Provando Bernoulli

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Física II 
 
 
 
 
PROVANDO BERNOULLI 
 
 
 
1 
 
Sumário 
 
Introdução .................................................................................................................................... 2 
 
Objetivos ....................................................................................................................................... 2 
 
1. Equação de Bernoulli ............................................................................................................... 2 
1.1. Dedução da Equação de Bernoulli ..................................................................................... 2 
 
2. Da Equação de Bernoulli à Equação de Stevin ........................................................................ 5 
 
Exercícios ...................................................................................................................................... 6 
 
Gabarito ........................................................................................................................................ 7 
 
Resumo ......................................................................................................................................... 9 
 
 
 
2 
 
Introdução 
A composição da Equação de Bernoulli deriva do princípio da conservação de 
energia, onde temos as variações de energia cinética e potencial de um fluido, pois 
este possui uma determinada velocidade e pode possuir variação de energia 
potencial de acordo com o local onde este irá escoar. Mas como podemos chegar até 
sua equação a partir disso? 
Nesta apostila iremos fazer um aprofundamento acerca de como Bernoulli 
deduziu sua equação, de maneira matemática, a partir da conservação de energia, e 
em seguida mostraremos como, através da Equação de Bernoulli, podemos chegar 
naturalmente ao teorema de Stevin. 
Objetivos 
• Deduzir a Equação de Bernoulli, através do teorema trabalho-energia. 
• Compreender como a Equação de Bernoulli deriva o teorema de Stevin. 
 
1. Equação de Bernoulli 
Em hidrodinâmica um fluido irá possuir características distintas de um fluido 
na hidrostática. Como por exemplo, a variação de sua trajetória ao longo de um 
caminho poderá influenciar na velocidade do mesmo. Outra característica que se 
modifica em um fluido em movimento é a pressão. 
Também vimos que a Equação de Bernoulli relaciona a pressão, altura e 
velocidade de fluidos em movimento. Dada por 
𝑝1 + (
1
2
) 𝜌𝑣12 + 𝜌𝑔𝑦1 = 𝑝2 + (
1
2
) 𝜌𝑣22 + 𝜌ℎ𝑦2 
Mas de onde surgiu esta equação? O que Bernoulli levou em consideração ao 
deduzi-la? 
 
1.1. Dedução da Equação de Bernoulli 
A partir da equação da continuidade, vimos que a velocidade de um fluido 
varia conforme ele escoa em uma determinada área. Portanto, se há variação da 
velocidade há uma aceleração do fluido. Essa aceleração é produzida do fluido na 
vizinhança, o que resulta em uma variação de pressão. 
A variação da pressão se dá pois, caso fosse a mesma, a força resultante no 
fluido seria igual a zero, o que não causaria modificação na sua velocidade. Quando 
 
3 
 
temos uma redução de área em um tubo, por exemplo, o fluido se acelera, 
deslocando-se para uma região de pressão menor. 
A equação de Bernoulli é deduzida a partir da aplicação do teorema do 
trabalho-energia. Para deduzirmos a equação e compreendermos melhor as 
grandezas envolvidas, vamos observar a figura seguinte. 
01 
Fluido passando por um tubo com áreas distintas e suas grandezas representadas. 
Considerando o fluido que se desloca no tubo acima podemos levar em 
consideração algumas propriedades de um fluido incompressível. Inicialmente, 
iremos considerar o comportamento de um fluido da seção reta 1 para 2. A 
velocidade do fluido nesta extremidade é de v1. Após um intervalo de tempo, dt, um 
pequeno volume de fluido se desloca de 1 para 2, percorrendo a distância 
𝑑𝑠1 = 𝑣1𝑑𝑡 
Neste mesmo intervalo de tempo, o fluido se deslocou de 3 para 4, 
percorrendo 
𝑑𝑠2 = 𝑣2𝑑𝑡 
As áreas são A1 e A2. Utilizando a equação da continuidade, temos que o 
volume de fluido deslocado, dV, deverá ser o mesmo. Portanto, 
𝑑𝑉 = 𝐴1𝑑𝑠1 = 𝐴2𝑑𝑠2 
Para calcular o trabalho realizado sobre esse fluido deslocado, temos de 
considerar que não há atrito interno, onde as únicas forças que realizam trabalho 
são as da pressão nesse fluido, P1 e P2. As forças em A1 e em A2, são dadas por 
𝐹1 = 𝑃1𝐴1 
 
