calculo de lajes, exercicios resolvidos

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CURSO SOBRE A NBR 6118:2003 – CONCRETO ARMADO 
AULA 9 – DIMENSIONAMENTO DE LAJES - EXEMPLOS RESOLVIDOS 
 
1
1
Exemplo resolvido 1 – Verificação da necessidade de 
armadura de cisalhamento 
Neste exemplo será feita a verificação da necessidade de armadura de cisalhamento em uma laje usual 
de edifício. A laje de vãos 3m por 4m está representada na Figura 1. Os apoios serão consideradas como 
apoios simples e perfeitamente engastados, sem deslocabilidade vertical. A laje vai estar submetida a uma 
combinação última normal (ELU) de 8,4 kN/m2. 
ƒ Dados do problema: 
 
Figura 1 - Laje de 3m x 4m. 
A laje tem uma espessura de 8 cm, e um fck de 20 MPa. A altura útil estimada para essa laje é de 6 cm. 
ƒ Esforço cortante de cálculo máximo Vd 
As reações de apoio dessa laje foram calculadas usando as prescrições do ítem 14.7.6.1 b). As 
inclinações das charneiras plásticas para o cálculo das reações estão na Figura 2. A máxima reação de 
apoio corresponde à reação do lado engastado maior com um valor de 9,97 kN/m. 
 
Figura 2 - Esforço Cortante de Cálculo Máximo. 
Portanto: 
m
mmkN
L
Aq
Vd 4
9,1
2
14
4,8 22 ⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡ ⋅⎟⎠
⎞⎜⎝
⎛ +⋅
=⋅= 
Vd = 9,97 kN ( na seção do apoio, ao longo de 1m) 
 
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2
2
 
ƒ Resistência de projeto ao cisalhamento VRd1 
Esse valor deve ser comparado com a resistência de projeto ao cisalhamento VRd1 que é dada por: 
VRd1 = [τRd k (1,2+40 ρ1) + 0,15 σcp ].bwd 
No caso do exemplo: 
τRd = 0,25.fctd = 0,25. fctk,inf/γc =0,25. 0,7.0,3. fck 2/3 / 1,4 = 0,276 MPa = 276 kN/m2. 
k = 1 (admitindo que só metade da armadura inferior chega a apoio) 
ρ1 = 0,0015 (admitindo armadura mínima no negativo) 
σcp = 0 (não existe força normal atuando na laje) 
d = 0,06 m 
 bw = 1 m 
Logo: 
( )[ ] 06,010015,0402,112761 ⋅⋅⋅+⋅=RdV 
VRd1 = 20,87 kN (ao longo de 1 metro) 
 
Ou seja: 
 Vd << VRd1 Æ A laje possui segurança adequada em relação ao ELU de força cortante. 
Deve-se notar que, mesmo adotando valores para k e para ρ1 mínimos, o valor de VRd1 foi muito superior 
ao necessário. 
 
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3
3
Exemplo resolvido 2 – Avaliação da abertura de 
fissuras 
Será avaliada a abertura de fissura de uma laje unidirecional de concreto de um edifício residencial. 
ƒ Dados do problema: 
Vão de 5 m; 
Concreto C-20 (fck = 20 MPa); 
Aço CA-50; 
Altura h = 12 cm. 
As cargas permanentes que atuam na laje são de 4,0 kN/m e as acidentais de 3,2 kN/m. 
O cobrimento adotado foi de 2 cm, e para a armadura principal foi prevista a utilização de barras de 
bitola 10 mm. 
A análise estrutural dessa laje forneceu, para a seção crítica: Mgk = 12,5 kN.m; Mqk = 10,0 kN.m. 
ƒ Momento de cálculo para o ELU: 
Md = Mk.γf = (Mgk+Mqk).γf = (12,5+10).1,4 = 31,5 kN.m 
ƒ Altura útil estimada: 
d = h- c - φ/2 = 12 – 2 – 1/2 = 9,5 cm 
ƒ Posição da linha neutra: 
O dimensionamento, no ELU, forneceu a seguinte posição da linha neutra: 
⎟⎟
⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜
⎜⎜
⎝
⎛
⋅⋅⋅
−−⋅⋅=⎟⎟⎠
⎞
⎜⎜⎝
⎛
⋅⋅⋅−−⋅⋅=
4,1
0,2
5,9100425,0
3150
115,925,1
425,0
1125,1
22 cdw
d
fdb
M
dx 
 x = 4,13 cm. 
Como o aço empregado é CA-50, temos que x2-3=0,259.d = 2,46 cm e x3-4=0,628.d = 5,97 cm e estes 
são, respectivamente, os limites dos domínios 2 e 3, como mostrado na Figura 3. Assim, a peça está no 
Domínio 3. 
 
