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Álgebra Linear: Matrizes e Determinantes

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26/03/2019 EPS
estacio.webaula.com.br/Classroom/index.html?id=2506988&classId=1157525&topicId=2865856&p0=03c7c0ace395d80182db07ae2c30f034&ena… 1/3
CCE0579_EX_A1_201901324311_V1
 
 
 
ÁLGEBRA LINEAR
 1a aula
 Lupa 
Vídeo
 
PPT
 
MP3
 
 
Exercício: CCE0579_EX_A1_201901324311_V1 19/03/2019 (Finaliz.)
Aluno(a): SANDRO QUIRINO DOS SANTOS 2019.1 EAD
Disciplina: CCE0579 - ÁLGEBRA LINEAR 201901324311
 
 1a Questão
Seja A uma matriz 2x4 e B uma matriz 4x3, então o produto A.B = C é uma matriz do tipo:
4 x 2
1 x 1
3 x 3
 2 x 3
4 x 3
 
 
Explicação:
A fim de efetuar o produto entre a matriz A e a matriz B, devemos ter o número de colunas da matriz A igual ao
número de linhas da matriz B.
No caso A possui 4 colunas e B possui 4 linhas!
A matriz resultante terá o número de linhas de A (2 linhas) e o número de colunas de B (3 colunas), ou seja, a
matriz resultante C é uma matriz 2 por 3 (2 x 3).
 
 
 2a Questão
Em uma empresa, o custo da produção e o custo do transporte dos produtos foram modelados
segundo as matrizes abaixo. A primeira matriz M1 representa a fábrica situada em Bauru e a matriz
M2, a outra fábrica situada em Lorena. A primeira coluna das matrizes são referentes ao custo de
produção e a segunda coluna referente ao custo de transporte. A primeira linha representa o
produto A, a segunda o B e a terceira o C. A soma das matrizes M1 e M2 fornecem o custo total de
produção e transporte de cada produto. Com base nessas informações, pode-se afirmar que os
custos de produção e transporte do produto B são respectivamente iguais a:
 
74 e 55
63 e 55
140 e 62
 102 e 63
87 e 93
 
 
Explicação:
Para o produto B (2a linha) temos:
50 + 52 = 102
25 + 38 = 63
 
 
 
26/03/2019 EPS
estacio.webaula.com.br/Classroom/index.html?id=2506988&classId=1157525&topicId=2865856&p0=03c7c0ace395d80182db07ae2c30f034&ena… 2/3
 3a Questão
O determinante da matriz A = [aij] , 3x3, onde: 
aij = i - j , se i < j e aij = i + j , se i > j é igual a
26
34
-34
0
 -26
 
 
Explicação:
a11 = 1 - 1 = 0
a12 = 1 - 2 = - 1
a13 = 1 - 3 = - 2
a21 = 2 + 1 = 3
a22 = 2 - 2 = 0
a23 = 2 - 3 = - 1
a31= 3 + 1 = 4
a32= 3 + 2 = 5
a33= 3 - 3 = 0
 = - 26
 
 
 4a Questão
Sejam as matrizes A = [(3,2),(5,7)] e B = [(4,1),(2,3)]. Quanto vale o det(A.B)?
1
100
 110
101
10
 
 
 5a Questão
Seja A uma matriz 2x3 e B uma matriz 3x3, então o produto A.B = C é uma matriz do tipo:
3 x 1
1 x 3
1 x 1
3 x 3
 2 x 3
 
 
Explicação:
A fim de efetuar o produto entre a matriz A e a matriz B, devemos ter o número de colunas da matriz A igual ao
número de linhas da matriz B.
No caso A possui 3 colunas e B possui 3 linhas!
A matriz resultante terá o número de linhas de A (2 linhas) e o número de colunas de B (3 colunas), ou seja, a
matriz resultante C é uma matriz 2 por 3 (2 x 3).
 
 
 6a Questão
Sabendo que vale a soma das matrizes:
 + = 
Determinar os valores de x e y, respectivamente:
 
3 e -1
-3 e 1
1 e -3
-1 e -3
 -1 e 3
 
 
Explicação:
 + = 
x + 4 = 3 => x = -1
y + 3 = 6 => y = 3
Logo, a resposta é -1 e 3.
⎡
⎢
⎣
0 −1 −2 0 1
3 0 −1 3 0
4 5 0 4 5
⎤
⎥
⎦
(
x 1
−5 y
) (
4 1
−5 3
) (
3 2
−10 6
)
(
x 1
−5 y
) (
4 1
−5 3
) (
3 2
−10 6
)
26/03/2019 EPS
estacio.webaula.com.br/Classroom/index.html?id=2506988&classId=1157525&topicId=2865856&p0=03c7c0ace395d80182db07ae2c30f034&ena… 3/3
 
 
 7a Questão
Uma firma fabrica quatro tipos de aparelhos cirúrgicos utilizando materiais diferentes. Considere a matriz onde cada
elemento aij representa quantas peças do material j serão empregadas para fabricar um aparelho do tipo i. Determine o total do material 2
que será empregado para fabricar oito aparelhos do tipo 1, dois aparelhos do tipo 2, um aparelho do tipo 3 e cinco aparelhos do tipo 4.
20
30
 50
40
10
 
 
Explicação:
Nesse estudo de caso podemos considerar que as linhas correspondem ao tipo e as colunas ao material. Como o enunciado pediu o
somatório somente do material 2, podemos fixar a coluna 2.
Assim, na matriz podemos fazer o seguinte cálculo:
(8 aparelhos x 1) + (2 aparelhos x 2) + (1 aparelho x 3) + (5 aparelhos x 7).
(8 . 1) + (2 . 2) + (1 . 3) + (5 . 7) => 8 + 4 + 35 => 50
 
 
 8a Questão
O valor de um determinante é 12. Se dividirmos a 1ª linha por 6 e multiplicarmos a 3ª coluna por 4, o novo determinante valerá:
48
18
24
36
 8
 
 
Explicação:
Quando se multiplica (ou se divide) uma fila de um determinante por um número, o novo determinante fica multiplicado (ou dividido) por
esse número.
No caso temos:
12 / 6 . 4 = 8
 
 
 
⎡
⎢ 
⎢ 
⎢
⎣
 3 1 0 4
0 2 5 6
2 3 8 0
4 7 5 1
⎤
⎥ 
⎥ 
⎥
⎦
⎡
⎢ 
⎢ 
⎢
⎣
 3 1 0 4
0 2 5 6
2 3 8 0
4 7 5 1
⎤
⎥ 
⎥ 
⎥
⎦
26/03/2019 EPS
estacio.webaula.com.br/Classroom/index.html?id=2506988&classId=1157525&topicId=2865856&p0=03c7c0ace395d80182db07ae2c30f034&ena… 1/3
CCE0579_EX_A1_201901324311_V2
 
 
 
ÁLGEBRA LINEAR
 1a aula
 Lupa 
Vídeo
 
PPT
 
MP3
 
 
Exercício: CCE0579_EX_A1_201901324311_V2 19/03/2019 (Finaliz.)
Aluno(a): SANDRO QUIRINO DOS SANTOS 2019.1 EAD
Disciplina: CCE0579 - ÁLGEBRA LINEAR 201901324311
 
 1a Questão
Seja A uma matriz 3x3 e B uma matriz 3x1, então o produto A.B = C é uma matriz do tipo:
3 x 4
1 x 1
 3 x 1
1 x 4
3 x 3
 
 
Explicação:
A fim de efetuar o produto entre a matriz A e a matriz B, devemos ter o número de colunas da matriz A igual ao
número de linhas da matriz B.
No caso A possui 3 colunas e B possui 3 linhas!
A matriz resultante terá o número de linhas de A (3 linhas) e o número de colunas de B (1 coluna), ou seja, a
matriz resultante C é uma matriz 3 por 1 (3 x 1).
 
 
 2a Questão
Chama-se matriz anti-simétrica toda matriz quadrada A, de orden n, tal que A t = -A. Indique qual matriz abaixo é anti-simétrica:
 
 
 
Explicação:
Uma matriz quadrada A é dita antissimétrica quando a sua transposta for igual a matriz oposta da própria matriz A, ou seja: At = ¿ A
Para determinação da solução são necessários então dois conceitos! 
Denominamos de matriz transposta de A, representada por At , a matriz obtida quando trocamos as linhas de A por suas colunas,
ordenadamente.
Matriz oposta é a matriz - A obtida a partir de A trocando-se o sinal de todos os elementos de A.
Neste caso linhas e colunas devem ter os mesmos elementos, porém com os sinais trocados!
 
 
⎡
⎢
⎣
0 a b
−a 0 c
b −c 0
⎤
⎥
⎦
⎡
⎢
⎣
0 a b
−a 0 −c
−b −c 0
⎤
⎥
⎦
⎡
⎢
⎣
0 a b
a 0 c
−b −c 0
⎤
⎥
⎦
⎡
⎢
⎣
0 a b
−a 0 c
−b c 0
⎤
⎥
⎦
⎡
⎢
⎣
0 a b
−a 0 c
−b −c 0
⎤
⎥
⎦
26/03/2019 EPS
estacio.webaula.com.br/Classroom/index.html?id=2506988&classId=1157525&topicId=2865856&p0=03c7c0ace395d80182db07ae2c30f034&ena… 2/3
 3a Questão
Dado que a A é uma matriz 2 x 4 e B é uma matriz 4 x 1, então o produto A . B = C é uma matriz do tipo:
4 x 4
2 x 2
 2 x 1
2 x 4
4 x 1
 
 
Explicação:
Para efetuar um produto entre a matriz A e a matriz B, devemos ter o número de colunas (p) da matriz A igual ao número de linhas (p) da
matriz B.
Am,p . Bp,n = Cm.n
Temos no exercício que A . B = C => A2,4 . B 4,1 = C2,1.
C é uma matriz 2 por 1 (2 x 1).
 
 
 4a Questão
Para que valores de x,y e z, repectivamente, a matriz M é uma matriz simétrica
1,2,5
 1,-2,5
-1,2,-5
1,2,-5
-1,2,5
 
 
Explicação:
A matriz simétrica é uma matriz quadrada onde a sua transposta é igual a própria matriz(At = A). Ou seja, ai,j = aj,i .
Assim, podemos fazer:
Matriz a1,3= a3,1 => x + y = -1 => x = -1 - y ......................................................... x = -1 -(-2) => x = 1
Matriz a2,1 = a1,2 => x - y = 3 ......................(-1 - y) - y = 3 => -2y = 4 => y = -2.
Matriz a2,3 = a3,2 => z - 3 = 2 => z = 2 + 3 => z = 5 
Logo, a rseposta é: 1, -2 e 5.
 
 
 
 5a Questão
Chama-se de traço de uma matriz quadrada X e representa-se por tr(X) a soma dos elementos da sua diagonal principal. Sendo A = [aij]
uma matriz quadrada de ordem par onde aij=1 se i é par ou aij=-1 se i é ímpar. Determine tr(3A).
1
4
3
 0
2
 
 
Explicação:
Definimos o traço de uma matriz quadrada A como sendo a soma dos elementos da diagonal principal.
Com base no enunciado podemos montar a seguinte matriz A:
 = 
 Tr (3A) = 3 . => => -3 + 3 = 0.
Conclusão, o tr(3A) = 0.
 
