Aula 5- Principais variáveis aleatórias discretas e contínuas

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Disciplina: Análise de dados
Aula 5: Principais variáveis aleatórias discretas e
contínuas
Apresentação
Na aula 4, aprendemos a calcular probabilidades de eventos relacionados à realização de um experimento aleatório, que
apresenta mais de um resultado possível.
Nem sempre os resultados de um experimento aleatório são numéricos e vimos em aulas anteriores que as técnicas de
análise de dados para variáveis quantitativas são muito mais ricas do que para as variáveis qualitativas, pois conseguimos
encontrar medidas descritivas como média e desvio-padrão.
Nessa aula, aprenderemos a atribuir uma descrição numérica ao resultado de um experimento por meio de uma variável
aleatória. Além disso, estudaremos os principais modelos probabilísticos para variáveis aleatórias discretas e contínuas.
Objetivos
Classi�car os conceitos das variáveis aleatórias discretas e contínuas;
Calcular probabilidades de variáveis aleatórias que seguem uma distribuição Binomial ou Poisson;
Calcular probabilidades de variáveis aleatórias que seguem uma distribuição normal, exponencial ou Weibulll.
Classi�cação de conceitos
Antes de formalizarmos o conceito de variável aleatória, vamos analisar a seguinte situação: três componentes eletrônicos são
testados e eles podem ser classi�cados como: (defeituosos) ou (não defeituosos).D N
Quando realizamos esse experimento, quais são os possíveis resultados que podemos
obter?
O diagrama de árvore nos auxilia na obtenção do espaço amostral relacionado a esse experimento aleatório:
Ou seja:
É natural o departamento de controle de qualidade, por exemplo, estar interessado no número de componentes defeituosos
dentre os três componentes testados. Analisando o espaço amostral, chegamos à conclusão que as possíveis respostas são: 0, 1
ou 2 componentes defeituosos.
Ω = DDD,DDN ,DND,DNN ,NDD,NDN ,NND,NNN
O que �zemos nessa situação?
Atribuímos um valor numérico a cada um dos resultados de . A partir dessa ideia,
formalizamos o conceito de variável aleatória:
Ω
Uma variável aleatória representa um valor numérico associado a cada um dos
resultados de um experimento aleatório .
X
1
Na estatística descritiva, construímos distribuições de frequências que associam uma frequência a cada valor da variável. Aqui,
também podemos construir uma tabela, denominada distribuição de probabilidade. A estrutura é apresentada a seguir.
Título: Estrutura da distribuição de probabilidade da variável .
Total 1
X
X p (x)
x
1
p ( )
x
1
x
2
p ( )
x
2
x
3
p ( )
x
3
⋮ ⋮
x
n
p ( )
x
n
Os valores são aqueles cuja variável aleatória pode assumir e suas respectivas
probabilidades.
Uma distribuição de probabilidade deve satisfazer às seguintes condições:
1. A soma das probabilidades de ocorrerem todos os valores possíveis de é 1.
2. A probabilidade de ocorrer qualquer valor de é igual ou maior a 0 e menor ou igual a 1.
Existem dois tipos de variáveis aleatórias: as discretas e as contínuas.
, ,… ,
x
1
x
2
x
n
p ( ), p ( ),… , p ( )
x
1
x
2
x
n
X
X
VARIÁVEIS ALEATÓRIAS
DISCRETAS
Assumem valores em um conjunto
enumerável
VARIÁVEIS ALEATÓRIAS
CONTÍNUAS
Assumem valores em qualquer
intervalo dos números reais.
A �gura a seguir apresenta alguns exemplos de variáveis aleatórias discretas e contínuas.
 Figura 1.1: Exemplos de variáveis aleatórias discretas e contínuas.
Como já sabemos o que signi�ca uma variável aleatória e o que é uma distribuição de probabilidade, vamos estudar algumas
variáveis aleatórias que aparecem com bastante frequência em situações práticas e, por isso, merecem um estudo mais
aprofundado.
