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26/03/2019 EPS estacio.webaula.com.br/Classroom/index.html?id=2506988&classId=1157525&topicId=2865856&p0=03c7c0ace395d80182db07ae2c30f034&ena… 1/3 CCE0579_EX_A1_201901324311_V1 ÁLGEBRA LINEAR 1a aula Lupa Vídeo PPT MP3 Exercício: CCE0579_EX_A1_201901324311_V1 19/03/2019 (Finaliz.) Aluno(a): SANDRO QUIRINO DOS SANTOS 2019.1 EAD Disciplina: CCE0579 - ÁLGEBRA LINEAR 201901324311 1a Questão Seja A uma matriz 2x4 e B uma matriz 4x3, então o produto A.B = C é uma matriz do tipo: 4 x 2 1 x 1 3 x 3 2 x 3 4 x 3 Explicação: A fim de efetuar o produto entre a matriz A e a matriz B, devemos ter o número de colunas da matriz A igual ao número de linhas da matriz B. No caso A possui 4 colunas e B possui 4 linhas! A matriz resultante terá o número de linhas de A (2 linhas) e o número de colunas de B (3 colunas), ou seja, a matriz resultante C é uma matriz 2 por 3 (2 x 3). 2a Questão Em uma empresa, o custo da produção e o custo do transporte dos produtos foram modelados segundo as matrizes abaixo. A primeira matriz M1 representa a fábrica situada em Bauru e a matriz M2, a outra fábrica situada em Lorena. A primeira coluna das matrizes são referentes ao custo de produção e a segunda coluna referente ao custo de transporte. A primeira linha representa o produto A, a segunda o B e a terceira o C. A soma das matrizes M1 e M2 fornecem o custo total de produção e transporte de cada produto. Com base nessas informações, pode-se afirmar que os custos de produção e transporte do produto B são respectivamente iguais a: 74 e 55 63 e 55 140 e 62 102 e 63 87 e 93 Explicação: Para o produto B (2a linha) temos: 50 + 52 = 102 25 + 38 = 63 26/03/2019 EPS estacio.webaula.com.br/Classroom/index.html?id=2506988&classId=1157525&topicId=2865856&p0=03c7c0ace395d80182db07ae2c30f034&ena… 2/3 3a Questão O determinante da matriz A = [aij] , 3x3, onde: aij = i - j , se i < j e aij = i + j , se i > j é igual a 26 34 -34 0 -26 Explicação: a11 = 1 - 1 = 0 a12 = 1 - 2 = - 1 a13 = 1 - 3 = - 2 a21 = 2 + 1 = 3 a22 = 2 - 2 = 0 a23 = 2 - 3 = - 1 a31= 3 + 1 = 4 a32= 3 + 2 = 5 a33= 3 - 3 = 0 = - 26 4a Questão Sejam as matrizes A = [(3,2),(5,7)] e B = [(4,1),(2,3)]. Quanto vale o det(A.B)? 1 100 110 101 10 5a Questão Seja A uma matriz 2x3 e B uma matriz 3x3, então o produto A.B = C é uma matriz do tipo: 3 x 1 1 x 3 1 x 1 3 x 3 2 x 3 Explicação: A fim de efetuar o produto entre a matriz A e a matriz B, devemos ter o número de colunas da matriz A igual ao número de linhas da matriz B. No caso A possui 3 colunas e B possui 3 linhas! A matriz resultante terá o número de linhas de A (2 linhas) e o número de colunas de B (3 colunas), ou seja, a matriz resultante C é uma matriz 2 por 3 (2 x 3). 6a Questão Sabendo que vale a soma das matrizes: + = Determinar os valores de x e y, respectivamente: 3 e -1 -3 e 1 1 e -3 -1 e -3 -1 e 3 Explicação: + = x + 4 = 3 => x = -1 y + 3 = 6 => y = 3 Logo, a resposta é -1 e 3. ⎡ ⎢ ⎣ 0 −1 −2 0 1 3 0 −1 3 0 4 5 0 4 5 ⎤ ⎥ ⎦ ( x 1 −5 y ) ( 4 1 −5 3 ) ( 3 2 −10 6 ) ( x 1 −5 y ) ( 4 1 −5 3 ) ( 3 2 −10 6 ) 26/03/2019 EPS estacio.webaula.com.br/Classroom/index.html?id=2506988&classId=1157525&topicId=2865856&p0=03c7c0ace395d80182db07ae2c30f034&ena… 3/3 7a Questão Uma firma fabrica quatro tipos de aparelhos cirúrgicos utilizando materiais diferentes. Considere a matriz onde cada elemento aij representa quantas peças do material j serão empregadas para fabricar um aparelho do tipo i. Determine o total do material 2 que será empregado para fabricar oito aparelhos do tipo 1, dois aparelhos do tipo 2, um aparelho do tipo 3 e cinco aparelhos do tipo 4. 20 30 50 40 10 Explicação: Nesse estudo de caso podemos considerar que as linhas correspondem ao tipo e as colunas ao material. Como o enunciado pediu o somatório somente do material 2, podemos fixar a coluna 2. Assim, na matriz podemos fazer o seguinte cálculo: (8 aparelhos x 1) + (2 aparelhos x 2) + (1 aparelho x 3) + (5 aparelhos x 7). (8 . 1) + (2 . 2) + (1 . 3) + (5 . 7) => 8 + 4 + 35 => 50 8a Questão O valor de um determinante é 12. Se dividirmos a 1ª linha por 6 e multiplicarmos a 3ª coluna por 4, o novo determinante valerá: 48 18 24 36 8 Explicação: Quando se multiplica (ou se divide) uma fila de um determinante por um número, o novo determinante fica multiplicado (ou dividido) por esse número. No caso temos: 12 / 6 . 4 = 8 ⎡ ⎢ ⎢ ⎢ ⎣ 3 1 0 4 0 2 5 6 2 3 8 0 4 7 5 1 ⎤ ⎥ ⎥ ⎥ ⎦ ⎡ ⎢ ⎢ ⎢ ⎣ 3 1 0 4 0 2 5 6 2 3 8 0 4 7 5 1 ⎤ ⎥ ⎥ ⎥ ⎦ 26/03/2019 EPS estacio.webaula.com.br/Classroom/index.html?id=2506988&classId=1157525&topicId=2865856&p0=03c7c0ace395d80182db07ae2c30f034&ena… 1/3 CCE0579_EX_A1_201901324311_V2 ÁLGEBRA LINEAR 1a aula Lupa Vídeo PPT MP3 Exercício: CCE0579_EX_A1_201901324311_V2 19/03/2019 (Finaliz.) Aluno(a): SANDRO QUIRINO DOS SANTOS 2019.1 EAD Disciplina: CCE0579 - ÁLGEBRA LINEAR 201901324311 1a Questão Seja A uma matriz 3x3 e B uma matriz 3x1, então o produto A.B = C é uma matriz do tipo: 3 x 4 1 x 1 3 x 1 1 x 4 3 x 3 Explicação: A fim de efetuar o produto entre a matriz A e a matriz B, devemos ter o número de colunas da matriz A igual ao número de linhas da matriz B. No caso A possui 3 colunas e B possui 3 linhas! A matriz resultante terá o número de linhas de A (3 linhas) e o número de colunas de B (1 coluna), ou seja, a matriz resultante C é uma matriz 3 por 1 (3 x 1). 