Prova 1 Resolvida de Cálculo 1 UnB 2019

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Universidade de Bras´ılia
Departamento de Matema´tica
Ca´lculo I - NOTURNO - Noturno - GABARITO E PAUTA
1.a Prova 1.o/2019 27/04/2019
Nome: Mat.: / Turma:
Atenc¸a˜o: As treˆs questo˜es desta prova devem ser resolvidas no local indicado apo´s cada
enunciado. Respostas sem as devidas justificativas sera˜o desconsideradas.
1) Calcule os limites abaixo.
a) [1,0] lim
x→2−
x2 − 4x + 3
2− x ;
b) [1,0] lim
x→0
sen(2x)
sen(5x)
;
c) [1,0] lim
t→+∞
√
t2 − 2t− 1
2t
;
d) [1,0] lim
z→1
√
z+ 3− 2√
z− 1 .
Soluc¸a˜o
a) lim
x→2−
x2 − 4x+ 3
2− x = −∞;
De fato, como lim
x→2−
x2 − 4x + 3 = −1 < 0 e lim
x→2−
2 − x = 0 por nu´meros positivos,
temos que o limite acima e´ −∞.
b) lim
x→0
sen(2x)
sen(5x)
= lim
x→0
sen(2x)
2x
· 5x
sen(5x)
· 2
5
=
2
5
, pelo Limite Trigonome´trico Fundamental.
c) lim
t→+∞
√
t2 − 2t− 1
2t
= lim
t→+∞
√
t2(1− 2
t
− 1
t2
)
2t
= lim
t→+∞
√
t2 ·
√
1− 2
t
− 1
t2
2t
= lim
t→+∞
|t| ·
√
1− 2
t
− 1
t2
2t
= lim
t→+∞
t ·
√
1− 2
t
− 1
t2
2t
= lim
t→+∞
√
1− 2
t
− 1
t2
2
=
√
1− 0− 0
2
=
1
2
;
d) lim
z→1
√
z + 3− 2√
z − 1 = limz→1
(
√
z + 3− 2)
(
√
z − 1) ·
(
√
z + 3 + 2)
(
√
z + 3 + 2)
·(
√
z + 1)
(
√
z + 1)
= lim
z→1
(z − 1)(√z + 1)
(z − 1)(√z + 3 + 2) =
lim
z→1
√
z + 1√
z + 3 + 2
=
2
4
=
1
2
.
Ca´lculo I Prova 1 1.o/2019 – 1/8
Pauta de correc¸a˜o
• Erros graves, respostas sem justificativas: Anular o item. Ex. Fazer uma divisa˜o por
zero, so´ colocar o valor dos limites nos itens (b),(c) ou (d) ou simplesmente escrever
−∞ no item (a), obter +∞ ou −∞ nos itens (b), (c) e (d), etc;
• Erros me´dios: -0.5pto. Escrever que sen(2x)/2x = 1 ou que sen(5x)/5x = 1 no item
(b). errar o conjugado no item (d), errar a simplificac¸a˜o dos termos da raiz no item
(b), etc;
• Erros leves:-0.25pto nos itens (a),(b),(c) e (d) esquecer de colocar o s´ımbolo de limite
(no ma´ximo um desconto por item), errar a resposta por alguma manipulac¸a˜o simples
mas ter uma argumentac¸a˜o correta, etc.
Ca´lculo I Prova 1 1.o/2019 – 2/8
2) Um paciente adulto que ingeriu um comprimido de 500mg de medicamento possui no
sangue uma quantidade q(t) de medicamento, t minutos apo´s sua absorc¸a˜o. Sabendo que
q(t) =
500
et
, para t ≥ 0, responda os itens abaixo.
a) [1,0] Determine a ass´ıntota do gra´fico de q, usando a definic¸a˜o de ass´ıntota.
b) [1,5] Determine a taxa de eliminac¸a˜o do medicamento pelo organismo, ou seja, a de-
rivada de q com respeito a t. O organismo do paciente elimina mais medicamento no
primeiro, ou no de´cimo minuto apo´s a absorc¸a˜o?
c) [0,5] Depois de quantos minutos apo´s a absorc¸a˜o o paciente tera´ 250mg de medica-
mento no sangue? Justifique.
Soluc¸a˜o e Pauta de Correc¸a˜o
(a) [1,0 ponto] Soluc¸a˜o: Observe que et > 1 para todo t > 0. Assim, q(t) na˜o tem ass´ıntotas
verticais. Como t > 0 a u´nica ass´ıntota e´ horizontal e e´ dada pela reta y = 0, pois
limt→∞ q(t) = 0, pois e
t fica ta˜o grande quanto se queira e esta´ dividindo uma constante.