Exemplo
Podemos pensar em melhorar o tempo de espera em uma �la de banco. Para isto, devemos primeiro escolher um modelo
probabilístico para esse tempo de espera, que é uma variável aleatória. Ou, uma loja virtual quer estudar a necessidade de
aumentar o número de operadores no atendimento telefônico. Este estudo é feito por meio de modelos probabilísticos .2
 (Fonte: Shutterstock).
Distribuição binomial
Uma distribuição de probabilidade muito conhecida é a distribuição binomial, que estuda o número de sucessos em 
tentativas e as suas respectivas probabilidades. Naturalmente, os valores possíveis da variável aleatória são os números
inteiros .
X n
X
1, 2, 3, 4,… , n

uma distribuição binomial tem as seguintes características:
• Consiste de ensaios, ou tentativas, ou eventos idênticos;
• Cada ensaio só pode resultar em um de dois resultados, identificados como “sucesso” e
“fracasso” – com valores 1 e zero, respectivamente;
• A variável aleatória é o número de sucessos em ensaios.
• A probabilidade de sucesso (ocorrer o evento de interesse) é e o valor de 
permanece o mesmo em todos os ensaios;
• Os ensaios são independentes: o resultado de um ensaio não tem efeito sobre o
resultado de outro.
Fonte: Vieira (2008, p. 192)
n n n
X n
p p
Exemplo
Podemos citar algumas situações que se enquadram em um experimento binomial:
Número de peças defeituosas em 15 extrações, com reposição, de um lote contendo 300 peças;
Número bebês do sexo feminino que nascerão, dentre os 30 próximos nascimentos, em um hospital.
Nas duas situações, há repetição do experimento (15 extrações e 30, respectivamente). Há somente dois resultados possíveis
(ser defeituosa ou não e ser do sexo feminino ou não).
Na primeira situação, a probabilidade de sucesso é a mesma em cada repetição e permanece a mesma durante todo o
experimento, e as repetições são independentes umas das outras, pois o experimento é feito com reposição. Ou seja, o resultado
de uma repetição não altera a probabilidade de sucesso nas repetições subsequentes.
No segundo experimento, também temos que os nascimentos são independentes, não afetando o sexo do recém-nascido em
cada um dos nascimentos.
A função de probabilidade de uma variável aleatória , que segue o modelo binomial, é de�nida como:X
em que:
:número de tentativas do experimento aleatório;
PX = k = nk ⋅ pk ⋅ qn− k
n
:probabilidade de sucesso em uma única tentativa;
:probabilidade de fracasso em uma única tentativa;
.
p = P (S)
q = P (F)
p+ q = 1
Quando a variável aleatória tiver distribuição binomial, com parâmetros e , indicaremos por .X n p X~b (n, p)
Exemplo
Cada amostra de água tem 8% de probabilidade de conter um determinado poluente orgânico.
Considerando que amostras sejam independentes com relação à presença do poluente, encontre a probabilidade de que nas
próximas 15 amostras:
a. Exatamente 3 contenham o poluente.
b. No mínimo 4 contenham o poluente.
Resolução
Temos, aqui, um experimento binomial com:
: número de amostras que contêm o poluente.
Note que a probabilidade de sucesso está relacionada à amostra ser poluente, pois a variável aleatória está de�nida como o
número de amostras que contém o poluente.
a)
Neste caso, podemos simpli�car os cálculos utilizando o evento complementar, isto é:
X
X = 0, 1, 2, 3,… , 15
n = 15
PS = p = 0, 08
PF = q = 0, 92
P (X = 3) = ( ) ⋅ ⋅ = 0, 0857
15
3
(0, 08)
3
(0, 92)
12
P (X ≥ 4) = P (X = 4) + P (X = 5) + P (X = 6) +…+ P (X = 15)
P (X ≥ 4) = 1 − P (X < 4) = 1 − [P (X = 0) + P (X = 1) + P (X = 2) + P (X = 3)]
P (X ≥ 4) = 1 − [( ) ⋅ ⋅ + ( ) ⋅ ⋅ + ( ) ⋅ ⋅ + (
15
0
(0, 08)
0
(0, 92)
15
15
1
(0, 08)
1
(0, 92)
14
15
2
(0, 08)
2
(0, 92)
13
P (X ≥ 4) = 1 − [0, 2863 + 0, 3734 + 0, 2273 + 0, 0857] =
1 − 0, 9727 = 0, 0273
 Atenção! Para visualização completa da fórmula utilize a rolagem horizontal
Distribuição de Poisson
O modelo Poisson é muito utilizado em experimentos físicos e biológicos. Por exemplo, podemos de�nir as seguintes variáveisaleatórias:
: número de bactérias em um litro de água não puri�cada;X
1
: número de partículas radioativas que entraram em um contador durante um milissegundo, em um experimento de
laboratório.