 
 6a Questão
Chamamos de matriz simétrica toda a matriz quadrada A, de orden n, tal que . Assim sendo , indique qual é a matriz simétrica:
⎛
⎜
⎝
5 3 x+ y
x− y 4 z− 3
−1 2 x
⎞
⎟
⎠
⎛
⎜
⎝
5 3 x+ y
x− y 4 z− 3
−1 2 x
⎞
⎟
⎠
[
 a
1,1
a
1,2
a
2,1
a
2,2
] [
  − 1 −1
1 1
]
[
  − 1 −1
1 1
] [
  − 3 −3
3 3
]
A
t
= A
⎡
⎢ 
⎢ 
⎢ 
⎢
⎣
a b c d
b e f g
c f h i
−d g i j
⎤
⎥ 
⎥ 
⎥ 
⎥
⎦
26/03/2019 EPS
estacio.webaula.com.br/Classroom/index.html?id=2506988&classId=1157525&topicId=2865856&p0=03c7c0ace395d80182db07ae2c30f034&ena… 3/3
 
 
 
Explicação:
Chamamos matriz simétrica toda matriz quadrada A, de orden n, tal que At = A.
Denominamos de matriz transposta de A, representada por At a matriz obtida quando trocamos as linhas de A por suas colunas,
ordenadamente.
Neste caso linhas e colunas correspondentes (primeira linha e primeira coluna, segunda linha e segunda coluna, etc...) devem possuir os
mesmos elementos.
 
 
 
 7a Questão
Dadas as matrizes A = ( 1 2 3 ) e B = ( -2 0 1 ) , podemos afirmar que a soma dos elementos da matriz 2A+ 3B , é igual a :
10
-1
17
-17
 9
 
 
Explicação:
2 . (1 + 2 +3) + 3 . (-2 +0 +1) = 12 - 3 = 9
 
 
 8a Questão
Determine a soma dos elementos da diagonal principal do produto destas matrizes.
6
7
2
0
 5
 
 
Explicação:
Para a diagonal principal temos os seguintes resultados:
2 . (-1) + 0 . 0 = - 2
1 . 1 + 3 . 2 = 7
A soma desses valores acarreta a resposta: - 2 + 7 = 5
 
 
 
⎡
⎢ 
⎢ 
⎢ 
⎢
⎣
a b c d
b e −f g
c f h i
d g i j
⎤
⎥ 
⎥ 
⎥ 
⎥
⎦
⎡
⎢ 
⎢ 
⎢ 
⎢
⎣
a b c d
b −e f g
c f h i
d g i j
⎤
⎥ 
⎥ 
⎥ 
⎥
⎦
⎡
⎢ 
⎢ 
⎢ 
⎢
⎣
a b −c d
b e f g
c f h i
d g i j
⎤
⎥ 
⎥ 
⎥ 
⎥
⎦
⎡
⎢ 
⎢ 
⎢ 
⎢
⎣
a b c d
b e f g
c f h i
d g i j
⎤
⎥ 
⎥ 
⎥ 
⎥
⎦
[
2 0
1 3
]. [
−1 1
0 2
]
26/03/2019 EPS
estacio.webaula.com.br/Classroom/index.html?id=2506988&classId=1157525&topicId=2865856&p0=03c7c0ace395d80182db07ae2c30f034&ena… 1/3
CCE0579_EX_A1_201901324311_V3
 
 
 
ÁLGEBRA LINEAR
 1a aula
 Lupa 
Vídeo
 
PPT
 
MP3
 
 
Exercício: CCE0579_EX_A1_201901324311_V3 19/03/2019 (Finaliz.)
Aluno(a): SANDRO QUIRINO DOS SANTOS 2019.1 EAD
Disciplina: CCE0579 - ÁLGEBRA LINEAR 201901324311
 
 1a Questão
Uma confecção vai fabricar 3 modelos de vestidos utilizando materiais diferentes.
Considere a matriz A = aij, em que aij representa quantas unidades do material j
serão empregadas para fabricar um modelo de vestido do tipo i.
Qual é a quantidade total de unidades do material 3 que será empregada para fabricar três vestidos do tipo 2?
6
 9
20
18
12
 
 
Explicação:
Nesse caso, podemos considerar que as linhas da matriz representam o tipo e as colunas o material.
Assim, como deseja-se saber a quantidade do material 3 para fabricar o vestido do tipo 2, podemos acessar a linha 2 e com a coluna 3.
A2,3 = 9.
 
 
 
 2a Questão
Seja A uma matriz 4x3 e B uma matriz 3x1, então o produto A.B = C é uma matriz do tipo:
1 x 1
 4 x 1
4 x 3
1 x 3
3 x 1
 
 
Explicação:
A fim de efetuar o produto entre a matriz A e a matriz B, devemos ter o número de colunas da matriz A igual ao
número de linhas da matriz B.
No caso A possui 3 colunas e B possui 3 linhas!
A matriz resultante terá o número de linhas de A (4 linhas) e o número de colunas de B (1 coluna), ou seja, a
matriz resultante C é uma matriz 4 por 1 (4 x 1).
 
 
 3a Questão
Dadas as matrizes, A= , e X= . Indique os valores de x e y de modo que A.X=B.
 x=0, y=1
A =
⎛
⎜
⎝
5 0 2
0 1 3
4 2 1
⎞
⎟
⎠
[
 1 2
0 1
] [
 2
1
] [
 x
y
]
26/03/2019 EPS
estacio.webaula.com.br/Classroom/index.html?id=2506988&classId=1157525&topicId=2865856&p0=03c7c0ace395d80182db07ae2c30f034&ena… 2/3
x=0, y=-1
x=1, y=0
x=0, y=0
x=1, y=1
 
 
Explicação:
A= , e X= .
A.x = B
 . = 
Assim teremos as equações:
1) x + 2y = 2 => substituindo o valor de y aqui teremos: x + 2(1) 2 => x = 2 - 2 => x = 0
2) y = 1
 
 
 4a Questão
Determine os valores de x, y de forma que a igualdade se verifique 
 x=1 e y=2
x=1 e y=1
x=2 e y=1
x=0 e y=0
x=2 e y=2
 
 
Explicação:
Vamos igualar os elementos da matriz em tela aos elementos correspondentes da matriz identidade!
x2 = 1
y2 - 3 = 1
x - 1 = 0
y - 2 = 0
Temos então que x = 1 e y = 2
 
 
 5a Questão
Qual alternativa abaixo representa uma matriz antissimétrica de A = ?
 
 
 
Explicação:
A matriz é antissimétrica é igual a sua transposta com sinal trocado, ou seja,A = -At.
Assim, se A = , podemos escrever a sua transposta At = . Logo, a antissimétrica será -At = .
 
Conclusão, a matriz antissimétrica de A= é -At = .
 
 
 6a Questão
Se A é uma matriz 2x3 e B é uma matriz 3x1, então o produto AB = C é uma matriz
1x2
 2x1
1x3
3x3
3x3 , porém, nula
 
[
 1 2
0 1
] B = [
 2
1
] [
 x
y
]
[
 1 2
0 1
] [
 x
y
] [
 2
1
]
[
x
2
x − 1
y − 2 y
2
− 3
] = I
⎡
⎢
⎣
 0 1 −1
−1 0 2
1 −2 0
⎤
⎥
⎦
⎡
⎢
⎣
 0 1 1
1 0 2
1 2 0
⎤
⎥
⎦
[
 0
]
⎡
⎢
⎣
 0 1 1
1 0 1
1 1 0
⎤
⎥
⎦
⎡
⎢
⎣
 1 0 0
0 1 0
0 0 1
⎤
⎥
⎦
⎡
⎢
⎣
 0 1 −1
−1 0 2
1 −2 0
⎤
⎥
⎦
⎡
⎢
⎣
 0 1 −1
−1 0 2
1 −2 0
⎤
⎥
⎦
⎡
⎢
⎣
 0 −1 1
1 0 −2
−1 2 0
⎤
⎥
⎦
⎡
⎢
⎣
 0 1 −1
−1 0 2
1 −2 0
⎤
⎥
⎦
⎡
⎢
⎣
 0 1 −1
−1 0 2
1 −2 0
⎤
⎥
⎦
⎡
⎢
⎣
 0 1 −1
−1 0 2
1 −2 0
⎤
⎥
⎦
26/03/2019 EPS
estacio.webaula.com.br/Classroom/index.html?id=2506988&classId=1157525&topicId=2865856&p0=03c7c0ace395d80182db07ae2c30f034&ena… 3/3
 
Explicação:
Nessa questão podemos aplicar o seguinte entendimento:
Para efetuar um produto entre a matriz A e a matriz B, devemos ter o número de colunas(p) da matriz A = ao número de linhas(p)
da matriz B. 
Am,p . Bp,n = Cm.n Assim, temos p = p.
Na questão apresentada temos AB = C => A2,3 . B 3,1 = C2,1.
Conclusão, a matriz C é uma matriz 2 por 1 (2 x 1).
 
Gabarito
 Coment.
 
 
 7a Questão
Considere as matrizes
 
Efetuando-se o produto A.B encontramos uma matriz cuja soma dos elementos da diagonal principal é:
36
37
 46
25
47
 
 
Explicação:
Você deve fazer o prduto de A . B, e no final somar a diagonal principal.
 
A . B = Linha 1 de A X coluna 1 de B, Linha 1 de A X coluna 2 de B,
 Linha 2 de A X coluna 1 de B e Linha 2 de A X coluna 2 de B.
Ou seja:
 = = 8 + 38 = 46.
 
 
 
 8a Questão
Qual alternativaabaixo representa a matriz simétrica de A = ?
 
 
 
Explicação:
Matriz simétrica é uma matriz onde A = At , ou seja, a matriz A é igual a sua transposta. 
Assim, as linhas são transformada em colunas para encontrar a transposta.
Conclusão:
Sendo A = , a sua simétrica também será .
 
 
 
 
A = (
0 1 2
3 4 5
) B =
⎛
⎜
⎝
1 2
2 3
3 4
⎞
⎟
⎠
A = (
0 1 2
3 4 5
) B =
⎛
⎜
⎝
1 2
2 3
3 4
⎞
⎟
⎠
(
0 + 2 + 6 0 + 3 + 8
3 + 8 + 15 6 + 12 + 20
) (
8 11
26 38
)
⎡
⎢
⎣
 2 1 1
1 1 1
1 1 2
⎤
⎥
⎦
[
 0
]
⎡
⎢
⎣
 1 0 0
0 1 0
0 0 1
⎤
⎥
⎦
⎡
⎢
⎣
 1 1 2
1 1 1
2 1 1
⎤
⎥
⎦
⎡
⎢
⎣
 2 1 1
1 1 1
1 1 2
⎤
⎥
⎦
⎡
⎢
⎣
 2 1 2
1 1 1
2 1 2
⎤
⎥
⎦
⎡
⎢
⎣
 2 1 1
1 1 1
1 1 2
⎤
⎥
⎦
⎡
⎢
⎣
 2 1 1
1 1 1
1 1 2
⎤
⎥
⎦
26/03/2019 EPS
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Exercício: CCE0579_EX_A1_201901324311_V4 19/03/2019 (Finaliz.)
Aluno(a): SANDRO QUIRINO DOS SANTOS 2019.1 EAD
Disciplina: CCE0579 - ÁLGEBRA LINEAR 201901324311
 
 1a Questão
Uma fabricante de instrumento musical tem um projeto para fabrica
3 modelos de percussão (repique) utilizando 3 materiais diferentes.
Considere a matriz A = aij, onde aij representa a quantidade em metro do
material i que serão necessários para fabricar um modelo de repique do
modelo j.
A = 
Qual alternativa abaixo representa a quantidade total em metros do material
2 necessários para fabricar 10 repiques do modelo 2?
2
3
11
 10
4
 
 
Explicação:
Solução:
Nesse caso, podemos considerar que as linhas da matriz representam o
material e as colunas o modelo do instrumento de percussão.
Com isso, como deseja-se saber quantos metros do material 2 são
necessários para fabricar 10 repiques do modelo 2, podemos localizar na
matriz a linha 2 e a coluna 2 , e multiplicar por 10.
Ou seja, 10 . A2,2 = 10 . 1 = 10 metros.
Conclusão:
São necessários 10 metros do material 2 para fabricar o repique
modelo 2.
 
