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CÁLCULO DIFERENCIAL
E INTEGRAL III
2019
Prof.a Jaqueline Luiza Horbach
Prof. Leonardo Garcia Santos
GABARITO DAS 
AUTOATIVIDADES
2
CÁLCULO DIFERENCIAL E INTEGRAL III
UNIDADE 1
TÓPICO 1
Acadêmico, um dos princípios da UNIASSELVI é “Não basta saber, é 
preciso saber fazer”. Agora chegou a sua vez de colocar em prática os 
conceitos sobre matrizes estudados neste tópico.
1 Calcular as integrais duplas: 
a)
R.: 34
R.: 112
R.: 12
b)
( )
3 2
2 0
2 6xy dydx+∫∫
( )
3 4
1 2
40 2xy dydx−∫∫
2 Um dos primeiros princípios e utilizações para as integrais múltiplas 
é o cálculo de áreas e volumes de figuras e/ou sólidos os quais 
não possuem formatos usuais. Isso pode estar fortemente ligado 
à elaboração de uma peça em um processo produtivo, ao qual 
necessitamos saber qual é a quantidade de material utilizado ou qual 
o espaço exato que esta peça ocupará dentro de um componente. 
Considere a região delimitada por x = 2, x = 8, y = 2x + 2, y = 2x.
 Faça o que se pede:
a) Construa no sistema cartesiano de coordenadas a região 
correspondente.
b) Se esta região representa a área de uma peça de viscose talhada, 
calcule esta área por meio de uma integral dupla.
3
CÁLCULO DIFERENCIAL E INTEGRAL III
b) 12
R.: 
a)
3 Assinale a opção que delimita o volume do tetraedro, dado pela 
intersecção do plano x + y + z = 1 e o primeiro octante.
a) ( x ) 1/6.
b) ( ) 1/2.
c) ( ) 1/3. 
d) ( ) 1/4.
e) ( ) 1/5. 
4
CÁLCULO DIFERENCIAL E INTEGRAL III
( ) .= ∫ ∫ ∫m
R
V F F dV
Considerando a função F(x, y, z) = x. y. z, o valor médio de F sobre o cubo 
limitado pelos planos x = 4, y = 4 e z = 4, no primeiro octante é igual a?
a) ( ) 16/3.
b) ( b ) 64/3.
c) ( ) 64. 
d) ( ) 8. 
5 Por integração dupla, a área da região limitada por y = x2 e y = √x, em 
unidades de área é igual a:
a) ( x ) 1/3.
b) ( ) 2/3.
c) ( ) 5/6.
d) ( ) 7/6.
6 Maria e José estão discutindo a lista de exercícios de integrais 
duplas e triplas para calcular o volume do sólido S obtido a partir da 
intersecção das superfícies 2x + 4y + z = 8, z = 0, y = 0 e x = 0.
• José afirma que a integral para resolver o caso é:
• Maria afirma que a integral para o caso é:
0,5 24
0 0
8 2 4 
x
x y dydx
− +
− −∫ ∫
2 42
0 0
8 2 4 
y
x y dxdy
− +
− −∫ ∫
Em relação às soluções propostas por Maria e José, julgue a verdadeira:
a) ( ) Maria está incorreta e José correto.
b) ( ) Maria está correta e José incorreto.
c) ( x ) Ambos estão corretos.
d) ( ) Ambos estão incorretos.
4 Define-se o valor médio de uma função sobre uma região R no 
espaço por
5
CÁLCULO DIFERENCIAL E INTEGRAL III
b) ( )
d) ( )
c) ( x )
( )
22
0 6
, 
x
x
f x y dxdy
−
∫ ∫
( )
2
2 6
3
, 
x
x
f x y dy dx
−
−
∫ ∫
( )
2
2 6
0
, 
x
x
f x y dy dx
−
∫ ∫
( )
2 ²
36
, 
x
x
f x y dy dx
− −
∫ ∫
7 Considere a função f(x, y), e a região D no plano, delimitada pelas retas 
x = 0, x = 6 – y e a parábola y = x2, com x > 0. Assinale a opção que 
calcula o volume abaixo da superfície de f(x, y) e acima da região D.
a) ( )
TÓPICO 2
Prezado acadêmico, chegou a hora de você testar seus conhecimentos 
sobre o cálculo dos determinantes e suas propriedades. Lápis e 
borracha em mãos e boa atividade!
1 Calcule as integrais duplas a seguir:
a)
R.:
a)
b)
22 2
2 2
0 0
 
x
x y dy dx
−
+∫ ∫
21 1
0 0
 
x
x dy dx
−
∫ ∫
2
3
π
6
CÁLCULO DIFERENCIAL E INTEGRAL III
2 Calcule as integrais triplas a seguir usando coordenadas cilíndricas:
R.:
a)
a)
b)
b)
2
2 2
2 4 2
2 2
0 0
 .
x
x y
x y dz dy dx
−
+
+∫ ∫ ∫
211
2 2
1 0 0
 .
y x
x y dz dxdy
−
−
+∫ ∫ ∫
32
40
π
2
5
3 Calcule as integrais triplas a seguir usando coordenadas esféricas:
b)
c)
a)
b)
c)
R.:
a)
 
