Teste Conhecimento 1_10 Mecanica dos Solidos

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1. 
 
 
Considere três forças coplanares F1, F2 e F3, concorrentes e em equilíbrio. Se o ângulo entre as forças, 
duas a duas, é 1200, determine a relação entre as forças. 
 
 
F1 < F2 < F3 
 
 
F1 + F2 = F3 
 
 
F1 > F2 > F3 
 
 
F1- F2 = F3 
 
 
F1 = F2 = F3 
 
 
 
Explicação: 
Quando um corpo está em equilíbrio sob ação de três forças concorrentes e os ângulos entre cada duas é 
de 120º, as forças são iguais 
 
 
 
 
 
 
2. 
 
 
Três forças coplanares são descritas por F = (2.t -1).i + 3j. + (2-5.m).k, G = 3.i + (2.n-1).j + 0.k e H = 
4.i - 3j - 2.k. Determine a soma t + m + n, para que a resultante valha zero 
 
 
- 4,0 
 
 
- 3,0 
 
 
- 2,5 
 
 
- 2,0 
 
 
- 3,5 
 
 
 
Explicação: 
R = F + G + H = (2.t-1).i + 3j. + (2-5.m).k + 3.i + (2.n-1).j + 0.k + 4.i - 3j - 2.k. 
R =(2.t-1 + 3 + 4).i + (3 + 2.n - 1- 3).j. + (2- 5.m - 2).k = 0.i + 0.j + 0.k 
2t - 1 + 3 + 4 = 0, logo t = -3 
3 + 2n - 1 - 3 = 0, logo n = 0,5 
2 - 5m - 2 = 0, logo m = 0 
Assim, a soma será -2,5 
 
 
 
 
 
 
 
3. 
 
 
Duas forças de 5N e 6N formam um ângulo de 600. Qual a intensidade da força resultantes? 
 
 
 
7,95 N 
 
 
9,54 N 
 
 
8,54 N 
 
 
7,54 N 
 
 
8,94 N 
 
 
 
Explicação: 
R2 = F2 + f2 +2F.f.cos600 
R2 = 52 + 62 +2.5.6.(1/2) 
R2 = 52 + 62 +2.5.6.(1/2) 
R = 91 N = 9,54 N 
 
 
 
 
 
 
4. 
 
 
Considere uma força F = 3i + 5j atuando num ponto P cujo vetor posição é dado por 2i - 4j. Determine o 
momento da força F em relação ao ponto P. 
 
 
22.k 
 
 
11.k 
 
 
18.k 
 
 
20.k 
 
 
15.k 
 
 
 
Explicação: 
M = r x F = 22.k 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
5. 
 
 
Grandeza física que dá uma medida da tendência de 
uma força provocar rotação em torno de um ponto ou eixo é 
chamado de: 
 
 
 
Tração 
 
 
Compressão 
 
 
Deformação 
 
 
Momento de uma força 
 
 
Segunda Lei de Newton 
 
 
 
Explicação: 
Definição de momento 
 
 
 
 
 
 
 
 
6. 
 
 
Uma partícula está sob a ação de duas forças de intensidades 3N e 4N. Que valor o módulo da resultante 
não pode assumir: 
 
 
 
5N 
 
 
4N 
 
 
6N 
 
 
7N 
 
 
8N 
 
 
 
Explicação: 
A resultante tem que ser maior ou igual a diferença das forças (1N) e menor ou igual a soma das forças 
(7N) 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
7. 
 
Calcular as reações para a viga na figura abaixo. 
 
 
Assinale a única alternativa com a resposta correta. 
 
 
 
Ax =6 N; By= 12 N; Ay =- 4 N 
 
 
Ax =12 N; By= 8 N; Ay =- 4 N 
 
 
Ax =-4 N; By= 6 N; Ay = 12 N 
 
 
Ax =15 N; By= -10 N; Ay =6 N 
 
 
Ax =12 N; By= -4 N; Ay =6 N 
 
 
 
Explicação: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
8. 
 
 
Um vetor força tem módulo 20 N e faz um ângulo agudo com a horizontal tal que a tangente valha ¾. 
Escreva este vetor em suas componentes retangulares. 
 
 
F = 10i + 10j 
 
 
F = 6i + 8j 
 
 
F = 8i + 6j 
 
 
F = 3i + 4j 
 
 
F = 4i + 3j 
 
 
 
Explicação: 
tgθ = ¾, logo senθ = 3/5 e cos θ = 4/5 
Assim, F = Fx.i + Fy.j = F.cosθ.i + Fsenθ.j = 8i + 6 j 
 
 
1. 
 
 
Considere um ponto material em equilíbrio sob a ação de três 
forças coplanares. Assinale a opção correta: 
 
 
As três forças serão paralelas ou concorrentes 
 
 
Não existe uma disposição geográfica predeterminada 
 
 
Uma das forças deve ser perpendicular às outras duas forças 
 
 
As três forças sempre serão concorrentes 
 
 
As três forças sempre serão paralelas 
 
 
 
Explicação: 
Quando um ponto material está em equilíbrio sob a ação de 3 forças coplanares elas serão 
necessariamente paralelas ou concorrentes. 
 
 
 
 
 
 
 
 
2. 
 