 
 2a Questão
Para que valores de x e y a matriz P é uma matriz diagonal?
P= 
x=3 e y= 0
x=2 e y= 2
 x=-1 e y=2
x=2 e y=2
⎡
⎢
⎣
 2 1 1
1 1 2
1 1 2
⎤
⎥
⎦
[
y x − y + 3
x + y − 1 x
]
26/03/2019 EPS
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x=0 e y=-1
 
 
Explicação:
Matriz diagonal é a matriz quadrada onde todos os elementos fora da diagonal principal são nulos, logo:
x + y - 1 = 0
x - y + 3 = 0
Resolvendo o sistema temos:
x = -1; y = 2
 
 
 3a Questão
Dado que a A é uma matriz 2 x 5 e B é uma matriz 5 x 1, então o produto A . B = C é uma matriz do tipo:
5 x 1
5 x 2
2 x 5
 2 x 1
1 x 5
 
 
Explicação:
Para efetuar um produto entre a matriz A e a matriz B, devemos ter o número de colunas (p) da matriz A igual ao número de linhas (p) da
matriz B.
Am,p . Bp,n = Cm.n
Temos no exercício que A . B = C => A2,5 . B 5,1 = C2,1.
C é uma matriz 2 por 1 (2 x 1).
 
 
 4a Questão
Uma matriz quadrada de ordem 4 x 4 apresenta um número de elementos igual a:
25
9
4
1
 16
 
 
Explicação:
Uma matriz com 4 linhas e 4 colunas possui 4 x 4 = 16 elementos!
 
 
 5a Questão
Considere uma matriz identidade I de ordem 30 x 30. Sabendo-se que traço de uma matriz A (tr(A)) é a soma dos elementos da diagonal
principal, determine o traço de I, ou seja, tr(I)
60
1
0
 30
900
 
 
Explicação:
Como todos os elementos da diagonal principal são iguais a 1 e a ordem da matriz é 30, teremos a soma do "1" 30 vezes, ou seja, tr(I) = 1
+ 1 + ...+ 1 = 30
 
 
 6a Questão
Aplicando a regra de Sarrus , qual opção abaixo representa o determinante da matriz A = ?
 0
10
1
 
 
Explicação:
⎡
⎢
⎣
 2 1 1
1 1 2
1 1 2
⎤
⎥
⎦
⎡
⎢
⎣
 1 0 0
0 1 0
0 0 1
⎤
⎥
⎦
⎡
⎢
⎣
 2 1 1
1 1 2
1 1 2
⎤
⎥
⎦
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Para cálcular o determinante de A = através da regra de Sarrus precisamos repetir as duas primeiras colunas após a terceira
coluna, de forma a montar uma matriz de 3 linhas por 5 colunas. Somamos então o produto dos elementos das 3 diagonais principais mais o
produto das três diagonais segundarias com o sinal trocado.
 
Det(A) = 
= ( (2.1.2)+(1.2.1)+(1.1.1)) + ( (-(1.1.1)) + (-(2.2.1)) = (-(1.1.2)) ) 
= ((4) + (2) + (1)) + ( (-1) + (-4) + (-2) )
= (7) + (-1 -4 -2)
= 7 - 7 
=0.
Conclusão, o determinante da matriz A= é igual 0.
 
 
 
 7a Questão
Qual alternativa abaixo representa a matriz transposta de A = ?
 
 
 
Explicação:
Para cálcular uma matriz transposta você deve tranforma a linha da matriz em coluna.
Conclusão:
Sendo a matriz A = , a sua transposta será igual At = .
 
 
 
 8a Questão
Considere a matriz: A= 
Determine a soma dos elementos da diagonal principal desta matriz.
4
1
-2
0
 2
 
 
Explicação:
A diagonal principal é formada pelos elementos da matriz quadrada onde o índice da linha é igual ao índice da coluna (i = j).
Neste caso temos:
a11 = 1 
a22 = -1
a33 = 2
Para a soma temos: 1 + (-1) + 2 = 2
 
 
 
⎡
⎢
⎣
 2 1 1
1 1 2
1 1 2
⎤
⎥
⎦
⎡
⎢
⎣
 2 1 1 2 1
1 1 2 1 1
1 1 2 1 1
⎤
⎥
⎦
⎡
⎢
⎣
 2 1 1
1 1 2
1 1 2
⎤
⎥
⎦
⎡
⎢
⎣
 2 1 1
1 1 2
1 1 2
⎤
⎥
⎦
⎡
⎢
⎣
 1 0 0
0 1 0
0 0 1
⎤
⎥
⎦
⎡
⎢
⎣
 2 1 1
1 1 2
1 1 2
⎤
⎥
⎦
⎡
⎢
⎣
 2 1 2
1 1 1
2 1 2
⎤
⎥
⎦
⎡
⎢
⎣
 1 1 1
1 1 1
1 1 1
⎤
⎥
⎦
⎡
⎢
⎣
 2 1 1
1 1 1
1 2 2
⎤
⎥
⎦
⎡
⎢
⎣
 2 1 1
1 1 2
1 1 2
⎤
⎥
⎦
⎡
⎢
⎣
 2 1 1
1 1 1
1 2 2
⎤
⎥
⎦
⎡
⎢
⎣
1 1 2
2 −1 3
0 1 2
⎤
⎥
⎦
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Exercício: CCE0579_EX_A1_201901324311_V5 19/03/2019 (Finaliz.)
Aluno(a): SANDRO QUIRINO DOS SANTOS 2019.1 EAD
Disciplina: CCE0579 - ÁLGEBRA LINEAR 201901324311
 
 1a Questão
Para conseguir passar para a fase seguinte de um campeonato que envolve raciocínio matemático,
os participantes tiveram que encontrar os valores de a, b, c e d das matrizes abaixo. Somente
passaram para a fase seguinte os participantes que acertaram a questão e obtiveram para a, b, c e
d, respectivamente, os seguintes valores :
 
 
2, 0, 2, 1
1 ,1 , 2, 2
1,2, 0, 2
0, 0, 1, 2
 0, 2, 1, 2
 
 
Explicação:
 a + 2b = 4
2a - b = -2 (x2)
a + 2b = 4
4a - 2b = -4
5a = 0 então a = 0
Para a = 0 temos:
0 + 2b =4 então b = 2
 
2c + d = 4 (x2)
c - 2d = -3
4c + 2d = 8
c - 2d = -3
5c = 5 então c = 1 
Para c = 1 temos:
2.1 + 2d = 4 então d = 4 -2 = 2
 
Como resposta final temos: 0; 2; 1; 2
 
 
 
 2a Questão
Suponha as matrizes A 2x3 e B3x4. Sejam as matrizes C e D tal que C = (A.B) + Dm x n . Assim, para que exista a equação matricial
descrita, o valor da soma m + n é:
9
8
7
5
 6
 
 
Explicação:
Solução: A 2x3 . B3x4= E2x4 . Para somar uma matriz 2 x 4 com uma D m x n , só se m = 2 e n = 4. Logo, a soma vale 6
 
26/03/2019 EPS
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 3a Questão
Dadas duas matrizes A e B de mesmo �po (mxn), temos que k·(A+B)=k·A+k·B. Assim sendo, se , 
 e k=2, então a alterna�va correta para k·(A+B) é igual a:
 
 
 
Explicação:
k·(A+B) = 2 . 
k·(A+B) = 
 
 
 4a Questão
Seja A uma matriz 4x2 e B uma matriz 2x1, então o produto A.B = C é uma matriz do tipo:
3 x 1
1 x 1
2 x 2
1 x 4
 4 x 1
 
 
Explicação:
A fim de efetuar o produto entre a matriz A e a matriz B, devemos ter o número de colunas da matriz A igual ao
número de linhas da matriz B.
No caso A possui 2 colunas e B possui 2 linhas!
A matriz resultante terá o número de linhas de A (4 linhas) e o número de colunas de B (1 coluna), ou seja, a
matriz resultante C é uma matriz 4 por 1 (4 x 1).
 
 
 5a Questão
Dada a operação com matrizes a seguir:
Determinar os valores de x e y.
-1 e -3
 -1 e 3
3 e -1
1 e -3
-3 e 1
 
 
Explicação:
A =
⎡
⎢
⎣
0 2 4
0 0 0
−1 3 7
⎤
⎥
⎦
B =
⎡
⎢
⎣
0 −1 2
−1 1 −1
1 −5 0
⎤
⎥
⎦
⎡
⎢
⎣
0 2 12
−2 −2 −2
0 −4 14
⎤
⎥
⎦
⎡
⎢
⎣
0 2 12
−2 2 −2
0 −4 14
⎤
⎥
⎦
⎡
⎢
⎣
0 2 12
−2 2 −2
0 −4 −14
⎤
⎥
⎦
⎡
⎢
⎣
0 2 12
−2 2 −2
0 4 14
⎤
⎥
⎦
⎡
⎢
⎣
0 −2 12
−2 2 −2
0 −4 14
⎤
⎥
⎦
⎡
⎢
⎣
0 1 6
−1 1 −1
0 −2 7
⎤
⎥
⎦
⎡
⎢
⎣
0 2 12
−2 2 −2
0 −4 14
⎤
⎥
⎦
[
x 1
−5 y
] + [
4 1
−5 3
] = [
3 2
−10 6
]
26/03/2019 EPS
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Temos que: 
x + 4 = 3 então x = 3 - 4 = -1
Temos ainda que: 
y + 3 = 6 então y = 6 - 3 = 3
 
 
 6a Questão
Adicionando [ 1 2 3 ] + [ -1 -2 3 ] , encontramos:
[ 0 0 0 ]
[ 2 2 1]
[ 0 0 1 ]
 [ 0 0 6 ]
[ 1 1 1 ]
 
 
Explicação:
1 + (-1) = 0
2 + (-2) = 0
3 + 3 = 6
Temos então como resposta: [0 0 6]
 
 
 7a Questão
Seja A uma matriz 4x4 e B uma matriz 4x1, então o produto A.B = C é uma matriz do tipo:
1 x 4
 4 x 1
3 x 3
3 x 4
1 x 1
 
 
Explicação:
A fim de efetuar o produto entre a matriz A e a matriz B, devemos ter o número de colunas da matriz A igual ao
número de linhas da matriz B.
No caso A possui 4 colunas e B possui 4 linhas!
A matriz resultante terá o número de linhas de A (4 linhas) e o número de colunas de B (1 coluna), ou seja, a
matriz resultante C é uma matriz 4 por 1 (4 x 1).
 
 
 8a Questão
Na tabela abaixo temos as notas obtidas por 3 alunos nas provas de português, matemática, física e química.
 
 Português Matemática Física Química
João 8 3 6 5
Maria 7 5 4 3
José 5 7 8 2
Denotando a matriz A com colunas referentes às disciplinas e as linhas referentes aos alunos, determine a soma
dos elementos a12, a22,a32 da matriz A.
20
 15
18
12
10
 
 
Explicação:
Nessa questão devemos considerar que os elementos da tabela apresentados correspondem:
a1,2 = primeira linha e segunda coluna;
a2,2 = segunda linha e segunda coluna;
a3,2 = terceira linha e segunda coluna.
 
Conclusão, a soma de a12 +a22 + a32 => 3 + 5 + 7 = 15. 
 