Ou, ainda, nestas situações:
: número de chamadas recebidas por uma central telefônica durante um período de 45 minutos;
: número de carros que passam por um cruzamento, por minuto, durante certa hora do dia.
X
2
X
3
X
4
 Fonte: Revista Galileu <https://revistagalileu.globo.com/Sociedade/noticia/2014/06/designer-cria-projeto-de-cruzamentos-mais-seguros-para-ciclistas.html> .
Em todas as situações descritas, a variável aleatória consiste na contagem de resultados discretos que ocorrem em um meio
contínuo (tempo, superfície ou volume). Essas variáveis podem assumir os valores 0, 1, 2, ..., e seu comportamento é descrito pela
distribuição de Poisson, cuja função distribuição de probabilidade é:
em que é o parâmetro da distribuição e é usualmente referido como a taxa de ocorrência ou número médio de ocorrências.
Utilizamos a notação:
A média e a variância de uma variável aleatória que segue uma distribuição de Poisson são, respectivamente:
P (X = k) =
e
−λ
λ
k
k!
λ
X~P (λ)
EX = V arX = λ

1. A probabilidade de uma ocorrência é a mesma para quaisquer dois intervalos de igual
comprimento.
2. A ocorrência ou não ocorrência em qualquer intervalo é independentemente da
ocorrência ou não ocorrência em qualquer outro intervalo.
Fonte: Anderson et al. (2003, p. 201)
Exemplo
Tráfego de carros é tradicionalmente modelado como uma distribuição de Poisson. Um engenheiro de tráfego monitora o �uxo de
carros em um cruzamento que tem uma média de seis carros por minuto. Para estabelecer o tempo de um sinal, as seguintes
probabilidades são usadas:
a. Qual é a probabilidade de nenhum carro passar pelo cruzamento em 30 segundos?
b. Qual é a probabilidade de três ou mais carros passarem pelo cruzamento em 30 segundos?
Resolução
A variável aleatória é de�nida como:
: número de carros que passam pelo cruzamento por minuto
em que 
.
a) Queremos encontrar a probabilidade de a ocorrência de nenhum carro passar pelo cruzamento em 30 segundos. O intuito
deste item é mostrar que, em algumas situações, devemos encontrar o número médio de ocorrências de acordo com a pergunta
do exercício. Sabemos que o número médio de ocorrências (taxa) é 6 para o período de um minuto.
Em um período de 30 segundos, temos:
Segundos
60 6
30 x
Montando a proporção:
É claro que, para esses dados, não é necessário usar o conceito de proporção devido à facilidade para encontrar o valor da taxa
média para 30 segundos (que é metade de 1 minuto). Mas, optamos por montá-la para que você consiga aplicar o conceito em
exercícios mais complexos.
Então:
b)
X
X~P (6)
λ
=
60
30
6
x
x = 3
P (X = 0) = = 0, 0498
⋅e
−3
3
0
0!
PX ≥ 3 = 1 − PX < 3
PX ≥ 3 = 1 − PX = 0 + PX = 1 + P (X = 2)
P (X ≥ 3) = 1 − [ + + ]
⋅e
−3
3
0
0!
⋅e
−3
3
1
1!
⋅e
−3
3
2
2!