 
Uma viga bi-apoiada está submetida a um binário no sentido anti-horário cujo valor é de 300 N.m e a 
uma força concentrada de 200 N. 
 
Determine as reações verticais nos apoios A e B. 
 
 
VA = 325 N e VB = 75 N 
 
 
VA = 250 N e VB = 250 N 
 
 
VA = - 25N e VB = 225 N 
 
 
VA = 225 N e VB = - 25 N 
 
 
VA = 100 N e VB = 100 N 
 
 
 
Explicação: 
Soma das forças em y igual a zero: VA + VB = 200 
Soma dos momentos em relação ao ponto A igual a zero: - 300 - 200 x 3 + 4xVB = 0 . Assim, VB = 225 N 
e VA = - 25N 
 
 
3. 
 
 
Uma partícula está em equilíbrio sob a aço de seu próprio peso e dois cabos ideais, conforme figura. Se 
o peso da partícula é de 141 N e 2 = 1,41, determine a intensidade da força que age no cabo 1. 
Considere o ângulo entre os cabos igual a 90º e simetria na figura. 
 
 
 
100 N 
 
 
200 N 
 
 
141 N 
 
 
250 N 
 
 
150 N 
 
 
 
Explicação: 
Simetria: F1 = F2 = F 
resultante entre os cabos 1 e 2: F.2 
Essa resultante equilibrará o peso da partícula que vale 141 N 
Assim, 141 = F.2 
Logo 100 N 
 
 
 
 
4. 
 
 
Um corpo encontra-se sob a ação de 3 forças coplanares concorrentes. A primeira das forças é F1 = 2i 
- 3j + 4k e a segunda força F2 = -5i + 4j - 3k. Determine a terceira força para que o corpo esteja em 
equilíbrio. 
 
 
-3i - j + k 
 
 
3i - j - k 
 
 
-3i + j + k 
 
 
 3i + j + k 
 
 
-3i + j - k 
 
 
 
Explicação: 
R = F1 + F2 + F3 = 0 
2i - 3j + 4k -5i + 4j - 3k + F3 = 0 
-3.i + j + k + F3 = 0 
F3 = 3i - j - k 
 
 
 
 
 
 
5. 
 
 
I - Para calcular as reações do apoio do tipo Rolete (ou Apoio Móvel), 
apoio de primeira ordem, sabemos que possui apenas uma incógnita e 
é uma força que atua perpendicularmente à superfície no ponto de 
contato. 
II - Este fato indica haver uma reação que impede o movimento da 
estrutura na componente horizontal. 
Podemos afirmar dos textos acima 
 I é uma proposição verdadeira e a II é uma proposição falsa 
 
 As asserções I e II são proposições falsas 
 
 
I e II são proposições verdadeiras e a II é uma justificativa 
correta da I 
 
 
I e II são proposições verdadeiras e a II não é uma 
justificativa correta da I 
 
 I é uma proposição falsa e a II é uma proposição verdadeira 
 
 
 
Explicação: 
O apoio de primeira ordem restringe o movimento na vertical 
6. 
 
 
 Sobre o equilíbrio estático de um ponto material e de um corpo extenso e sobre apoios de uma 
estrutura são feitas as seguintes afirmativas: 
I - O apoio de 3º gênero (engaste) apresenta três restrições; 
II - Para que o corpo extenso esteja em equilíbrio basta que a resultante das forças que nele atuam 
valha zero; 
III - O corpo extenso estará em equilíbrio se as condições de não translação e não rotação forem 
satisfeitas simultaneamente. 
É correto afirmar que: 
 
 
Apenas a afirmativa III é verdadeira 
 
 
Apenas a afirmativa II é verdadeira 
 
 
Apenas as afirmativas I e III são verdadeiras 
 
 
Apenas a afirmativa I é verdadeira 
 
 
Todas as afirmativas são falsas 
 
 
 
Explicação: 
Apoio de 3º gênero impede duas translações e uma rotação 
Ponto material: Basta não ter translação, ou seja, R = 0 
Corpo extenso: não pode transladar (R = 0) e nem rotacionar (M = 0) 
 
 
 
 
 
 
7. 
 
 
Três forças coplanares F1, F2 e F3 mantêm um ponto material em equilíbrio. Sabendo-se que F1 e F2 têm 
intensidades iguais a 200 N e formam um ângulo de 120º, determine a intensidade de F3. 
 
 
400 N 
 
 
173 N 
 
 
141 N 
 
 
200 N 
 
 
100N 
 
 
 
Explicação: 
R2 = 2002 + 2002 + 2.200.200.cos(120º) 
R2 = 2002 + 2002 + 2.200.200.(-0,5) 
R2 = 2002 
R = 200 N (resultante dentre F1 e F2) 
Logo F3 = 200N 
 
 
 
 
 
1. 
 
 
Considere a treliça a seguir, cujos comprimentos das barras BC = 
CD = CE = l e AE = EF = 2l. Determine a intensidade da força no 
elemento AB. 
 
 
 
15,4 kN 
 
 
25,4 kN 
 
 
35,4 kN 
 
 
45,4 kN 
 
 
30,4 kN 
 
 
 
Explicação: 
Soma das forças em x = 0, logo HA = 0 
Soma das forças em y = 0, logo VA + VF = 40 
Soma dos momentos em relação ao ponto a igual a zero: 20l + 40l - 4l.VF. Logo VF = 15 kN 
Assim, VA = 25 kN 
Equilíbrio do nó A (ângulo de 450): AB2 = AE2 + VA2 
AB2 = 252 + 252 
AB = 35,4 kN 
 
 
 
 
 
 
 
 
2. 
 