2a Questão Chama-se matriz anti-simétrica toda matriz quadrada A, de orden n, tal que A t = -A. Indique qual matriz abaixo é anti-simétrica: Explicação: Uma matriz quadrada A é dita antissimétrica quando a sua transposta for igual a matriz oposta da própria matriz A, ou seja: At = ¿ A Para determinação da solução são necessários então dois conceitos! Denominamos de matriz transposta de A, representada por At , a matriz obtida quando trocamos as linhas de A por suas colunas, ordenadamente. Matriz oposta é a matriz - A obtida a partir de A trocando-se o sinal de todos os elementos de A. Neste caso linhas e colunas devem ter os mesmos elementos, porém com os sinais trocados! ⎡ ⎢ ⎣ 0 a b −a 0 c b −c 0 ⎤ ⎥ ⎦ ⎡ ⎢ ⎣ 0 a b −a 0 −c −b −c 0 ⎤ ⎥ ⎦ ⎡ ⎢ ⎣ 0 a b a 0 c −b −c 0 ⎤ ⎥ ⎦ ⎡ ⎢ ⎣ 0 a b −a 0 c −b c 0 ⎤ ⎥ ⎦ ⎡ ⎢ ⎣ 0 a b −a 0 c −b −c 0 ⎤ ⎥ ⎦ 26/03/2019 EPS estacio.webaula.com.br/Classroom/index.html?id=2506988&classId=1157525&topicId=2865856&p0=03c7c0ace395d80182db07ae2c30f034&ena… 2/3 3a Questão Dado que a A é uma matriz 2 x 4 e B é uma matriz 4 x 1, então o produto A . B = C é uma matriz do tipo: 4 x 4 2 x 2 2 x 1 2 x 4 4 x 1 Explicação: Para efetuar um produto entre a matriz A e a matriz B, devemos ter o número de colunas (p) da matriz A igual ao número de linhas (p) da matriz B. Am,p . Bp,n = Cm.n Temos no exercício que A . B = C => A2,4 . B 4,1 = C2,1. C é uma matriz 2 por 1 (2 x 1). 4a Questão Para que valores de x,y e z, repectivamente, a matriz M é uma matriz simétrica 1,2,5 1,-2,5 -1,2,-5 1,2,-5 -1,2,5 Explicação: A matriz simétrica é uma matriz quadrada onde a sua transposta é igual a própria matriz(At = A). Ou seja, ai,j = aj,i . Assim, podemos fazer: Matriz a1,3= a3,1 => x + y = -1 => x = -1 - y ......................................................... x = -1 -(-2) => x = 1 Matriz a2,1 = a1,2 => x - y = 3 ......................(-1 - y) - y = 3 => -2y = 4 => y = -2. Matriz a2,3 = a3,2 => z - 3 = 2 => z = 2 + 3 => z = 5 Logo, a rseposta é: 1, -2 e 5. 5a Questão Chama-se de traço de uma matriz quadrada X e representa-se por tr(X) a soma dos elementos da sua diagonal principal. Sendo A = [aij] uma matriz quadrada de ordem par onde aij=1 se i é par ou aij=-1 se i é ímpar. Determine tr(3A). 1 4 3 0 2 Explicação: Definimos o traço de uma matriz quadrada A como sendo a soma dos elementos da diagonal principal. Com base no enunciado podemos montar a seguinte matriz A: = Tr (3A) = 3 . => => -3 + 3 = 0. Conclusão, o tr(3A) = 0. 6a Questão Chamamos de matriz simétrica toda a matriz quadrada A, de orden n, tal que . Assim sendo , indique qual é a matriz simétrica: ⎛ ⎜ ⎝ 5 3 x+ y x− y 4 z− 3 −1 2 x ⎞ ⎟ ⎠ ⎛ ⎜ ⎝ 5 3 x+ y x− y 4 z− 3 −1 2 x ⎞ ⎟ ⎠ [ a 1,1 a 1,2 a 2,1 a 2,2 ] [ − 1 −1 1 1 ] [ − 1 −1 1 1 ] [ − 3 −3 3 3 ] A t = A ⎡ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎣ a b c d b e f g c f h i −d g i j ⎤ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎦ 26/03/2019 EPS estacio.webaula.com.br/Classroom/index.html?id=2506988&classId=1157525&topicId=2865856&p0=03c7c0ace395d80182db07ae2c30f034&ena… 3/3 Explicação: Chamamos matriz simétrica toda matriz quadrada A, de orden n, tal que At = A. Denominamos de matriz transposta de A, representada por At a matriz obtida quando trocamos as linhas de A por suas colunas, ordenadamente. Neste caso linhas e colunas correspondentes (primeira linha e primeira coluna, segunda linha e segunda coluna, etc...) devem possuir os mesmos elementos. 7a Questão Dadas as matrizes A = ( 1 2 3 ) e B = ( -2 0 1 ) , podemos afirmar que a soma dos elementos da matriz 2A+ 3B , é igual a : 10 -1 17 -17 9 Explicação: 2 . (1 + 2 +3) + 3 . (-2 +0 +1) = 12 - 3 = 9 8a Questão Determine a soma dos elementos da diagonal principal do produto destas matrizes. 6 7 2 0 5 Explicação: Para a diagonal principal temos os seguintes resultados: 2 . (-1) + 0 . 0 = - 2 1 . 1 + 3 . 2 = 7 A soma desses valores acarreta a resposta: - 2 + 7 = 5 ⎡ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎣ a b c d b e −f g c f h i d g i j ⎤ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎦ ⎡ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎣ a b c d b −e f g c f h i d g i j ⎤ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎦ ⎡ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎣ a b −c d b e f g c f h i d g i j ⎤ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎦ ⎡ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎣ a b c d b e f g c f h i d g i j ⎤ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎦ [ 2 0 1 3 ]. [ −1 1 0 2 ] 26/03/2019 EPS estacio.webaula.com.br/Classroom/index.html?id=2506988&classId=1157525&topicId=2865856&p0=03c7c0ace395d80182db07ae2c30f034&ena… 1/3 CCE0579_EX_A1_201901324311_V3 ÁLGEBRA LINEAR 1a aula Lupa Vídeo PPT MP3 Exercício: CCE0579_EX_A1_201901324311_V3 19/03/2019 (Finaliz.) Aluno(a): SANDRO QUIRINO DOS SANTOS 2019.1 EAD Disciplina: CCE0579 - ÁLGEBRA LINEAR 201901324311 1a Questão Uma confecção vai fabricar 3 modelos de vestidos utilizando materiais diferentes. Considere a matriz A = aij, em que aij representa quantas unidades do material j serão empregadas para fabricar um modelo de vestido do tipo i. Qual é a quantidade total de unidades do material 3 que será empregada para fabricar três vestidos do tipo 2? 