2 2 2 , em que é o conjunto 0, 4.
D
xdxdydz D x x y z≥ + + ≤∫ ∫ ∫
 
2 2 2 , em que é o conjunto1 4 0.
D
z dxdydz D x y z e z≤ + + ≤ ≥∫ ∫ ∫
( )
 
2 2 2 2 2 2 2 2 , em que é a inteseção da semi esfera 4 0 1.
D
x y z dxdydz D x y z z comocilindro x y+ + − + + ≤ ≥ + ≤∫ ∫ ∫
16
3
π
14 
3
π
22
3
π
b)
1
3
7
CÁLCULO DIFERENCIAL E INTEGRAL III
4 Escreva uma integral dupla em coordenadas polares para calcular a 
área da região formada por x = –2, x = 2, y = 0 e x2 + y2 = 4.
R.: 2π
5 Calcular a área da região delimitada pelas curvas x2 + y2 = 9 e x2 + y2 = 1.
R.: 3π
6 Calcular o volume dado pela integral
R.:
( )
2 2
2 2
2
0 0
.
x y
x ye dydx
+
+∫ ∫
( )4 1 4
π
−e
R.:
7 Calcule o volume do sólido limitado pelo plano z = 0 e pelo 
paraboloide z = 1 – x2 – y2. Em seguida, assinale a opção que 
apresenta este valor.
e)	(				)	4π
a)	(				)	 π
c)	 (				)	 2π
d) ( x )
b) ( ) 4
π
2
π
8
CÁLCULO DIFERENCIAL E INTEGRAL III
R.:
a) b) c)
8 O sistema de coordenadas cilíndricas é muito importante, ele pode 
ser usado para simplificar os nossos estudos sobre integração 
múltipla. Este sistema foi concebido a partir da definição das 
coordenadas polares, em segunda instância, pode-se pensar nele 
como uma evolução do modelo polar adaptado para o espaço 
tridimensional. Efetuando a mudança para coordenadas cilíndricas 
ou esféricas, faça o que se pede:
a) Calcule o volume gerado pelo sólido limitado pelos planos z = –4 + 
x2 + y2 e z = 5.
b) Calcule o volume gerado pelo sólido limitado pelos planos z2 = 3 + x2 
+ y2 e z = 2.
c) Calcule o volume gerado pelo sólido limitado pelos planos z2 = 8 – x2 
– y2 e z = –2.
81
2
π 102 3
3
ππ − 32 82
3 3
ππ +
TÓPICO 3
Acadêmico, o processo de resolução de sistemas lineares pode 
parecer complicado no começo, no entanto, não desista! É normal 
escolhermos caminhos que não nos levem à resposta esperada nas 
primeiras tentativas, mas o importante é reconhecer que a escolha foi 
errada e recomeçar outra vez. Lápis, borracha e mãos à obra! 
1 Em engenharia é costumeiro não nos depararmos com superfícies 
com densidades regulares. Existe, para isto uma função f(x,y) > 0, em 
que podemos calcular a densidade de um corpo em qualquer ponto, 
chamada de função densidade. Isso auxilia muito na análise do centro 
de massa de um corpo, que é amplamente necessário no equilíbrio 
estático dos corpos na engenharia como um todo. Sendo assim:
a) Calcule as coordenadas do centro de massa de um corpo que possui 
a forma de uma lâmina triangular limitada por: x = 0, y = 4 e – 2x + y 
= 0, e que possui função densidade f(x,y) = 2xy.
9
CÁLCULO DIFERENCIAL E INTEGRAL III
R.: 16 16,
15 5
 
 
 
b) Calcular a massa total e o centro de massa de uma chapa que tem a 
forma de uma região D, limitada pela parábola y = x2, pelas retas x = 
4 e y = 0, e tem densidade δ(x,y) = x.
R.: 
16 16,
5 3
 
 
 
c) Sendo a densidade constante e igual a 4, calcule os momentos de 
inércia Ix, Iy e Iz, para a lâmina limitada por x + y = 2, x = 0 e y = 0.
R.: 16
3
d) Calcule a massa e o centro de massa quando δ(x,y) = y na região 0 ≤ 
x ≤ 1 e 0 ≤ x ≤ 1 e 0 ≤ y ≤ 1.
R.: 
1 2,
2 3
 
 
 
e) Calcule a massa e o centro de massa do conjunto de todos os 
pontos tais que 1 ≤ x2 + y2 ≤ 4 e y ≥ 0, sabendo que a densidade é 
proporcional à distância do ponto a origem.
R.: 
45 ,0
14π
 
 
 f) Sabendo que a carga elétrica distribuída sobre uma região D situada 
no retângulo de vértices (4,2), (0,2), (4,0) e (0,0) está associada a uma 
função densidade de carga definida por δ(x,y) = xy, em coulomb por 
metro quadrado (C/m²), calcule a carga total desenvolvida nesta região.
R.: 17.
UNIDADE 2
TÓPICO