Figura 3 – Limites entre os domínios 2 e 3. 
 
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4
4
ƒ Área de armadura correspondente: 
( ) ( )
223,9
13,44,05,9
15,1
50
3150
4,0
cm
xdf
M
A
yd
d
s =
⋅−⋅⎟⎠
⎞⎜⎝
⎛=−⋅= 
ƒ Detalhamento: 
Adotando φ10 mm (0,8 cm2) dispostos a cada s=8,5 cm tem-se a armadura efetiva As= 9,41 cm2/m. A 
Figura 4 mostra o detalhe dessa laje. 
 
Figura 4 - Seção transversal da faixa de 1 m da laje 
 
A seguir são apresentados os passos necessários para a determinação da abertura de fissuras: 
 
ƒ 1. Momento em serviço para combinação freqüente de ações: 
Obtido com fator da combinação ψ1= 0,4 , resulta: 
Md,ser = Mgk+ψ1.Mqk → Mk,ser = 12,5 + 0,4 (10,0) = 16,5 kN.m 
 
ƒ 2. Relação dos módulos do aço e do concreto 
204760
210000
⋅== cs
s
e E
Eα 
865,9=eα 
 
ƒ 3. Linha neutra em serviço (Estádio II) 
⎥⎥⎦
⎤
⎢⎢⎣
⎡
⋅
⋅⋅++−⋅=
⎥⎥⎦
⎤
⎢⎢⎣
⎡ ++−=
41,9865,9
5,91002
11.
100
41,9865,9
.
..2
11.
.
se
w
w
se
II A
db
b
A
x α
α
 
cmxII 37,3= 
 
 
 
8,5 
0,5 
8,5 8,5 8,5 
9,5 
8,5 
2 
 
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5
5
ƒ 4. Tensão na armadura 
2, /933,20
41,9.
3
37,3
5,9
1650
.
3
mkN
A
x
d
M
s
II
serd
s =
⎟⎠
⎞⎜⎝
⎛ −
=
⎟⎠
⎞⎜⎝
⎛ −
=σ 
MPas 33,209=σ 
 
ƒ 5. Área para a fissuração 
))1(82.(100).8.( +=+= φcBA crcr 
21000cmAcr = 
 
ƒ 6. Taxa de armadura para a fissuração 
1000
41,9==
cr
s
r A
Aρ 
00941,0=rρ 
 
ƒ 7. Resistência à tração do concreto para abertura de fissura 
Usa-se o valor médio fctm=0,3.fck2/3 [MPa] : 
MPaf mct 21,220.3,0
3/2
, == 
 
ƒ 8. Estimativa da abertura de fissura 
Usando φ (em mm) e 1η =2,25 da Tabela 8.2 da NBR 6118:2003: 
⎟⎠
⎞⎜⎝
⎛ +⋅=⎟⎟⎠
⎞
⎜⎜⎝
⎛ += 45
00941,0
4
.
000.210
33,209
.
25,25,12
10
45
4
..
.5,12 1
1
rs
s
E ρ
σ
η
φω = 0,17 mm 
⎟⎠
⎞⎜⎝
⎛ ⋅⋅⋅⋅=⎟⎟⎠
⎞
⎜⎜⎝
⎛⋅⋅=
21,2
33,2093
000.210
33,209
25,25,12
10.3
.5,12 ,1
2
mct
s
s
s
fE
σσ
η
φω = 0,10 mm 
 
Verifica-se que o valor de abertura de fissura dessa laje será de 0,10 mm e assim respeita os limites 
para qualquer classe de agressividade mostrada na Tabela 13.3 da norma. 
Quando o valor da abertura de fissura for excessivo pode-se alterar a armadura, usando bitolas 
menores, ou aumentar as dimensões da peça para reduzir a tensão em serviço e assim diminuir a abertura 
de fissura esperada. 
 
