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podemos determinar o trabalho 
realizado pelo campo de forças F em uma partícula que se move ao 
longo do caminho especificado. Se
( ) 21, , ,
2
F x y xy x xy = + 
 
e a partícula começa em (5, 0), percorre o semicírculo superior x2 + 
y2 = 5 e retorna ao seu ponto de partida ao longo do eixo x, então o 
trabalho realizado pelo campo de forças é:
vale para o sólido limitado pelas superfícies z = x2 + y2 e z = 4. Utilize 
algum recurso para plotar o gráfico desse sólido.
R.:	Vale	e	a	integral	é	igual	a	24π
através da superfície formada pelos planos x = 0, x = 1, y = 1, z = 0 e z = 1.
R.: 3/2
a) ( x ) 250
3
c) ( ) 151
2
b) ( ) 87
d) ( ) 127
TÓPICO 2
Acadêmico, o processo de entendimento total do conteúdo finaliza 
aqui. Utilize estas questões para realmente absorver os conteúdos 
explorados neste tópico. Bom estudo!
1 Verifique que o Teorema de Gauss do campo vetorial
( ) ( ) , , , ,F x y z x y z=

2 Calcule o fluxo exterior do campo vetorial
( ) ( ) , , , ,F x y z x y z=

29
CÁLCULO DIFERENCIAL E INTEGRAL III
3 Utilize o Teorema de Gauss para calcular o fluxo exterior de um 
campo vetorial
4 Utilize o Teorema de Gauss para calcular o fluxo exterior de um 
campo vetorial
5 Utilize o Teorema de Gauss para calcular o fluxo exterior de um 
campo vetorial
6 Usando o Teorema da divergência, calcule o fluxo de saída do campo 
vetorial
7 Usando o Teorema da divergência, calcule o fluxo de saída do campo 
vetorial
através da região limitada pelos planos x = –1, x = 1, y = –1, y = 1, z = 
–1 e z = 1.
R.: –16
através da região limitada pelo cilindro x2 + y2 ≤ 4 e os planos z = 0 e 
z = 1.
R.: 0
através da região limitada pela esfera x2 + y2 + z2 ≤ 4.
R.:	32π
através de uma superfície compreendida pelo cilindro circular x2 + y2 
= 9 e os planos z = 0 e z = 2.
R.:	132π
( ) , ,F y x z y y x= − − −

( )2 2 2 , ,F x y z=

( )2 , ,3F x xz z=

( ) 3 3 2, , F x y z x i y j z k= + +


 
( ) 2, , 2 3 F x y z xi yj z k= + +


 
30
CÁLCULO DIFERENCIAL E INTEGRAL III
através do cubo unitário, cujos vértices são (0,0,0), (1,0,0), (0,1,0), 
(1,1,0), (0,0,1), (1,0,1), (0,1,1) e (1,1,0).
R.: 6
TÓPICO 3
Acadêmico, o processo de entendimento total do conteúdo finaliza 
aqui. Utilize estas questões para realmente absorver os conteúdos 
explorados neste tópico. Bom estudo!
1 Determine o fluxo do campo vetorial
F(x,y,z) = (3z,4x,y)
considerando o paraboloide z = 4 – x2 – y2 com z ≥ 0 a superfície 
orientada para baixo.
R.:	–16π
2 Calcule a integral de linha
3 Calcule a integral de linha
usando o Teorema de Stokes, quando
usando o Teorema de Stokes, quando
e C o paraboloide z = 9 – x2 – y2 com z ≥ 0 a superfície orientada para 
cima.
R.:	18π
C
F d r
→ →
⋅∫
C
F d r
→ →
⋅∫
2 3( , , ) ( ,2 , )F x y z z x y= −

31
CÁLCULO DIFERENCIAL E INTEGRAL III
4 Utilizando o Teorema de Stokes, calcule o trabalho
5 Utilizando o Teorema de Stokes, calcule o trabalho
6 Utilizando o Teorema de Stokes, calcule o trabalho
e C é o triangulo no plano x + y + z = 1 de vértices (1, 0, 0), (0, 1, 0) e (0, 
0, 1) com orientação anti-horária.
R.: 0
numa partícula que percorre o retângulo C limitado pelos planos x = 0, 
x = 1, y = 0 e y = 2 no plano z = x + y, com orientação horária.
numa partícula que percorre o círculo C x2 + y2 = 1 com orientação 
horária.
R.: 0
realizado pelo campo vetorial
realizado pelo campo vetorial
C
W F d r
→ →
= ⋅∫
C
W F d r
→ →
= ⋅∫
C
W F d r
→ →
= ⋅∫
( ) 2 3 2, , 4 F x y z x i xy j y x k= + +


 
R.:
50
3
−
( ) 2 2, , = + +


 
F x y z xyi x j z k
32
CÁLCULO DIFERENCIAL E INTEGRAL III
numa partícula que percorre o círculo C x2 + y2 = 1 com orientação anti-
-horária.
R.: 0
realizado pelo campo vetorial
( ) 2 2, , = + +


 
F x y z xyi x j z k