 
 
26/03/2019 EPS
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Exercício: CCE0579_EX_A1_201901324311_V6 19/03/2019 (Finaliz.)
Aluno(a): SANDRO QUIRINO DOS SANTOS 2019.1 EAD
Disciplina: CCE0579 - ÁLGEBRA LINEAR 201901324311
 
 1a Questão
Uma industria automobilística tem um projeto para fabricar 3 modelos de carros(Hatch , SUV e Jeep), com 2 ou 4 portas(tipos).
Considere a matriz A = aij, onde aij representa a quantidade de dias que a industria necessita para fabricar um determinado modelo i
de um deteminado tipo j.
A = 
Qual alternativa abaixo representa a quantidade total de dias necessários para fabricar 2 Jeep de 2 portas?
25
 60
74
30
55
 
 
Explicação:
Solução:
Nesse caso, podemos considerar que as linhas da matriz representam o modelo(Hatch, SUV ou Jeep) e as colunas o tipo(2 ou 4 portas).
Com isso, como deseja-se saber quantos dias são necessários para fabricar 2 Jeeps de 2 portas.
Ou seja, 2 . A3,2 = 2 . 30 = 60 dias.
Conclusão:
São necessários 60 dias para fabricar 2 Jepps de 2 portas.
 
 
 
 2a Questão
Uma matriz de ordem 3 x 5 apresenta número de elementos igual a :
20
 15
12
8
10
 
 
Explicação:
Uma matriz com 3 linhas e 5 colunas possui 3 x 5 = 15 elementos
 
 
 3a Questão
Dado que a A é uma matriz 2 x 6 e B é uma matriz 6 x 1, então o produto A . B = C é uma matriz do tipo:
 2 x 1
6 x 2
1 x 6
6 x 1
2 x 6
 
⎡
⎢
⎣
 30 25
19 32
25 30
⎤
⎥
⎦
⎡
⎢
⎣
 30 25
19 32
25 30
⎤
⎥
⎦
26/03/2019 EPS
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Explicação:
Para efetuar um produto entre a matriz A e a matriz B, devemos ter o número de colunas (p) da matriz A igual ao número de linhas (p) da
matriz B.
Am,p . Bp,n = Cm.n
Temos no exercício que A . B = C => A2,6 . B 6,1 = C2,1.
C é uma matriz 2 por 1 (2 x 1).
 
 
 4a Questão
Tendo duas matrizes A2x3 e B2x2. Responda a afirmativa correta, com relação a operação A x B.
É impossível pois o número de linhas de A é igual ao número de linha de B
 É impossível pois o número de colunas de A é diferente do número de linha de B
É impossível pois A e B tem dimensões diferentes
É possível e tem com resposta C3x3
É possível e tem com resposta C2x2
 
 
Explicação:
O produto só é possível se o número de colunas de A é igual ao número de linhas de B! 
 
 
 5a Questão
Dado que a A é uma matriz 2 x 2 e B é uma matriz 2 x 1, então o produto A . B = C é uma matriz do tipo:
2 x 2
4 x 2
 2 x 1
1 x 2
2 x 4
 
 
Explicação:
Para efetuar um produto entre a matriz A e a matriz B, devemos ter o número de colunas (p) da matriz A igual ao número de linhas (p) da
matriz B.
Am,p . Bp,n = Cm.n
Temos no exercício que A . B = C => A2,2 . B 2,1 = C2,1.
C é uma matriz 2 por 1 (2 x 1).
 
 
 6a Questão
Suponha uma matriz identidade In, ou seja, com n linhas e n colunas. Sendo o traço duma matriz quadrada A tr(A) definido como a soma
dos elementos da diagonal principal, determine tr(In)
2n
n + 1
n2
1
 n
 
 
Explicação:
Matriz identidade tem todos os elementos da diagonal principal iguais a 1. Como a ordem da matriz é n, seu traço será 1 + 1 +1 ...1 = n
 
 
 7a Questão
Calcule o produto AB se e 
 
A =
⎡
⎢ 
⎢
⎣
4 2 0
2 1 0
−2 −1 1
⎤
⎥ 
⎥
⎦
B =
⎡
⎢ 
⎢
⎣
2 3 1
2 −2 −2
−1 2 1
⎤
⎥ 
⎥
⎦
AB =
⎡
⎢ 
⎢
⎣
12 8 0
6 4 0
−7 −2 1
⎤
⎥ 
⎥
⎦
AB =
⎡
⎢ 
⎢
⎣
12 8 0
6 4 0
6 2 0
⎤
⎥ 
⎥
⎦
AB =
⎡
⎢ 
⎢
⎣
12 8 0
6 −4 0
−7 −2 1
⎤
⎥ 
⎥
⎦
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Explicação:
Aplica-se o Teorema de multiplicação de matrizes.
 
 
 8a Questão
Ovalor de um determinante é 12. Se dividirmos a 1ª linha por 6 e multiplicarmos a 3ª coluna por 4, o novo determinante valerá:
 8
18
24
36
48
 
 
Explicação:
Quando se multiplica (ou se divide) uma fila de um determinante por um número, o novo determinante fica multiplicado (ou dividido) por
esse número.
No caso temos:
12 / 6 . 4 = 8
 
 
 
AB =
⎡
⎢ 
⎢
⎣
12 8 0
6 4 0
7 2 1
⎤
⎥ 
⎥
⎦
AB =
⎡
⎢ 
⎢
⎣
0 8 0
6 4 0
−7 −2 1
⎤
⎥ 
⎥
⎦
26/03/2019 EPS
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CCE0579_EX_A1_201901324311_V7
 
 
 
ÁLGEBRA LINEAR
 1a aula
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Exercício: CCE0579_EX_A1_201901324311_V7 19/03/2019 (Finaliz.)
Aluno(a): SANDRO QUIRINO DOS SANTOS 2019.1 EAD
Disciplina: CCE0579 - ÁLGEBRA LINEAR 201901324311
 
 1a Questão
Em uma empresa, o custo da produção e o custo do transporte dos produtos foram modelados
segundo as matrizes abaixo. A primeira matriz M1 representa a fábrica situada em Bauru e a matriz
M2, a outra fábrica situada em Lorena. A primeira coluna das matrizes são referentes ao custo de
produção e a segunda coluna referente ao custo de transporte. A primeira linha representa o
produto A, a segunda o B e a terceira o C. A soma das matrizes M1 e M2 fornecem o custo total de
produção e transporte de cada produto. Com base nessas informações, pode-se afirmar que os
custos de produção e transporte do produto B são respectivamente iguais a:
 
63 e 55
140 e 62
 102 e 63
74 e 55
87 e 93
 
 
Explicação:
Para o produto B (2a linha) temos:
50 + 52 = 102
25 + 38 = 63
 
 
 
 2a Questão
O determinante da matriz A = [aij] , 3x3, onde: 
aij = i - j , se i < j e aij = i + j , se i > j é igual a
0
-34
34
 -26
26
 
 
Explicação:
a11 = 1 - 1 = 0
a12 = 1 - 2 = - 1
a13 = 1 - 3 = - 2
a21 = 2 + 1 = 3
a22 = 2 - 2 = 0
a23 = 2 - 3 = - 1
a31= 3 + 1 = 4
a32= 3 + 2 = 5
a33= 3 - 3 = 0
26/03/2019 EPS
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 = - 26
 
 
 3a Questão
Sejam as matrizes A = [(3,2),(5,7)] e B = [(4,1),(2,3)]. Quanto vale o det(A.B)?
1
10
101
100
 110
 
 
 4a Questão
Seja A uma matriz 2x3 e B uma matriz 3x3, então o produto A.B = C é uma matriz do tipo:
3 x 1
3 x 3
 2 x 3
1 x 3
1 x 1
 
 
Explicação:
A fim de efetuar o produto entre a matriz A e a matriz B, devemos ter o número de colunas da matriz A igual ao
número de linhas da matriz B.
No caso A possui 3 colunas e B possui 3 linhas!
A matriz resultante terá o número de linhas de A (2 linhas) e o número de colunas de B (3 colunas), ou seja, a
matriz resultante C é uma matriz 2 por 3 (2 x 3).
 
 
 5a Questão
Sabendo que vale a soma das matrizes:
 + = 
Determinar os valores de x e y, respectivamente:
 
1 e -3
-1 e -3
-3 e 1
3 e -1
 -1 e 3
 
 
Explicação:
 + = 
x + 4 = 3 => x = -1
y + 3 = 6 => y = 3
Logo, a resposta é -1 e 3.
 
 
 6a Questão
Uma firma fabrica quatro tipos de aparelhos cirúrgicos utilizando materiais diferentes. Considere a matriz onde cada
elemento aij representa quantas peças do material j serão empregadas para fabricar um aparelho do tipo i. Determine o total do material 2
que será empregado para fabricar oito aparelhos do tipo 1, dois aparelhos do tipo 2, um aparelho do tipo 3 e cinco aparelhos do tipo 4.
 50
20
30
10
40
 
 
Explicação:
⎡
⎢
⎣
0 −1 −2 0 1
3 0 −1 3 0
4 5 0 4 5
⎤
⎥
⎦
(
x 1
−5 y
) (
4 1
−5 3
) (
3 2
−10 6
)
(
x 1
−5 y
) (
4 1
−5 3
) (
3 2
−10 6
)
⎡
⎢ 
⎢ 
⎢
⎣
 3 1 0 4
0 2 5 6
2 3 8 0
4 7 5 1
⎤
⎥ 
⎥ 
⎥
⎦
26/03/2019 EPS
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Nesse estudo de caso podemos considerar que as linhas correspondem ao tipo e as colunas ao material. Como o enunciado pediu o
somatório somente do material 2, podemos fixar a coluna 2.
Assim, na matriz podemos fazer o seguinte cálculo:
(8 aparelhos x 1) + (2 aparelhos x 2) + (1 aparelho x 3) + (5 aparelhos x 7).
(8 . 1) + (2 . 2) + (1 . 3) + (5 . 7) => 8 + 4 + 35 => 50
 
 
 7a Questão
Seja A uma matriz 2x4 e B uma matriz 4x3, então o produto A.B = C é uma matriz do tipo:
3 x 3
1 x 1
4 x 3
4 x 2
 2 x 3
 
 
Explicação:
A fim de efetuar o produto entre a matriz A e a matriz B, devemos ter o número de colunas da matriz A igual ao
número de linhas da matriz B.
No caso A possui 4 colunas e B possui 4 linhas!
A matriz resultante terá o número de linhas de A (2 linhas) e o número de colunas de B (3 colunas), ou seja, a
matriz resultante C é uma matriz 2 por 3 (2 x 3).
 
 
 8a Questão
Para que valores de x,y e z, repectivamente, a matriz M é uma matriz simétrica
-1,2,5
-1,2,-5
1,2,5
1,2,-5
 1,-2,5
 
 
Explicação:
A matriz simétrica é uma matriz quadrada onde a sua transposta é igual a própria matriz(At = A). Ou seja, ai,j = aj,i .
Assim, podemos fazer:
Matriz a1,3 = a3,1 => x + y = -1 => x = -1 - y ......................................................... x = -1 -(-2) => x = 1
Matriz a2,1 = a1,2 => x - y = 3 ......................(-1 - y) - y = 3 => -2y = 4 => y = -2.
Matriz a2,3 = a3,2 => z - 3 = 2 => z = 2 + 3 => z = 5 
Logo, a rseposta é: 1, -2 e 5.
 
 
 
 
⎡
⎢ 
⎢ 
⎢
⎣
 3 1 0 4
0 2 5 6
2 3 8 0
4 7 5 1
⎤
⎥ 
⎥ 
⎥
⎦
⎛
⎜
⎝
5 3 x+ y
x− y 4 z− 3
−1 2 x
⎞
⎟
⎠
⎛
⎜
⎝
5 3 x+ y
x− y 4 z− 3
−1 2 x
⎞
⎟
⎠
26/03/2019 EPS
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CCE0579_EX_A2_201901324311_V1
 
 
 
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Exercício: CCE0579_EX_A2_201901324311_V1 26/03/2019 (Finaliz.)
Aluno(a): SANDRO QUIRINO DOS SANTOS 2019.1 EAD
Disciplina: CCE0579 - ÁLGEBRA LINEAR 201901324311
 
 1a Questão
Considere que o valor de um determinante é 6. Se dividirmos a 1ª linha por 6 e multiplicarmos a 3ª coluna por 4, o
novo determinante valerá:
24
12
1
 4
6
 
 
Explicação:
Quando se multiplica (ou se divide) uma fila de um determinante por um número, o novo determinante fica
multiplicado (ou dividido) por esse número.
No caso temos:
(6 / 6) . 4 = 4
 
 
 2a Questão
Prove que a matriz A= é inversível, através do seu determinante.
 