6 9 20 18 12 Explicação: Nesse caso, podemos considerar que as linhas da matriz representam o tipo e as colunas o material. Assim, como deseja-se saber a quantidade do material 3 para fabricar o vestido do tipo 2, podemos acessar a linha 2 e com a coluna 3. A2,3 = 9. 2a Questão Seja A uma matriz 4x3 e B uma matriz 3x1, então o produto A.B = C é uma matriz do tipo: 1 x 1 4 x 1 4 x 3 1 x 3 3 x 1 Explicação: A fim de efetuar o produto entre a matriz A e a matriz B, devemos ter o número de colunas da matriz A igual ao número de linhas da matriz B. No caso A possui 3 colunas e B possui 3 linhas! A matriz resultante terá o número de linhas de A (4 linhas) e o número de colunas de B (1 coluna), ou seja, a matriz resultante C é uma matriz 4 por 1 (4 x 1). 3a Questão Dadas as matrizes, A= , e X= . Indique os valores de x e y de modo que A.X=B. x=0, y=1 A = ⎛ ⎜ ⎝ 5 0 2 0 1 3 4 2 1 ⎞ ⎟ ⎠ [ 1 2 0 1 ] [ 2 1 ] [ x y ] 26/03/2019 EPS estacio.webaula.com.br/Classroom/index.html?id=2506988&classId=1157525&topicId=2865856&p0=03c7c0ace395d80182db07ae2c30f034&ena… 2/3 x=0, y=-1 x=1, y=0 x=0, y=0 x=1, y=1 Explicação: A= , e X= . A.x = B . = Assim teremos as equações: 1) x + 2y = 2 => substituindo o valor de y aqui teremos: x + 2(1) 2 => x = 2 - 2 => x = 0 2) y = 1 4a Questão Determine os valores de x, y de forma que a igualdade se verifique x=1 e y=2 x=1 e y=1 x=2 e y=1 x=0 e y=0 x=2 e y=2 Explicação: Vamos igualar os elementos da matriz em tela aos elementos correspondentes da matriz identidade! x2 = 1 y2 - 3 = 1 x - 1 = 0 y - 2 = 0 Temos então que x = 1 e y = 2 5a Questão Qual alternativa abaixo representa uma matriz antissimétrica de A = ? Explicação: A matriz é antissimétrica é igual a sua transposta com sinal trocado, ou seja,A = -At. Assim, se A = , podemos escrever a sua transposta At = . Logo, a antissimétrica será -At = . Conclusão, a matriz antissimétrica de A= é -At = . 6a Questão Se A é uma matriz 2x3 e B é uma matriz 3x1, então o produto AB = C é uma matriz 1x2 2x1 1x3 3x3 3x3 , porém, nula [ 1 2 0 1 ] B = [ 2 1 ] [ x y ] [ 1 2 0 1 ] [ x y ] [ 2 1 ] [ x 2 x − 1 y − 2 y 2 − 3 ] = I ⎡ ⎢ ⎣ 0 1 −1 −1 0 2 1 −2 0 ⎤ ⎥ ⎦ ⎡ ⎢ ⎣ 0 1 1 1 0 2 1 2 0 ⎤ ⎥ ⎦ [ 0 ] ⎡ ⎢ ⎣ 0 1 1 1 0 1 1 1 0 ⎤ ⎥ ⎦ ⎡ ⎢ ⎣ 1 0 0 0 1 0 0 0 1 ⎤ ⎥ ⎦ ⎡ ⎢ ⎣ 0 1 −1 −1 0 2 1 −2 0 ⎤ ⎥ ⎦ ⎡ ⎢ ⎣ 0 1 −1 −1 0 2 1 −2 0 ⎤ ⎥ ⎦ ⎡ ⎢ ⎣ 0 −1 1 1 0 −2 −1 2 0 ⎤ ⎥ ⎦ ⎡ ⎢ ⎣ 0 1 −1 −1 0 2 1 −2 0 ⎤ ⎥ ⎦ ⎡ ⎢ ⎣ 0 1 −1 −1 0 2 1 −2 0 ⎤ ⎥ ⎦ ⎡ ⎢ ⎣ 0 1 −1 −1 0 2 1 −2 0 ⎤ ⎥ ⎦ 26/03/2019 EPS estacio.webaula.com.br/Classroom/index.html?id=2506988&classId=1157525&topicId=2865856&p0=03c7c0ace395d80182db07ae2c30f034&ena… 3/3 Explicação: Nessa questão podemos aplicar o seguinte entendimento: Para efetuar um produto entre a matriz A e a matriz B, devemos ter o número de colunas(p) da matriz A = ao número de linhas(p) da matriz B. Am,p . Bp,n = Cm.n Assim, temos p = p. Na questão apresentada temos AB = C => A2,3 . B 3,1 = C2,1. Conclusão, a matriz C é uma matriz 2 por 1 (2 x 1). Gabarito Coment. 7a Questão Considere as matrizes Efetuando-se o produto A.B encontramos uma matriz cuja soma dos elementos da diagonal principal é: 36 37 46 25 47 Explicação: Você deve fazer o prduto de A . B, e no final somar a diagonal principal. A . B = Linha 1 de A X coluna 1 de B, Linha 1 de A X coluna 2 de B, Linha 2 de A X coluna 1 de B e Linha 2 de A X coluna 2 de B. Ou seja: = = 8 + 38 = 46. 8a Questão Qual alternativaabaixo representa a matriz simétrica de A = ? Explicação: Matriz simétrica é uma matriz onde A = At , ou seja, a matriz A é igual a sua transposta. Assim, as linhas são transformada em colunas para encontrar a transposta. Conclusão: Sendo A = , a sua simétrica também será . A = ( 0 1 2 3 4 5 ) B = ⎛ ⎜ ⎝ 1 2 2 3 3 4 ⎞ ⎟ ⎠ A = ( 0 1 2 3 4 5 ) B = ⎛ ⎜ ⎝ 1 2 2 3 3 4 ⎞ ⎟ ⎠ ( 0 + 2 + 6 0 + 3 + 8 3 + 8 + 15 6 + 12 + 20 ) ( 8 11 26 38 ) ⎡ ⎢ ⎣ 2 1 1 1 1 1 1 1 2 ⎤ ⎥ ⎦ [ 0 ] ⎡ ⎢ ⎣ 1 0 0 0 1 0 0 0 1 ⎤ ⎥ ⎦ ⎡ ⎢ ⎣ 1 1 2 1 1 1 2 1 1 ⎤ ⎥ ⎦ ⎡ ⎢ ⎣ 2 1 1 1 1 1 1 1 2 ⎤ ⎥ ⎦ ⎡ ⎢ ⎣ 2 1 2 1 1 1 2 1 2 ⎤ ⎥ ⎦ ⎡ ⎢ ⎣ 2 1 1 1 1 1 1 1 2 ⎤ ⎥ ⎦ ⎡ ⎢ ⎣ 2 1 1 1 1 1 1 1 2 ⎤ ⎥ ⎦ 26/03/2019 EPS estacio.webaula.com.br/Classroom/index.html?id=2506988&classId=1157525&topicId=2865856&p0=03c7c0ace395d80182db07ae2c30f034&ena… 1/3 CCE0579_EX_A1_201901324311_V4 ÁLGEBRA LINEAR 1a aula Lupa Vídeo PPT MP3 Exercício: CCE0579_EX_A1_201901324311_V4 19/03/2019 (Finaliz.) Aluno(a): SANDRO QUIRINO DOS SANTOS 2019.1 EAD Disciplina: CCE0579 - ÁLGEBRA LINEAR 201901324311 1a Questão Uma fabricante de instrumento musical tem um projeto para fabrica 3 modelos de percussão (repique) utilizando 3 materiais diferentes. Considere a matriz A = aij, onde aij representa a quantidade em metro do material i que serão necessários para fabricar um modelo de repique do modelo j. A = Qual alternativa abaixo representa a quantidade total em metros do material 2 necessários para fabricar 10 repiques do modelo 2? 2 3 11 10 4 Explicação: Solução: Nesse caso, podemos considerar que as linhas da matriz representam o material e as colunas o modelo do instrumento de percussão. Com isso, como deseja-se saber quantos metros do material 2 são necessários para fabricar 10 repiques do modelo 2, podemos localizar na matriz a linha 2 e a coluna 2 , e multiplicar por 10. Ou seja, 10 . A2,2 = 10 . 