Exercícios de Cálculo Diferencial e Integral III

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CÁLCULO DIFERENCIAL
E INTEGRAL III
2019
Prof.a Jaqueline Luiza Horbach
Prof. Leonardo Garcia Santos
GABARITO DAS 
AUTOATIVIDADES
2
CÁLCULO DIFERENCIAL E INTEGRAL III
UNIDADE 1
TÓPICO 1
Acadêmico, um dos princípios da UNIASSELVI é “Não basta saber, é 
preciso saber fazer”. Agora chegou a sua vez de colocar em prática os 
conceitos sobre matrizes estudados neste tópico.
1 Calcular as integrais duplas: 
a)
R.: 34
R.: 112
R.: 12
b)
( )
3 2
2 0
2 6xy dydx+∫∫
( )
3 4
1 2
40 2xy dydx−∫∫
2 Um dos primeiros princípios e utilizações para as integrais múltiplas 
é o cálculo de áreas e volumes de figuras e/ou sólidos os quais 
não possuem formatos usuais. Isso pode estar fortemente ligado 
à elaboração de uma peça em um processo produtivo, ao qual 
necessitamos saber qual é a quantidade de material utilizado ou qual 
o espaço exato que esta peça ocupará dentro de um componente. 
Considere a região delimitada por x = 2, x = 8, y = 2x + 2, y = 2x.
 Faça o que se pede:
a) Construa no sistema cartesiano de coordenadas a região 
correspondente.
b) Se esta região representa a área de uma peça de viscose talhada, 
calcule esta área por meio de uma integral dupla.
3
CÁLCULO DIFERENCIAL E INTEGRAL III
b) 12
R.: 
a)
3 Assinale a opção que delimita o volume do tetraedro, dado pela 
intersecção do plano x + y + z = 1 e o primeiro octante.
a) ( x ) 1/6.
b) ( ) 1/2.
c) ( ) 1/3. 
d) ( ) 1/4.
e) ( ) 1/5. 
4
CÁLCULO DIFERENCIAL E INTEGRAL III
( ) .= ∫ ∫ ∫m
R
V F F dV
Considerando a função F(x, y, z) = x. y. z, o valor médio de F sobre o cubo 
limitado pelos planos x = 4, y = 4 e z = 4, no primeiro octante é igual a?
a) ( ) 16/3.
b) ( b ) 64/3.
c) ( ) 64. 
d) ( ) 8. 
5 Por integração dupla, a área da região limitada por y = x2 e y = √x, em 
unidades de área é igual a:
a) ( x ) 1/3.
b) ( ) 2/3.
c) ( ) 5/6.
d) ( ) 7/6.
6 Maria e José estão discutindo a lista de exercícios de integrais 
duplas e triplas para calcular o volume do sólido S obtido a partir da 
intersecção das superfícies 2x + 4y + z = 8, z = 0, y = 0 e x = 0.
• José afirma que a integral para resolver o caso é:
• Maria afirma que a integral para o caso é:
0,5 24
0 0
8 2 4 
x
x y dydx
− +
− −∫ ∫
2 42
0 0
8 2 4 
y
x y dxdy
− +
− −∫ ∫
Em relação às soluções propostas por Maria e José, julgue a verdadeira:
a) ( ) Maria está incorreta e José correto.
b) ( ) Maria está correta e José incorreto.
c) ( x ) Ambos estão corretos.
d) ( ) Ambos estão incorretos.
4 Define-se o valor médio de uma função sobre uma região R no 
espaço por
5
CÁLCULO DIFERENCIAL E INTEGRAL III
b) ( )
d) ( )
c) ( x )
( )
22
0 6
, 
x
x
f x y dxdy
−
∫ ∫
( )
2
2 6
3
, 
x
x
f x y dy dx
−
−
∫ ∫
( )
2
2 6
0
, 
x
x
f x y dy dx
−
∫ ∫
( )
2 ²
36
, 
x
x
f x y dy dx
− −
∫ ∫
7 Considere a função f(x, y), e a região D no plano, delimitada pelas retas 
x = 0, x = 6 – y e a parábola y = x2, com x > 0. Assinale a opção que 
calcula o volume abaixo da superfície de f(x, y) e acima da região D.
a) ( )
TÓPICO 2
Prezado acadêmico, chegou a hora de você testar seus conhecimentos 
sobre o cálculo dos determinantes e suas propriedades. Lápis e 
borracha em mãos e boa atividade!
1 Calcule as integrais duplas a seguir:
a)
R.:
a)
b)
22 2
2 2
0 0
 