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6
6
Exemplo resolvido 3 – Avaliação da deformação 
excessiva em laje unidirecional 
 
Este exemplo vai mostrar a verificação da flecha em uma laje de concreto bi-apoiada (unidirecional), 
com um vão de cálculo de 4 metros, altura de 10 cm, que usa concreto C-20 e aço CA-50. Para essa 
verificação vai-se utilizar uma faixa de laje com largura de 1m. 
O cobrimento é de 2 cm, adotado de acordo com a classe de agressividade ambiental do local da 
obra. 
 
ƒ Cargas 
- permanentes: mkNhg c /5,2251,0 =⋅=⋅= γ 
- acidental de 3,0 kN/m2 (NBR 6120 - escola) 
Obs: Nesse caso não foi previsto nenhum carregamento devido ao revestimento. 
 
ƒ Momento de cálculo para o ELU 
Md = Mk.γf = (Mgk+Mqk).γf 
( )
mkNMk .0,118
40,35,2 2 =⋅+= 
mkNMd .4,154,10,11 =⋅= 
 
ƒ Dimensionamento no ELU: 
Altura útil, admitindo φ=10 mm: 
d2 = c + φL/2 = 2 + 1/2 = 2,50 cm e; 
d = h – d2 = 10 - 2,50 = 7,50 cm 
Linha neutra: 
⎟⎟
⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜
⎜⎜
⎝
⎛
⋅⋅⋅
−−⋅⋅=⎟⎟⎠
⎞
⎜⎜⎝
⎛
⋅⋅⋅−−⋅⋅=
4,1
0,2
5,7100425,0
1540
115,725,1
425,0
1125,1
22 cdw
d
fdb
M
dx 
 x = 2,43 cm. 
Assim como no exemplo anterior, temos que o limite entre os domínios 2 e 3 é: x2-3=0,259.d = 1,94 cm 
e o limite entre os domínios 3 e 4 é: x3-4 = 0,628.d = 4,71 cm. Logo o dimensionamento se dará no 
Domínio 3. 
Armadura calculada: 
 
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7
7
( ) ( )43,24,05,7
15,1
50
1540
4,0 ⋅−⋅⎟⎠
⎞⎜⎝
⎛=−⋅= xdf
M
A
yd
d
s 
As = 5,43 cm2 
Armadura adotada: φ 10 c.15 (5,33 cm2/m) 
 
ƒ Momento em serviço 
O momento em serviço é obtido com o fator ψ2 = 0,4 (Combinação Quase-permanente) da tabela 11.2 
da norma: 
( )
mkNM serd .4,78
40,34,05,2 2
, =⋅⋅+= 
 
ƒ Avaliação do estádio a considerar : 
1) Linha neutra em serviço (Estádio II): 
Armadura adotada: 
As = 5,33 cm2/m 
 
Taxa de armadura: 
db
A
w
s
d .
=ρ 0071,0
)5,7.(100
33,5 ==dρ 
 
Relação dos módulos do aço e do concreto: 
cs
s
e E
E=α Æ 865,9
20.4760
210000 ==eα 
Assim: 
⎥⎥⎦
⎤
⎢⎢⎣
⎡
⋅++−
⋅=⎥⎥⎦
⎤
⎢⎢⎣
⎡ ++−=
0071,0865,9
2
11.
100
33,5865,9
.
2
11.
.
dew
se
II b
A
x ρα
α
 
cmxII 33,2= 
 
2) Inércia no estádio II: 
2
3
2
3
)33,25,7(33,5865,9
3
33,2100
).(.
3
. −⋅⋅+⋅=−+= IIseIIwII xdAxbI α 
41827cmIII = 
 
 
 
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8
8
3) Resistência à tração do concreto: 
3/2
, .3,0 ckmct ff = = 2,21 MPa 
 
4) Inércia da seção de concreto no estádio I: 
12
10100
12
. 33 ⋅== hbI wc 
Ic = 8333 cm4 
 
5) Momento de fissuração: 
5
8333.221,0
.5,1. , ==
t
cmct
r y
If
M α 
Mr = 553 kN.cm 
Onde α = 1,5 para a seção retangular, e yt = h – x = 10 – 5 = 5 cm 
 
Como Md,ser > Mr a flecha imediata deve ser calculada usando a Inércia equivalente (EI)eq obtida do item 
17.3.2.1.1 da norma. 
 