1 = 10 metros. Conclusão: São necessários 10 metros do material 2 para fabricar o repique modelo 2. 2a Questão Para que valores de x e y a matriz P é uma matriz diagonal? P= x=3 e y= 0 x=2 e y= 2 x=-1 e y=2 x=2 e y=2 ⎡ ⎢ ⎣ 2 1 1 1 1 2 1 1 2 ⎤ ⎥ ⎦ [ y x − y + 3 x + y − 1 x ] 26/03/2019 EPS estacio.webaula.com.br/Classroom/index.html?id=2506988&classId=1157525&topicId=2865856&p0=03c7c0ace395d80182db07ae2c30f034&ena… 2/3 x=0 e y=-1 Explicação: Matriz diagonal é a matriz quadrada onde todos os elementos fora da diagonal principal são nulos, logo: x + y - 1 = 0 x - y + 3 = 0 Resolvendo o sistema temos: x = -1; y = 2 3a Questão Dado que a A é uma matriz 2 x 5 e B é uma matriz 5 x 1, então o produto A . B = C é uma matriz do tipo: 5 x 1 5 x 2 2 x 5 2 x 1 1 x 5 Explicação: Para efetuar um produto entre a matriz A e a matriz B, devemos ter o número de colunas (p) da matriz A igual ao número de linhas (p) da matriz B. Am,p . Bp,n = Cm.n Temos no exercício que A . B = C => A2,5 . B 5,1 = C2,1. C é uma matriz 2 por 1 (2 x 1). 4a Questão Uma matriz quadrada de ordem 4 x 4 apresenta um número de elementos igual a: 25 9 4 1 16 Explicação: Uma matriz com 4 linhas e 4 colunas possui 4 x 4 = 16 elementos! 5a Questão Considere uma matriz identidade I de ordem 30 x 30. Sabendo-se que traço de uma matriz A (tr(A)) é a soma dos elementos da diagonal principal, determine o traço de I, ou seja, tr(I) 60 1 0 30 900 Explicação: Como todos os elementos da diagonal principal são iguais a 1 e a ordem da matriz é 30, teremos a soma do "1" 30 vezes, ou seja, tr(I) = 1 + 1 + ...+ 1 = 30 6a Questão Aplicando a regra de Sarrus , qual opção abaixo representa o determinante da matriz A = ? 0 10 1 Explicação: ⎡ ⎢ ⎣ 2 1 1 1 1 2 1 1 2 ⎤ ⎥ ⎦ ⎡ ⎢ ⎣ 1 0 0 0 1 0 0 0 1 ⎤ ⎥ ⎦ ⎡ ⎢ ⎣ 2 1 1 1 1 2 1 1 2 ⎤ ⎥ ⎦ 26/03/2019 EPS estacio.webaula.com.br/Classroom/index.html?id=2506988&classId=1157525&topicId=2865856&p0=03c7c0ace395d80182db07ae2c30f034&ena… 3/3 Para cálcular o determinante de A = através da regra de Sarrus precisamos repetir as duas primeiras colunas após a terceira coluna, de forma a montar uma matriz de 3 linhas por 5 colunas. Somamos então o produto dos elementos das 3 diagonais principais mais o produto das três diagonais segundarias com o sinal trocado. Det(A) = = ( (2.1.2)+(1.2.1)+(1.1.1)) + ( (-(1.1.1)) + (-(2.2.1)) = (-(1.1.2)) ) = ((4) + (2) + (1)) + ( (-1) + (-4) + (-2) ) = (7) + (-1 -4 -2) = 7 - 7 =0. Conclusão, o determinante da matriz A= é igual 0. 7a Questão Qual alternativa abaixo representa a matriz transposta de A = ? Explicação: Para cálcular uma matriz transposta você deve tranforma a linha da matriz em coluna. Conclusão: Sendo a matriz A = , a sua transposta será igual At = . 8a Questão Considere a matriz: A= Determine a soma dos elementos da diagonal principal desta matriz. 4 1 -2 0 2 Explicação: A diagonal principal é formada pelos elementos da matriz quadrada onde o índice da linha é igual ao índice da coluna (i = j). Neste caso temos: a11 = 1 a22 = -1 a33 = 2 Para a soma temos: 1 + (-1) + 2 = 2 ⎡ ⎢ ⎣ 2 1 1 1 1 2 1 1 2 ⎤ ⎥ ⎦ ⎡ ⎢ ⎣ 2 1 1 2 1 1 1 2 1 1 1 1 2 1 1 ⎤ ⎥ ⎦ ⎡ ⎢ ⎣ 2 1 1 1 1 2 1 1 2 ⎤ ⎥ ⎦ ⎡ ⎢ ⎣ 2 1 1 1 1 2 1 1 2 ⎤ ⎥ ⎦ ⎡ ⎢ ⎣ 1 0 0 0 1 0 0 0 1 ⎤ ⎥ ⎦ ⎡ ⎢ ⎣ 2 1 1 1 1 2 1 1 2 ⎤ ⎥ ⎦ ⎡ ⎢ ⎣ 2 1 2 1 1 1 2 1 2 ⎤ ⎥ ⎦ ⎡ ⎢ ⎣ 1 1 1 1 1 1 1 1 1 ⎤ ⎥ ⎦ ⎡ ⎢ ⎣ 2 1 1 1 1 1 1 2 2 ⎤ ⎥ ⎦ ⎡ ⎢ ⎣ 2 1 1 1 1 2 1 1 2 ⎤ ⎥ ⎦ ⎡ ⎢ ⎣ 2 1 1 1 1 1 1 2 2 ⎤ ⎥ ⎦ ⎡ ⎢ ⎣ 1 1 2 2 −1 3 0 1 2 ⎤ ⎥ ⎦ 26/03/2019 EPS estacio.webaula.com.br/Classroom/index.html?id=2506988&classId=1157525&topicId=2865856&p0=03c7c0ace395d80182db07ae2c30f034&ena… 1/4 CCE0579_EX_A1_201901324311_V5 ÁLGEBRA LINEAR 1a aula Lupa Vídeo PPT MP3 Exercício: CCE0579_EX_A1_201901324311_V5 19/03/2019 (Finaliz.) Aluno(a): SANDRO QUIRINO DOS SANTOS 2019.1 EAD Disciplina: CCE0579 - ÁLGEBRA LINEAR 201901324311 1a Questão Para conseguir passar para a fase seguinte de um campeonato que envolve raciocínio matemático, os participantes tiveram que encontrar os valores de a, b, c e d das matrizes abaixo. Somente passaram para a fase seguinte os participantes que acertaram a questão e obtiveram para a, b, c e d, respectivamente, os seguintes valores : 2, 0, 2, 1 1 ,1 , 2, 2 1,2, 0, 2 0, 0, 1, 2 0, 2, 1, 2 Explicação: a + 2b = 4 2a - b = -2 (x2) a + 2b = 4 4a - 2b = -4 5a = 0 então a = 0 Para a = 0 temos: 0 + 2b =4 então b = 2 2c + d = 4 (x2) c - 2d = -3 4c + 2d = 8 c - 2d = -3 5c = 5 então c = 1 Para c = 1 temos: 2.1 + 2d = 4 então d = 4 -2 = 2 Como resposta final temos: 0; 2; 1; 2 2a Questão Suponha as matrizes A 2x3 e B3x4. Sejam as matrizes C e D tal que C = (A.B) + Dm x n . Assim, para que exista a equação matricial descrita, o valor da soma m + n é: 9 8 7 5 6 Explicação: Solução: A 2x3 . B3x4= E2x4 . Para somar uma matriz 2 x 4 com uma D m x n , só se m = 2 e n = 4. Logo, a soma vale 6 26/03/2019 EPS estacio.webaula.com.br/Classroom/index.html?id=2506988&classId=1157525&topicId=2865856&p0=03c7c0ace395d80182db07ae2c30f034&ena… 2/4 3a Questão Dadas duas matrizes A e B de mesmo �po (mxn), temos que k·(A+B)=k·A+k·B. Assim sendo, se , e k=2, então a alterna�va correta para k·(A+B) é igual a: Explicação: k·(A+B) = 2 . k·(A+B) = 4a Questão Seja A uma matriz 4x2 e B uma matriz 2x1, então o produto A.B = C é uma matriz do tipo: 3 x 1 1 x 1 2 x 2 1 x 4 4 x 1 Explicação: A fim de efetuar o produto entre a matriz A e a matriz B, devemos ter o número de colunas da matriz A igual ao número de linhas da matriz B. No caso A possui 2 colunas e B possui 2 linhas! A matriz resultante terá o número de linhas de A (4 linhas) e o número de colunas de B (1 coluna), ou seja, a matriz resultante C é uma matriz 4 por 1 (4 x 1). 