4 
 
𝐹2 = 𝑃2𝐴2 
Portanto, o trabalho realizado será 
𝑑𝑊 = 𝑃1𝐴1𝑑𝑠1 − 𝑃2𝐴2𝑑𝑠2 
𝑑𝑊 = (𝑃1 − 𝑃2)𝑑𝑉 
O trabalho em A2 é negativo, pois a força se opõe ao deslocamento do fluido. 
 
IMPORTANTE! 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
O trabalho é igual à variação da energia mecânica do sistema, ou seja, energia 
cinética mais a energia potencial gravitacional. A energia mecânica do fluido entre as 
seções 2 e 3 não varia. Na seção 1 para 2, em dt, o fluido possui volume de A1s1, 
massa de ρA1ds1 e uma energia cinética de 
𝐸𝑐1 = (
1
2
) 𝜌(𝐴1𝑑𝑠1)𝑣1² 
Nas seções 3 e 4, em dt, o fluido possui energia cinética de 
𝐸𝑐2 = (
1
2
) 𝜌(𝐴2𝑑𝑠2)𝑣22 
Portanto a variação da energia cinética em dt é igual a 
∆𝐸𝑐 = (
1
2
) 𝜌𝑑𝑉(𝑣22 − 𝑣12) 
Vale lembrar a definição de trabalho: quando uma 
força é aplicada em um corpo e este se desloca, diz-
se que a força realiza trabalho. É definido como: 
𝜏 = 𝐹∆𝑆 
A definição de Energia cinética é a transferência de 
energia que põe o corpo em movimento.Definida 
como: 
𝐸𝑐 =
𝑚𝑣2
2
 
E a definição de energia potencial gravitacional é a 
energia correspondente ao trabalho que a força peso 
realiza sobre um corpo. Dada por: 
𝐸𝑝 = 𝑚𝑔ℎ 
 
 
5 
 
Agora vamos analisar a variação de energia potencial do sistema. Na seção 1 
para 2, em dt, a energia potencial será dada por 
𝐸𝑝 = 𝑑𝑚𝑔𝑦1 
𝐸𝑝 = 𝜌𝑑𝑉𝑔𝑦1 
A energia potencial na seção 3 para 4, em dt, será de 
𝐸𝑝 = 𝜌𝑑𝑉𝑔𝑦2 
Portanto, a variação da energia potencial será de 
∆𝐸𝑝 = 𝜌𝑑𝑉𝑔(𝑦2 − 𝑦1) 
Agora, lembremos do princípio da conversação da energia. Ele nos diz que a 
energia mecânica de um corpo é igual à soma das energias cinéticas e potenciais 
dele 
𝑑𝑊 = ∆𝐸𝑐 + ∆𝐸𝑝 
Assim, teremos que 
(𝑃1 − 𝑃2)𝑑𝑉 = (
1
2
) 𝜌𝑑𝑉(𝑣22 − 𝑣12) + 𝜌𝑑𝑉𝑔(𝑦2 − 𝑦1) 
𝑃1 − 𝑃2 = (
1
2
) 𝜌(𝑣22 − 𝑣12) + 𝜌𝑔(𝑦2 − 𝑦1) 
Essa última equação é chamada de Equação de Bernoulli, que é obtida a 
partir do princípio de conservação do sistema do fluido em movimento. Podemos 
interpretar que o termo do lado esquerdo nos dá a variação de pressão relacionada 
às velocidades do fluido. O termo do lado direito nos dá a diferença de pressão que é 
adicionada associada ao peso, produzida pela diferença de altura entre ambas as 
áreas. 
Podemos reorganizar a equação para que do lado esquerdo fiquem somente 
os termos relacionados à parte 1 e do lado direito os termos da parte 2: 
𝑃1 + 𝜌𝑔𝑦1 + (
1
2
) 𝜌𝑣12 = 𝑃2 + 𝜌𝑔𝑦2 + (
1
2
) 𝜌𝑣22 
 