 
Considere a treliça abaixo em que o peso de cada barra é desprezível e as forças são aplicadas diretamente 
sobre os nós. Determine as reações nos apoios de primeiro (A) e segundo (B) gêneros. As dimensões e as 
intensidades das forças estão na figura a seguir. 
 
 
 
VA = 20 kN, HA = 22,5 kN e HB = 7,5 kN 
 
 
VA = 30 kN, HA = 17,5 kN e HB = 12,5 kN 
 
 
VA = 20 kN, HA = 7,5 kN e HB = 22,5 kN 
 
 
VA = 30 kN, HA = 7,5 kN e HB = 22,5 kN 
 
 
VA = 30 kN, HA = 5 kN e HB = 25 kN 
 
 
 
Explicação: 
Soma das forças na direção y igual a zero: VA - 20 = 0. VA = 20 kN 
Soma das forças na direção x igual a zero: HA + HB - 30 = 0. HA + HB = 30 kN 
Soma dos momentos em relação ao ponto A igual a zero: - 20 x 3 - 30 x 4 + HB x 8 = 0. Assim, HB = 
22,5 kN. Logo HA = 7,5 kN 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
3. 
 
 
Considere um pórtico plano simples. A barra horizontal está sob um carregamento uniformemente 
distribuído de 20 kN/m e uma força concentrada de 100 kN, que atua no ponto médio da barra vertical, 
conforme a figura. Determine as intensidades das reações em A e D. Considere as três barras com 
comprimento igual a 4 m. 
 
 
 
 
HA = 100 kN, VD = 80 kN e VA = - 10kN 
 
 
HA = 80 kN, VD = 90 kN e VA = - 10kN 
 
 
HA = 90 kN, VD = 80 kN e VA = - 10kN 
 
 
HA = 100 kN, VD = 90 kN e VA = - 10kN 
 
 
HA = 100 kN, VD = 90 kN e VA = - 15kN 
 
 
 
Explicação: 
Forças de reações: VA, HA e VB 
Soma das forças na direção horizontal = 0, logo HA = 100 kN 
Troca da força distribuída por uma concentrada: 20 x 4m = 80 kN 
Soma das forças na direção vertical = 0, logo VA + VD= 80 kN 
Soma dos momentos em relação ao ponto A = 0, logo - 100 x 2 - 80 x 2 + 4xVD = 0kN 
VD = 90 kN e VA = - 10kN 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
4. 
 
Considere um pórtico plano simples engastado em uma das extremidades (A) e livre na outra (B). O carregamento e as dimensões 
são mostrados na figura. Determine as reações nos apoios A, B e C. 
 
 
 
 
 
 
HA = 40 kN; VA = 200 kN e MA = 280 kN.m 
 
 
HA = 40 kN; VA = 200 kN e MA = 380 kN.m 
 
 
HA = 20 kN; VA = 100 kN e MA = 280 kN.m 
 
 
HA = 40 kN; VA = 240 kN e MA = 300 kN.m 
 
 
HA = 40 kN; VA = 200 kN e MA = 250 kN.m 
 
 
 
Explicação: 
No engaste existem as seguintes reações: HA, VA e MA 
Troca da carga distribuída pela concentrada: 20 x 2 = 40 kN 
Soma das forças em x igual a zero: HA - 40 = 0, Assim HA = 40 kN 
Soma das forças em y igual a zero: VA - 200 = 0, Assim VA = 200 kN 
Soma dos momentos em relação ao ponto A igual a zero: MA - 200 x 2 + 3 x 40 = 0, Assim MA = 280 
kN.m 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
5. 
 
Considere a treliça a seguir. Determine as reações nos apoios A e F 
 
 
 
 
 
VA = 20 kN, HA = 0 e VF = 20 kN 
 
 
VA = 25 kN, HA = 0 e VF = 15 kN 
 
 
VA = 15 kN, HA = 0 e VF = 25 kN 
 
 
VA = 10 kN, HA = 0 e VF = 30 kN 
 
 
VA = 30 kN, HA = 0 e VF = 10 kN 
 
 
 
Explicação: 
Soma das forças em x = 0, logo HA = 0 
Soma das forças em y = 0, logo VA + VF = 40 
Soma dos momentos em relação ao ponto a igual a zero: 20l + 40l ¿ 4l.VF. Logo VF = 15 kN 
Assim, VA = 25 kN 
 
6. 
 
 
A treliça é um elemento estrutural composto pela união de várias barras. Sua utilização é ampla na 
Engenharia Civil e, dentre os motivos podemos citar, a relação a resistência específica. A respeito desse 
elemento estrutural, é FALSO afirmar que: 
 
 
As barras que compõem uma treliça são rotuladas; 
 
 
Sempre desconsideramos o peso das barras; 
 
 
Todas as forças externas são aplicadas diretamente sobre os "nós"; 
 
 
As barras estão sujeitas apenas às forças normais, sejam essas de tração (T) ou de compressão 
(C). 
 