5a Questão Dada a operação com matrizes a seguir: Determinar os valores de x e y. -1 e -3 -1 e 3 3 e -1 1 e -3 -3 e 1 Explicação: A = ⎡ ⎢ ⎣ 0 2 4 0 0 0 −1 3 7 ⎤ ⎥ ⎦ B = ⎡ ⎢ ⎣ 0 −1 2 −1 1 −1 1 −5 0 ⎤ ⎥ ⎦ ⎡ ⎢ ⎣ 0 2 12 −2 −2 −2 0 −4 14 ⎤ ⎥ ⎦ ⎡ ⎢ ⎣ 0 2 12 −2 2 −2 0 −4 14 ⎤ ⎥ ⎦ ⎡ ⎢ ⎣ 0 2 12 −2 2 −2 0 −4 −14 ⎤ ⎥ ⎦ ⎡ ⎢ ⎣ 0 2 12 −2 2 −2 0 4 14 ⎤ ⎥ ⎦ ⎡ ⎢ ⎣ 0 −2 12 −2 2 −2 0 −4 14 ⎤ ⎥ ⎦ ⎡ ⎢ ⎣ 0 1 6 −1 1 −1 0 −2 7 ⎤ ⎥ ⎦ ⎡ ⎢ ⎣ 0 2 12 −2 2 −2 0 −4 14 ⎤ ⎥ ⎦ [ x 1 −5 y ] + [ 4 1 −5 3 ] = [ 3 2 −10 6 ] 26/03/2019 EPS estacio.webaula.com.br/Classroom/index.html?id=2506988&classId=1157525&topicId=2865856&p0=03c7c0ace395d80182db07ae2c30f034&ena… 3/4 Temos que: x + 4 = 3 então x = 3 - 4 = -1 Temos ainda que: y + 3 = 6 então y = 6 - 3 = 3 6a Questão Adicionando [ 1 2 3 ] + [ -1 -2 3 ] , encontramos: [ 0 0 0 ] [ 2 2 1] [ 0 0 1 ] [ 0 0 6 ] [ 1 1 1 ] Explicação: 1 + (-1) = 0 2 + (-2) = 0 3 + 3 = 6 Temos então como resposta: [0 0 6] 7a Questão Seja A uma matriz 4x4 e B uma matriz 4x1, então o produto A.B = C é uma matriz do tipo: 1 x 4 4 x 1 3 x 3 3 x 4 1 x 1 Explicação: A fim de efetuar o produto entre a matriz A e a matriz B, devemos ter o número de colunas da matriz A igual ao número de linhas da matriz B. No caso A possui 4 colunas e B possui 4 linhas! A matriz resultante terá o número de linhas de A (4 linhas) e o número de colunas de B (1 coluna), ou seja, a matriz resultante C é uma matriz 4 por 1 (4 x 1). 8a Questão Na tabela abaixo temos as notas obtidas por 3 alunos nas provas de português, matemática, física e química. Português Matemática Física Química João 8 3 6 5 Maria 7 5 4 3 José 5 7 8 2 Denotando a matriz A com colunas referentes às disciplinas e as linhas referentes aos alunos, determine a soma dos elementos a12, a22,a32 da matriz A. 20 15 18 12 10 Explicação: Nessa questão devemos considerar que os elementos da tabela apresentados correspondem: a1,2 = primeira linha e segunda coluna; a2,2 = segunda linha e segunda coluna; a3,2 = terceira linha e segunda coluna. Conclusão, a soma de a12 +a22 + a32 => 3 + 5 + 7 = 15. 26/03/2019 EPS estacio.webaula.com.br/Classroom/index.html?id=2506988&classId=1157525&topicId=2865856&p0=03c7c0ace395d80182db07ae2c30f034&ena… 4/4 26/03/2019 EPS estacio.webaula.com.br/Classroom/index.html?id=2506988&classId=1157525&topicId=2865856&p0=03c7c0ace395d80182db07ae2c30f034&ena… 1/3 CCE0579_EX_A1_201901324311_V6 ÁLGEBRA LINEAR 1a aula Lupa Vídeo PPT MP3 Exercício: CCE0579_EX_A1_201901324311_V6 19/03/2019 (Finaliz.) Aluno(a): SANDRO QUIRINO DOS SANTOS 2019.1 EAD Disciplina: CCE0579 - ÁLGEBRA LINEAR 201901324311 1a Questão Uma industria automobilística tem um projeto para fabricar 3 modelos de carros(Hatch , SUV e Jeep), com 2 ou 4 portas(tipos). Considere a matriz A = aij, onde aij representa a quantidade de dias que a industria necessita para fabricar um determinado modelo i de um deteminado tipo j. A = Qual alternativa abaixo representa a quantidade total de dias necessários para fabricar 2 Jeep de 2 portas? 25 60 74 30 55 Explicação: Solução: Nesse caso, podemos considerar que as linhas da matriz representam o modelo(Hatch, SUV ou Jeep) e as colunas o tipo(2 ou 4 portas). Com isso, como deseja-se saber quantos dias são necessários para fabricar 2 Jeeps de 2 portas. Ou seja, 2 . A3,2 = 2 . 30 = 60 dias. Conclusão: São necessários 60 dias para fabricar 2 Jepps de 2 portas. 2a Questão Uma matriz de ordem 3 x 5 apresenta número de elementos igual a : 20 15 12 8 10 Explicação: Uma matriz com 3 linhas e 5 colunas possui 3 x 5 = 15 elementos 3a Questão Dado que a A é uma matriz 2 x 6 e B é uma matriz 6 x 1, então o produto A . B = C é uma matriz do tipo: 2 x 1 6 x 2 1 x 6 6 x 1 2 x 6 ⎡ ⎢ ⎣ 30 25 19 32 25 30 ⎤ ⎥ ⎦ ⎡ ⎢ ⎣ 30 25 19 32 25 30 ⎤ ⎥ ⎦ 26/03/2019 EPS estacio.webaula.com.br/Classroom/index.html?id=2506988&classId=1157525&topicId=2865856&p0=03c7c0ace395d80182db07ae2c30f034&ena… 2/3 Explicação: Para efetuar um produto entre a matriz A e a matriz B, devemos ter o número de colunas (p) da matriz A igual ao número de linhas (p) da matriz B. Am,p . Bp,n = Cm.n Temos no exercício que A . B = C => A2,6 . B 6,1 = C2,1. C é uma matriz 2 por 1 (2 x 1). 4a Questão Tendo duas matrizes A2x3 e B2x2. Responda a afirmativa correta, com relação a operação A x B. É impossível pois o número de linhas de A é igual ao número de linha de B É impossível pois o número de colunas de A é diferente do número de linha de B É impossível pois A e B tem dimensões diferentes É possível e tem com resposta C3x3 É possível e tem com resposta C2x2 Explicação: O produto só é possível se o número de colunas de A é igual ao número de linhas de B! 5a Questão Dado que a A é uma matriz 2 x 2 e B é uma matriz 2 x 1, então o produto A . B = C é uma matriz do tipo: 2 x 2 4 x 2 2 x 1 1 x 2 2 x 4 Explicação: Para efetuar um produto entre a matriz A e a matriz B, devemos ter o número de colunas (p) da matriz A igual ao número de linhas (p) da matriz B. Am,p . Bp,n = Cm.n Temos no exercício que A . B = C => A2,2 . B 2,1 = C2,1. C é uma matriz 2 por 1 (2 x 1). 