= 1 − [0, 0498 + 0, 1494 + 0, 2240]
P (X ≥ 3) = 1 − 0, 4232 = 0, 5768
Distribuição normal
A distribuição normal é uma distribuição contínua de probabilidade de uma variável aleatória . Seu grá�co é chamado de curva
normal.
Muitas populações possuem distribuições que podem ser ajustadas aproximadamente por uma curva normal, como: pesos,
alturas, erros de medidas em experimentos cientí�cos, medidas de inteligência e aptidão, pontuações em testes variados, entre
outros.
Além disso, a distribuição normal proporciona a base para a inferência estatística clássica.
X

A distribuição normal tem as seguintes propriedades:
1. A média, a mediana e a moda são iguais.
2. A curva normal tem formato de sino e é simétrica em torno da média.
3. A área total sob a curva normal é igual a 1.
4. A curva normal aproxima-se mais do eixo à medida que se afasta da média em
ambos os lados, mas nunca toca o eixo.
Fonte: Larson (2004, p. 160)
x
A curva normal tem dois parâmetros, e . Eles determinam a posição e a forma da distribuição.μ σ
Figura 1.2: Distribuições Normais, . (Fonte: UFPA
<http://www.cultura.ufpa.br/dicas/biome/bionor.htm> )
N (μ, σ2)
As curvas normais , e apresentam médias iguais (por isto estão localizadas na mesma
posição no eixo ), mas apresentam desvios padrão diferentes (por isto a curva , que
apresenta maior desvio padrão, é mais achatada e a curva , que apresenta menor desvio
padrão, é mais fechada em torno da média).
A curva apresenta média diferente das outras curvas, por isto está localizada numa
posição diferente no eixo .
a b c
x c
a
d
x
A Figura 1.2 nos mostra que temos uma família de distribuições normais, diferenciadas por suas médias e desvios padrões.
Para obtermos a curva da distribuição normal, utilizamos a seguinte função densidade de probabilidade:
em que . Valores especí�cos para e geram diferentes curvas, como as apresentadas na Figura 1.2. A maneira
de fazer o grá�co é a mesma que utilizamos para qualquer função que relaciona e ou e .
Como a área total sob a curva de densidade é igual a 1, existe uma correspondência entre área e probabilidade (TRIOLA, 2008, p.
196).
Quando utilizamos a função “densidade de probabilidade da distribuição normal” para fazer cálculos, percebemos que valores
mais fáceis para e são e .
Considerando-se estes valores para os parâmetros, matemáticos calcularam diferentes áreas sob a curva, que são apresentadas
em uma tabela.
Como existe uma correspondência entre área e probabilidade, utilizamos a tabela para encontrar probabilidades.
f (x) =
1
2πσ
− −−
√
e
− ( )
1
2
x−μ
σ
2
−∞ < x < ∞ μ σ
x y x f (x)
μ σ μ = 0 σ = 1
A distribuição normal cuja média é zero e variância 1 é chamada distribuição normal
reduzida ou distribuição normal padronizada e é indicada pela letra .Z

A distribuição normal reduzida tem grande importância:
As probabilidades associadas à distribuição normal reduzida são dadas em tabelas, o
que indica mais facilmente as probabilidades associadas a essa distribuição. Basta
procurar na tabela.
1. Podemos transformar qualquer variável aleatória com distribuição normal de
média e desvio-padrão conhecidos numa distribuição normal reduzida.
2. Dos itens 1 e 2, parte-se de que qualquer probabilidade associada a pode ser
obtida transformando (distribuição normal) em (distribuição normal reduzida).
Fonte: Vieira (2008, p. 213)
X
X
X Z
A Figura 1.3 apresenta a curva de uma distribuição normal reduzida.
Figura 1.3: Distribuição normal reduzida .Z~N (0, 1)
Podemos transformar qualquer variável aleatória com distribuição normal em (distribuição normal reduzida). Mas, como
fazemos esta transformação?