 10
0
-10
14
1
 
 
 
Explicação:
Solução:
De modo geral uma matriz quadrada de ordem n é inversível se, e somente se,o seu detereminanete for diferente de zero.
A= 
det A = (4.3) - (1.2) = 10.
Conclusão, a matriz A= é inversível, pois o seu determinante é igual a 10(diferente de zero).
 
 
 3a Questão
Qual é a matriz X tal que:
 
[
 4 2
1 3
]
[
 4 2
1 3
]
[
 4 2
1 3
]
(
5 1
4 1
). x = (
9
7
)
26/03/2019 EPS
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Explicação:
Só podemos multiplicar duas matrizes quando o número de colunas da primeira matriz for igual ao número de linhas da segunda matriz.
A matriz produto terá o número de linhas da primeira matriz e o número de colunas da segunda matriz.
No caso temos uma matriz 2x2 e a matriz produto 2x1 o que nos leva a concluir que a matriz x é do tipo 2x1, que hipoteticamente tem os
elementos X1 e X2.
Nestecaso temos então que:
5X1 + X2 = 9
4X1 + X2 = 7
Resolvendo o sistema X1 = 2 e X2 = -1
 
 
 4a Questão
A soma de todos os elementos de uma matriz quadrada A de ordem 2 é igual a 100. Podemos afirmar que a soma de todos os elementos da
matriz 2A é igual a :
500
100
 200
300
400
 
 
Explicação:
Quando multiplicamos um número real K por uma matriz A do tipo m x n, encontramos para resultado uma matriz do tipo m x n, que
representaremos por KA, obtida multiplicando K por cada elemento da matriz A.
Dessa forma a soma dos elementos passa a ser 100 . 2 = 200
 
 
 5a Questão
Considere que o valor de um determinante é 18. Se dividirmos a 1ª linha por 6 e multiplicarmos a 3ª coluna por 4,
o novo determinante valerá:
27
24
18
3
 12
 
 
Explicação:
Quando se multiplica (ou se divide) uma fila de um determinante por um número, o novo determinante fica
multiplicado (ou dividido) por esse número.
No caso temos:
(18 / 6) . 4 = 12
 
 
 6a Questão
Considere que o valor de um determinante é 24. Se dividirmos a 3ª linha por 6 e multiplicarmos a 3ª coluna por 4,
o novo determinante valerá:
4
 16
96
12
24
 
X = (
−2
1
)
X = (
−2
−1
)
X = (
2
1
)
X = (
2
−1
)
X = (
−1
2
)
26/03/2019 EPS
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Explicação:
Quando se multiplica (ou se divide) uma fila de um determinante por um número, o novo determinante fica
multiplicado (ou dividido) por esse número.
No caso temos:
(24 / 6) . 4 = 16
 
 
 7a Questão
As matrizes A, B e C são tais que a operação A x B + C é possível, gerando como resultado uma matriz D(3x4). Com base nessas
informações é CORRETO afirmar que:
B e C possuem a mesma quantidade de linhas.
A e C possuem a mesma quantidade de colunas.
C é uma matriz com 5 linhas.
 A possui 3 linhas e B 4 colunas.
A e B são matrizes quadradas.
 
 
Explicação:
Regra para o produto:
Só podemos multiplicar duas matrizes quando o número de colunas da primeira matriz for igual ao número de linhas da segunda matriz. A
matriz produto terá o número de linhas da primeira matriz e o número de colunas da segunda matriz.
Como regra para a soma temos:
Chamamos de soma das matrizes A e B do mesmo tipo m x n, a matriz do tipo m x n, cujos elementos são obtidos a partir da soma dos
elementos correspondentes de A e B.
Devemos atentar para o fato de as matrizes A e B serem do mesmo tipo pois, se forem de tipos diferentes, a operação não será
definida.
Como a matriz resultado e do tipo 3 x 4 então podemos afirmar que o número de linhas de A é 3 e que o número de colunas de C
é 4.
 
 
 
 8a Questão
Sejam as matrizes quadradas A e B de ordem n. Sabendo-se que ambas matrizes admitem inversa, encontre a matriz X, de ordem n, tal
que A.X= B
X=B-1.A
X=A.B
 X=A-1.B
X=B / A
X=B. A-1
 
 
Explicação:
A.X= B
Multiplicando ¿pela esquerda por A-1
A-1A.X= A-1.B
Mas, A-1.A = I
I.X= A-1.B
X= A-1.B
 
 
 
26/03/2019 EPS
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CCE0579_EX_A2_201901324311_V2
 
 
 
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Exercício: CCE0579_EX_A2_201901324311_V2 26/03/2019 (Finaliz.)
Aluno(a): SANDRO QUIRINO DOS SANTOS 2019.1 EAD
Disciplina: CCE0579 - ÁLGEBRA LINEAR 201901324311
 
 1a Questão
Seja A = uma matriz não singular.
Sabendo que A-1 = 
 determine os valores de a e b 
a=9 e b=3
a=10 e b=2
 a=11 e b=-1
a=13 e b=1
a=-11 e b=1
 
 
Explicação:
A . A-1 = I
 
A = A-1 = I = 
 
 . = 
 
Para determinar "a" podemos multiplicar a primeira linha da primeira matriz com a primeira coluna da segunda matriz.
(1.8) + (1.-a) + (2.2) = 1 => 8 -a + 4 = 1 => -a = 1 - 8 - 4 => -a = -11 => a = 11
Para determinar "b" podemos multiplicar a primeira linha da primeira matriz com a terceira coluna da segunda matriz.
(1.-5) + (1.7) + (2.b) = 0 => -5 + 7 + 2b = 0 => 2 + 2b = 0 => 2b = - 2 => b = -1
 
 
 2a Questão
Dada a matriz A = , calcule a sua INVERSA.
 
 
⎡
⎢
⎣
1 1 2
3 2 −1
−1 0 4
⎤
⎥
⎦
⎡
⎢
⎣
8 −4 −5
−a 6 7
2 −1 b
⎤
⎥
⎦
⎡
⎢
⎣
 1 1 2
3 2 −1
−1 0 4
⎤
⎥
⎦
⎡
⎢
⎣
 8 −4 −5
−a 6 7
2 −1 b
⎤
⎥
⎦
⎡
⎢
⎣
 1 0 0
0 1 0
0 0 1
⎤
⎥
⎦
⎡
⎢
⎣
 1 1 2
3 2 −1
−1 0 4
⎤
⎥
⎦
⎡
⎢
⎣
 8 −4 −5
−a 6 7
2 −1 b
⎤
⎥
⎦
⎡
⎢
⎣
 1 0 0
0 1 0
0 0 1
⎤
⎥
⎦
(
4 2
7 6 
)
(
1 0
0 1 
)
(
6 2
7 4 
)
(
4 2
7 6 
)
(
1 
)
(
3/5 −1/5
−7/10 2/5 
)
26/03/2019 EPS
estacio.webaula.com.br/Classroom/index.html?id=2506988&classId=1157525&topicId=2865856&p0=03c7c0ace395d80182db07ae2c30f034&ena… 2/4
 
Explicação:
Solução:
A inversa da matriz A = , pode ser calculada a partir da fórmula A-1 = . .
det(A) = diagonal principal - diagonal secundária = (4.6) - (7.2) = 24 - 14 =10.
A-1 = . = = 
Concluão:
A inversa da matriz A = é a matriz A-1 = .
 
 
 3a Questão
A regra de Cramer é um procedimento empregado na solução de equações lineares, com uso de determinantes. Existe o determinante
principal, e os determinantes designados por Nx, Ny e Nz. Um sistema de equações lineares é representado como: { 6x + 2y - 3z = 1} { x -
y + z = 2 } { 2x + 2y - z = 3 } Os determinantes D, Nx, Ny e Nz para a equação acima têm valores de, respectivamente:
 -12, -12, -24 e -36
11, 13, 29 e 31
15, 45, 50 e 44
-15, -45, -50 e -44
-11, -13, -29 e -31
 
 
Explicação:
Ao resolvermos um sistema linear de n equações e n incógnitas para a sua resolução devemos calcular o determinante (D) da equação
incompleta do sistema e depois substituirmos os termos independentes em cada coluna e calcular os seus respectivos determinantes.
D = = -12
Nx = = -12
Ny= = -24
Nz= = -36
 
 
 
 4a Questão
Prove que a matriz A= é inversível, através do seu determinante.
 
-2
-1
0
2
 1
 
 
Explicação:
Solução:
De modo geral uma matriz quadrada de ordem n é inversível se, e somente se,o seu detereminanete for diferente de zero.
A= 
det A = (2.1) - (1.1) = 1.
Conclusão, a matriz A= é inversível, pois o seu determinante é igual a 1(diferente de zero).
 
 
 
 5a Questão
Se A é uma matriz (2x2) e det(A) = D, então o determinante da matriz 2A será
D
 4D
3D
2D
5D
 
(
4 2
7 6 
)
1
det(A)
(
d −b
−c a 
)
1
10
(
6 −2
−7 4 
) (
6/10 −2/10
−7/10 4/10 
) (
3/5 −1/5
−7/10 2/5 
)
(
4 2
7 6 
) (
3/5 −1/5
−7/10 2/5 
)
⎡
⎢
⎣
6  2   − 3 6  2
1 −1  1 1 −1
2  2 −1 2  2
⎤
⎥
⎦
⎡
⎢
⎣
1  2 −3 1  2
2 −1  1 2 −1
3  2 −1 3  2
⎤
⎥
⎦
⎡
⎢
⎣
6  1 −3 6  1
1  2  1 1  2
2  3 −1 2  3
⎤
⎥
⎦
⎡
⎢
⎣
6  2 1 6  2
1 −1  2 1 −1
2  2  3 2  2
⎤
⎥
⎦
[
 2 1
1 1
]
[
 2 1
1 1
]
[
 2 1
1 1
]
26/03/2019 EPS
estacio.webaula.com.br/Classroom/index.html?id=2506988&classId=1157525&topicId=2865856&p0=03c7c0ace395d80182db07ae2c30f034&ena… 3/4
 
Explicação:
Quando multiplicamos um número real K por uma matriz A do tipo m x n, encontramos para resultado uma matriz do tipo m x n, que
representaremos por KA, obtida multiplicando K por cada elemento da matriz A.
Como k= 2 o det (A) passa a ser igual a 4D
 
 
 6a Questão
As matrizes A= e B= são inversas. Calcule os valores de m e p.
m=3 e p=2
 m=2 e p=3
m=1 e p=2
m=3 e p=1
m=2 e p=1
 
 
Explicação:Seja A uma matriz quadrada de ordem n, e X uma matriz tal que A.X = In e X.A = In. Caso isso ocorra, denominamos a matriz X de matriz
inversa de A, tendo como notação A(-1).
Como temos como resultante do produto a matriz identidade podemos então estabelecer que:
1 . (-2) + m . 1 = 0 que nos leva a m = 2
1 . p + 3 . (-1) = 0 que nos leva a p = 3
 
 
 
 7a Questão
Dada a matriz A = , calcule a sua INVERSA. 
 
 
 
Explicação:
Solução:
A inversa da matriz A = , pode ser calculada a partir da fórmula A-1 = . .
det(A) = diagonal principal - diagonal secundária = (2.0) - (1.1) = 0 - 1 = -1.
A-1 = . = 
Concluão:
A inversa da matriz A = é a matriz A-1 = .
 
