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Integrais de Superfície

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INTEGRAIS DE SUPERFÍCIE
1. DEFINIÇÃO DE INTEGRAIS DE SUPERFÍCIE
1.1. EXERCÍCIO DE INTEGRAIS DE SUPERFÍCIE
2. INTEGRAIS DE SUPERFÍCIE EM CAMPOS VETORIAIS
2.1. EXERCÍCIO DE INTEGRAIS DE SUPERFÍCIE EM CAMPOS VETORIAIS
3. APLICAÇÕES
3.1. EXERCÍCIO DE FLUXO
3. APLICAÇÕES 
	As integrais de superfície são muito utilizadas para resolver problemas de física que envolve fluxos de fluidos e forças eletrostáticas. São aplicáveis para qualquer tipo de campo vetorial, mas nesse trabalho serão abordados apenas fluxo e campo de fluidos.
	No caso do fluxo ser de um fluido, o campo vetorial F(x,y,z) representa a velocidade de uma partícula fluida no ponto (x,y,z) e as partículas do fluido fluem ao longo de correntes tangenciais aos vetores velocidade. No caso da aplicação ser um campo eletrostático, a F(x,y,z) vai se referir a uma força que o campo exerce numa pequena unidade de carga positiva no ponto (x,y,z) que se aceleram ao longo de linhas de campo elétrico tangenciais aos vetores da força.
	Para estudar os fluxos de campos vetoriais através de superfícies permeáveis são necessários alguns conceitos sobre superfícies e como elas são orientadas. Superfícies podem possuir dois lados ou apenas um, como no caso da faixa de Mobius. No caso da esfera, só se pode percorrer de um lado, ou do lado interno ou externo, e não é possível atravessar a esfera. Sendo assim, considera-se uma superfície que possui dois lados orientável e uma que possui apenas um lado não orientável. A orientação de uma superfície orientável é dada então por um vetor normal n que é perpendicular a ao ponto (x,y,z) da superfície, de modo que são unitários, contínuos e dizem qual a orientação, sendo apenas uma ou outra (para baixo ou para cima por exemplo), não sendo possível misturar as duas.
	Quando uma superfície é dada parametricamente, as equações paramétricas criam uma orientação natural para a superfície. Uma superfície paramétrica lisa pode ser dada pela que a equação vetorial
e seu vetor unitário sendo 
que é uma função vetorial contínua de u e v. Logo, como já dito, a formula do vetor normal é o que define a orientação de uma superfície. A demonstração da equação acima é respectiva de uma orientação positiva e aponta para o sentido positivo da superfície, e se tomarmos –n, chegamos em uma orientação negativa, que vai apontar para o sentido negativo da superfície. 
	Suponha que uma superfície orientada esteja imersa num fluxo incompressível em estado estacionário e suponha ainda que a superfície que seja permeável de modo que o fluido possa fluir através dela livremente em ambos os sentidos. Deseja-se encontrar o volume do fluido que passa através da superfície por unidade de tempo, onde o volume líquido é interpretado como o volume que passa através da superfície no sentido positivo menos o volume que passa no sentido negativo. 
	Como já mencionado, a velocidade do fluido e um ponto (x,y,z) de é dada por: 
e n seja o vetor normal no sentido positivo de em (x,y,z). 
	Subdividimos a superfície em n porções de 1, 2, ..., n com áreas de Sn. Se as porções forem pequenas é razoável supor que a velocidade não varie muito em cada porção. Logo, se for qualquer ponto na k-ésima porção, pode-se supor que F(x,y,z) seja constante e igual a F em toda a porção e que o componente da velocidade através da superfície k seja
Assim o volume do fluido por unidade de tempo que cruza a porção k no sentido de n é
E o volume aproximado de fluido que atravessa a superfície por unidade de tempo na orientação do vetor normal n é a soma
Se aumentarmos n de tal maneira que a dimensão máxima de cada porção tenta a zero, é plausível que o fluxo seja limite de n tendendo ao infinito da soma da equação acima. 
Logo, o fluxo de F através de é expresso também pela integral de superfície:
O teorema diz que uma superfície paramétrica lisa representada pela equação vetorial r = r(u,v) em quem (u,v) varia numa região R do plano uv, as funções componentes do campo vetorial F forem contínuas em e se n determinar a orientação positiva de , então 
3.1 EXERCÍCIO DE FLUXO
Encontre o fluxo do campo vetorial F(x, y,z) = zk, através da esfera orientada para fora.
Resolução
A superfície da esfera pode ser orientada positivamente pela função vetorial 
Para utilizar a equação do teorema temos que encontrar o produto vetorial entre as derivadas parciais de r. Então:
 
F = zk, logo z = e F se torna F = 
Trocando os termos u e v da equação do teorema por , temos que a integral do fluxo é 
Referências
ANTON, H. BIVENS, I. DAVIS, S. Cálculo. 8ª Edição. Porto Alegre: Bookman, 2007.