Se , então a variável aleatória de�nida por:
O resultado terá média zero e variância 1, ou seja,
X Z
X~N (μσ2)
Z = X − μσ
Z =
X−μ
σ
A tabela disponível na maioria dos livros de Estatística, utilizada nos cálculos das probabilidades, nos fornece 
, isto é:P0 ≤ Z ≤ = PZ
c
Figura 1.4: Área correspondente à , fornecida pela tabela.P (0 ≤ Z ≤ )
Z
c
A característica de simetria da distribuição normal implica:
PZ ≥ 0 = 0, 5 = P (Z ≤ 0)
Exemplo
A resistência à compressão de amostras de cimento pode ser modelada por uma distribuição normal, com uma média de 6.000
quilogramas por centímetro quadrado e um desvio-padrão de 100 quilogramas por centímetro quadrado.
a. Qual é a probabilidade de a resistência da amostra ser menor que 6.250 kg/cm ?
b. Qual é a probabilidade de a resistência da amostra estar entre 6.100 e 6.200 kg/cm ?
Resolução
:resistência à compressão de cimento
Dentro dos parênteses, colocamos o valor da variância. Então, tomamos o valordo desvio-padrão e elevamos ao quadrado.
Primeiramente, identi�camos a área do intervalo que queremos encontrar ( ) na curva normal.
E, fazemos a transformação para encontrar o novo intervalo correspondente à variável aleatória :
Apresentaremos, a seguir, uma parte da tabela da distribuição normal padrão.
2
2
X
X~N6. 000, 1002
PX < 6. 250 =?
X < 6. 250
Z
Z = = 2, 5
6.250−6.000
100
Vamos aprender a encontrar a área (probabilidade) por meio da tabela. Na primeira coluna da esquerda ( ), identi�camos o
número que obtemos na transformação com uma casa decimal e a segunda casa decimal do número está nas colunas (0 a 9).
O número 2,5 é igual a 2,50, ou seja, a segunda casa decimal é 0. Vamos à linha 2,5 e à coluna 0. O número encontrado é 0,4938.
Então:
A probabilidade 0,5 vem do fato de que:
a. 
b. 
Transformando:
z
PX < 6. 250 = PZ < 2, 5 = 0, 5 + 0, 4938 = 0, 9938
PZ ≥ 0 = 0, 5 = P (Z ≤ 0)
P6. 100 ≤ X ≤ 6. 200 =?
= = 1Z
1
6.100−6.000
100
= = 2Z
2
6.200−6.000
100
O objetivo deste item é alertar para o fato de que a tabela fornece a área do zero ao valor tabelado. A área pintada neste item não
corresponde à área fornecida diretamente na tabela.
Então, como encontramos a área procurada?
Se encontrarmos a área e a área (que são obtidas na tabela) e subtrairmos as duas áreas, encontramos
justamente a área pintada!
Então:
0 ≤ Z ≤ 2 0 ≤ Z ≤ 1
P6. 100 ≤ X ≤ 6. 200 = ≤ Z ≤ 2 = ≤ Z ≤ 2 − P (0 ≤ Z ≤ 1)P
1
P
0
P6. 100 ≤ X ≤ 6. 200 = 0, 4772 − 0, 3413 = 0, 1359
Distribuição exponencial
A distribuição exponencial é uma distribuição contínua de uma variável aleatória . Essa distribuição é muito utilizada na teoria
das �las para modelar o tempo decorrido entre chegadas em processos, como: clientes em caixas eletrônicos de bancos e
pacientes dando entrada em uma unidade de emergência de um hospital. Variáveis como vida útil de equipamentos e tempos de
falha são modeladas pela distribuição exponencial.
Uma variável aleatória contínua , assumindo valores não negativos, tem distribuição exponencial com parâmetro se sua
função densidade de probabilidade tem a forma:
X
X α > 0
Usaremos a notação:
A média e a variância de uma variável aleatória que segue uma distribuição exponencial são, respectivamente:
f (x) = {
α ,  para x ≥ 0e
−αx
0,  caso contrário
X~Exp (α)
E (X) =
1
α
V ar (X) =
1
α
2
O cálculo de probabilidades para a distribuição exponencial envolve o cálculo de áreas sob a curva da função densidade de
probabilidade, exigindo recursos do cálculo integral. Assim:
A inclusão ou não dos extremos e não altera o cálculo efetuado acima.