2. Da Equação de Bernoulli à Equação de Stevin 
O teorema de Stevin nos dá a relação entre pressões, em diferentes alturas, 
para um fluido estático. Ou seja, 
∆𝑃 = 𝜌𝑔∆ℎ 
 
 Ou podemos escrevê-la como 
 
6 
 
𝑃1 − 𝑃2 = 𝜌𝑔(𝑦1 − 𝑦2) 
 Como no teorema de Stevin estudamos fluidos estáticos, assumimos 
que v1=v2=0, pois este não possui movimento. Sua variação de energia cinética é 
nula. Substituindo na equação de Bernoulli, teremos 
𝑃1 + 𝜌𝑔𝑦1 + 0 = 𝑃2 + 𝜌𝑔𝑦2 + 0 
𝑃1 − 𝑃2 = 𝜌𝑔(𝑦2 − 𝑦1) 
∆𝑃 = 𝜌𝑔∆ℎ 
Exercícios 
1. (YOUNG; FREEDMAN, 2008) A água entra em uma casaatravés de um tubo 
com diâmetro interno de 2,0 cm, com uma pressão absoluta igual a 4,0x105 
Pa (cerca de 4 atm). Um tubo com diâmetro interno de 1,0 cm conduz ao 
banheiro do segundo andar a 5,0 m de altura. Sabendo que no tubo de 
entrada a velocidade é igual a 1,5 m/s, ache a velocidade do escoamento, a 
pressão e a vazão volumétrica no banheiro. 
02 
 
 
 
7 
 
2. (HALLIDAY; RESKICK; WALKER, 2001) No velho oeste, um fora-da-lei dispara 
uma bala que entra em um tanque de água a céu aberto, criando um furo a 
uma distância h seguinte da superfície da água. Qual a velocidade da água 
que sai por esse furo? 
3. (Autora, 2019) Observe a figura seguinte: 
 
03 
Temos um tanque de diâmetro 2 metros, cheio de água. Seguinte temos um 
furo, com 0,05 metros de diâmetro. Considerando que as pressões que 
atuam no tanque são a pressão atmosférica, calcule a velocidade com que a 
água sai pelo furo. E se o furo fosse tapado? Como seria a pressão no tanque 
no nível do furo? 
Gabarito 
1. Podemos aplicar a equação de Bernoulli na solução do problema, 
considerando que o fluido é incompressível e não possui atrito. Temos a 
velocidade 1, a pressão 1 e os diâmetros do tubo nos pontos 1 e 2, onde 
poderemos calcular a área. Não temos a velocidade no ponto 2 nem a 
pressão. Para que possamos encontrar a pressão em 2, necessitamos de v2. 
Para isso vamos utilizar a equação da continuidade: 
𝑣2 =
𝐴1
𝐴2
∗ 𝑣1 =
𝜋(1,0𝑐𝑚)2
𝜋(0,50𝑐𝑚)2
∗ (
1,5𝑚
𝑠
) =
6,0𝑚
𝑠
 
Agora sim podemos encontrar P2: 
𝑃2 = 𝑃1 − (
1
2
) 𝜌(𝑣22 − 𝑣12) − 𝜌𝑔(𝑦2 − 𝑦1)
= 4,0𝑥105𝑃𝑎 − (
1
2
) (
1,0𝑥103𝑘𝑔
𝑚3
) (36𝑚2𝑠2 − 2,25𝑚2𝑠2)
− (1,0 ∗
103𝑘𝑔
𝑚3
) (
9,8𝑚
𝑠2
) (5,0𝑚) = 3,3𝑥105𝑃𝑎 
 