x
x y dy dx
−
+∫ ∫
21 1
0 0
 
x
x dy dx
−
∫ ∫
2
3
π
6
CÁLCULO DIFERENCIAL E INTEGRAL III
2 Calcule as integrais triplas a seguir usando coordenadas cilíndricas:
R.:
a)
a)
b)
b)
2
2 2
2 4 2
2 2
0 0
 .
x
x y
x y dz dy dx
−
+
+∫ ∫ ∫
211
2 2
1 0 0
 .
y x
x y dz dxdy
−
−
+∫ ∫ ∫
32
40
π
2
5
3 Calcule as integrais triplas a seguir usando coordenadas esféricas:
b)
c)
a)
b)
c)
R.:
a)
 
2 2 2 , em que é o conjunto 0, 4.
D
xdxdydz D x x y z≥ + + ≤∫ ∫ ∫
 
2 2 2 , em que é o conjunto1 4 0.
D
z dxdydz D x y z e z≤ + + ≤ ≥∫ ∫ ∫
( )
 
2 2 2 2 2 2 2 2 , em que é a inteseção da semi esfera 4 0 1.
D
x y z dxdydz D x y z z comocilindro x y+ + − + + ≤ ≥ + ≤∫ ∫ ∫
16
3
π
14 
3
π
22
3
π
b)
1
3
7
CÁLCULO DIFERENCIAL E INTEGRAL III
4 Escreva uma integral dupla em coordenadas polares para calcular a 
área da região formada por x = –2, x = 2, y = 0 e x2 + y2 = 4.
R.: 2π
5 Calcular a área da região delimitada pelas curvas x2 + y2 = 9 e x2 + y2 = 1.
R.: 3π
6 Calcular o volume dado pela integral
R.:
( )
2 2
2 2
2
0 0
.
x y
x ye dydx
+
+∫ ∫
( )4 1 4
π
−e
R.:
7 Calcule o volume do sólido limitado pelo plano z = 0 e pelo 
paraboloide z = 1 – x2 – y2. Em seguida, assinale a opção que 
apresenta este valor.
e)	(				)	4π
a)	(				)	 π
c)	 (				)	 2π
d) ( x )
b) ( ) 4
π
2
π
8
CÁLCULO DIFERENCIAL E INTEGRAL III
R.:
a) b) c)
8 O sistema de coordenadas cilíndricas é muito importante, ele pode 
ser usado para simplificar os nossos estudos sobre integração 
múltipla. Este sistema foi concebido a partir da definição das 
coordenadas polares, em segunda instância, pode-se pensar nele 
como uma evolução do modelo polar adaptado para o espaço 
tridimensional. Efetuando a mudança para coordenadas cilíndricas 
ou esféricas, faça o que se pede:
a) Calcule o volume gerado pelo sólido limitado pelos planos z = –4 + 
x2 + y2 e z = 5.
b) Calcule o volume gerado pelo sólido limitado pelos planos z2 = 3 + x2 
+ y2 e z = 2.
c) Calcule o volume gerado pelo sólido limitado pelos planos z2 = 8 – x2 
– y2 e z = –2.
81
2
π 102 3
3
ππ − 32 82
3 3
ππ +
TÓPICO 3
Acadêmico, o processo de resolução de sistemas lineares pode 
parecer complicado no começo, no entanto, não desista! É normal 
escolhermos caminhos que não nos levem à resposta esperada nas 
primeiras tentativas, mas o importante é reconhecer que a escolha foi 
errada e recomeçar outra vez. Lápis, borracha e mãos à obra! 
1 Em engenharia é costumeiro não nos depararmos com superfícies 
com densidades regulares. Existe, para isto uma função f(x,y) > 0, em 
que podemos calcular a densidade de um corpo em qualquer ponto, 
chamada de função densidade. Isso auxilia muito na análise do centro 
de massa de um corpo, que é amplamente necessário no equilíbrio 
estático dos corpos na engenharia como um todo. Sendo assim:
a) Calcule as coordenadas do centro de massa de um corpo que possui 
a forma de uma lâmina triangular limitada por: x = 0, y = 4 e – 2x + y 
= 0, e que possui função densidade f(x,y) = 2xy.
9
CÁLCULO DIFERENCIAL E INTEGRAL III
R.: 16 16,
15 5
 
 
 
b) Calcular a massa total e o centro de massa de uma chapa que tem a 
forma de uma região D, limitada pela parábola y = x2, pelas retas x = 
4 e y = 0, e tem densidade δ(x,y) = x.
R.: 
16 16,
5 3
 