Se tem uma distribuição exponencial com parâmetro , pode-se mostrar que:
e
P (a < X < b) = α dx = − = −∫
b
a
e
−αx
e
αx
b
a
e
−αa
e
−αb
a b
X α
P (X > x) = e
−αx
P (X ≤ x) = 1 − e
−αx
Exemplo
O tempo de vida (em horas) de um transistor pode ser considerado uma variável aleatória com distribuição exponencial. A vida
média do transistor é .
Calcule:
a. A probabilidade de que o transistor dure mais do que 500 horas.
b. A probabilidade de que o transistor dure entre 300 e 1000 horas.
Resolução
a) :tempo de vida horas de um transistor
Como , temos que:
Então:
b)
ET = 500horas
T
ET = 500horas
E (T ) =
1
α
500 =
1
α
α = 0, 002
PT > 500 = = = 0, 3679e
−0,002×500
e
−1
P (300 < X < 1000) = 0, 002 dx = −∫
1000
300
e
−0,002x
e
−0,002x
b
a
= − = 0, 5488 − 0, 1353 = 0, 4135e
−0,002(300)
e
−0,002(1000)
Distribuição Weibull
A distribuição Weibull é frequentemente usada para modelar dados de con�abilidade e para descrever o tempo de vida de
produtos industriais.
A aplicação dessa distribuição nos auxilia em perguntas como:
quantas solicitações de garantia podem ser esperadas durante a fase de vida útil de um pneu? ou,
quando a manutenção regular deve ser programada para impedir que os motores entrem em sua fase de desgaste?
Sua função densidade de probabilidade é:
em que e são os parâmetros de escala e forma, respectivamente.
f (x) = {
αβ ,  x > 0x
β−1
e
−αx
β
0,  caso contrário
α > 0 β > 0
Se considerarmos , a distribuição Weibull se reduz a uma distribuição exponencial.
A função de distribuição acumulada de uma variável aleatória contínua é dada por:
β = 1
F (x) X
No caso da distribuição Weibull, a função de distribuição acumulada é dada por:
para 
para e .
f (X) = P (X ≤ x)
Fx = 1 − e− αxβ,
x ≥ 0
α > 0 β > 0
Taxa de falha para a distribuição Weibull
A distribuição Weibull é útil para determinarmos a taxa de falha (também chamada taxa de risco) e, com isso, conseguimos
estudar o desgaste ou deterioração de um componente.
A taxa de falha é dada por:
De acordo com a de�nição para a taxa de falha, temos:
1. Se , a taxa de falha = , portanto, constante.
2. Se , é uma função crescente, o que indica que o componente se desgasta com o tempo.
3. Se , é uma função decrescente, o que indica que o componente se fortalece com o tempo.
Zt = αβtβ− 1,  t > 0
β = 1 α
β > 1 Zt
β < 1 Zt
Exemplo
O tempo de vida , em horas, de um componente de uma o�cina de usinagem tem distribuição Weibull com e 
.
Qual é a probabilidade de que esse componente falhe antes de dez horas de uso? Analisando a taxa de falha, esse componente se
desgasta ou se fortalece como o tempo?
Resolução
Com as informações do enunciado, temos que a taxa de falha é:
Podemos veri�car que é uma função crescente ( ). Portanto, o componente se desgasta com o tempo.
X α = 0, 005
β = 1, 5
PX < 10 = = = 1 − 0, 8538 = 0, 14621
−e−αxβ
1
−e−0,005101,5
Zt = αβt
β−1
Z (t) = 0, 005 × (1, 5) = 0, 0075t
1,5−1
t
0,5
Zt β > 1
Atividade
1. Uma rede varejista compra certo tipo de equipamento eletrônico de um fabricante. O fabricante indica que a taxa de
equipamentos com defeito é de 4%. O inspetor de qualidade da rede seleciona 30 itens de um carregamento. Qual é a
probabilidade de que haja pelo menos dois itens defeituosos entre esses 30?