ƒ Determinação da rigidez equivalente: 
( )
⎪⎭
⎪⎬
⎫
⎪⎩
⎪⎨
⎧
⎥⎥⎦
⎤
⎢⎢⎣
⎡
⎟⎟⎠
⎞
⎜⎜⎝
⎛−+⎟⎟⎠
⎞
⎜⎜⎝
⎛= II
a
r
c
a
r
cseq IM
M
I
M
M
EEI
33
1 
( )
⎪⎭
⎪⎬
⎫
⎪⎩
⎪⎨
⎧
⎥⎥⎦
⎤
⎢⎢⎣
⎡ ⎟⎠
⎞⎜⎝
⎛−+⎟⎠
⎞⎜⎝
⎛= 1827.
4,7
53,5
18333.
4,7
53,5
2129
33
eqEI 
( ) 96656604540.2129]1827).583,0(8333).417,0[(2129 ==+=eqEI kN.cm2 
 
ƒ Cálculo da flecha imediata: 
1) Carga em serviço: 
34,05,22 ⋅+=⋅+= qgpser ψ = 3,7 kN/m = 0,037 kN/cm 
 
2) Flecha equivalente: 
cm
EI
Lp
a
eq
ser
eq 276,19665660
400.037,0
.
384
5
)(
.
.
44
0 === β 
β depende da vinculação sendo
384
5
 para viga bi-apoiada. 
 
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9
9
 
ƒ Valor da flecha final (diferida no tempo): 
O valor da flecha final, com a consideração do item 17.3.2.1.2 da norma, para um tempo de desforma 
de 15 dias fica: 
( ) cmaaa eqffinal 14,3276,146,21 0 =⋅=⋅+== α 
 
ƒ Conclusão 
O limite para a flecha final para a razão visual, segundo a Tabela 13.2: L/250 = 400/250 = 1,6cm 
O valor de uma contra-flecha mínima, nesse caso, é de CF = 3,14 – 1,6 = 1,54cm. Como L/350 = 
1,43cm é o limite recomendado para a contra-flecha, a flecha final, mesmo com contra-flecha superaria ao 
limite para percepção visual. A solução é aumentar a altura da laje. 
 
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10
Exemplo resolvido 4 – Avaliação da deformação 
excessiva em laje unidirecional 
 
Este exemplo vai mostrar a verificação da flecha em uma laje de concreto bi-apoiada (unidirecional), 
com um vão de cálculo de 4 metros, altura de 10 cm, que usa concreto C-25 e aço CA-50. Para essa 
verificação vai-se utilizar uma faixa de laje com largura de 1m. 
O cobrimento é de 2,5 cm, adotado de acordo com a classe de agressividade ambiental do local da 
obra. 
 
ƒ Cargas 
- permanentes: mkNhg c /5,22510,0 =⋅=⋅= γ 
- acidental de 3,0 kN/m2 (NBR 6120 - escola) 
Obs: Nesse caso não foi previsto nenhum carregamento devido ao revestimento. 
 
ƒ Momento de cálculo para o ELU 
Md = Mk.γf = (Mgk+Mqk).γf 
( )
mkNMk .0,118
40,35,2 2 =⋅+= 
mkNMd .4,154,10,11 =⋅= 
 
ƒ Dimensionamento no ELU: 
Altura útil, admitindo φ=10 mm: 
d2 = c + φL/2 = 2,5 + 1/2 = 3,0 cm e; 
d = h – d2 = 10 - 3,0 = 7,0 cm 
Linha neutra: 
⎟⎟
⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜
⎜⎜
⎝
⎛
⋅⋅⋅
−−⋅⋅=⎟⎟⎠
⎞
⎜⎜⎝
⎛
⋅⋅⋅−−⋅⋅=
4,1
5,2
0,7100425,0
1540
110,725,1
425,0
1125,1
22 cdw
d
fdb
M
dx 
 x = 2,05 cm. 
Assim como no exemplo anterior, temos que o limite entre os domínios 2 e 3 é: x2-3=0,259.d = 1,81 cm 
e o limite entre os domínios 3 e 4 é: x3-4 = 0,628.d = 4,40 cm. Logo o dimensionamento se dará no 
Domínio 3. 
Armadura calculada: 
 