 
 
c) Sendo a densidade constante e igual a 4, calcule os momentos de 
inércia Ix, Iy e Iz, para a lâmina limitada por x + y = 2, x = 0 e y = 0.
R.: 16
3
d) Calcule a massa e o centro de massa quando δ(x,y) = y na região 0 ≤ 
x ≤ 1 e 0 ≤ x ≤ 1 e 0 ≤ y ≤ 1.
R.: 
1 2,
2 3
 
 
 
e) Calcule a massa e o centro de massa do conjunto de todos os 
pontos tais que 1 ≤ x2 + y2 ≤ 4 e y ≥ 0, sabendo que a densidade é 
proporcional à distância do ponto a origem.
R.: 
45 ,0
14π
 
 
 f) Sabendo que a carga elétrica distribuída sobre uma região D situada 
no retângulo de vértices (4,2), (0,2), (4,0) e (0,0) está associada a uma 
função densidade de carga definida por δ(x,y) = xy, em coulomb por 
metro quadrado (C/m²), calcule a carga total desenvolvida nesta região.
R.: 17.
UNIDADE 2
TÓPICO1
Acadêmico, o processo de entendimento total do conteúdo finaliza 
aqui. Utilize estas questões para realmente absorver os conteúdos 
explorados neste tópico. Bom estudo!
10
CÁLCULO DIFERENCIAL E INTEGRAL III
R.:
b)
b)
c)
c)
d)
e)
a)
a)
( ) ( )f t g t+


( ) ( )f t g t−


( ) ( )f t h t⋅

( ) ( )h t g t⋅ 
( ) ( )1 1f t g t+ + −


( )( ) ( )2 2 4 2+ + − +t sen t i t t j
( )( ) ( )2 2 4 2− + − + −t sen t i t t j
( ) ( )5 3 4 22 6 8 24+ + +t t i t t j
d)
e)
( ) ( )( ) ( )3 52 6 2 12+ + − +t sen t tsen t i t t j
( ) ( )( ) ( )3 52 1 6 1 2 12+ + + + − +t sen t tsen t i t t j
2 Esboce a curva formada pela função vetorial:
a)
b)
C) para
( ) 2 4f t t i tj= +

 
( ) ( )22 1f t ti t j= + −

 
( ) ( ) ( )( )3cos , 3f t t sen t=

[ ]0,2t π∈
1 Dadas as funções vetoriais ( ) 2 4f t t i tj= +

 
, 
( ) ( ) ( )2 2g t sen t i t j= − −  e ( ) ( )32 3h t t t= + , calcule o que se 
pede:
11
CÁLCULO DIFERENCIAL E INTEGRAL III
R.: 
a)
b)
12
CÁLCULO DIFERENCIAL E INTEGRAL III
a)
3 O movimento de um besouro que desliza sobre a superfície de uma 
lagoa pode ser expresso pela função
em que m é a massa do besouro. A posição do besouro no instante de 
tempo t – π é:
( ) ( ) ( )
1 cos
2
t t sen t
g t i t j
m m
 − −
= + + 
 
 

a) ( x )
b) ( )
c) ( )
d) ( )
( )( )1 2, 2 1mm π +
( )( )1 0, 2 1mm π +
( )( )1 2, 2 1mm π −
( )( )1 0, 2 1mm π −
4 Calcule o limite a seguir:
( ) 2
0 
lim , 
t
sen t
t
t→
 
 
 
c)
13
CÁLCULO DIFERENCIAL E INTEGRAL III
a)
a)
b)
c)
d)
b)
C)
d)
e)
b)
c)
d)
R.: 
a) (1,0)
b) (1,1,1)
c) (1,3,1)
d) (0,½,0)
( ) ( )
2
3
20
lim , , cos 2t
t
te t
sen t
−
→
 
  
 
( )
2
1
lim , 8 ,cos 2
1t
t t t t
t→
 −
+ − 
3
3
1lim , , 
2 1
t
t
t tte tsen
t t
−
→∞
 +  
  −   
5 Calcule a derivadas das funções vetoriais a seguir:
( ) ( )( )2 32 3 ,1 2f t t sen t= + −
( ) ( ) ( )( )4 cos , 3 f t t sen t= + +

( ) 4 tf t i j e k= − +
   
( ) ( )2 ln 1 3tf t e i j t k= − + +
   
( ) ( )2 1 f t t i t t j tsen t kπ= + − +
   
( )( )2 36 , 3 cos 2−t t t
( ) ( )( ), cos−sen t t
( )40, 0, 4 te
( )
2 3 2 ,0,
1 3
 
