A equação da continuidade e a taxa de fluxo

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Física II 
 
 
 
 
EQUAÇÃO DA CONTINUIDADE E A TAXA DE FLUXO 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
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Sumário 
 
Introdução .................................................................................................................................... 2 
 
Objetivos ....................................................................................................................................... 2 
 
1. Conservação da massa ............................................................................................................. 2 
1.1. Equação da continuidade .................................................................................................. 3 
 
Exercícios ...................................................................................................................................... 5 
 
Gabarito ........................................................................................................................................ 6 
 
Resumo ......................................................................................................................................... 7 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
2 
 
Introdução 
Nosso país consta com uma extensa rede hidrográfica formada por uma 
quantidade enorme de extensos rios que possuem grande volume de água. Os três 
principais rios do Brasil, definidos pela sua extensão, são: Rio Amazonas, com 6992 
km, Rio Paraná, com 3998 km, e Rio Purus, com 3400 km. 
Na sua região existe algum rio? Você já reparou que em partes mais largas a 
velocidade da água é menor que em partes mais estreitas do rio? Nessa apostila 
veremos o porquê e como isso acontece. 
Objetivos 
• Conceituar o princípio da massa constante. 
• Demonstrar a equação da continuidade e a taxa de fluxo. 
 
1. Conservação da massa 
Você provavelmente já vivenciou a experiência de tapar parte da saída de 
uma mangueira para a água ir mais longe, certo? Muitos pensam que isso acontece 
porque se é diminuída a área de saída aumenta-se a pressão de saída da água, mas 
isso não é correto. A grandeza que muda nessa situação é a velocidade, a água sai 
com maior velocidade, por isso vai mais longe. Para entendermos melhor essa 
situação e outras semelhantes, como a da maior velocidade nos trechos estreitos 
dos rios, como falamos na introdução, precisamos conhecer a equação da 
continuidade. 
Para começarmos, vamos imaginar um conduto que tenha dois diâmetros 
distintos em parte de seu trajeto. Inicialmente vamos destacar uma quantidade de 
fluído que sai com velocidade 
1v
 da parte do contudo que possui maior diâmetro, 
seção transversal de área A1, conforme a figura seguinte. 
01 
Volume de fluido passando pela seção transversal A1. 
 
O fluido continua seu movimento e entra na parte do conduto de menor 
diâmetro. Nessa parte destaca-se uma área de seção transversal A2, o fluido escoa 
 
3 
 
agora com velocidade v2, e vamos considerar que destacaremos a mesma 
quantidade de água que passou em A1. Dessa forma teremos o esquema 
apresentado na figura seguinte. 
02 
Volume de fluido passando pela seção transversal A2. 
 
Considerando que não há nenhum tipo de vazamento, é lógico dizermos que 
a quantidade de massa de água que tínhamos em A1 é a mesma em A2, certo? Esse é 
o princípio de conservação de massa num escoamento: 
1 2m m =
 
IMPORTANTE! 
 
 
 
 
1.1. Equação da continuidade 
Do princípio da conservação da massa, temos que o volume de fluido que 
passa pelas áreas A1 e A2 deve ser o mesmo, do contrário, para onde teria ido a massa 
de fluido que deu essa diferença de volume? Observe a figura. 
03 
O volume de fluido que passa pelas partes do tubo de maior diâmetro e de menor diâmetro são 
iguais. 
Nesse contexto, temos a conservação de massa antes citada, dada por: 
A massa m1 que entrou no conduto é a mesma massa 
m2 que saiu dele, pois não há nenhum tipo de perda. 
Isso é válido para todos os casos de escoamento em 
regime permanente em que não há nenhum tipo de 
fontes ou sumidouros no interior das tubulações nas 
quais os fluidos estão. 
 
 
4 
 
1 2m m =
 
Vamos desenvolver essa expressão considerando a equação da densidade do 
fluido: 
m
m V
V
 =  = 
 
Assim: 
1 1 2 2V V  = 
 
Como o fluido é o mesmo nas duas partes do contudo, temos que 
1 2 =
. 
Logo: 
1 2V V=
 
Podemos escrever o volume como: 
V A d= 
 
Sendo, A área de seção transversal e 
d
o comprimento do conduto. Assim: 
1 1 2 2A d A d =  
Considerando a equação da velocidade média, temos: 
d
v d v t
t

=   = 

 
Logo: 
1 1 1 2 2 2A v t A v t  =  
 
Sendo que 
1 2t t =
 
Então, temos a equação da continuidade: 
1 1 2 2A v A v = 
 
 
Pela equação da continuidade, temos que as velocidades dos fluidos são 
inversamente proporcionais às respectivas áreas de seção transversal dos condutos 
em que estão. Isso significa que em áreas maiores teremos velocidade menores e 
vice-versa. Lembre-se que o produto da área pela velocidade média é a definição da 
vazão volumétrica, dessa forma podemos dizer que a vazão volumétrica é constante 
no conduto. 
 
5 
 
Esse produto da área pela velocidade é também chamado de taxa de fluxo ou 
fluxo volumétrico. Dessa forma, podemos considerar os conceitos de vazão 
volumétrica e taxa de fluxo como correspondentes, não é nada diferente do que já 
estudamos até aqui! 
 