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11
11
( ) ( )05,24,00,7
15,1
50
1540
4,0 ⋅−⋅⎟⎠
⎞⎜⎝
⎛=−⋅= xdf
M
A
yd
d
s 
As = 5,73 cm2 
Armadura adotada: φ 10 c.13 (6,28 cm2/m) 
 
ƒ Momento em serviço 
O momento em serviço é obtido com o fator ψ2 = 0,4 (Combinação Quase-permanente) da tabela 11.2 
da norma: 
( )
mkNM serd .4,78
40,34,05,2 2
, =⋅⋅+= 
 
ƒ Avaliação do estádio a considerar : 
1) Linha neutra em serviço (Estádio II): 
Armadura adotada: 
As = 6,28 cm2/m 
 
Taxa de armadura: 
db
A
w
s
d .
=ρ 0090,0
)5,7.(100
28,6 ==dρ 
 
Relação dos módulos do aço e do concreto: 
cs
s
e E
E=α Æ 824,8
23800
210000
25.4760
210000 ===eα 
Assim: 
⎥⎥⎦
⎤
⎢⎢⎣
⎡
⋅++−
⋅=⎥⎥⎦
⎤
⎢⎢⎣
⎡ ++−=
0090,0824,8
2
11.
100
28,6824,8
.
2
11.
.
dew
se
II b
A
x ρα
α
 
cmxII 29,2= 
 
2) Inércia no estádio II: 
2
3
2
3
)29,2,7(28,6824,8
3
29,2100
).(.
3
. −⋅⋅+⋅=−+= IIseIIwII xdAxbI α 
41630cmIII = 
 
 
 
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12
12
3) Resistência à tração do concreto: 
3/23/2
, 253,0.3,0 ⋅== ckmct ff = 2,56 MPa 
 
4) Inércia da seção de concreto no estádio I: 
12
10100
12
. 33 ⋅== hbI wc 
Ic = 8333 cm4 
 
6) Momento de fissuração: 
5
8333.256,0
.5,1. , ==
t
cmct
r y
If
M α 
Mr = 641 kN.cm 
Onde α = 1,5 para a seção retangular, e yt = h – x = 10 – 5 = 5 cm 
 
Como Md,ser > Mr a flecha imediata deve ser calculada usando a Inércia equivalente (EI)eq obtida do item 
17.3.2.1.1 da norma. 
 
ƒ Determinação da rigidez equivalente: 
( )
⎪⎭
⎪⎬
⎫
⎪⎩
⎪⎨
⎧
⎥⎥⎦
⎤
⎢⎢⎣
⎡
⎟⎟⎠
⎞
⎜⎜⎝
⎛−+⎟⎟⎠
⎞
⎜⎜⎝
⎛= II
a
r
c
a
r
cseq IM
M
I
M
M
EEI
33
1 
( )
⎪⎭
⎪⎬
⎫
⎪⎩
⎪⎨
⎧
⎥⎥⎦
⎤
⎢⎢⎣
⎡ ⎟⎠
⎞⎜⎝
⎛−+⎟⎠
⎞⎜⎝
⎛= 1630.
4,7
41,6
18333.
4,7
41,6
2380
33
eqEI 
( ) 14260483]1630).349,0(8333).651,0[(2380 =+=eqEI kN.cm2 
 
ƒ Cálculo da flecha imediata: 
1) Carga em serviço: 
34,05,22 ⋅+=⋅+= qgpser ψ = 3,7 kN/m = 0,037 kN/cm 
 
2) Flecha equivalente: 
cm
EI
Lp
a
eq
ser
eq 865,014260483
400.037,0
.
384
5
)(
.
.
44
0 === β 
β depende da vinculação sendo
384
5
 para viga bi-apoiada. 
 
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13
13
 
ƒ Valor da flecha final (diferida no tempo): 
O valor da flecha final, com a consideração do item 17.3.2.1.2 da norma, para um tempo de desforma 
de 15 dias fica: 
( ) cmaaa eqffinal 13,2865,046,21 0 =⋅=⋅+== α 
 
ƒ Conclusão 
O limite para a flecha final para a razão visual, segundo a Tabela 13.2: L/250 = 400/250 = 1,6cm 
O valor de uma contra-flecha mínima, nesse caso, é de CF = 2,13 – 1,6 = 0,53cm. Como L/350 = 
400/350 = 1,19cm é o limite recomendado para a contra-flecha, adotou-se 1,0cm para a mesma. 
O valor final da flehca é então obtido por: 
a – CF = 2,13 –1,0 = 1,13cm que está abaixo do valor máximo acima calculado. Outra solução seria 
aumentar a altura da laje. 
 