⋅  + 
tt e
t
14
CÁLCULO DIFERENCIAL E INTEGRAL III
e)
a)
b)
b)
c)
c)
( ) ( )3 2 2 , , cos
2 1
π π π− + ⋅ − 
tt sen t t
t
6 Encontre a equação paramétrica da reta tangente no ponto ( )0f t

 
das funções a seguir:
( ) ( )2 02
4 , , 0, , 2f t t t t
t
 = ∈ ∞ = 
 

( ) ( ) ( )2 2 0 2 ,3 4 , 1, 5 , 2f t t t t t= − + + ∈ =

( ) ( ) ( )( ) [ ] 04 ,3 , 0, , 3f t sen t sen t t t
ππ= ∈ =

R.:
a) ( ) ( ) 4 4 ,1= + −r t t t
( ) ( )2 4 ,1 9 16= + +r t t t
( ) 3 3 3 2 3 2 ,
2 2
 
= + +  
 
r t t t
7 Uma curva é o lugar geométrico de uma função vetorial, em que 
essa função vetorial representa o vetor posição. Suponha que dois 
carros estão se movendo segundo os vetores posição
( )
2
1 2 , 2 2
tr t t
 
= + − + 
 

( ) ( )2
78 7 1 .
2
r t t i t j = − + + − + 
 

 
Sabendo o vetor posição em relação ao tempo dos dois carros, 
determine se é possível os dois carros se chocarem. 
a) ( ) Sim, quando t = 10.
b) ( ) Sim, quando t = 127.
c) ( ) Sim, quando t = 1000.
d) ( x ) Não.
15
CÁLCULO DIFERENCIAL E INTEGRAL III
a)
a)
b)
b)
b)
c)
c)
c)
d)
d)
e)
e) Será cancelada.
R.:
a)
8 Calcule a integral das funções vetoriais a seguir:
( ) ( ) ( )( )2 , , 2f t t sen t t tcos t=

( ) ( ) ( )( )4 cos , 3 f t t sen t= + +

( ) 3 5 3f t t i t j t k= − +
   
( ) ( )2 1 f t t i t t j tsen t kπ= + − +
   
( ) ( )2 ln 1 3tf t e i j t k= − + +
   
( ) ( ) ( ) ( )( )
3 1, , 2 2cos 
3 4
 
− ⋅ + 
 
tsen t tcos t t sen t t
( ) ( )( )4 , 3 cos + −t sen t t t
2 4 6
, ,
2 4 2
 
− 
 
t t t
( ) ( )
( )( )3 3
2
) cos2, 1 3 2 , 
3 15 ²
π π π
π
 − ⋅
− ⋅ +  
 
sen t t tt t t
9 Determine o vetor tangente unitário e o vetor normal unitário das 
curvas a seguir no ponto dado:
( ) ( ) ( )( ) , cos , 3 , f t t t sen t t π= =

( ) ( )2 22 ,3 4 , 2f t t t t= − + + =

( ) ( ) ( )( )4 ,3 , 2f t sen t sen t t
π
= =

16
CÁLCULO DIFERENCIAL E INTEGRAL III
R.:
a)
R.:
a) 10,52
b) 120
c) 0
10 3 10 , 0, 
10 10
 
−  
 
b)
b)
c)
b) Não existe.
5 4 5, 
5 5
 
  
 
10 Determine o comprimento de curva e a curvatura das curvas a seguir:
a) ( ) ( ) ( )( ) ( ) , cos , 3 , 5, 5f t t t sen t t= ∈ −

