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Analise

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comec¸a positiva,
diminuindo ate´ “parar” no alto, depois aumenta ate´ que, de volta
ao ponto de partida, e´ a mesma velocidade, mas de sinal oposto. E´
imposs´ıvel imaginar que o objeto “deˆ a volta” no alto de sua trajeto´ria
sem que sua velocidade se anule nesse instante.
Assim, para passar de velocidade positiva (subindo) para veloci-
dade negativa (descendo), o objeto precisa passar, necessariamente,
por um instante de velocidade nula (no alto), exemplificando a pro-
priedade do valor intermedia´rio da func¸a˜o velocidade. ⊚
Teorema 3.7 (Teorema do Valor Intermedia´rio – TVI). A ima-
gem direta por uma func¸a˜o cont´ınua de qualquer intervalo contido
no domı´nio da func¸a˜o e´ um intervalo.
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3.2. CONTINUIDADE NUM INTERVALO 59
Usando a caracterizac¸a˜o de intervalo da Proposic¸a˜o 1.8, o TVI
afirma, em mais palavras, que se f : X → R for cont´ınua, se [a, b] ⊆
X, e se, para algum d ∈ R tivermos f(a) < d < f(b), enta˜o neces-
sariamente existe pelo menos um ponto c ∈ (a, b) tal que f(c) = d.
O mesmo ocorre se f(b) < d < f(a). Essa e´ a propriedade do valor
intermedia´rio, que, portanto, e´ va´lida para func¸o˜es reais cont´ınuas.
Demonstrac¸a˜o. Seja f : X → R uma func¸a˜o cont´ınua e suponha que
a < b e d ∈ R sejam tais que [a, b] ⊆ X e f(a) < d < f(b). Mostremos
que existe algum c ∈ (a, b) tal que f(c) = d. Para isso, consideramos o
conjunto C = {x ∈ [a, b] : f(x) < d}. Por hipo´tese, a ∈ C e C ⊆ [a, b),
de modo que existe c = supC ∈ [a, b]. Mostremos que f(c) = d.
x
y = f(x)
a b
d
f(a)
f(b)
c
Figura 3.6 A propriedade do valor intermedia´rio
Ora, dado qualquer x ∈ C, vale x < b e f(x) < d, portanto o Lema
3.4 garante que existe σ ∈ (x, b) tal que f(σ) < d, ou seja, x na˜o e´
cota superior de C. Em particular, c = supC 6∈ C. Enta˜o f(c) > d e
(ver Exemplo 2.13) existe uma sequeˆncia (xn) crescente de C tal que
xn −→ c. Pela continuidade de f, segue que f(xn) −→ f(c) e, como
f(xn) < d, a permaneˆncia do sinal de sequeˆncias (Lema 2.8) garante
que, tambe´m f(c) 6 d. Assim, f(c) = d.
Exemplo 3.8. Existe alguma raiz real de x5 + 4x3 − 2x2 + x − 3
entre 0 e 1, pois f(x) = x5 + 4x3 − 2x2 + x − 3 e´ cont´ınua em R e
f(0) = −3 < 0 < 1 = 1 + 4− 2 + 1− 3 = f(1). ⊚
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60 CAPI´TULO 3. CONTINUIDADE
Exemplo 3.9. A cu´bica dada por f(x) = x(x + 1)(x − 1) = x3 − x
satisfaz f(−2) = −6 < 0 < 6 = f(2) e existem treˆs pontos c tais que
f(c) = 0, a saber, c = −1, 0 e 1. ⊚
O TVI garante que existe pelo menos um ponto c tal que f(c) = d.
No exemplo precedente, obtivemos treˆs. E´ claro que se a func¸a˜o
cont´ınua for injetora no intervalo, existe exatamente um u´nico ponto c
tal que f(c) = d. Assim obtemos uma maneira alternativa de mostrar
a existeˆncia de todas as ra´ızes de todos os nu´meros reais positivos.
Proposic¸a˜o 3.10. Dados x ∈ R positivo e n ∈ N, existe, e e´ u´nica,
a raiz ene´sima n
√
x de x.
Demonstrac¸a˜o. Fixado n ∈ N, sabemos que e´ cont´ınua em R a func¸a˜o
poteˆncia definida por f(x) = xn, com x ∈ R (Exemplo 3.1). Dado
x > 0, mostremos que existe um u´nico y > 0 tal que x = f(y) = yn.
Pela propriedade arquimediana, existe m ∈ N tal que x < m, e
e´ claro que m < mn. Logo, f(0) = 0 < x < mn = f(m) e o TVI
garante que existe y > 0 tal que yn = f(y) = x. Como a func¸a˜o f e´
injetora (Exerc´ıcio A.15), a raiz ene´sima de x e´ u´nica.
A rec´ıproca do TVI na˜o e´ va´lida, pois existem exemplos de func¸o˜es
descont´ınuas com a propriedade do valor intermedia´rio. No entanto,
a rec´ıproca e´ va´lida na categoria especial das func¸o˜es mono´tonas cres-
centes ou decrescentes.