2. O número de clientes que chegam a cada hora em determinado estabelecimento de serviço automotivo segue uma distribuição
de Poisson com média . Calcule a probabilidade de que pelo menos 5 clientes cheguem em um período de duas horas.λ = 8
3. O tempo para que um sistema computacional execute determinada tarefa é uma variável aleatória com distribuição normal,
com média 300 segundos e desvio-padrão de 8 segundos. Qual é a probabilidade de a tarefa ser executada entre 310 e 315
segundos?
4. A vida útil de certo componente eletrônico é, em média, 2.000 horas e apresenta distribuição exponencial. Qual é a
porcentagem esperada de componentes que apresentarão falhas em menos de 2.000 horas?
5. A vida útil, em horas, de uma broca de perfuração em uma operação mecânica tem distribuição Weibull com e .
Determine a probabilidade de que a broca falhará antes de 5 horas de uso.
α = 1 β = 0, 5
Notas
Aleatório 1
A palavra aleatório aparece para indicar que, a cada possível valor da variável, atribuímos uma probabilidade de ocorrência. É
comum que se utilizem na literatura estatística letras latinas maiúsculas para representar variáveis aleatórias.
Modelo probabilístico 2
Para uma variável aleatória X é uma forma especí�ca da distribuição de probabilidades, que re�ete o comportamento de X.
Há vários modelos probabilísticos para variáveis aleatórias discretas, mas vamos focar os estudos no modelo binomial e o
modelo Poisson.
Referências
ANDERSON, David R.; SWEENEY, Dennis, J.; WILLIAMS, Thomas A. Estatística aplicada à administração e economia. 2. ed. São
Paulo: Pioneira Thomson Learning, 2003.
BUSSAB, Wilton de O.; MORETTIN,Pedro A. Estatística básica. 5. ed. São Paulo: Saraiva, 2002.
LARSON, Ron; FARBER, Betsy. Estatística aplicada. 2. ed. São Paulo: Prentice Hall, 2004.
LEVINE, David M.; STEPHAN, David F.; SZABAT, Kathryn A. Estatística: teoria e aplicações usando Microsoft Excel em português. 7.
ed. Rio de Janeiro: LTC, 2016.
MAGALHÃES, Marcos N.; LIMA, Antonio C. P de. Noções de probabilidade e estatística. 6. ed. São Paulo: Editora da Universidade
de São Paulo, 2004.
MONTGOMERY, Douglas C.; RUNGER, George C. Estatística aplicada e probabilidade para engenheiros. 5. ed. Rio de Janeiro: LTC,
2014.
TRIOLA, Mário F. Introdução à estatística. 10. ed. Rio de Janeiro: LTC, 2008.
VIEIRA, Sonia. Introdução à bioestatística. 4 ed. Rio de Janeiro: Elsevier, 2008.
WALPOLE, R. E. et al. Probabilidade e estatística para engenharia e ciências. 8. ed. São Paulo: Pearson Prentice Hall, 2009.
Próxima aula
Metodologias utilizadas para identi�cação de manchas de sangue em local de crime;
Morfologia das gotas de sangue em local de crime.
Explore mais
Distribuição de Weibull em análise de con�abilidade <https://support.minitab.com/pt-br/minitab/18/help-and-how-
to/modeling-statistics/reliability/supporting-topics/distribution-models/weibull-distribution/> ;
Funções de taxa de falha em análise de con�abilidade <https://support.minitab.com/pt-br/minitab/18/help-and-how-
to/modeling-statistics/reliability/supporting-topics/distribution-models/hazard-functions/> ;
Dıstrıbuıção de weıbull <http://www.portalaction.com.br/con�abilidade/412-distribuicao-de-weibull> ;
Distribuicao-exponencial <http://www.portalaction.com.br/probabilidades/612-distribuicao-exponencial> ;
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Distribuição de Poisson <https://support.minitab.com/pt-br/minitab/18/help-and-how-to/probability-distributions-and-
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