( ) ( ) ( )2 2) 2 ,3 4 , 1, 5b f t t t t= − + + ∈

( ) ( ) ( )( ) [ ]4 ,3 , 0,f t sen t sen t t π= ∈

11 A curva a seguir nos mostra a famosa representação gráfica da 
helicoidal:
17
CÁLCULO DIFERENCIAL E INTEGRAL III
Sua representação é dada pela seguinte parametrização: 
( ) ( ) ( )( ), ,9 .t sen t cos tγ = Sendo que se trata de uma parametrização em 
³ . Pensando agora nas parametrizações em ³ , analise as sentenças 
a seguir e as classifique em V para as verdadeiras e F para as falsas. 
Em seguida, assinale a opção correta.
( ) A parametrização (t,t2) refere-se à curva gerada pela parábola y = x2.
( ) A parametrização (2sen(t),2co s(t)) refere-se à curva gerada pela 
circunferência x2 + y2 = 2.
( ) A curva x = y2 + 1, do ponto (2,1) até (10,3) tem com parametrização 
(t2 + 1,t),	com	2	≤	t	≤	10.
( ) A parametrização da curva y = x3 pode ser vista como (t3,t3).
A sequência CORRETA é:
a) ( ) V – V – V – F.
b) ( x ) V – F – V – F.
c) ( ) V – F – F – F.
d) ( ) F – V – F – V.
12 A função vetor tangente a uma curva trata-se de um conjunto de 
vetores que indicam os sentidos que a curva toma ao longo de seu 
percurso. A imagem a seguir lida com esta definição, fazendo uma 
associação com o vetor velocidade.
2
Po
(x,y)=Po + t.v
v
É de conhecimento também que a norma do vetor tangente “mede” 
a intensidade (comprimento) do vetor tangente. Desta forma, dada 
a parametrização (sen(t), cos(t), t), assinale a opção que apresenta 
corretamente o comprimento de seu vetor tangente.
a) ( ) 1.
b) ( ) 2.
c) ( ) ½.
d) ( x ) √2..
18
CÁLCULO DIFERENCIAL E INTEGRAL III
TÓPICO 2
Acadêmico, o processo de entendimento total do conteúdo finaliza 
aqui. Utilize estas questões para realmente absorver os conteúdos 
explorados neste tópico. Bom estudo!
1 Represente graficamente os campos vetoriais a seguir.
a) F(x,y) = (x,y).
b) F(x,y) = (0,1).
c) F(x,y) = (x2,0).
R.:
a)
19
CÁLCULO DIFERENCIAL E INTEGRAL III
b)
c)
2 Calcule o gradiente e o laplaciano dos campos escalares a seguir. 
a) f(x,y) = x3y3 – xy.
b) f(x,y) = x2 + xy + y2 – 3y.
c) f(x,y) = e2x-y + 2x + 2y.
d) f(x,y,z) = x2 + 3y2 + 4z2.
e) f(x,y,z) = zex-y + z3.
f) f(x,y) = cos(x,y) + ex.
20
CÁLCULO DIFERENCIAL E INTEGRAL III
R.:
a) ( ) ( ) ( )( )2 2 2 23 1 , 3 1= − −grad F y x y x x y
b)
c)
d)
e)
f)
( ) ( )23 , 2 3= + + −graf F x y x y
( ) ( )2 22 2,2− −= + −x y x ygraf F e e
( ) ( ) 0,6=graf F y
( ) ( )( ) , , 3 ²− − −= − +x y x y x ygraf F ze z e e z
( ) ( ) ( )( ), = − −xgraf F e ysen xy xsen xy
R.:
a)
b)
c)
d)
e)
f)
g)
3 Encontre a função f(x,y) cujo gradiente é ( ) ( ), 2 ,3f x y x xy∇ = .
( )
2
2 3, ,
2
 
=  
 
yF x y x
4 Calcule o rotacional e o divergente dos campos vetoriais a seguir.( ) 2 2,F x y x i y j= +
 
( ) ( )2, , .F x y xy x= −
( ), , .F x y z yz i xzj xyk= + +

 
( ) 2 2 2 2, .
y xF x y i j
x y x y
−
= +
+ +
 
( ) ( ) ( )( ), , 1, , .F x y z sen z ycos z=
( ) ( ) , , , , . yz yz yzF x y z e xze xye=
( , , ) ( , , ).F x y z y x z= −
21
CÁLCULO DIFERENCIAL E INTEGRAL III
R.:
a) div(F) = 1
b) div(F) = 2x + 2y
c) div(F) = y
d) div(F) = 0
e) div(F) = 0
f) div(F) = –ysen(z)
g) div(F) = xeyz(y2 + z2)
5 Um dos campos mais utilizados é campo radial F(x,y) = (x,y) ou 
F(x,y,z) = (x,y,z), calcule o divergente e o rotacional desses campos.
 
