre&no=12972>. Acesso em: 24 jul. 2018. a) Demonstração direta, indução e absurdo. b) Absurdo, demonstração direta e indução. c) Indução, absurdo e demonstração direta. d) Indução, demonstração direta e absurdo. 8. Ao realizar-se uma prova matemática, é necessário ter muito claro o fato de qual modalidade de demonstração que será utilizada. Para tanto um conhecimento teórico de qual sistemática que cada método possui é fundamental. Baseado nisto, acerca da demonstração direta, assinale a alternativa CORRETA: a) Contradiz-se uma das hipóteses contidas na afirmação. b) A partir das hipóteses contidas na afirmação a ser provada, utilizam-se argumentos lógicos válidos para se chegar à tese. c) Nega-se o que deve ser provado. d) É aplicado quando o resultado a ser provado envolve indexação por números naturais (índices naturais). 9. Um dos mais icônicos escritos da matemática do século XIX foi o famoso Formulaire de Mathematiques, de Giuseppe Peano. Nele Peano, matemático italiano, formulou os famosos axiomas dos números naturais. Ferramenta que desenvolveu fortemente a Análise Matemática. São eles: ? Zero é um número. ? Se a é um número, o sucessor de a é um número. ? Zero não é o sucessor de um número. ? Dois números cujos sucessores são iguais são eles próprios iguais. ? Se um conjunto S de números contém o zero e também o sucessor de todo número de S, então todo número está em S. Baseado nisto, assinale a opção de uma proposição que pode ser provada a partir do uso destes axiomas: a) Todo subconjunto dos números naturais é enumerável. b) Raiz de 2 é um número irracional. c) Sejam m, n e p três números naturais quaisquer. Então (m + n) + p = m + (n + p). d) Seja X um conjunto finito e Y um subconjunto de X. Então Y também é finito e possui no máximo o mesmo número de elementos de X. 10.Existem alguns métodos de demonstração conhecidos. No entanto, os mais importantes da matemática são os métodos da indução, a demonstração direta e a redução ao absurdo. Sobre a sentença que pode ser provada pelo método da demonstração direta, assinale a alternativa CORRETA: a) Se m é um número inteiro e m² é um número par, então m também é um número par. b) Prove que 1 + 3 + 5 + ... + (2n - 1) = n² para todo número natural n. c) Teorema de Tales. d) Para todo número real a não nulo, temos quea . 0 = 0.
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