 
 8a Questão
 
Determine a matriz dos cofatores da matriz A = .
 
 
 
Explicação:
A = 
[
1 m
1 3
] [
p −2
−1 1
]
(
2 1
1 0 
)
(
2 1
1 0 
)
(
0 1
1 2 
)
(
1 0
0 1 
)
(
0 1
1 −2 
)
(
1 
)
(
2 1
1 0 
)
1
det(A)
(
d −b
−c a 
)
1
−1
(
0 −1
−1 2 
) (
0 1
1 −2 
)
(
2 1
1 0 
) (
0 1
1 −2 
)
[
 4 2
1 3
]
[
 4 2
1 3
]
[
 4 1
2 3
]
[
 3 −1
−2 4
]
[
 1 0
0 1
]
[
 10
]
[
 4 2
1 3
]
26/03/2019 EPS
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O Cofator de uma matriz é Aij = (-1)i+j . Di,j. 
Onde Di,j é o menor complementar. O seu deteminante é obtido eliminando a linha i e a coluna j.
A11 = (-1)1+1 . D1,1 = 1 . 3 = 3.
A12 = (-1)1+2 . D1,2 = -1 . 1 = -1.
A21 = (-1)2+1 . D2,1 = -1 . 2 = -2.
A22 = (-1)2+2 . D2,2 = 1 . 4 = 4.
Conclusão, o cofator da matriz A= é a matriz .
 
 
 
 
[
 4 2
1 3
]
[
 3 −1
−2 4
]
26/03/2019 EPS
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ÁLGEBRA LINEAR
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Exercício: CCE0579_EX_A2_201901324311_V3 26/03/2019 (Finaliz.)
Aluno(a): SANDRO QUIRINO DOS SANTOS 2019.1 EAD
Disciplina: CCE0579 - ÁLGEBRA LINEAR 201901324311
 
 1a Questão
Dada a matriz A = 
determinar uma matriz X de ordem 2 de modo que AX = I2
 
 
 
Explicação:
A= X = I = 
Ax = I2
. = . 
Multiplicando teremos:
 = 
Assim, podemos montar as equações:
1)2a + c => 1 +> c = 1 - 2a....................................... c = 1 - 2(1) => c = -1
2)a + c = 0 .................... a + (1- 2a) = 0 => a = 1
3)b + d = 1 => d = 1 - b..........................................d = 1 - (-1) => d = 2
4)2b + d = 0 ................ 2b + (1 - b) = 0 => b = -1
Dessa forma, a matriz é 
 
 
 2a Questão
Considere duas matrizes diagonais. A soma dessas matrizes sera uma matriz
Lninha
Coluna
Nula
Identidade
 Diagonal
 
 
Explicação:
Considerando que duas matrizes são diagonais então a soma dessas matrizes será uma matriz diagonal. Cabe observar que uma matriz
diagonal só tem elementos não nulos na diagonal principal!
 
 
[
 2 1
1 1
]
[
 1 1
1 2
]
[
 1 1
−1 −2
]
[
  − 1 −1
−1 −2
]
[
 1 −1
−1 2
]
[
  − 1 1
−1 −2
]
[
 2 1
1 1
] [
 a b
c d
] [
 1 0
0 1
]
[
 2 1
1 1
] [
 a b
c d
] [
 1 0
0 1
] [
 1 0
0 1
]
[
 2a+ a 2b+ d
a+ a b+ d
] [
 1 0
0 1
]
[
 1 −1
−1 2
]
26/03/2019 EPS
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 3a Questão
Considere que o valor de um determinante é 36. Se dividirmos a 1ª linha por 6 e multiplicarmos a 3ª coluna por 4,
o novo determinante valerá:
1
 24
144
36
12
 
 
Explicação:
Quando se multiplica (ou se divide) uma fila de um determinante por um número, o novo determinante fica
multiplicado (ou dividido) por esse número.
No caso temos:
(36 / 6) . 4 = 24
 
 
 4a Questão
Considere que o valor de um determinante é 36. Se dividirmos a 2ª linha por 6 e multiplicarmos a 1ª coluna por 4,
o novo determinante valerá:
6
36
 24
144
4
 
 
Explicação:
Quando se multiplica (ou se divide) uma fila de um determinante por um número, o novo determinante fica
multiplicado (ou dividido) por esse número.
No caso temos:
(36 / 6) . 4 = 24
 
 
 5a Questão
Dada a matriz A = , calcule a sua INVERSA.
 
 
 
 
Explicação:
Solução:
A inversa da matriz A = , pode ser calculada a partir da fórmula A-1 = . .
det(A) = diagonal principal - diagonal secundária = (4.3) - (-2.5) = 12 - (-10) =22.
A-1 = . = .= 
Concluão:
A inversa da matriz A = é a matriz A-1 = .
 
 
 6a Questão
A soma de todos os elementos da matriz A = (aij)2x2 definida por aij = 3 i - j será:
(
4 5
−2 3 
)
(
3/22 −5/22
1/11 2/11 
)
(
4 −2
5 3 
)
(
3 5
−2 4 
)
(
4 5
−2 3 
)
(
1 0
0 1 
)
(
4 5
−2 3 
)
1
det(A)
(
d −b
−c a 
)
1
22
(
3 −5
2 4 
) (
3/22 −5/22
2/22 4/22 
) (
3/22 −5/22
1/11 2/11 
)
(
4 5
−2 3 
) (
3/22 −5/22
1/11 2/11 
)
26/03/2019 EPS
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 12
-8
0
9
-16
 
 
Explicação:
aij = 3i - j
a11 = 3.1 - 1 = 2
a12 = 3.1 - 2 = 1
a21 = 3.2 - 1 = 5
a22 = 3.2 - 2 = 4
A soma é igual a 2 + 1 + 5 + 4 = 12
 
 
 7a Questão
Um aluno deseja fazer uma operação com duas matrizes A e B. A matriz A tem 2 linhas e 3 colunas e a matriz B tem 3 linhas e 4 colunas.
Das operações abaixo, qual (is) ele pode realizar?
B x A
A + B
A - B
A / B
 A x B
 
 
Explicação:
Para que exista o produto A x B, é necessário que o número de colunas de A seja igual ao número de linhas de B, o que ocorre.
 
 
 8a Questão
Dado que a matriz A abaixo é a inversa de uma matriz B, então o det(B) é:
1/20
8
20
 1/8
-1/14
 
 
Explicação:
Utilizando a propriedade:
det (A-1) = 1 / det A
det (A-1) = 8
Logo det A = 1 / 8
 
 
 
26/03/2019 EPS
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CCE0579_EX_A2_201901324311_V4
 
 
 
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Exercício: CCE0579_EX_A2_201901324311_V4 26/03/2019 (Finaliz.)
Aluno(a): SANDRO QUIRINO DOS SANTOS 2019.1 EAD
Disciplina: CCE0579 - ÁLGEBRA LINEAR 201901324311
 
 1a Questão
Complete a afirmativa, abaixo, com a alternativa correta:
 Uma matriz A , n x n, é invertível se, e somente se, ... 
 det(A) 0
det(A) = 1
A é singular
A possui pelo menos duas linhas múltiplas uma da outra
A é uma matriz diagonal
 
 
Explicação:
Regra prática - caso o determinante dê igual a zero, não existe matriz inversa. 
Gabarito
 Coment.
 
 
 2a Questão
Determine a matriz dos cofatores da matriz A= .
 
 
 
Explicação:
Solução:
A = 
O cofator de uma matriz é Aij = (-1)i+j . Di,j. Onde Di,j é o menor complementar. O seu deteminante é obtido
eliminando a linha i e a coluna j.
A11 = (-1)1+1 . D1,1 = 1 . 1 = 1.
A12 = (-1)1+2 . D1,2 = -1 . 1 = -1.
A21 = (-1)2+1 . D2,1 = -1 . 1 = -1.
A22 = (-1)2+2 . D2,2 = 1 . 2 = 2.
≠
[
 2 1
1 1
]
[
 0 1
1 0
]
[
 1 0
0 1
]
[
 2 1
1 1
]
[
 1 −1
−1 2
]
[
 1
]
[
 2 1
1 1
]
26/03/2019 EPS
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Conclusão, o cofator da matriz A= é a matriz .
 
 
 3a Questão
Se B é a matriz inversa de A, então sobre o produto AxB é correto afirmar que
gera a transposta de A
 gera uma matriz identidade de mesma ordem de A
gera uma matriz nula
gera uma matriz triangular superior
gera a própria matriz A
 
 
Explicação:
Se B é a matriz inversa de A, então sobre o produto AxB é correto afirmar que
A*B = B*A = In 
Onde In é a matriz identidade de ordem n.
 
 
 4a Questão
Se A é uma matriz cujo det(A) é não nulo e B é uma matriz tal que AxB = I, sendo I a matriz identidade de mesma ordem de A, então é
correto afirmar que:
 B é a inversa de A
B + A = 0, sendo 0 a matriz nula de mesma ordem
B é a transposta de A
A = B
A = B/2
 
 
Explicação:
Seja A uma matriz quadrada de ordem n, e X uma matriz tal que A.X = In e X.A = In (onde In é a matriz identidade). Caso isso ocorra,
denominamos a matriz X de matriz inversa de A, tendo como notação A(-1).
Dada a matriz quadrada A, existe A-1 se, e somente se, det A ≠ 0
 
 
 5a Questão
Se A, B e C são matrizes do tipo 2x3, 3x1 e 1x4, respectivamente, então o produto A . B . C
Não é definido
É matriz do tipo 3x4
É matriz do tipo 4x2
 É matriz do tipo 2x4
É matriz do tipo 4x3
 
 
Explicação:
Para o produto A . B temos 2 x 3 . 3 x 1 = 2 x 1
Para o produto 2 x 1 . 1 x 4 = 2 x 4
 
 
 6a Questão
Podemos afirmar que o produto das matrizes: A(3X2) por B(2X3) será:
 Não é possivel fazer o produto de matriz de ordem diferente.
Uma matriz 3X2.
 Uma matriz quadra de ordem 3
Uma matriz 2X3.
Uma matriz quadra de ordem 2
 
 
Explicação:
 Produto de matriz, o aluno deverá saber que para realizar a operação o número de
colunas da primeira matriz tem que ser igual ao número de linhas da segunda. E a
matriz resultante terá o número de linha da primeira matriz e a o número de colulna da
segunda.
 
[
 2 1
1 1
]
[
 1 −1
−1 2
]
26/03/2019 EPS
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 7a Questão
Determine a matriz inversa da matriz quadrada A de ordem 2. 
 
 
 
 
 
Explicação:
Para determinar a matriz inversa de uma matriz quadrada A de ordem n, basta descobrir
uma matriz B tal que a multiplicação entre elas tenha como resultado uma matriz
identidade de ordem n. 
 
A*B = B*A = In 
 * = 
 
 = 
Equação 1:
-----------------------
 -2c = 1 => c = -1/2. Logo, -a + 2c = 0 => -a + 2(-1/2) = 0 => -a -1 = 0 => a = -1.
Equação 2:
---------------------
 -2d = 1 => d = -1/2. Logo, b - 4d = 0 => b = 4d => b = 4(-1/2) => b = -2.
 
Conclusão:
A inversa da matriz A= é .
 