R: Divergente 2 e Rotacional zero.
6 Quais dos campos vetoriais da Questão 2 são conservativos? 
R.: Letra D.
7 Verifique que dados dois campos vetoriais F e G então vale que
rot(F + G) = rot(F) + rot(G)
e
div(F + G) = div(F) + div(G)
R.: Verdadeira.
8 Os campos vetoriais são altamente utilizados no estudo do 
comportamento de forças em um espaço. O campo vetorial a seguir 
é dado pela função ( ),F x y yi xj= − +

 
.
22
CÁLCULO DIFERENCIAL E INTEGRAL III
Acerca deste campo vetorial, podemos afirmar que:
a) ( ) O campo rotacional gerado por ele é nulo.
b) ( x ) Seu divergente é nulo.
c) ( ) Ele pode ser chamado de campo radial.
d) ( ) Possui gradiente igual à própria característica do vetor.
9 No cálculo vetorial, o gradiente (ou vetor gradiente) é um vetor que 
indica o sentido e a direção na qual, por deslocamento a partir do 
ponto especificado, obtém-se o maior incremento possível no valor 
de uma grandeza a partir da qual se define um campo escalar para o 
espaço em consideração. Em particular, pode-se descrever um campo 
de temperaturas, conforme o GRADIENTE DE TEMPERATURAS.
Assim, dado o campo escalar T(x,y,z) = x2y + y3z, analise as sentenças 
e assinale a opção CORRETA:
I- O gradiente de temperatura, aponta para a direção de maior taxa de 
variação da temperatura.
II- O gradiente de temperatura é a função ( ) ( )2 22 3 ³T xy i x y z j y k∇ = + + +
 
 
.
III- O gradiente aplicado no ponto P(1,2,1) é o vetor (4,3,2).
IV- O gradiente aplicado no ponto P(1,2,1) é o vetor (4,13,8).
a) ( ) I e II estão corretas.
b) ( ) II e III estão corretas.
c) ( x ) I, II e IV estão corretas.
d) ( ) III e IV estão corretas.
10 Em matemática um campo vetorial ou campo de vetores é uma 
construção em cálculo vetorial que associa um vetor a todo ponto 
de uma variedade diferenciável (como um subconjunto do espaço 
euclidiano, por exemplo). Isso é, um campo de vetores é uma função 
vetorial que associa um vetor a cada ponto P(x,y,z) do espaço xyz.
23
CÁLCULO DIFERENCIAL E INTEGRAL III
CAMPO VETORIAL: ( ) ( )2 3 ²F x y i y zx j z k= + − +

Sabemos que existem campos especiais que podem ser calculados a 
partir de um campo vetorial, que é o divergente e o rotacional. Sendo 
assim, analise as sentenças como V (verdadeiro) ou F (falso) e em 
seguida, assinale a opção CORRETA.
( ) O divergente deste campo é dado por (–x)i + (–z – x2)k.
( ) O rotacional, indica que um corpo que entra neste campo não possui 
rotação em torno do próprio eixo na direção de j (eixo y).
( ) O rotacional deste campo aplicado no ponto (1,2,2) é rotF = –1i – 3k.
(			)	O	divergente	determina	o	fluxo	pontual	deste	campo	em	uma	unidade	
de volume.
a) ( x ) V – V – F – V.
b) ( ) V – F – V – F.
c) ( ) F – F – V – V.
d) ( ) V – V – V – V.
TÓPICO 3
Acadêmico, o processo de entendimento total do conteúdo finaliza 
aqui. Utilize estas questões para realmente absorver os conteúdos 
explorados neste tópico. Bom estudo!
1 Calcule as integrais de linha das funções escalares a seguir. 
a)
b)
( ) ( )( )
3 
3 , 0 2
x t t
y ds com t para t
y t tγ
γ
 == ≤ ≤ =
∫
 