 
"Nó" é a união de alguns elementos (barras) da treliça; 
 
 
 
 
 
1. 
 
 
Considere uma viga biapoiada conforme a figura a seguir. As dimensões e os carregamentos são 
mostrados na figura. 
 
Determine o momento fletor na seção que passa pelo ponto médio da viga 
 
 
M = 50 kN.m 
 
 
M = 40 kN.m 
 
 
M = 30 kN.m 
 
 
M = 80 kN.m 
 
 
M = 60 kN.m 
 
 
 
Explicação: 
Solução: Por simetria, os esforços em A e B são iguais a 40 kN. Fazendo um corte na viga no ponto 
médio e aplicando a soma dos momentos em relação a este ponto temos: M + 40 x 0,75 - 40 x 1,75 = 0. 
Assim M = 40 kN.m 
 
 
 
2. 
 
 
Uma viga AB engastada em uma parede está sob um carregamento uniformemente distribuído de 30 
kN/m. Se a barra tem 4 m de comprimento, determine o momento fletor atuante na extremidade livre 
da viga. 
 
 
60 kN.m 
 
 
30 kN.m 
 
 
0 kN.m 
 
 
50 kN.m 
 
 
120 kN.m 
 
 
 
Explicação: 
Na extremidade livre não há restrição à rotação, logo momento fletor é nulo. 
 
 
 
 
 
 
 
 
3. 
 
 
Uma viga biapoiada de 4m de comprimento está submetida a uma carga uniformemente distribuída de 
20 kN/m. Determine o momento fletor máximo que atua na viga e sua posição, a partir da extremidade 
esquerda da viga. 
 
 
40 kN.m e 2m 
 
 
80 kN.m e 2m 
 
 
160 kN.m e 3m 
 
 
80 kN.m e 1m 
 
 
160 kN.m e 1m 
 
 
 
Explicação: 
Momento fletor máximo = q.L2/8 = 20. 42/8 = 40 kN e acontece no ponto médio da viga, isto é, x = 2m. 
 
 
4. 
 
 
Uma viga biapoiada AB de comprimento 5 m tem uma carga concentrada de 10 kN aplicada a 2m de A e 
3m de B. Determine a intensidade do momento fletor máximo. 
 
 
11 kN.m 
 
 
10 kN.m 
 
 
12 kN.m 
 
 
13 kN.m 
 
 
14 kN.m 
 
 
 
Explicação: 
M máximo = F.a.b/(a+b) = 10 x 2 x 3 /(2 + 3) = 60/5 = 12 kN.m 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
5. 
 
 
Considere uma viga biapoiada em que as dimensões e os carregamentos são mostrados na figura. 
 
Determine o esforço cortante no ponto médio da viga. 
 
 
-40 kN 
 
 
0 kN 
 
 
-80 kN 
 
 
40kN 
 
 
80 kN 
 
 
 
Explicação: 
Por simetria, os esforços em A e B são iguais a 40 kN. Seccionando a viga em seu ponto médio e fazendo 
o equilíbrio: 40 - 40 + V = 0. Logo V = 0 
 
 
 
 
6. 
 
 
Com relação aos esforços internos denominados cortante e momento fletor, é correto afirmar que: 
 
 
 
No ponto em que o esforço cortante é máximo, o momento fletor também é máximo 
 
 
Quando o momento fletor é máximo, o esforço cortante é nulo 
 
 
No ponto em que o esforço cortante é mínimo, o momento fletor também é mínimo 
 
 
Não existe relação matemática entre as expressões do esforço cortante e o momento fletor 
 
 
Quando o esforço cortante é máximo, o momento fletor é nulo 
 
 
 
Explicação:V(x) = dM(x)/dx 
Máximo: dM(x)/dx = 0 
Logo, para M máximo, V = 0 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
1. 
 
 
Suponha uma viga biapoiada com uma carga concentrada P de 200 kN atuando num ponto distante 1m 
da extremidade A, conforme a figura. A viga tem de comprimento AB = 4m. Determine o momento fletor 
máximo. 
 
 
 
150 kN.m 
 
 
160 kN.m 
 
 
180 kN.m 
 
 
200 kN.m 
 
 
120 kN.m 
 
 
 
Explicação: 
M = P. a.b/(a+b) = 200.1.3/(1+3) = 150 kN.m 
 
 
 
 
 
 
 
 
2. 
 
 
Uma viga biapoiada de comprimento 2m tem um carregamento uniformemente distribuído de 30kN/m. 
Qual a forma do diagrama do momento fletor (DMF) que atua ao longo do comprimento x da viga e seu 
valor máximo? 
 
 
Reta crescente / 15 kN.m 
 
 
Parábola / 30 kN.m 
 
 
Parábola / 15 kN.m 
 
 
Parábola / 35 kN.m 
 
 
Reta decrescente / 15 kN.m 
 
 
 
Explicação: 
DMF : parábola / Valor máximo= q.L2/8 = 30.22/8 = 15kN.m 
 
 
 
 
 
 
 
3. 
 
 
Considere a figura abaixo em que está a representação do diagrama 
do momento fletor (DMF) de uma viga biapoiada em suas 
extremidades. Descreva o tipo de carregamento a que esta viga pode 
está submetida. 
 