 
 8a Questão
Determine a inversa da matriz  =
 
  =
  =
  =
  =
  =
 
[
 2 1
1 1
]
[
  − 1 −2
−1/2 −1/2
]
[
 2 1
1 1
]
[
 1 0
0 1
]
[
−2 0
0 −2
]
[
  − 1 −1
−1/2 −1/2
]
[
 1 −4
−1 2
] [
 a b
c d
] [
 1 0
0 1
]
[
 a− 4c b− 4d
−a+ 2c −b+ 2d
] [
 1 0
0 1
]
{
a− 4c = 1
−a+ 2c = 0
{
b− 4d = 0
−b+ 2d = 1
[
 1 −4
−1 2
] [
  − 1 −2
−1/2 −1/2
]
A
⎡
⎢
⎣
1 2 1
1 1 2
1 0 1
⎤
⎥
⎦
A
⎡
⎢ 
⎢ 
⎢ 
⎢
⎣
−1
0 −
− 1 −
⎤
⎥ 
⎥ 
⎥ 
⎥
⎦
1
2
3
2
1
2
1
2
1
2
1
2
A
⎡
⎢ 
⎢ 
⎢ 
⎢
⎣
1
0
−1
⎤
⎥ 
⎥ 
⎥ 
⎥
⎦
1
2
3
2
1
2
1
2
1
2
1
2
A
⎡
⎢
⎣
1 −2 1
1 0 1
2 −1 1
⎤
⎥
⎦
A
⎡
⎢
⎣
−1 −2 −1
−1 −1 −2
−1 0 −1
⎤
⎥
⎦
A
⎡
⎢
⎣
1 −1 2
2 1 3
1 2 1
⎤
⎥
⎦
26/03/2019 EPS
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Explicação:
A-1 = 1 / det A . Adj (A)
Adj (A) é a transposta da matriz de cofatores!
det A = 2
Matriz de cofatores:
cofator do elemento
a11 = (-1)1+1 . det = 1
a12 = (-1)1+2 . det = 1
a13 = (-1)1+3 . det = -1
a21 = (-1)2+1 . det = - 2
a22 = (-1)2+2 . det = 0
a23 = (-1)2+3 . det = 2
a31 = (-1)1+3 .det = 3
a32 = (-1)2+3 . det = - 1
a33 = (-1)3+3 . det = -1
Matriz de cofatores : Adj da matriz de cofatores: A-1 = 1/2 . 
A-1 = 
 
 
 
[
1 2
0 1
]
[
1 2
1 1
]
[
1 1
1 0
]
[
2 1
0 1
]
[
1 1
1 1
]
[
1 2
1 0
]
[
2 1
1 2
]
[
1 1
1 2
]
[[1, 2], [1, 1]
⎡
⎢
⎣
1 1 −1
−2 0 2
3 −1 −1
⎤
⎥
⎦
⎡
⎢
⎣
1 −2 3
1 0 −1
−1 2 −1
⎤
⎥
⎦
⎡
⎢
⎣
1 −2 3
1 0 −1
−1 2 −1
⎤
⎥
⎦
⎡
⎢ 
⎢ 
⎢ 
⎢
⎣
−1
0 −
− 1 −
⎤
⎥ 
⎥ 
⎥ 
⎥
⎦
1
2
3
2
1
2
1
2
1
2
1
2
26/03/2019 EPS
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CCE0579_EX_A2_201901324311_V5
 
 
 
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Exercício: CCE0579_EX_A2_201901324311_V5 26/03/2019 (Finaliz.)
Aluno(a): SANDRO QUIRINO DOS SANTOS 2019.1 EAD
Disciplina: CCE0579 - ÁLGEBRA LINEAR 201901324311
 
 1a Questão
Considere a matriz A = 
Determe uma matriz X de ordem 2 de modo que AX = I2.    
 
 
 
Explicação:
 
A = 
AX = I2
Agora, nós resolvemos uma parte da segunda equação(c=-a), depois a resolvemos a primeira equação(a=1) e finalizamos a solução da
segunda equação(c=-1).
1)2a+c=1............ 2a+(-a)=1 => a=1
2)a+c=0 => c=-a.................................. c=-1
Por fim, nós resolvemos uma parte da terceira equação(d=-2b), depois a resolvemos a quarta equação(b=-1) e finalizamos a solução da
terceira equação(d=2).
3)2b+d=0 => d=-2b.............................................. d=-2(-1)=> d=2
4)b+d=1...................b+(-2b) = 1 => -b=1 => b=-1
 
Conclusão:
 
 
 2a Questão
Determine o volume do paralelepípedo que tem um vértice na origem e os vértices adjacentes nos pontos (1, 0, -2), (1, 2, 4) e (7, 1, 0) 
28
24
30
 22
26
 
 
(
2 1
1 1
)X = (
a b
c d
) .
[
−1 −1
−1 −2
]
[
1 −1
−5 2
]
[
3 −1
−1 2
]
[
1 −1
−1 2
]
[
1 −1
−1 4
]
(
2 1
1 1
)X = (
a b
c d
)
(
2 1
1 1
) .(
a b
c d
) = (
1 0
0 1
) .(
1 0
0 1
)
(
2a+ c 2b+ d
a+ c b+ d
) = (
1 0
0 1
)
(
1 −1
−1 2
)
26/03/2019 EPS
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Explicação:
Determiante = = 22
 
 
 3a Questão
Quais são os valores de x e y para que:
 
-2 e 1.
-1 e 2.
 2 e -1.
2 e 1.
-1 e -2.
 
 
Explicação:
2x - y = 5
x + y = 1
3x = 6
x = 2
Temos então que:
2 + y = 1
y = 1 - 2 = -1
 
 
 4a Questão
Dada a matriz A = , calcule a sua INVERSA.
 
 
 
Explicação:
Solução:
A inversa da matriz A = , pode ser calculada a partir da fórmula A-1 = . .
det(A) = diagonal principal - diagonal secundária = (3.2) - (2.2) = 6 - 4 =2.
A-1 = . = = 
Concluão:
A inversa da matriz A = é a matriz A-1 = .
 
 
 5a Questão
Dada a matriz A = , calcule a sua INVERSA.
 
 
⎡
⎢
⎣
1 0 −2 1 0
1 2 4 1 2
7 1 0 7 1
⎤
⎥
⎦
(
2x − y 8
3 x + y
) = (
5 8
3 1
)
(
3 2
2 2 
)
(
1 1
1 3/2 
)
(
1 
)
(
1 −1
−1 3/2 
)
(
1 00 1 
)
(
3 2
2 2 
)
(
3 2
2 2 
)
1
det(A)
(
d −b
−c a 
)
1
2
(
2 −2
−2 3 
) (
2/2 −2/2
−2/2 3/2 
) (
1 −1
−1 3/2 
)
(
3 2
2 2 
) (
1 −1
−1 3/2 
)
(
1 1
1 2 
)
(
1 1
1 2 
)
(
2 1
1 1 
)
(
1 0
0 1 
)
(
2 −1
−1 1 
)
(
1 
)
26/03/2019 EPS
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Explicação:
Solução:
A inversa da matriz A = , pode ser calculada a partir da fórmula A-1 = . .
det(A) = diagonal principal - diagonal secundária = (2.1) - (1.1) = 2 - 1 = 1.
A-1 = . = .
Concluão:
A inversa da matriz A = é a matriz A-1 = .
 
 
 
 6a Questão
Dada a matriz A = , calcule a sua INVERSA.
 
 
 
Explicação:
Solução:
A inversa da matriz A = , pode ser calculada a partir da fórmula A-1 = . .
det(A) = diagonal principal - diagonal secundária = (2.3) - (1.1) = 6 - 1 =5.
A-1 = . = .
Concluão:
A inversa da matriz A = é a matriz A-1 = .
 
 
 7a Questão
Considere que o valor de um determinante é 18. Se dividirmos a 1ª linha por 6 e multiplicarmos a 3ª coluna por 4,
o novo determinante valerá:
 12
3
27
18
24
 
 
Explicação:
Quando se multiplica (ou se divide) uma fila de um determinante por um número, o novo determinante fica
multiplicado (ou dividido) por esse número.
No caso temos:
(18 / 6) . 4 = 12
 
 
 8a Questão
Considere que o valor de um determinante é 24. Se dividirmos a 3ª linha por 6 e multiplicarmos a 3ª coluna por 4,
o novo determinante valerá:
 16
96
24
(
1 1
1 2 
)
1
det(A)
(
d −b
−c a 
)
1
1
(
2 −1
−1 1 
) (
2 −1
−1 1 
)
(
1 1
1 2 
) (
2 −1
−1 1 
)
(
2 1
1 3 
)
(
2 1
1 3 
)
(
2 −1
−1 3 
)
(
3/5 −1/5
−1/5 2/5 
)
(
3 1
1 2 
)
(
1 
)
(
2 1
1 3 
)
1
det(A)
(
d −b
−c a 
)
1
5
(
3 −1
−1 2 
) (
3/5 −1/5
−1/5 2/5 
)
(
2 1
1 3 
) (
3/5 −1/5
−1/5 2/5 
)
26/03/2019 EPS
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12
4
 
 
Explicação:
Quando se multiplica (ou se divide) uma fila de um determinante por um número, o novo determinante fica
multiplicado (ou dividido) por esse número.
No caso temos:
(24 / 6) . 4 = 16
 
 
 
26/03/2019 EPS
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Exercício: CCE0579_EX_A2_201901324311_V6 26/03/2019 (Finaliz.)
Aluno(a): SANDRO QUIRINO DOS SANTOS 2019.1 EAD
Disciplina: CCE0579 - ÁLGEBRA LINEAR 201901324311
 
 1a Questão
Sejam as matrizes quadradas A e B de ordem n. Sabendo-se que ambas matrizes admitem inversa, encontre a matriz X, de ordem n, tal
que A.X= B
X=B / A
X=A.B
X=B-1.A
X=B. A-1
 X=A-1.B
 
 
Explicação:
A.X= B
Multiplicando ¿pela esquerda por A-1
A-1A.X= A-1.B
Mas, A-1.A = I
I.X= A-1.B
X= A-1.B
 
 
 2a Questão
A soma de todos os elementos de uma matriz quadrada A de ordem 2 é igual a 100. Podemos afirmar que a soma de todos os elementos da
matriz 2A é igual a :
500
400
 200
100
300
 
 
Explicação:
Quando multiplicamos um número real K por uma matriz A do tipo m x n, encontramos para resultado uma matriz do tipo m x n, que
representaremos por KA, obtida multiplicando K por cada elemento da matriz A.
Dessa forma a soma dos elementos passa a ser 100 . 2 = 200
 
 
 3a Questão
Qual é a matriz X tal que:
 
 
(
5 1
4 1
). x = (
9
7
)
X = (
2
−1
)
X = (
2
1
)
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Explicação:
Só podemos multiplicar duas matrizes quando o número de colunas da primeira matriz for igual ao número de linhas da segunda matriz.
A matriz produto terá o número de linhas da primeira matriz e o número de colunas da segunda matriz.
No caso temos uma matriz 2x2 e a matriz produto 2x1 o que nos leva a concluir que a matriz x é do tipo 2x1, que hipoteticamente tem os
elementos X1 e X2.
Neste caso temos então que:
5X1 + X2 = 9
4X1 + X2 = 7
Resolvendo o sistema X1 = 2 e X2 = -1
 
 
 4a Questão
Considere que o valor de um determinante é 6. Se dividirmos a 1ª linha por 6 e multiplicarmos a 3ª coluna por 4, o
novo determinante valerá:
1
24
12
6
 4
 
 
Explicação:
Quando se multiplica (ou se divide) uma fila de um determinante por um número, o novo determinante fica
multiplicado (ou dividido) por esse número.
No caso temos:
(6 / 6) . 4 = 4
 
 
 5a Questão
Prove que a matriz A= é inversível, através do seu determinante.
 
 10
1
 
14
0
-10
 
 
Explicação:
Solução:
De modo geral uma matriz quadrada de ordem n é inversível se, e somente se,o seu detereminanete for diferente de zero.
A= 
det A = (4.3) - (1.2) = 10.
Conclusão, a matriz A= é inversível, pois o seu determinante é igual a 10(diferente de zero).
 