6a Questão Suponha uma matriz identidade In, ou seja, com n linhas e n colunas. Sendo o traço duma matriz quadrada A tr(A) definido como a soma dos elementos da diagonal principal, determine tr(In) 2n n + 1 n2 1 n Explicação: Matriz identidade tem todos os elementos da diagonal principal iguais a 1. Como a ordem da matriz é n, seu traço será 1 + 1 +1 ...1 = n 7a Questão Calcule o produto AB se e A = ⎡ ⎢ ⎢ ⎣ 4 2 0 2 1 0 −2 −1 1 ⎤ ⎥ ⎥ ⎦ B = ⎡ ⎢ ⎢ ⎣ 2 3 1 2 −2 −2 −1 2 1 ⎤ ⎥ ⎥ ⎦ AB = ⎡ ⎢ ⎢ ⎣ 12 8 0 6 4 0 −7 −2 1 ⎤ ⎥ ⎥ ⎦ AB = ⎡ ⎢ ⎢ ⎣ 12 8 0 6 4 0 6 2 0 ⎤ ⎥ ⎥ ⎦ AB = ⎡ ⎢ ⎢ ⎣ 12 8 0 6 −4 0 −7 −2 1 ⎤ ⎥ ⎥ ⎦ 26/03/2019 EPS estacio.webaula.com.br/Classroom/index.html?id=2506988&classId=1157525&topicId=2865856&p0=03c7c0ace395d80182db07ae2c30f034&ena… 3/3 Explicação: Aplica-se o Teorema de multiplicação de matrizes. 8a Questão Ovalor de um determinante é 12. Se dividirmos a 1ª linha por 6 e multiplicarmos a 3ª coluna por 4, o novo determinante valerá: 8 18 24 36 48 Explicação: Quando se multiplica (ou se divide) uma fila de um determinante por um número, o novo determinante fica multiplicado (ou dividido) por esse número. No caso temos: 12 / 6 . 4 = 8 AB = ⎡ ⎢ ⎢ ⎣ 12 8 0 6 4 0 7 2 1 ⎤ ⎥ ⎥ ⎦ AB = ⎡ ⎢ ⎢ ⎣ 0 8 0 6 4 0 −7 −2 1 ⎤ ⎥ ⎥ ⎦ 26/03/2019 EPS estacio.webaula.com.br/Classroom/index.html?id=2506988&classId=1157525&topicId=2865856&p0=03c7c0ace395d80182db07ae2c30f034&ena… 1/3 CCE0579_EX_A1_201901324311_V7 ÁLGEBRA LINEAR 1a aula Lupa Vídeo PPT MP3 Exercício: CCE0579_EX_A1_201901324311_V7 19/03/2019 (Finaliz.) Aluno(a): SANDRO QUIRINO DOS SANTOS 2019.1 EAD Disciplina: CCE0579 - ÁLGEBRA LINEAR 201901324311 1a Questão Em uma empresa, o custo da produção e o custo do transporte dos produtos foram modelados segundo as matrizes abaixo. A primeira matriz M1 representa a fábrica situada em Bauru e a matriz M2, a outra fábrica situada em Lorena. A primeira coluna das matrizes são referentes ao custo de produção e a segunda coluna referente ao custo de transporte. A primeira linha representa o produto A, a segunda o B e a terceira o C. A soma das matrizes M1 e M2 fornecem o custo total de produção e transporte de cada produto. Com base nessas informações, pode-se afirmar que os custos de produção e transporte do produto B são respectivamente iguais a: 63 e 55 140 e 62 102 e 63 74 e 55 87 e 93 Explicação: Para o produto B (2a linha) temos: 50 + 52 = 102 25 + 38 = 63 2a Questão O determinante da matriz A = [aij] , 3x3, onde: aij = i - j , se i < j e aij = i + j , se i > j é igual a 0 -34 34 -26 26 Explicação: a11 = 1 - 1 = 0 a12 = 1 - 2 = - 1 a13 = 1 - 3 = - 2 a21 = 2 + 1 = 3 a22 = 2 - 2 = 0 a23 = 2 - 3 = - 1 a31= 3 + 1 = 4 a32= 3 + 2 = 5 a33= 3 - 3 = 0 26/03/2019 EPS estacio.webaula.com.br/Classroom/index.html?id=2506988&classId=1157525&topicId=2865856&p0=03c7c0ace395d80182db07ae2c30f034&ena… 2/3 = - 26 3a Questão Sejam as matrizes A = [(3,2),(5,7)] e B = [(4,1),(2,3)]. Quanto vale o det(A.B)? 1 10 101 100 110 4a Questão Seja A uma matriz 2x3 e B uma matriz 3x3, então o produto A.B = C é uma matriz do tipo: 3 x 1 3 x 3 2 x 3 1 x 3 1 x 1 Explicação: A fim de efetuar o produto entre a matriz A e a matriz B, devemos ter o número de colunas da matriz A igual ao número de linhas da matriz B. No caso A possui 3 colunas e B possui 3 linhas! A matriz resultante terá o número de linhas de A (2 linhas) e o número de colunas de B (3 colunas), ou seja, a matriz resultante C é uma matriz 2 por 3 (2 x 3). 5a Questão Sabendo que vale a soma das matrizes: + = Determinar os valores de x e y, respectivamente: 1 e -3 -1 e -3 -3 e 1 3 e -1 -1 e 3 Explicação: + = x + 4 = 3 => x = -1 y + 3 = 6 => y = 3 Logo, a resposta é -1 e 3. 6a Questão Uma firma fabrica quatro tipos de aparelhos cirúrgicos utilizando materiais diferentes. Considere a matriz onde cada elemento aij representa quantas peças do material j serão empregadas para fabricar um aparelho do tipo i. Determine o total do material 2 que será empregado para fabricar oito aparelhos do tipo 1, dois aparelhos do tipo 2, um aparelho do tipo 3 e cinco aparelhos do tipo 4. 50 20 30 10 40 Explicação: ⎡ ⎢ ⎣ 0 −1 −2 0 1 3 0 −1 3 0 4 5 0 4 5 ⎤ ⎥ ⎦ ( x 1 −5 y ) ( 4 1 −5 3 ) ( 3 2 −10 6 ) ( x 1 −5 y ) ( 4 1 −5 3 ) ( 3 2 −10 6 ) ⎡ ⎢ ⎢ ⎢ ⎣ 3 1 0 4 0 2 5 6 2 3 8 0 4 7 5 1 ⎤ ⎥ ⎥ ⎥ ⎦ 26/03/2019 EPS estacio.webaula.com.br/Classroom/index.html?id=2506988&classId=1157525&topicId=2865856&p0=03c7c0ace395d80182db07ae2c30f034&ena… 3/3 Nesse estudo de caso podemos considerar que as linhas correspondem ao tipo e as colunas ao material. Como o enunciado pediu o somatório somente do material 2, podemos fixar a coluna 2. Assim, na matriz podemos fazer o seguinte cálculo: (8 aparelhos x 1) + (2 aparelhos x 2) + (1 aparelho x 3) + (5 aparelhos x 7). (8 . 1) + (2 . 2) + (1 . 3) + (5 . 7) => 8 + 4 + 35 => 50 7a Questão Seja A uma matriz 2x4 e B uma matriz 4x3, então o produto A.B = C é uma matriz do tipo: 3 x 3 1 x 1 4 x 3 4 x 2 2 x 3 Explicação: A fim de efetuar o produto entre a matriz A e a matriz B, devemos ter o número de colunas da matriz A igual ao número de linhas da matriz B. No caso A possui 4 colunas e B possui 4 linhas! A matriz resultante terá o número de linhas de A (2 linhas) e o número de colunas de B (3 colunas), ou seja, a matriz resultante C é uma matriz 2 por 3 (2 x 3). 