(b) [1,5 ponto] Soluc¸a˜o: Usando a Regra do Quociente temos que q′(t) = −500
et
. Logo a taxa
de eliminac¸a˜o e´ dada pela relac¸a˜o q′(t) = −q(t). Observe que no instante t = 1 min
o paciente perde 500
e
e no instante t = 10 min o paciente perde 500
e10
. Logo, no instante
t = 1 a taxa de eliminac¸a˜o foi maior.
(c) [0,5 ponto] Soluc¸a˜o: Com 250 =
500
et
temos que et = 2 e portanto t = ln(2).
Pauta de correc¸a˜o
– Erros graves, respostas sem justificativas: Anular o item. Ex. So´ colocar a res-
posta da ass´ıntota no item (a); Concluir que a taxa de elminac¸a˜o em t = 1 e´ maior
do que em t = 10 sem calcular a derivada, erro grosseiro no ca´lculo da derivada
de q(t), etc:
– Erros me´dios: -0.5pto nos item (a), -0.75pto no item (b) e -0.3pto nos item. Errar
a regra do quociente, encontrar a equac¸a˜o et = 2 mas na˜o conseguir isolar o t no
item (c), etc.
– Erros leves:-0.25pto nos itens (a) e (c) e -0.5pto no item (b). Esquecer de colocar
o s´ımbolo de limite. Errar um sinal. Calcular as derivadas corretamente mas
confundir a desigualdade no item (b), etc.
Ca´lculo I Prova 1 1.o/2019 – 3/8
3) Uma pista de esqui e´ modelada pelo gra´fico da func¸a˜o
f(x) =


1
x
, 1 ≤ x ≤ 2
ax+ b, 2 < x ≤ 5,
onde a e b sa˜o constantes reais (veja a figura abaixo) que devem ser determinadas a posteriori
de modo que a pista seja suave, isto e´, devem ser escolhidas de maneira que a func¸a˜o f seja
deriva´vel em todos os pontos do intervalo (1, 5).
Com base na situac¸a˜o descrita, resolva os itens abaixo.
a) [1,0] Encontre a relac¸a˜o entre as constantes a e b
de maneira que f seja cont´ınua em x = 2. Justifique
sua resposta.
b) [1,5] Usando a definic¸a˜o, calcule as derivadas late-
rais a` esquerda, f ′
−
(2), e a` direita, f ′+(2). Determinar
a escolha de a e b tal que f seja deriva´vel em x = 2.
Justifique sua resposta.
1 2
5
1
1/2
c) [0,5] Utilize os itens anteriores para determinar o ponto (c, 0) em que a pista de esqui
corta o eixo das abcissas.
Soluc¸a˜o e Pauta de Correc¸a˜o
(a) [1,0 ponto] Soluc¸a˜o: Para f(x) ser uma func¸a˜o ser cont´ınua x = 2 deve-se ter:
f(2) =
1
2
= lim
x→2−
f(x) = lim
x→2+
f(x) = 2a+ b.
Isto e´, 4a+ 2b = 1.
(b) [1,5 ponto] Soluc¸a˜o: Veja que
f ′
−
(2) = lim
x→2−
f(x)− f(2)
x− 2 = −
1
4
,
f ′+(2) = lim
x→2+
f(x)− f(2)
x− 2 = a.
Para f(x) ser deriva´vel em x = 2, deve-se ter que a = −1
4
e portanto b = 1.
Ca´lculo I Prova 1 1.o/2019 – 4/8
(c) [0,5 ponto] Soluc¸a˜o: Dos itens anteriores, temos que f(x) e´ deriva´vel em x = 2 e portanto
a equac¸a˜o da reta tangente e´ dada por y = −x
4
+ 1 a qual corta o eixo Ox no ponto
x = 4.
Pauta de Correc¸a˜o
• Erro grave: anular o item
Exemplos de erros graves: Apenas o resultado, sem nenhuma conta, na˜o calcular ne-
nhuma das derivadas laterais, errar o ca´lculo das duas derivadas laterais, efetuar alguma
divisa˜o por zero, etc.
• Erro me´dio: -0.5pto item (a),-0.75pto item (b) e -0.3pto item(c).
Exemplos de erros me´dios: Simplificac¸o˜es indevidas. Errar o ca´lculo de uma das deri-
vadas laterais, na˜o calcular uma das duas derivadas laterais, etc.
• Erro leve: -0.25pto itens (a) e (c) e -0.5pto item (b) e
Exemplos de erros leves: Calcular corretamente as derivadas laterais mas errar o coˆm-
puto de a e b. Errar um sinal, esquecer de colocar um s´ımbolo de limite (no ma´ximo
uma penalizac¸a˜o), etc.
Ca´lculo I Prova 1 1.o/2019 – 5/8