 
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Exemplo resolvido 5 – Avaliação da deformação 
excessiva em laje bidirecional 
 
Este exemplo vai mostrar a verificação da flecha em uma laje bidirecional de concreto maciço, de 8 cm 
de espessura, usando concreto C-20 e aço CA-50, com dimensões Lx = 400 cm e Ly =450 cm. O 
cobrimento adotado é de 2 cm. A carga de revestimento é de 1 kN/m2 e 2 kN/m2 de carga acidental para 
uso comercial em escritório. 
 
ƒ Cargas: 
1) Peso próprio: 
gpp = h.γc = 0,08 . 25 = 2,0 kN/m2 
 
2) Cargas de revestimento: 
grev = 1,5 kN/m2 
 
3) Cargas acidentais ( edifício comercial de escritórios): 
q = 2,0 kN/m2. 
 
4) Carga total: 
p = g + q = 3,5 + 2,0 = 5,5 kN/m2. 
 
ƒ O momento de cálculo para o ELU 
O momento de cálculo para o ELU vai ser calculado à partir de tabelas de teoria das placas em regime 
elástico (Carvalho e Figueiredo Filho, 2000) – Anexo I: 
Para o Caso 1 (quatro apoios simples) 
λ =
4
5,4=
x
y
L
L
=1,125 → µx = 5,37 e µy = 4,49 
mkN
Lp
M xxkx .73,4100
45,537,5
100
22
=⋅⋅=⋅⋅= µ 
mkN
Lp
M xyky .95,3100
45,549,4
100
22
=⋅⋅=⋅⋅= µ 
Mdx = Mkx.γf = 4,73 . 1,4 = 6,62kN.m = 662kN.cm 
 
 
 
 
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ƒ Dimensionamento da armadura no ELU 
O dimensionamento da armadura no ELU relativa ao momento da menor direção: 
Mdx = 571 kN.cm 
2/43,1
4,1
0,2
cmkN
f
f
c
ck
cd === γ 
Admitindo-se armadura de diâmetro φ=6,3mm: 
d = h – (c + φL/2)= 7-(1+0,3) = 5,7 cm 
Linha neutra: 
⎥⎥
⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢
⎢⎢
⎣
⎡
⋅⋅⋅
−−⋅⋅=⎥⎥⎦
⎤
⎢⎢⎣
⎡ −−=
4,1
0,2
7,5100425,0
662
117,525,1
...425,0
11..25,1
22 cdw
d
fdb
M
dx 
x= 1,32 cm. 
O valor de x, limite entre os domínios 2 e 3 é: x2-3= 0,256.d = 0,256.5,68 = 1,47cm. Logo, encontra-se 
no domínio 2. 
Armadura calculada: ( ) ( )32,14,07,5
15,1
50
662
4,0 ⋅−⋅⎟⎠
⎞⎜⎝
⎛=−⋅= xdf
M
A
yd
d
s 
As = 2,95 cm2/m (dimensionada no domínio 2). 
Armadura adotada: φ 6,3 c.10,0 (3,12 cm2/m) 
 
 
ƒ Momento em serviço 
O Momento em serviço é obtido com o fator ψ2 = 0,4 (Combinação Quase-permanente) da tabela 11.2 
da norma: 
mkN
Lg
M xxkgx .01,3100
45,337,5
100
22
=⋅⋅=⋅⋅= µ 
mkN
Lq
M xxkqx .72,1100
40,237,5
100
22
=⋅⋅=⋅⋅= µ 
Mdx,ser = Mgkx+ψ2.Mqkx → Mkx,ser = 3,01 + 0,4.1,72 = 3,69 kN.m 
Deve-se observar que está sendo utilizado o momento de serviço correspondente à menor direção da 
laje (direção x). 
 