2 2 2b) 2 1. x y ds com ametade superior docirculounitário x y
γ
γ+ + =∫
R.:
a) 32,3
b) 6,9
24
CÁLCULO DIFERENCIAL E INTEGRAL III
2 Um aro circular de raio 1 rola sem deslizar ao longo de uma linha 
reta. Calcule o comprimento da trajetória descrita por um ponto do 
aro entre dois contatos consecutivos com o solo. Note que a curva 
que parametriza esse caminho é y(t) = (–sen(t),–cos(t) com 0 ≤ t ≤ 2π.
a)
b)
c)
d)
R.: 2π
y
x0 S
S
2π
3 Calcule a massa de uma bobina de mola descrita por y(t) = cos(t), 
sen(t),t), cuja densidade no ponto (x,y,z) é x2 + y2 + z2.
R.: 420,48
4 Calcule a massa de um fio com forma de uma hélice com equações 
paramétricas x = 3cos(t), y = 3sen(t) e z = 4t com 0 ≤ t ≤ 
2
π , sendo a 
função de densidade
( ) 2, , .1
xF x y y
y
=
+
R.: 8,88
5 Calcule a integral de linha sobre o caminho y(t) = (t,t,t) para 0 ≤ t ≤ 1 
dos campos vetoriais a seguir.
( ) ( ), , 3 , 2 , 4F x y z y x z=
( ) 2
1, , 0, ,0
1
F x y z
x
 =  + 
( ) ( ), , , 2 , .F x y z z x y= −
( ) ( ), , , , F x y z xy yz xz=
25
CÁLCULO DIFERENCIAL E INTEGRAL III
e) ( ) ( )2, , 3 3 ,3 ,1 .F x y z x x z= −
R.:
a) 4,5
b) π/4
c) 1/3
d) 1
e) 2
R.:
a) 48
b) 24
c) π/2
6 Calcule a integral de linha a seguir. 
a)
b)
c)
( ) ( ) ( ) ( )2, , 4 ,8 , 2 , ,1 0 2.F x y z xy y e t t t com tγ= − = ≤ ≤
( ) ( ) ( ) ( )2 2, , , , 0, 3 , 4 0 1.F x y z x yz y e t t t com tγ= = ≤ ≤
( ) ( ) ( ) ( ) ( )( ), , ,0, cos , 0, 0 .F x y z x y x e t t sen t com tγ π= − = ≤ ≤
7 Encontre o trabalho realizado pela força F(x,y) = (xy,y – x) sobre o 
segmento de reta que liga os pontos (1,1) e (2, 3).
R.: 25/6
8 Encontre o escoamento do campo de velocidade F(x,y) = (x + y, –x2 
–y2 ao longo do segmento de reta que liga os pontos (1,0) e (-1,0).
R.: 4
9 Um arame tem a forma curva dada pela curva parametrizada
( )
( )
( )
( )
1 cos
2 
1 cos
t
t sen t
t
γ
 +

= 
 −
26
CÁLCULO DIFERENCIAL E INTEGRAL III
para 0 ≤ t ≤ π. Sabendo que a densidade em cada ponto do arame é 
dada por f(x,y,z) = xy.
Podemos afirmar que a massa total do arame é:
a) ( ) 2 u.m.
b) ( x ) 4 u.m.
c) ( ) 6 u.m. 
d) ( ) 8 u.m.
10 Calcule o trabalho realizado pela partícula na trajetória indicada.
 
2 y dx xdy
γ
+∫
onde y é o segmento de reta que liga (1,2) até (4,8).
Podemos afirmar que a massa total do arame é:
a) ( ) 12.
b) ( ) 45.
c) ( ) 69.
d) ( x ) 94.
UNIDADE 3
TÓPICO 1
Acadêmico, o processo de entendimento total do conteúdo finaliza 
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explorados neste tópico. Bom estudo!
1 Calcule a integral de linha:
Pelo método direto e depois compare com a utilização do Teorema de 
Green, sabendo que C é o caminho fechado entre as curvas y = x2 e y 
= x no sentido anti-horário.
2
C
x dx y dy+∫
27
CÁLCULO DIFERENCIAL E INTEGRAL III
4 Sabemos que o trabalho realizado por um campo de forças sobre 
uma partícula é dado pela integral de linha sobre uma curva 
parametrizada. Podemos então afirmar que o trabalho realizado pelo 
campo de forças
2 Usando o Teorema de Green, determine:
3 Podemos utilizar o Teorema de Green para calcular,
onde C é a curva fechada formada por y = 0, x = 1, y = 1 e x = 0, no 
sentido anti-horário.
onde C é a circunferência x2 + y2 = 1 no sentido anti-horário? Utilize a 
forma parametrizada para calcular este caso.
em uma partícula que percorre uma vez o círculo x2 + y2 = 1 no sentido 
anti-horário é
R.:
R.: 1
R.: Sim, e a integral é igual a 0.
1
12
−
2
2 ( )1C
x yI dx arctg x dy
x
= +
−∫
2 2 2 2
C
y xdx dy
x y x y
+
+ +∫
( ) ( )( )3 3, ( ) cosxF x y e y i y x j= − + +
a) ( ) 
2
π
b) ( x ) 3
2
π
d) ( ) 3
2
c)	(				)	π
28
CÁLCULO DIFERENCIAL E INTEGRAL III
5 Usando o Teorema de Green,podemos determinar o trabalho 
realizado pelo campo de forças F em uma partícula que se move ao 
longo do caminho especificado. Se
( ) 21, , ,
2
F x y xy x xy = + 
 
e a partícula começa em (5, 0), percorre o semicírculo superior x2 + 
y2 = 5 e retorna ao seu ponto de partida ao longo do eixo x, então o 
trabalho realizado pelo campo de forças é:
vale para o sólido limitado pelas superfícies z = x2 + y2 e z = 4. Utilize 
algum recurso para plotar o gráfico desse sólido.
R.:	Vale	e	a	integral	é	igual	a	24π
através da superfície formada pelos planos x = 0, x = 1, y = 1, z = 0 e z = 1.
R.: 3/2
a) ( x ) 250
3
c) ( ) 151
2
b) ( ) 87
d) ( ) 127
TÓPICO 2
Acadêmico, o processo de entendimento total do conteúdo finaliza 
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explorados neste tópico. Bom estudo!
1 Verifique que o Teorema de Gauss do campo vetorial
( ) ( ) , , , ,F x y z x y z=