8 
 
A razão volumétrica é dada pela quantidade de volume que se desloca no 
tempo 
𝑑𝑉
𝑑𝑡
= 𝐴2𝑣2 = 𝜋(0,5𝑥10−2𝑚) (
6𝑚
𝑠
) =
4,7𝑥10−4𝑚3
𝑠
= 0,47𝐿/𝑠 
2. Observando que as pressões na superfície do tanque e no furo da bala, são 
ambas expostas à pressão atmosférica, teremos que y2 será o local onde 
está o furo, ou seja, a referência 0 na altura. 
𝑝0 + 𝜌𝑔ℎ + (
1
2
) 𝜌𝑣0² = 𝑝0 + 𝜌𝑔(0) + (
1
2
) 𝜌𝑣² 
A vazão é dada pela velocidade do fluido em uma determinada área, então 
teremos que 
𝑉 = 𝐴1𝑣 = 𝐴2𝑣0 
𝑣0 =
𝐴2
𝐴1
∗ 𝑣 
Onde v0<<v, pois A2<<A1. Supondo isso, podemos usar a condição de que o 
termo (
1
2
) 𝜌𝑣02 é desprezível, rearranjando a equação da seguinte forma: 
𝑝0 + 𝜌𝑔ℎ = 𝑝0 + (
1
2
) 𝜌𝑣2 
𝜌𝑔ℎ = (
1
2
)𝜌𝑣² 
𝑣 = √2𝑔ℎ 
 
3. Levando em consideração que o orifício do tanque é muito pequeno 
comparado com o tamanho do tanque, e que a pressão que atua é a 
atmosférica, podemos aplicar a equação deduzida no exercício anterior 
para calcular a velocidade: 
𝑣 = √2(9,8)(0,5) =
3,13𝑚
𝑠
 
Agora, se o furo estivesse tapado, a pressão no nível do furo pode ser 
calculada a partir da equação de Stevin, que considera o fluido em repouso: 
𝑃1 − 𝑃2 = 𝜌𝑔(𝑦1 − 𝑦2) 
101325 𝑃𝑎 − 𝑃2 = 1000 ∗ 9,8(0,5 − 0) 
−𝑃2 = −101325 + 4900 
𝑃2 = 96425 𝑃𝑎 
 
9 
 
Resumo 
Nessa apostila vimos a dedução da Equação de Bernoulli, levando em 
consideração o princípio de conservação de energia que nos diz que a energia 
mecânica de um corpo é igual à soma da variação das energias cinéticas e 
potenciais, dadas pela equação da variação do trabalho 
𝑑𝑊 = ∆𝐸𝑐 + ∆𝐸𝑝 
Onde dW é a variação do trabalho e ∆𝐸𝑐 + ∆𝐸𝑝 representa a soma das 
variações das energias cinéticas e potenciais. 
A partir do arranjo dessa equação, nós conseguimos encontrar a equação de 
Bernoulli, que nos dá a variação de pressão em um fluido que está em movimento, 
onde a subtração das pressões um e dois serão iguais à soma da energia cinética e 
da energia potencial do fluido 
𝑃1 − 𝑃2 = (
1
2
) 𝜌(𝑣22 − 𝑣12) + 𝜌𝑔(𝑦2 − 𝑦1) 
Onde P1 e P2 são a variação da pressão, (
1
2
) 𝜌(𝑣22 − 𝑣12) é a parte 
correspondente à energia cinética e ρg(y2-y1) é a parte correspondente à energia 
potencial gravitacional do fluido. 
Também, ao aplicarmos as condições para um fluido em repouso, onde 
temos que as velocidades são nulas, chegamos ao teorema de Stevin a partir da 
Equação de Bernoulli: 
𝑃1 − 𝑃2 = 𝜌𝑔(𝑦1 − 𝑦2) 
Podemos ver que nesta equação a parte da energia cinética, (
1
2
) 𝜌(𝑣22 −
𝑣12), some, pois o fluído está em repouso possuindo velocidade zero o que resulta 
na neutralidade desta parte na equação. 
 
 
 
 
 
 
 
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Referências bibliográficas 
YOUNG, H. D. Física II: Termodinâmica e Ondas/Youn e Freedman. 12 ed. São Paulo: Addison Wesley, 2008. 
HALLIDAY, D.; RESNICK, R.; WALKER, J. Fundamentos de Física 2. 6 ed. Rio de Janeiro: LTC, 2002. 
Referências imagéticas 
YOUNG, H. D. Física II: Termodinâmica e Ondas/Youn e Freedman. 12 ed. São Paulo: Addison Wesley, 2008.