 
 
 
 
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16
ƒ Avaliação do Estádio a considerar: 
1) Resistência à tração do concreto: 3/2, .3,0 ckmct ff = = 2,21 MPa 
2) Inércia da seção bruta: 4
33
7,4266
12
8100
12
cm
hb
I wc =⋅=⋅= . 
3) Momento de fissuração, com α = 1,5 e yt = h/2 para a seção retangular: 
t
cctm
r y
If
M .α= = 
0,4
7,4266.221,0
.5,1 Mr = 354 kN.cm 
Como Mr < Mk,ser ( 354 kN.cm < 369 kN.cm) deve-se usar o Estádio II. 
 
ƒ Linha neutra em serviço (Estádio II): 
1) Relação dos módulos do aço e do concreto: 
cs
s
e E
E=α 87,9
20.4760
210000 ==eα 
2) Taxa de armadura: 
db
A
w
s
.
=ρ Æ 0055,0
)7,5.(100
12,3 ==ρ e As = 3,12 cm2/m 
Temos: 
⎥⎥⎦
⎤
⎢⎢⎣
⎡ ++−⋅=⎥⎥⎦
⎤
⎢⎢⎣
⎡ ++−=
0055,0.87,9
2
11.
100
12,387,9
.
2
11.
.
ρα
α
ew
se
II b
A
x 
mxII 59,1= 
Deve-se verificar, também, se Mk,ser < My. 
cmkN
x
dfAM IIyksy .8043
59,1
7,55012,3
3
=⎟⎠
⎞⎜⎝
⎛ −⋅⋅=⎟⎠
⎞⎜⎝
⎛ −⋅⋅= 
Como o momento de serviço é menor que o momento correspondente ao escoamento da armadura 
pode-se confirmar o Estádio II para a análise. 
 
ƒ Inércia no estádio II: 
2
3
2
3
)59,17,5(12,387,9
3
59,1100
).(.
3
. −⋅⋅+⋅=−+= IIseIIwII xdAxbI α 
4650cmIII = 
 
ƒ Determinação da rigidez equivalente: 
 
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( ) ccII
a
r
c
a
r
cseq IEIM
M
I
M
M
EEI ≤
⎪⎭
⎪⎬
⎫
⎪⎩
⎪⎨
⎧
⋅⎥⎥⎦
⎤
⎢⎢⎣
⎡
⎟⎟⎠
⎞
⎜⎜⎝
⎛−+⋅⎟⎟⎠
⎞
⎜⎜⎝
⎛=
33
1 
onde: 
Ecs = ckf560085,0 ⋅ = 472,44760 ⋅ =21287 MPa = 2129 kN/cm2 
9593,0
369
354 ==
a
r
M
M
 
9,0
3
=⎟⎟⎠
⎞
⎜⎜⎝
⎛
a
r
M
M
 
Ic =4267 cm4 
III= 650 cm4 
Logo: 
( ) ( )[ ]{ } cceq IEEI ≤⋅−+⋅= 6509,0142679,02129 
 (EI)eq = 8137045 kN.cm2 
 
ƒ Flecha imediata considerando a rigidez equivalente: 
pser = g + 0,4.q = 3,5 + 0,4.2 = 4,3 kN/m = 0,043 kN/cm 
 
cm
EI
Lp
a
eq
ser
eq 66,08137045
400043,0
1200
865,5
)(
.
.
44
0 =⋅⋅== β 
O coeficiente β foi obtido através de tabelas de teoria das placas em regime elástico (Carvalho e 
Figueiredo Filho, 2000). Está-se supondo, portanto, que os apoios não sofrem deslocamentos verticais 
significativos. 
 
ƒ Flecha final 
 A flecha final, considerando a inércia equivalente, é: 
( ) cmaaa eqfeq 63,166,046,2.1 0 =⋅=+== α 
 
ƒ Conclusão 
Como L/250 = 1,60 cm é o limite para o deslocamento, a flecha final calculada está praticamente no 
limite do ELS de deformação excessiva. Neste caso vai ser utilizada uma contra-flecha na execução. 
Sugere-se limitar a contra-flecha ao valor L/350 = 400/350 =1,14 cm. Para o caso atual será adotada 
uma contra-flecha de 1 cm, que é suficiente para respeitar o ELS de deformação excessiva. 
Na possibilidade de não se adotar a contra-flecha poderia ser aumentada a espessura. 
 
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I. Anexo – Tabela valores de α para lajes sob carregamento uniforme