 
 
 
O esforço correspondente ao DMF apresentado é de uma carga distribuída ao longo de AB 
 
 
O esforço correspondente ao DMF apresentado é de uma carga concentrada no ponto C 
 
 
O esforço correspondente ao DMF apresentado é de uma carga distribuída ao longo de CB 
 
 
Como o DMF é do primeiro grau, a carga distribuída é de uma grau superior, ou seja, do 
segundo grau. 
 
 
O esforço correspondente ao DMF apresentado é de uma carga distribuída ao longo de AC 
 
 
 
Explicação: 
Esse é o DMF típico de uma única carga concentrada numa viga bi apoiada nas extremidades. 
 
 
 
 
 
 
 
 
4. 
 
 
Uma viga biapoiada está com uma carga concentrada P. Um diagrama do esforço cortante (DEC) desse 
carregamento é formado por duas retas paralelas ao eixo x com um degrau, mostrando uma 
descontinuidade na função, um ¿degrau¿. Esse degrau corresponde, em módulo: 
 
 
A um valor igual ao de P. 
 
 
A um valor igual ao quadrado de P. 
 
 
A um valor igual ao dobro de P. 
 
 
A um valor que não se relaciona com P. 
 
 
A um valor igual a metade de P. 
 
 
 
Explicação: 
No DEC de uma carga concentrada, o "degrau" equivale ao valor da força concentrada. 
 
 
 
 
 
 
 
 
5. 
 
 
A contração perpendicular à extensão, causada por uma tensão de tração demonstrada no corpo de 
prova a seguir, é conhecida como: 
 
 
Coeficiente de Poisson. 
 
 
 
Coeficiente de Haskin. 
 
 
 
Coeficiente de Rosental. 
 
 
Coeficiente de Red Hill. 
 
 
Coeficiente de Morangoni. 
 
 
 
Explicação: 
Tensão de formção dos materias. 
 
 
 
 
 
 
 
 
6. 
 
 
Suponha uma viga AB biapoiada em uma parede. Seu comprimento é de 4 m e uma força concentrada 
vertical para baixo de 12 kN é aplicada no ponto C, conforme a figura. No diagrama do esforço cortante, 
mostrado na figura, qual o valor do patamar positivo do diagrama? 
 
 
 
8 kN 
 
 
10 kN 
 
 
6 kN 
 
 
9 kN 
 
 
12 kN 
 
 
 
Explicação: 
Solução: As reações nos apoios são proporcionais às distâncias CB e AC, assim, RA = 3x e RB = x. 3x + x 
= 12, logo x = 3 kN. RA = 9kN. Fazendo um corte na viga, próximo ao apoio A, temos que V = 9kN 
 
 
 
 
 
 
 
 
7. 
 
 
Suponha que a expressão do momento fletor que atua ao longo do comprimento x de uma viga seja 
dada por M(x) = 20.sen(4x) + 30, em kN.m. Determine a expressão para o esforço cortante atuante 
nessa mesma viga 
 
 
V(x) = 20.cos(4x) + 30 
 
 
V(x) = 80.cos(4x) + 30 
 
 
V(x) = 80.sen(4x) 
 
 
V(x) = 20.cos(4x) 
 
 
V(x) = 80.cos(4x) 
 
 
 
Explicação: 
V(x) = dM(x)/dx = 4.20.cos(4x) = 80.cos(4x) 
 
 
 
 
 
1. 
 
 
Uma força de F = 2.000 N atua numa área de 50 mm2. Supondo 
que F forma 300 com o plano da área, determine a tensão 
cisalhante média. 
 
 
60,0 MPa 
 
 
25,6 MPa 
 
 
42,8 MPa 
 
 
45,2 MPa 
 
 
34,6 MPa 
 
 
 
Explicação: 
Força perpendicular à área: F.cos 300 = 1732 N 
Tensão = Força / área = 1732/ 50 = 34,6 MPa 
 
 
 
 
 
 
 
2. 
 
 
Um pilar tem a seção de um retângulo de dimensões 20 cm x 30 cm. Sobre este pilar atua uma força 
normal de 120 kN. A respeito da tensão normal, é correto afirmar que: 
 
 
A tensão em todos os pontos da base do pilar é de 4MPa 
 
 
A tensão em todos os pontos da base do pilar é maior que 2MPa 
 
 
A tensão em alguns pontos da base do pilar é maior que 2MPa 
 
 
A tensão em todos os pontos da base do pilar é menor que 2MPa 
 
 
A tensão em todos os pontos da base do pilar é de 2MPa 
 
 
 
Explicação: 
Tensão média = F/A 
Tensão média 120.000/(200x300) = 2 MPa 
Como é um valor médio, alguns pontos terão tensão maior e, outros, tensão menor. 
 
 
 
 
 
 
 
 
3. 
 
 
Uma força de F = 20.000 N atua numa área de 50 mm2. Supondo que F forma 300 com o plano da área, 
determine a tensão normal média. 
 
 
200 MPa 
 
 
300 MPa 
 
 
400 MPa 
 
 
150 MPa 
 
 
100 MPa 
 
 
 
Explicação: 
Força perpendicular à área: F.sen 300 = 10.000 N 
Tensão = Força / área = 10.000/ 50 = 200 MPa 
 
 
 
 
 
 
 
 
4. 
 
