AD2 - Gabarito

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ME´TODOS ESTATI´STICOS I
AVALIAC¸A˜O A` DISTAˆNCIA 2 (AD2)
2o Semestre de 2019
Prof. Moise´s Lima de Menezes
Gabarito
1. (5,0 pontos) Um grupo de pessoas foi pesquisado sobre gosto musical de acordoo com a sua
regia˜o de procedeˆncia. A tabela abaixo apresenta o resultado desta pesquisa.
Regia˜o
Estilo musical
Total
Samba (X) Rock (Y ) Sertanejo (Z)
Norte/Nordeste (A) 10 15 20 45
Sul (B) 15 10 5 30
Sudeste (C) 20 20 10 50
Centro-Oeste (D) 10 10 5 25
Total 55 55 40 150
Se uma pessoa desse grupo for selecionada aleatoriamente, determine a probabilidade de ela:
(a) (1,0 pt) Preferir Samba e ser da Regia˜o Sudeste;
(b) (1,0 pt) Ser da Regia˜o Sul;
(c) (1,0 pt) Ser da Regia˜o Norte/Nordeste ou preferir Sertanejo;
(d) (1,0 pt) Preferir Rock, dado que e´ da Regia˜o Centro-Oeste;
(e) (1,0 pt) Ser da Regia˜o Sudeste, dado que prefere Sertanejo.
2. (5,0 pontos) Todas as pec¸as vendidas em uma loja sa˜o provenientes de quatro fornecedores (A,
B, C e D). O fornecedor A e´ responsa´vel por 15% das pec¸as vendidas na loja. O fornecedor
B e´ responsa´vel pelo dobro das pec¸as do fornecedor A. O fornecedor C e´ responsa´vel pelo
triplo das pec¸as do fornecedor A e o fornecedor D e´ o responsa´vel pelo restante das pec¸as.
Sabe-se que, das pec¸as fornecidas por A, 3% sa˜o defeituosas. Das pec¸as fornecidas por B, 1,5%
sa˜o defeituosas. Das pec¸as fornecidas por C, 1% sa˜o defeituosas e das pec¸as fornecidas por D,
4,5% sa˜o defeituosas. A cada 15 dias, uma pec¸a dessa loja e´ selecionada aleatoriamente.
(a) (1,0 pt) Determine a probabilidade de a pec¸a ter sido fornecida por D ;
(b) (1,0 pt) Determine a probabilidade de a pec¸a ser defeituosa;
(c) (1,0 pt) Sabendo que a pec¸a e´ proveniente do fornecedor C, qual a probabilidade de ela
na˜o ser defeituosa?
(d) (1,0 pt) Sabendo que a pec¸a sorteada e´ defeituosa, qual o fornecedor mais prova´vel de ter
fornecido? Justifique com todos os ca´lculos.
(e) (1,0 pt) Sabendo que a pec¸a sorteada na˜o e´ defeituosa, qual a probabilidade de ela ter sido
fornecida por B?
1
Soluc¸a˜o:
1. (a)
P (X ∩ C) = 20
150
= 0,1333.
(b)
P (B) =
30
150
= 0,2.
(c)
P (A ∪ Z) = P (A) + P (Z)− P (A ∪ Z)
=
45
150
+
40
150
− 20
150
=
65
150
= 0,433.
(d)
P (Y |D) = P (Y ∩D)
P (D)
=
10/150
25/150
=
10
25
= 0,4.
(e)
P (C|Z) = P (C ∩ Z)
P (Z)
=
10/150
40/150
=
10
40
= 0,25.
2. Sa˜o consequeˆncia deste enunciado que:
P (A) = 0, 15, P (B) = 2P (A), P (C) = 3P (A), P (D) =?
Considere o evento E : “A pec¸a e´ defeituosa”. Com isso, temos:
P (E|A) = 0, 03⇒ P (E|A) = 0, 97;
P (E|B) = 0, 015⇒ P (E|B) = 0, 985;
P (E|C) = 0, 01⇒ P (E|C) = 0, 99;
P (E|D) = 0, 045⇒ P (E|D) = 0, 955.
(a) Como todas as pec¸as vendidas sa˜o provenientes destes 4 fornecedores, enta˜o:
P (A) + P (B) + P (C) + P (D) = 1
Temos que: P (B) = 2P (A) = 0, 30; P (C) = 3P (A) = 0, 45.
Assim,
0, 15 + 0, 30 + 0, 45 + P (D) = 1⇒ 0, 90 + P (D) = 1⇒ P (D) = 0,10.
2
(b) Pelo Teorema da Probabilidade Total
P (E) = P (A)P (E|A) + P (B)P (E|B) + P (C)P (E|C) + P (D)P (E|D)
= (0, 15× 0, 03) + (0, 30× 0, 015) + (0, 45× 0, 01) + (0, 10× 0, 045)
= 0, 0045 + 0, 0045 + 0, 0045 + 0, 0045
= 0,018.
(c) Pede-se P (E|C). Ja´ temos esta resposta.
P (E|C) = 0,99.
(d) Para saber qual o fornecedor mais prova´vel de ter produzido uma pec¸a defeituosa, e´
necessa´rio calcular a probabilidade de cada um. Ou seja:
P (A|E) = P (A)P (E|A)
P (E)
=
0, 0045
0, 018
= 0,25
P (B|E) = P (B)P (E|B)
P (E)
=
0, 0045
0, 018
= 0,25
P (C|E) = P (C)P (E|C)
P (E)
=
0, 0045
0, 018
= 0,25
P (D|E) = P (D)P (E|D)
P (E)
=
0, 0045
0, 018
= 0,25
Como todas as probabilidades sa˜o iguais, enta˜o na˜o e´ poss´ıvel saber qual e´ o forncedor mais
prova´vel.
(e)
P (B|E) = P (B)P (E|B)
P (E)
=
0, 30× 0, 985
1− 0, 018 =
0, 2955
0, 982
= 0,3009.
3