 
 6a Questão
As matrizes A, B e C são tais que a operação A x B + C é possível, gerando como resultado uma matriz D(3x4). Com base nessas
informações é CORRETO afirmar que:
B e C possuem a mesma quantidade de linhas.
C é uma matriz com 5 linhas.
A e C possuem a mesma quantidade de colunas.
A e B são matrizes quadradas.
 A possui 3 linhas e B 4 colunas.
 
 
Explicação:
X = (
−1
2
)
X = (
−2
−1
)
X = (
−2
1
)
[
 4 2
1 3
]
[
 4 2
1 3
]
[
 4 2
1 3
]
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Regra para o produto:
Só podemos multiplicar duas matrizes quando o número de colunas da primeira matriz for igual ao número de linhas da segunda matriz. A
matriz produto terá o número de linhas da primeira matriz e o número de colunas da segunda matriz.
Como regra para a soma temos:
Chamamos de soma das matrizes A e B do mesmo tipo m x n, a matriz do tipo m x n, cujos elementos são obtidos a partir da soma dos
elementos correspondentes de A e B.
Devemos atentar para o fato de as matrizes A e B serem do mesmo tipo pois, se forem de tipos diferentes, a operação não será
definida.
Como a matriz resultado e do tipo 3 x 4 então podemos afirmar que o número de linhas de A é 3 e que o número de colunas de C
é 4.
 
 
 
 7a Questão
As matrizes A= e B= são inversas. Calcule os valores de m e p.
m=3 e p=2
 m=2 e p=3
m=2 e p=1
m=1 e p=2
m=3 e p=1
 
 
Explicação:
Seja A uma matriz quadrada de ordem n, e X uma matriz tal que A.X = In e X.A = In. Caso isso ocorra, denominamos a matriz X de matriz
inversa de A, tendo como notação A(-1).
Como temos como resultante do produto a matriz identidade podemos então estabelecer que:
1 . (-2) + m . 1 = 0 que nos leva a m = 2
1 . p + 3 . (-1) = 0 que nos leva a p = 3
 
 
 
 8a Questão
A regra de Cramer é um procedimento empregado na solução de equações lineares, com uso de determinantes. Existe o determinante
principal, e os determinantes designados por Nx, Ny e Nz. Um sistema de equações lineares é representado como: { 6x + 2y - 3z = 1} { x -
y + z = 2 } { 2x + 2y - z = 3 } Os determinantes D, Nx, Ny e Nz para a equação acima têm valores de, respectivamente:
-11, -13, -29 e -31
15, 45, 50 e 44
11, 13, 29 e 31
 -12, -12, -24 e -36-15, -45, -50 e -44
 
 
Explicação:
Ao resolvermos um sistema linear de n equações e n incógnitas para a sua resolução devemos calcular o determinante (D) da equação
incompleta do sistema e depois substituirmos os termos independentes em cada coluna e calcular os seus respectivos determinantes.
D = = -12
Nx = = -12
Ny= = -24
Nz= = -36
 
 
 
 
[
1 m
1 3
] [
p −2
−1 1
]
⎡
⎢
⎣
6  2   − 3 6  2
1 −1  1 1 −1
2  2 −1 2  2
⎤
⎥
⎦
⎡
⎢
⎣
1  2 −3 1  2
2 −1  1 2 −1
3  2 −1 3  2
⎤
⎥
⎦
⎡
⎢
⎣
6  1 −3 6  1
1  2  1 1  2
2  3 −1 2  3
⎤
⎥
⎦
⎡
⎢
⎣
6  2 1 6  2
1 −1  2 1 −1
2  2  3 2  2
⎤
⎥
⎦
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Exercício: CCE0579_EX_A3_201901324311_V1 26/03/2019 (Finaliz.)
Aluno(a): SANDRO QUIRINO DOS SANTOS 2019.1 EAD
Disciplina: CCE0579 - ÁLGEBRA LINEAR 201901324311
 
 1a Questão
Perguntado sobre a idade de seu filho Júnior, José respondeu o seguinte: "Minha idade quando somada à idade de Júnior é igual a 47 anos;
e quando somada à idade de Maria é igual a 78 anos. As idades de Maria e Júnior somam 39 anos." Qual a idade de Júnior?
5 anos
2 anos
6 anos
 4 anos
3 anos
 
 
 2a Questão
O sistema abaixo representa as equações relativas à produção de uma empresa que fabrica caixas de papelão. As caixas são fabricadas por
máquinas de processamento que possuem velocidades de produção diferentes e são chamadas de X e Y e Z. A produção PE é dada de
acordo com o sistema abaixo indicado. Resolvendo o sistema, podemos afirmar que a as máquinas X , Y e Z produzem, respectivamente, em
1 minuto as seguintes quantidades de caixas:
 
1, 2, 3
 2, 3, 1
1, 4, 5
4, 5, 1
2, 1, 3
Gabarito
 Coment.
 
 
 3a Questão
(PUC-SP)
A solução do Sistema
(a-1)x1 + bx2 = 1
(a+1)x1 + 2bx2 = 5, são respectivamente: x1 = 1 e x2 = 2 . Logo,
a=1 e b=2
 a=0 e b=1
a=0 e b=0
a=1 e b=0
a=2 e b=0
 
 
Explicação:
Dada as equações:
1)(a-1)x1 + bx2 = 1
2)(a+1)x1 + 2bx2 = 5,
Substituindo os valores de x1 = 1e x2 = 2 nas equações, teremos:
1)(a-1)(1) + b(2) = 1 => a -1 + 2b = 1 => a + 2b = 2 => a = 2 - 2b
2)(a+1)(1) + 2b(2) = 5 => a + 1 + 4b = 5 => a + 4b = 5 - 1 => a + 4b = 4
26/03/2019 EPS
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Substituindo a equação a primeira equação na segunda, teremos:
A + 4b = 4 => 2 - 2b + 4b = 4 => 2b = 4 - 2 => b = 2/2 => b = 1
Substituindo o resultado de "b" na primeira equação, teremos:
A = 2 - 2b => a = 2 - 2(1) => a = 0
Gabarito
 Coment.
 
 
 4a Questão
Coma base na matriz ampliada a seguir indique a alternativa que representa as equações correspondentes?
 x + y + z = 1
x + y + 3z = -2
x + 2y + 4z = -3
2x + y + z = 3
x + y + 3z = 4
x+ 3y + z = -5
x + y + z = -5
2x + 2y + 3z = 6
3x + 3y + 4z = -5
x + 2y + z = 6
x + 2y + 3z = 3
2x + 3y + 4z = -2
x + y + 4z = -5
3x + 2y + 3z = 6
x + 3y + 4z = -4
 
 
Explicação:
Cabe observar que a matriz ampliada deve ser obtida com o acréscimo de uma coluna, com os termos
independentes, à matriz dos coeficientes.
Dessa forma podemos estruturar as seguintes equações:
x + y + z = 1
x + y + 3z = -2
x + 2y + 4z = -3
 
 
 5a Questão
Coma base na matriz ampliada a seguir indique a alternativa que representa as equações correspondentes?
2x + y + z = 3
x + y + 3z = 4
x+ 3y + z = -5
x + 2y + z = 6
x + 2y + 3z = 3
2x + 3y + 4z = -2
 2x + 2y + 4z = -1
x + y + 3z = -2
x + 2y + 4z = -3
x + y + 4z = -5
3x + 2y + 3z = 6
x + 3y + 4z = -4
x + y + z = -5
2x + 2y + 3z = 6
3x + 3y + 4z = -5
 
 
Explicação:
Cabe observar que a matriz ampliada deve ser obtida com o acréscimo de uma coluna, com os termos
independentes, à matriz dos coeficientes.
Dessa forma podemos estruturar as seguintes equações:
2x + 2y + 4z = -1
x + y + 3z = -2
x + 2y + 4z = -3
⎡
⎢
⎣
1 1 1 1
1 1 3 −2
1 2 4 −3
⎤
⎥
⎦
⎡
⎢
⎣
2 2 4 −1
1 1 3 −2
1 2 4 −3
⎤
⎥
⎦
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 6a Questão
Dado o sistema de equações ax + 2y = 3 e 5x + 4y = 6, para que valor de a tem-se um sistema impossível?
3
5
3,5
4
 2,5
 
 
 7a Questão
Coma base na matriz ampliada a seguir indique a alternativa que representa as equações correspondentes?
2x + y + z = 3
x + y + 3z = 4
x+ 3y + z = -5
x + y + 4z = -5
3x + 2y + 3z = 6
x + 3y + 4z = -4
 2x + 2y + 4z = -1
x + 2y + 3z = 2
x + 3y + 4z = 3
x + 2y + z = 6
x + 2y + 3z = 3
2x + 3y + 4z = -2
x + y + z = -5
2x + 2y + 3z = 6
3x + 3y + 4z = -5
 
 
Explicação:
Cabe observar que a matriz ampliada deve ser obtida com o acréscimo de uma coluna, com os termos
independentes, à matriz dos coeficientes.
Dessa forma podemos estruturar as seguintes equações:
2x + 2y + 4z = -1
x + 2y + 3z = 2
x + 3y + 4z = 3
 
 
 8a Questão
Para as apresentações de uma peça teatral (no sábado e no domingo à noite) foram vendidos 500 ingressos e a arrecadação total foi de R$
4.560,00. O preço do ingresso no sábado era de R$ 10,00 e no domingo era de R$ 8,00. O número de ingressos vendidos para a
apresentação do sábado e para a do domingo, nessa ordem, foi:
 280 e 220
260 e 240
290 e 210
270 e 230
300 e 200
 
 
 
⎡
⎢
⎣
2 2 4 −1
1 2 3 2
1 3 4 3
⎤
⎥
⎦
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Exercício: CCE0579_EX_A3_201901324311_V2 26/03/2019 (Finaliz.)
Aluno(a): SANDRO QUIRINO DOS SANTOS 2019.1 EAD
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 1a Questão
Coma base na matriz ampliada abaixo, qual opção representa as suas equações ?
 x + 2y = 5
3x - 4y = -5
11x - 8y = -5
5x - 10y = -5
 
x + 3y + 11z = 0
2x - 4y -8z = 0
5x - 5y -5z= 0
x + y = 5
x - y = -5
x - y = -5
x + 2y + 5
3x - 4y - 5
11x - 8y - 5
 
 
Explicação:
A matriz ampliada é obtida quando você acrescenta a matriz dos coeficientes uma coluna com os termos independentes.
Assim, na mariz apresentada , os elementos 5, -5 e -5 da última coluna são os termos independentes.
Conclusão:
Com base na matriz ampliada acima, podemos montar as seguintes equações:
x + 2y = 5
3x - 4y = -5
11x - 8y = -5
 
 
 2a Questão
De acordo com a classificação de um sistema de equações lineares, qual alternativa abaixo é verdadeira?
Sistema Possível e Indeterminado (SPI) não possui solução.
 Sistema Possível e Determinado(SPD) possui apenas uma única solução.
Sistema Impossível (SI) possui apenas uma única solução.
Sistema Possível e Determinado(SPD) possui infinitas soluções.
Sistema Possível e Indeterminado (SPI) possui apenas uma única solução.
 
 
Explicação:
Classifica-se um sistema linear de acordo com o tipo de solução. De forma geral, um sistema de equações lineares pode ser classificado
como:
Sistema Possível e Determinado (SPD): possui apenas uma única solução.
Sistema Possível e Indeterminado (SPI): possui infinitas soluções.
Sistema Impossível (SI): não possui solução.
Conclusão:
A resposta correta é o Sistema Possível e Determinado (SPD) possui apenas uma única solução.
 
 
⎛
⎜
⎝
1 2 5
3 −4 −5

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