De acordo com seu crescimento, dizemos que uma func¸a˜o real
f : X → R e´
• crescente em X se f(x1) < f(x2) com x1, x2 ∈ X e x1 < x2;
• na˜o decrescente em X se f(x1) 6 f(x2) com x1 < x2 ∈ X ;
• na˜o crescente em X se f(x1) > f(x2) com x1, x2 ∈ X e x1 < x2;
• decrescente em X se f(x1) > f(x2) com x1, x2 ∈ X e x1 < x2;
Observe que toda func¸a˜o crescente e´ na˜o decrescente e toda decres-
cente e´ na˜o crescente. Em geral, dizemos que uma func¸a˜o e´mono´tona
em X se for na˜o crescente ou na˜o decrescente em X.
Teorema 3.11. Se uma func¸a˜o e´ crescente ou decrescente num in-
tervalo e sua imagem e´ um intervalo, enta˜o a func¸a˜o e´ cont´ınua.
Demonstrac¸a˜o. Seja f uma func¸a˜o descont´ınua e decrescente num
intervalo I qualquer. Digamos que f seja descont´ınua num ponto
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3.2. CONTINUIDADE NUM INTERVALO 61
σ ∈ I. Pelo Exerc´ıcio 3.16, existe alguma sequeˆncia (xn) de I − {σ}
que e´ crescente ou decrescente e convergente a σ, mas tal que (f(xn))
na˜o converge a f(σ). Vamos supor que (xn) seja crescente.
Como f e´ decrescente e xn < xn+1 < σ, para cada n ∈ N, obtemos
f(xn) > f(xn+1) > f(σ),
para todo n ∈ N, portanto, a sequeˆncia (f(xn)) e´ decrescente e li-
mitada inferiormente por f(σ). Pelo Teorema 2.7, (f(xn)) converge
a η = inf{(f(xn)} e, como (f(xn)) na˜o converge a f(σ), resulta
η > f(σ). Resta mostrar que nenhum ponto entre f(σ) e η pertence
a` imagem de f, com o que a imagem de f na˜o e´ um intervalo.
x
y
y = f(x)
xn
f(xn)
xn+1
f(xn+1)
σ
f(σ) b
η
Figura 3.7 A imagem de uma func¸a˜o decrescente
e descont´ınua na˜o pode ser um intervalo
Se y ∈ (f(σ), η) fosse um ponto da imagem de f, enta˜o existiria
x ∈ I tal que f(x) = y e, de
f(σ) < f(x) < η 6 f(xn)
decorreria que xn < x < σ, para cada n ∈ N, ou seja, pelo confronto,
obter´ıamos x = σ, o que e´ imposs´ıvel, pois f(x) = y 6= f(σ).
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62 CAPI´TULO 3. CONTINUIDADE
Corola´rio 3.12. Seja f uma func¸a˜o crescente ou decrescente num
intervalo. Enta˜o f e´ cont´ınua se, e so´ se, f tem a propriedade do
valor intermedia´rio.
Teorema 3.13. Toda func¸a˜o cont´ınua e injetora f num intervalo
I e´ crescente (ou decrescente) em I e sua func¸a˜o inversa tambe´m e´
cont´ınua e crescente (ou decrescente) no intervalo f(I).
Demonstrac¸a˜o. Seja f : I → R cont´ınua e injetora no intervalo I.
Pelo TVI, a imagem J = f(I) de f e´ um intervalo e, por ser f
injetora, existe a func¸a˜o inversa g : J → R de f. Pelo Exerc´ıcio
3.20, f e´ crescente (ou decrescente) em I, com inversa crescente (ou
decrescente). Como a imagem de g e´ o intervalo I, o Teorema 3.11
garante que a inversa g e´ cont´ınua.
Exemplo 3.14. A func¸a˜o racional cont´ınua definida por f(x) = 1/x,
do Exemplo 3.1, leva o intervalo limitado na˜o fechado (0, 1] no inter-
valo ilimitado [1,∞) e leva o intervalo fechado na˜o limitado [1,∞) no
intervalo na˜o fechado (0, 1].
x
y
1
1
−3 −2
Figura 3.8 A func¸a˜o cont´ınua f(x) = 1/x leva intervalos
compactos do domı´nio em intervalos compactos
No entanto, essa f leva qualquer intervalo limitado e fechado (ou
seja, compacto) do domı´nio num intervalo limitado e fechado; por
exemplo, leva [−3,−2] em [− 13 ,− 12]. ⊚
Em geral, nenhuma func¸a˜o cont´ınua pode levar um intervalo com-
pacto do domı´nio num intervalo ilimitado.
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3.2. CONTINUIDADE NUM INTERVALO 63
Proposic¸a˜o 3.15. A imagem direta por uma func¸a˜o cont´ınua de
qualquer intervalo compacto contido no domı´nio da func¸a˜o e´ um in-
tervalo limitado.
Demonstrac¸a˜o. De fato, suponha que f : X → R seja uma fun-
c¸a˜o cont´ınua, que [a, b] ⊆ X seja um intervalo compacto e que a
imagem f([a, b]) seja ilimitada. Escolhendo, para cada n ∈ N, algum
yn ∈ f([a, b]) tal que n < |yn|, obtemos uma sequeˆncia (xn) de [a, b]
tal que n < |yn| = |f(xn)|, com n ∈ N.
Pelo Teorema 2.17 de Bolzano-Weierstrass, essa
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