 
Um material deverá ser ensaiado em uma máquina de tração. O corpo de prova (CP) é confeccionado de 
acordo com as informações contidas na norma XYZ. A área útil do CP é uma seção retangular de 1,5 mm 
por 4 mm. Num dado ponto do ensaio, a força exercida pelas garras da máquina do ensaio equivalem a 
900 N. Determine, nesse instante, a tensão normal média na seção útil e infira sobre a ruptura ou não 
do CP, dado que a tensão normal de ruptura é de 200 MPa. 
 
 
100 MPa e não ruptura 
 
 
120 MPa e não ruptura 
 
 
210 MPa e ruptura 
 
 
150 MPa e não ruptura 
 
 
300 MPa e ruptura 
 
 
 
Explicação: 
Tensão = F / área 
Área = 1,5 x 4 = 6 mm2 
Tensão = 900 N/6mm2 = 150 MPa (não excede a tensão de ruptura) 
 
 
 
 
 
 
 
 
5. 
 
 
Considere duas peças metálicas unidas conforme a figura. Sabe-se que a 
união apresenta resistência ao cisalhamento de 80 MPa. A área comum 
entre as placas é de 100 mm2. Determine a força F máxima permitida, 
considerando um fator de segurança igual a 2. 
 
 
 
 
 
F = 4.000 N 
 
 
F = 3.000 N 
 
 
F = 2.500 N 
 
 
F = 3.500 N 
 
 
F = 2.000 N 
 
 
 
Explicação: 
Solução: FS =2, então tensão de trabalho igual a 40 MPa. Como tensão é força sobre área, teremos 40 = 
F/100, logo F = 4.000 N 
 
 
 
 
 
 
 
6. 
 
 
Suponha uma junta presa por dois parafusos de 20 mm, conforme figura. A tensão de 
cisalhamento admissível do material que compõe o material dos parafusos é de 60 
MPa. Determine a força F máxima que pode ser aplicada em cada extremidade da 
junta. 
 
 
 
 
 
F = 47.680 N 
 
 
F = 19.180 N 
 
 
F = 37.680 N 
 
 
F = 42.000 N 
 
 
F = 39.680 N 
 
 
 
Explicação: 
Área de cada parafuso: .R2 = 3,14.102 = 314 mm2 
Cada parafuso suporta F/2 
Tensão = Força/área 
60 = (F/2)/314 
F = 37.680 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
1. 
 
Uma viga de 3m de comprimento está engastada quando é aplicadauma 
força F. Se a extremidade em balanço desce 5 mm, em relação à horizontal, 
determina a deformação cisalhante média. 
 
 
 
 
 
0,0016667 rad 
 
 
0,033333 rad 
 
 
0,0033333 rad 
 
 
0,018733 rad 
 
 
0,016667 rad 
 
 
 
Explicação: 
Deformação angular: 
Comprimento do arco descrito pelo ponto A pode ser relacionado da seguinte maneira com o 
comprimento da barra: l = R.. Logo 5 = 3000.  
 = 0,0016667 rad 
 
 
 
 
 
 
 
 
2. 
 
 
Uma mola tem comprimento natural de 40 cm e força elástica de 2000N/m. Se uma força de 8N é 
aplicada, determine a deformação normal sofrida pela mola. 
 
 
2% 
 
 
1% 
 
 
1,5% 
 
 
3% 
 
 
4% 
 
 
 
Explicação: 
F = k.x, logo 8 = 2000.x → 0,004 m = 4 mm 
Deformação: L/L = 4/400 = 0,01 = 1% 
 
 
 
 
 
3. 
 
 
Uma bola oficial de futebol deve ter circunferência entre 68 e 70 cm. Suponha que antes do jogo sua 
circunferência seja de 65cm e, para uma partida oficial, ocorra o enchimento da bola até atingir 70 cm 
de circunferência. Determine a deformação média sofrida pelo material da bola. 
 
 
8,2% 
 
 
7,0 % 
 
 
7,7% 
 
 
6,5% 
 
 
8,5% 
 
 
 
Explicação: 
Deformação = (70 ¿ 65)/65 = 0,0769 = 7,69% 
 
 
 
 
 
 
 
 
4. 
 
 
Um pilar vertical metálico de 2 m de comprimento tem área circular de 700 mm2 e uma força atuante, 
também verticalmente, de forma compressiva no valor de 70 kN. Determine a variação do comprimento 
desse pilar, em mm. Dado E = 200 GPa 
 
 
1,2 
 
 
1,6 
 
 
1,0 
 
 
2,0 
 
 
1,5 
 
 
 
Explicação: 
Tensão=força/área = 70.000 / 700 = 100 MPa 
Lei de Hooke: tensão = E. deformação 
100 = 200.000.deformação 
Deformação = 0.0005 
Deformação =  L/L 
0,0005 =  L/2000 
 L = 1mm 
 
 
5. 
 
 
Um corpo apresenta duas linhas pintadas tal que o ângulo entre os mesmos é de 90º. Sob determinado 
carregamento externo, as linhas passam a formar um ângulo de 88 º. Determine a deformação 
cisalhante média, em radianos. 
 
 
0,5 
 
 
2 
 
 
0,053 
 
 
0,035 
 
 
0,2 
 
 
 
Explicação: 
 = 90 ¿ 88 = 2º 
Transformação em radianos: 2/180 = 0,035 rad 
 
 
 
6. 
 