2 Calcule o fluxo exterior do campo vetorial
( ) ( ) , , , ,F x y z x y z=

29
CÁLCULO DIFERENCIAL E INTEGRAL III
3 Utilize o Teorema de Gauss para calcular o fluxo exterior de um 
campo vetorial
4 Utilize o Teorema de Gauss para calcular o fluxo exterior de um 
campo vetorial
5 Utilize o Teorema de Gauss para calcular o fluxo exterior de um 
campo vetorial
6 Usando o Teorema da divergência, calcule o fluxo de saída do campo 
vetorial
7 Usando o Teorema da divergência, calcule o fluxo de saída do campo 
vetorial
através da região limitada pelos planos x = –1, x = 1, y = –1, y = 1, z = 
–1 e z = 1.
R.: –16
através da região limitada pelo cilindro x2 + y2 ≤ 4 e os planos z = 0 e 
z = 1.
R.: 0
através da região limitada pela esfera x2 + y2 + z2 ≤ 4.
R.:	32π
através de uma superfície compreendida pelo cilindro circular x2 + y2 
= 9 e os planos z = 0 e z = 2.
R.:	132π
( ) , ,F y x z y y x= − − −

( )2 2 2 , ,F x y z=

( )2 , ,3F x xz z=

( ) 3 3 2, , F x y z x i y j z k= + +


 
( ) 2, , 2 3 F x y z xi yj z k= + +


 
30
CÁLCULO DIFERENCIAL E INTEGRAL III
através do cubo unitário, cujos vértices são (0,0,0), (1,0,0), (0,1,0), 
(1,1,0), (0,0,1), (1,0,1), (0,1,1) e (1,1,0).
R.: 6
TÓPICO 3
Acadêmico, o processo de entendimento total do conteúdo finaliza 
aqui. Utilize estas questões para realmente absorver os conteúdos 
explorados neste tópico. Bom estudo!
1 Determine o fluxo do campo vetorial
F(x,y,z) = (3z,4x,y)
considerando o paraboloide z = 4 – x2 – y2 com z ≥ 0 a superfície 
orientada para baixo.
R.:	–16π
2 Calcule a integral de linha
3 Calcule a integral de linha
usando o Teorema de Stokes, quando
usando o Teorema de Stokes, quando
e C o paraboloide z = 9 – x2 – y2 com z ≥ 0 a superfície orientada para 
cima.
R.:	18π
C
F d r
→ →
⋅∫
C
F d r
→ →
⋅∫
2 3( , , ) ( ,2 , )F x y z z x y= −

31
CÁLCULO DIFERENCIAL E INTEGRAL III
4 Utilizando o Teorema de Stokes, calcule o trabalho
5 Utilizando o Teorema de Stokes, calcule o trabalho
6 Utilizando o Teorema de Stokes, calcule o trabalho
e C é o triangulo no plano x + y + z = 1 de vértices (1, 0, 0), (0, 1, 0) e (0, 
0, 1) com orientação anti-horária.
R.: 0
numa partícula que percorre o retângulo C limitado pelos planos x = 0, 
x = 1, y = 0 e y = 2 no plano z = x + y, com orientação horária.
numa partícula que percorre o círculo C x2 + y2 = 1 com orientação 
horária.
R.: 0
realizado pelo campo vetorial
realizado pelo campo vetorial
C
W F d r
→ →
= ⋅∫
C
W F d r
→ →
= ⋅∫
C
W F d r
→ →
= ⋅∫
( ) 2 3 2, , 4 F x y z x i xy j y x k= + +


 
R.:
50
3
−
( ) 2 2, , = + +


 
F x y z xyi x j z k
32
CÁLCULO DIFERENCIAL E INTEGRAL III
numa partícula que percorre o círculo C x2 + y2 = 1 com orientação anti-
-horária.
R.: 0
realizado pelo campo vetorial
( ) 2 2, , = + +


 
F x y z xyi x j z k