8a Questão Para que valores de x,y e z, repectivamente, a matriz M é uma matriz simétrica -1,2,5 -1,2,-5 1,2,5 1,2,-5 1,-2,5 Explicação: A matriz simétrica é uma matriz quadrada onde a sua transposta é igual a própria matriz(At = A). Ou seja, ai,j = aj,i . Assim, podemos fazer: Matriz a1,3 = a3,1 => x + y = -1 => x = -1 - y ......................................................... x = -1 -(-2) => x = 1 Matriz a2,1 = a1,2 => x - y = 3 ......................(-1 - y) - y = 3 => -2y = 4 => y = -2. Matriz a2,3 = a3,2 => z - 3 = 2 => z = 2 + 3 => z = 5 Logo, a rseposta é: 1, -2 e 5. ⎡ ⎢ ⎢ ⎢ ⎣ 3 1 0 4 0 2 5 6 2 3 8 0 4 7 5 1 ⎤ ⎥ ⎥ ⎥ ⎦ ⎛ ⎜ ⎝ 5 3 x+ y x− y 4 z− 3 −1 2 x ⎞ ⎟ ⎠ ⎛ ⎜ ⎝ 5 3 x+ y x− y 4 z− 3 −1 2 x ⎞ ⎟ ⎠ 26/03/2019 EPS estacio.webaula.com.br/Classroom/index.html?id=2506988&classId=1157525&topicId=2865856&p0=03c7c0ace395d80182db07ae2c30f034&ena… 1/3 CCE0579_EX_A2_201901324311_V1 ÁLGEBRA LINEAR 2a aula Lupa Vídeo PPT MP3 Exercício: CCE0579_EX_A2_201901324311_V1 26/03/2019 (Finaliz.) Aluno(a): SANDRO QUIRINO DOS SANTOS 2019.1 EAD Disciplina: CCE0579 - ÁLGEBRA LINEAR 201901324311 1a Questão Considere que o valor de um determinante é 6. Se dividirmos a 1ª linha por 6 e multiplicarmos a 3ª coluna por 4, o novo determinante valerá: 24 12 1 4 6 Explicação: Quando se multiplica (ou se divide) uma fila de um determinante por um número, o novo determinante fica multiplicado (ou dividido) por esse número. No caso temos: (6 / 6) . 4 = 4 2a Questão Prove que a matriz A= é inversível, através do seu determinante. 10 0 -10 14 1 Explicação: Solução: De modo geral uma matriz quadrada de ordem n é inversível se, e somente se,o seu detereminanete for diferente de zero. A= det A = (4.3) - (1.2) = 10. Conclusão, a matriz A= é inversível, pois o seu determinante é igual a 10(diferente de zero). 3a Questão Qual é a matriz X tal que: [ 4 2 1 3 ] [ 4 2 1 3 ] [ 4 2 1 3 ] ( 5 1 4 1 ). x = ( 9 7 ) 26/03/2019 EPS estacio.webaula.com.br/Classroom/index.html?id=2506988&classId=1157525&topicId=2865856&p0=03c7c0ace395d80182db07ae2c30f034&ena… 2/3 Explicação: Só podemos multiplicar duas matrizes quando o número de colunas da primeira matriz for igual ao número de linhas da segunda matriz. A matriz produto terá o número de linhas da primeira matriz e o número de colunas da segunda matriz. No caso temos uma matriz 2x2 e a matriz produto 2x1 o que nos leva a concluir que a matriz x é do tipo 2x1, que hipoteticamente tem os elementos X1 e X2. Nestecaso temos então que: 5X1 + X2 = 9 4X1 + X2 = 7 Resolvendo o sistema X1 = 2 e X2 = -1 4a Questão A soma de todos os elementos de uma matriz quadrada A de ordem 2 é igual a 100. Podemos afirmar que a soma de todos os elementos da matriz 2A é igual a : 500 100 200 300 400 Explicação: Quando multiplicamos um número real K por uma matriz A do tipo m x n, encontramos para resultado uma matriz do tipo m x n, que representaremos por KA, obtida multiplicando K por cada elemento da matriz A. Dessa forma a soma dos elementos passa a ser 100 . 2 = 200 5a Questão Considere que o valor de um determinante é 18. Se dividirmos a 1ª linha por 6 e multiplicarmos a 3ª coluna por 4, o novo determinante valerá: 27 24 18 3 12 Explicação: Quando se multiplica (ou se divide) uma fila de um determinante por um número, o novo determinante fica multiplicado (ou dividido) por esse número. No caso temos: (18 / 6) . 4 = 12 6a Questão Considere que o valor de um determinante é 24. Se dividirmos a 3ª linha por 6 e multiplicarmos a 3ª coluna por 4, o novo determinante valerá: 4 16 96 12 24 X = ( −2 1 ) X = ( −2 −1 ) X = ( 2 1 ) X = ( 2 −1 ) X = ( −1 2 ) 26/03/2019 EPS estacio.webaula.com.br/Classroom/index.html?id=2506988&classId=1157525&topicId=2865856&p0=03c7c0ace395d80182db07ae2c30f034&ena… 3/3 Explicação: Quando se multiplica (ou se divide) uma fila de um determinante por um número, o novo determinante fica multiplicado (ou dividido) por esse número. No caso temos: (24 / 6) . 4 = 16 7a Questão As matrizes A, B e C são tais que a operação A x B + C é possível, gerando como resultado uma matriz D(3x4). Com base nessas informações é CORRETO afirmar que: B e C possuem a mesma quantidade de linhas. A e C possuem a mesma quantidade de colunas. C é uma matriz com 5 linhas. A possui 3 linhas e B 4 colunas. A e B são matrizes quadradas. Explicação: Regra para o produto: Só podemos multiplicar duas matrizes quando o número de colunas da primeira matriz for igual ao número de linhas da segunda matriz. A matriz produto terá o número de linhas da primeira matriz e o número de colunas da segunda matriz. Como regra para a soma temos: Chamamos de soma das matrizes A e B do mesmo tipo m x n, a matriz do tipo m x n, cujos elementos são obtidos a partir da soma dos elementos correspondentes de A e B. Devemos atentar para o fato de as matrizes A e B serem do mesmo tipo pois, se forem de tipos diferentes, a operação não será definida. Como a matriz resultado e do tipo 3 x 4 então podemos afirmar que o número de linhas de A é 3 e que o número de colunas de C é 4. 