EXEMPLO 
 
 
Exercícios 
1. (PUCSP, 2018) Por uma luva de redução de PVC, que fará parte de uma 
tubulação, passarão 180 litros de água por minuto. Os diâmetros internos 
dessa luva são 100 mm para a entrada e 60 mm para a saída da água. 
 
Determine, em m/s a velocidade aproximada de saída da água por essa luva. 
a. 0,8 
b. 1,1 
c. 1,8 
d. 4,1 
e. 5,2 
 
2. (UFRGS, 2017) A figura abaixo mostra um fluido incompressível que escoa 
com velocidade v1 através de um tubo horizontal de seção reta A1 e atravessa, 
com velocidade v2, um trecho estrangulado de seção reta 
2 1A A 4.=
 
A equação da continuidade explica o problema 
apresentado na questão inicial da introdução. É por 
atender a equação da continuidade que a água nas 
partes mais estreitas dos rios tem maior velocidade do 
que nas partes mais largas. 
 
 
6 
 
 
Nessa situação, a razão entre os módulos das velocidades v2/ v1 é 
a. 4 
b. 2 
c. 1 
d. 1/2 
e. 1/4 
 
3. (UNICAMP, 2017) A microfluídica é uma área de pesquisa que trabalha com a 
manipulação precisa de líquidos em canais com dimensões submilimétricas, 
chamados de microcanais, possibilitando o desenvolvimento de sistemas 
miniaturizados de análises químicas e biológicas. 
Considere que uma seringa com êmbolo cilíndrico de diâmetro D = 4 mm seja 
usada para injetar um líquido em um microcanal cilíndrico com diâmetro de d 
= 500 μm. Se o êmbolo for movido com uma velocidade de v
=V 4 mm s,
 a 
velocidade v do líquido no microcanal será de 
a. 256,00 mm/s. 
b. 32,0 mm/s. 
c. 62,5 µm/s. 
d. 500,0 µm/s. 
e. 120,5 µm/s. 
Gabarito 
1. B- Cálculo da vazão ou taxa volumétrica no SI: 
−
=  
= 
3
3
3 3
L 1m 1min
Q 180
min 60 s10 L
Q 3 10 m s
 
A área de saída é: 
( )−
−
 
=  =
= 
2
3
2
3 2
3 60 10 mD
A A
4 4
A 2,7 10 m
π 
Pela equação da continuidade, a vazão de entrada é igual à vazão de saída, 
assim: 
=entr saídaQ Q
 
 
7 
 
Sabendo que o produtoda velocidade pela área é a vazão, temos que a 
velocidade v de saída será: 
−
−
=   =

=


3
3
3 2
Q
Q v A v
A
m
3 10
sv
2,7 10 m
v 1,1m s
 
 
2. A - Pela equação da continuidade as vazões nas duas seções do tubo são 
iguais: 
=1 2Q Q
 
 =   =2 11 1 2 2
1 2
v A
v A v A
v A
 
Substituindo 
2A
 por 
1A 4 :
 
=  =
=
2 1 2 1
1 2 1 1
2
1
v A v A
v A v A / 4
v
4
v
 
 
3. A - Temos os seguintes dados: 
= = = = = = =1 1 2V V 4 mm s; D D 4 mm; D d 500 m 0,5 mm.μ
 
Com os dados, podemos aplicar a equação da continuidade: 
=
=
=
=

= =
= =
1 1 2 2
2 2
1 2
1 2
2 2
1 1 2 2
2
1 1
2 2
2
2
2 2
2
v A v A 
D D
v v 
4 4
v D v D 
v D
v 
D
4 4 64
v
0,250,5
v v 256,0 mm s
π π
 
Resumo 
Vimos que a quantidade de massa de fluido que entra em um conduto que 
não apresente fontes ou sumidouros é a mesma quantidade que sai, esse é o 
chamado princípio da conservação da massa. 
A partir desse princípio, demonstramos a equação da continuidade, no qual 
mostra-se que a velocidade de um fluido é inversamente proporcional à área da 
seção transversal do conduto em que ele está escoando. A equação da continuidade 
 
8 
 
mostra que a vazão volumétrica é constante no escoamento do fluido, sendo dada 
por: 
1 1 2 2A v A v = 
 
Isso explica também a questão inicial sobre a velocidade da água nos rios ser 
maior nas partes mais estreitas dos mesmos. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
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Referências bibliográficas 
FEYMMAN, Richard. P; LEIGHTON, Robert B.; SANDS, Matthew. Lições de Física. Porto Alegre: Bookman, 2008. 3 v. 
Tradução de Adriana Válio Roque da Silva. 
HIBBELER, R. C. Resistência dos Materiais. 3.º Ed., Editora Livros Técnicos e Científicos. 2000. 
UFRGS. Equação da continuidade. 2018. Disponível em: 
<http://www.if.ufrgs.br/cref/werlang/aula22.htm#equacao>. Acesso em: 22 abr. 2019. 
PUCSP. Vestibular. 2018.Disponível em: <http://www.nucvest.com.br/vestibular-unificado/vestibular-unificado-
2018-verao.html>. Acesso em: 06 maio 2019. 
UFRGS. Vestibular. 2017.Disponível em: <http://www.ufrgs.br/coperse/provas-e-servicos/baixar-provas>. Acesso 
em: 06 maio 2019. 
UNICAMP. Vestibular. 2017.Disponível em: <http://www.comvest.unicamp.br/vestibulares-anteriores/vestibular-
2017/>. Acesso em: 06 maio 2019.