 
Suponha que um material metálico vá ser ensaiado numa máquina de ensaio de tração. Um corpo de 
provas (CP) é confeccionado a partir da norma. O gráfico a seguir mostra como a tensão normal varia com 
a deformação durante o ensaio. 
 
Qual o módulo de elasticidade do material, em GPa ? 
 
 
E = 90 GPa 
 
 
E = 80 GPa 
 
 
E = 110 GPa 
 
 
E = 100 GPa 
 
 
E = 120 GPa 
 
 
 
Explicação: 
Lei de Hooke: s = E.e. Assim, na região elástica, temos: 200 = 0,002. E, logo E = 100 GPa 
 
1. 
 
 
Considere um corpo em equilíbrio e um ponto sob o estado de tensão mostrado na figura. 
 
 
Determine o ângulo em que a tensão cisalhante é máxima. 
 
 
 
 
29,15º 
 
 
32,15º 
 
 
28,15º 
 
 
30,15º 
 
 
31,15º 
 
 
 
Explicação: 
Tensão cisalhante nula implica nas tensões principais. 
2 = arctg(2 tensão cisalhante/(tensão normal x ¿ tensão normal y) 
2 = arctg(2.15/(120-100)) = 1,5 
2 = 56,30º 
 = 28,15º 
 
 
 
2. 
 
 
Considere um ponto em plano de tensões. É verdade que existe o 
invariante das tensões normais, ou seja, x + y é constante. 
Utilizando esta premissa e as equações mostradas abaixo, qual a 
relação verdadeira entre x , y , x' e y' ? 
 
 
 
 
 
x - y = x¿ + y¿ 
 
 
x + y = x¿ + y¿ 
 
 
x - y = x¿ - y¿ 
 
 
x + y = x¿ - y¿ 
 
 
x x y = x¿ x y¿ 
 
 
 
Explicação: 
Somando as equações, x + y = x' + y' 
 
 
 
 
 
 
 
 
3. 
 
 
Assinale a afirmativa correta em relação a um ponto que se encontra sob o estado plano de tensões. 
 
 
 
Na condição de tensões principais a tensão de cisalhamento assume seu valor máximo. 
 
 
As tensões normais principais somadas têm o mesmo valor que as tensões normais em 
qualquer outra condição, que não seja a principal 
 
 
As tensões principais são os valores máximo e mínimo que as tensões normais podem assumir, 
contudo o ângulo que elas fazem deixa de ser reto. 
 
 
Na condição de tensões principais as intensidades das tensões normais e cisalhante são iguais 
 
 
A condição de tensões principais leva a um valor de tensão cisalhante mínimo e negativo 
 
 
 
Explicação: 
Invariante das tensões normais no estado plano de tensões: sx + sy = sx¿ + sy¿ 
 
 
 
 
4. 
 
 
Com relação ao estado plano de tensões marque a alternativa correta. 
 
 
 
É caracterizado por dois pares de tensões normais compressivas e três componentes de tensões 
cisalhantes com módulos distintos. 
 
 
É caracterizado por dois pares de tensões normais que podem ser trativas ou compressivas e 
três componentes de tensões cisalhantes com mesmo módulo. 
 
 
É caracterizado por dois pares de tensões normais que podem ser trativas ou compressivas e 
três componentes de tensões cisalhantes com módulos distintos. 
 
 
É caracterizado por dois pares de tensões normais trativas e três componentes de tensões 
cisalhantes com mesmo módulo. 
 
 
É caracterizado por dois três de tensões normais e três componentes de tensões cisalhantes 
com mesmo módulo. 
 
 
 
Explicação: 
o estado plano de tensões é caracterizado por dois pares de tensões normais e três componentes de 
tensões cisalhantes com mesmo módulo. 
 
 
 
 
 
5. 
 
 
Observe um ponto sob o estado plano de tensões, isto é, sob ação de dois 
pares de tensões normais e dois pares de tensões cisalhantes: 
 
A respeito do sinal dessas tensões é correto afirmar que: 
 
 
Todas as tensões normais são positivas, enquanto as cisalhantes são negativas. 
 
 
Todas as tensões normais são negativas, enquanto as cisalhantes são positivas. 
 
 
Todas as tensões, sejam as normais ou as cisalhantes são negativas. 
 
 
Todas as tensões, sejam as normais ou as cisalhantes são positivas 
 
 
A tensão normal em x é positiva e a normal em y positiva. Já as tensões cisalhantes são 
positivas. 
 
 
 
Explicação: 
Convenção: 
a) Normais trativas são positivas 
b) Normais compressivas são negativas 
c) Cisalhantes: na face superior são positivas as tensãoes cisalhantes para a direita e na face direita, são 
positivas as tensões cisalhantes para cima. 
 
 
 
6. 
 
 
Considere um corpo em equilíbrio e um ponto sob o estado de tensão mostrado na figura. 
 
Determine as tensões principais. 
 
 
Tensão máxima: 128 MPa e tensão mínima: 92 MPa 
 
 
Tensão máxima: 130 MPa e tensão mínima: 85 MPa 
 
 
Tensão máxima: 158 MPa e tensão mínima: 92 MPa 
 
 
Tensão máxima: 128 MPa e tensão mínima: 72 MPa 
 
 
Tensão máxima: 142 MPa e tensão mínima: 92 MPa 
 
 
 
Explicação: 
Tensões principais: (tensão normal x + tensão normal y)/2 + raiz[(tensãox - tensão y)2/4 +tensão 
cisalhante2] 
Tensões principais: (120 + 100)/2 + raiz(325) 
Tensão máxima: 128 MPa 
Tensão mínima: 92 MPa 
 
 
 
 
 
 
 
1. 
 
 
O Círculo de Mohr é um método gráfico para a resolução do 
estado de tensões de um ponto. Considere um ponto cujo estado 
plano de tensões cujas tensões tenham os seguintes valores 
positivos : x = 110 MPa, y = 30 MPa e τ xy = 
30. Determine, utilizando o círculo de Mohr os valores das 
tensõesprincipais (mínima e máxima) 
 
 
Imínimo = 20 MPa e I máximo = 130 MPa 
 
 
Imínimo = 10 MPa e I máximo = 150 MPa 
 
 
Imínimo = 20 MPa e I máximo = 120 MPa 
 
 
Imínimo = 15 MPa e I máximo = 120 MPa 
 
 
Imínimo = 15 MPa e I máximo = 130 MPa 
 
 
 
 
 
 
2. 
 
 
Seja o estado plano de tensões tais que o ponto estudado esteja sob as condições de tensões principais. 
Sabe-se que as tensões principais valem 10 MPa e 30 MPa. Determine as coordenadas do círculo de 
Mohr associado. 
 
 
(10, 20) 
 
 
(10, 30) 
 
 
(30, 10) 
 
 
(10, 0) 
 
 
(20, 0) 
 
 
 
Explicação: 
A abscissa do centro do círculo de Mohr é a média aritmética das tensões principais e a ordenada é zero. 
Assim, Xc = (10 + 30)/2 = 20 e Yc = 0 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
3. 
 
 
Considere um ponto no estado plano de tensões tais que todas as tensões têm valor positivo, de acordo 
com a convenção, a saber: x = 110 MPa, y = 30 MPa e τ xy = 30. Determine o raio do círculo de 
Mohr associado a esse estado de tensões. 
 
 
R = 45 MPa 
 
 
R = 30 MPa 
 
 
R = 50 MPa 
 
 
R = 35 MPa 
 
 
R = 40 MPa 
 
 
 
Explicação: 
R = raiz[ ((x - y )/2)2 +( τ xy)2] 
R = raiz[ ((110 - 30 )/2)2 +(30)2] 
R = 50 MPa 
 
 
 
 
 
 
 
4. 
 
 
A respeito das tensões principais do estado plano são feitas 3 afirmativas. 
I - Na situação em que as tensões normais são as principais elas são iguais e valem a semi-soma das 
tensões normais originais; 
II - Para se determinar a expressão do ângulo principal (situação de tensões principais) basta igualar a 
zero a expressão que calcula a tensão de cisalhamento em qualquer ângulo; 
III - Utilizando o círculo de Mohr, a tensão principal máxima corresponde a soma do raio do círculo com 
a semi-soma das tensões normais originais. 
É correto afirmar que: 
 
 
Apenas II e III são verdadeiras 
 
 
Apenas III é verdadeira 
 
 
Apenas I é verdadeira. 
 
 
Todas são verdadeiras 
 
 
Apenas II é verdadeira 
 
 
 
Explicação: 
A afirmativa 1 está errada . A situação seria para cisalhamento máxima 
II e III estão corretas. 
 
 
 
 
 
 
 
 
5. 
 
 
Considere um corpo, em equilíbrio estático, sob determinado carregamento. Um ponto será estudado. 
Supondo que este ponto esteja no estado plano de tensões normal de 90 MPa e tensão cisalhante de 40 
MPa . Se o centro do círculo de Mohr para a situação descrita tem centro com coordenadas (60, 0), qual 
a equação do círculo de Mohr? 
 
 
 
(x )2 + (xy- 60)2 = 502 
 
 
(x - 120 )2 + (xy)2 = 502 
 
 
(x )2 + (xy)2 = 502 
 
 
(x - 60 )2 + (xy)2 = 502 
 
 
(x - 30 )2 + (xy)2 = 502 
 
 
 
Explicação: 
Centro (60,0) e (90,40) 
Distância entre esses pontos equivale ao raio: R2 = (60 - 90)2 + (0 - 40)2. Logo R = 50 
Equação: (x - xc )2 + (xy - yc)2 = R2 
Assim: (x - 60 )2 + (xy)2 = 50 
 
 
 
 
 
6. 
 
 
Seja um estado plano de tensões em que as tensões normais são 10 MPa e 30 MPa e a cisalhante é não 
nula. Das alternativas abaixo, qual pode representar o par de tensões principias 
 
 
10 e 30 MPa 
 
 
0 e 35 MPa 
 
 
5 e 35 MPa 
 
 
-10 e 10 MPa 
 
 
-10 e 40 MPa 
 
 
 
Explicação: 
Como a tensão cisalhante é não nula, 10 e 30 MPa não podem representar as tensões principais. Existe o 
invariante que afirma que a soma das tensões normais é constante. Assim, como a soma é 10 + 30 = 40 
MPa, basta encontrar uma alternativa em que a soma seja 40.