8a Questão Sejam as matrizes quadradas A e B de ordem n. Sabendo-se que ambas matrizes admitem inversa, encontre a matriz X, de ordem n, tal que A.X= B X=B-1.A X=A.B X=A-1.B X=B / A X=B. A-1 Explicação: A.X= B Multiplicando ¿pela esquerda por A-1 A-1A.X= A-1.B Mas, A-1.A = I I.X= A-1.B X= A-1.B 26/03/2019 EPS estacio.webaula.com.br/Classroom/index.html?id=2506988&classId=1157525&topicId=2865856&p0=03c7c0ace395d80182db07ae2c30f034&ena… 1/4 CCE0579_EX_A2_201901324311_V2 ÁLGEBRA LINEAR 2a aula Lupa Vídeo PPT MP3 Exercício: CCE0579_EX_A2_201901324311_V2 26/03/2019 (Finaliz.) Aluno(a): SANDRO QUIRINO DOS SANTOS 2019.1 EAD Disciplina: CCE0579 - ÁLGEBRA LINEAR 201901324311 1a Questão Seja A = uma matriz não singular. Sabendo que A-1 = determine os valores de a e b a=9 e b=3 a=10 e b=2 a=11 e b=-1 a=13 e b=1 a=-11 e b=1 Explicação: A . A-1 = I A = A-1 = I = . = Para determinar "a" podemos multiplicar a primeira linha da primeira matriz com a primeira coluna da segunda matriz. (1.8) + (1.-a) + (2.2) = 1 => 8 -a + 4 = 1 => -a = 1 - 8 - 4 => -a = -11 => a = 11 Para determinar "b" podemos multiplicar a primeira linha da primeira matriz com a terceira coluna da segunda matriz. (1.-5) + (1.7) + (2.b) = 0 => -5 + 7 + 2b = 0 => 2 + 2b = 0 => 2b = - 2 => b = -1 2a Questão Dada a matriz A = , calcule a sua INVERSA. ⎡ ⎢ ⎣ 1 1 2 3 2 −1 −1 0 4 ⎤ ⎥ ⎦ ⎡ ⎢ ⎣ 8 −4 −5 −a 6 7 2 −1 b ⎤ ⎥ ⎦ ⎡ ⎢ ⎣ 1 1 2 3 2 −1 −1 0 4 ⎤ ⎥ ⎦ ⎡ ⎢ ⎣ 8 −4 −5 −a 6 7 2 −1 b ⎤ ⎥ ⎦ ⎡ ⎢ ⎣ 1 0 0 0 1 0 0 0 1 ⎤ ⎥ ⎦ ⎡ ⎢ ⎣ 1 1 2 3 2 −1 −1 0 4 ⎤ ⎥ ⎦ ⎡ ⎢ ⎣ 8 −4 −5 −a 6 7 2 −1 b ⎤ ⎥ ⎦ ⎡ ⎢ ⎣ 1 0 0 0 1 0 0 0 1 ⎤ ⎥ ⎦ ( 4 2 7 6 ) ( 1 0 0 1 ) ( 6 2 7 4 ) ( 4 2 7 6 ) ( 1 ) ( 3/5 −1/5 −7/10 2/5 ) 26/03/2019 EPS estacio.webaula.com.br/Classroom/index.html?id=2506988&classId=1157525&topicId=2865856&p0=03c7c0ace395d80182db07ae2c30f034&ena… 2/4 Explicação: Solução: A inversa da matriz A = , pode ser calculada a partir da fórmula A-1 = . . det(A) = diagonal principal - diagonal secundária = (4.6) - (7.2) = 24 - 14 =10. A-1 = . = = Concluão: A inversa da matriz A = é a matriz A-1 = . 3a Questão A regra de Cramer é um procedimento empregado na solução de equações lineares, com uso de determinantes. Existe o determinante principal, e os determinantes designados por Nx, Ny e Nz. Um sistema de equações lineares é representado como: { 6x + 2y - 3z = 1} { x - y + z = 2 } { 2x + 2y - z = 3 } Os determinantes D, Nx, Ny e Nz para a equação acima têm valores de, respectivamente: -12, -12, -24 e -36 11, 13, 29 e 31 15, 45, 50 e 44 -15, -45, -50 e -44 -11, -13, -29 e -31 Explicação: Ao resolvermos um sistema linear de n equações e n incógnitas para a sua resolução devemos calcular o determinante (D) da equação incompleta do sistema e depois substituirmos os termos independentes em cada coluna e calcular os seus respectivos determinantes. D = = -12 Nx = = -12 Ny= = -24 Nz= = -36 4a Questão Prove que a matriz A= é inversível, através do seu determinante. -2 -1 0 2 1 Explicação: Solução: De modo geral uma matriz quadrada de ordem n é inversível se, e somente se,o seu detereminanete for diferente de zero. A= det A = (2.1) - (1.1) = 1. Conclusão, a matriz A= é inversível, pois o seu determinante é igual a 1(diferente de zero). 5a Questão Se A é uma matriz (2x2) e det(A) = D, então o determinante da matriz 2A será D 4D 3D 2D 5D ( 4 2 7 6 ) 1 det(A) ( d −b −c a ) 1 10 ( 6 −2 −7 4 ) ( 6/10 −2/10 −7/10 4/10 ) ( 3/5 −1/5 −7/10 2/5 ) ( 4 2 7 6 ) ( 3/5 −1/5 −7/10 2/5 ) ⎡ ⎢ ⎣ 6 2 − 3 6 2 1 −1 1 1 −1 2 2 −1 2 2 ⎤ ⎥ ⎦ ⎡ ⎢ ⎣ 1 2 −3 1 2 2 −1 1 2 −1 3 2 −1 3 2 ⎤ ⎥ ⎦ ⎡ ⎢ ⎣ 6 1 −3 6 1 1 2 1 1 2 2 3 −1 2 3 ⎤ ⎥ ⎦ ⎡ ⎢ ⎣ 6 2 1 6 2 1 −1 2 1 −1 2 2 3 2 2 ⎤ ⎥ ⎦ [ 2 1 1 1 ] [ 2 1 1 1 ] [ 2 1 1 1 ] 26/03/2019 EPS estacio.webaula.com.br/Classroom/index.html?id=2506988&classId=1157525&topicId=2865856&p0=03c7c0ace395d80182db07ae2c30f034&ena… 3/4 Explicação: Quando multiplicamos um número real K por uma matriz A do tipo m x n, encontramos para resultado uma matriz do tipo m x n, que representaremos por KA, obtida multiplicando K por cada elemento da matriz A. Como k= 2 o det (A) passa a ser igual a 4D 6a Questão As matrizes A= e B= são inversas. Calcule os valores de m e p. m=3 e p=2 m=2 e p=3 m=1 e p=2 m=3 e p=1 m=2 e p=1 Explicação:Seja A uma matriz quadrada de ordem n, e X uma matriz tal que A.X = In e X.A = In. Caso isso ocorra, denominamos a matriz X de matriz inversa de A, tendo como notação A(-1). Como temos como resultante do produto a matriz identidade podemos então estabelecer que: 1 . (-2) + m . 1 = 0 que nos leva a m = 2 1 . p + 3 . (-1) = 0 que nos leva a p = 3 7a Questão Dada a matriz A = , calcule a sua INVERSA. Explicação: Solução: A inversa da matriz A = , pode ser calculada a partir da fórmula A-1 = . . det(A) = diagonal principal - diagonal secundária = (2.0) - (1.1) = 0 - 1 = -1. A-1 = . = Concluão: A inversa da matriz A = é a matriz A-1 = . 8a Questão Determine a matriz dos cofatores da matriz A = . Explicação: A = [ 1 m 1 3 ] [ p −2 −1 1 ] ( 2 1 1 0 ) ( 2 1 1 0 ) ( 0 1 1 2 ) ( 1 0 0 1 ) ( 0 1 1 −2 ) ( 1 ) ( 2 1 1 0 ) 1 det(A) ( d −b −c a ) 1 −1 ( 0 −1 −1 2 ) ( 0 1 1 −2 ) ( 2 1 1 0 ) ( 0 1 1 −2 ) [ 4 2 1 3 ] [ 4 2 1 3 ] [ 4 1 2 3 ] [ 3 −1 −2 4 ] [ 1 0 0 1 ] [ 10 ] [ 4 2 1 3 ] 26/03/2019 EPS estacio.webaula.com.br/Classroom/index.html?id=2506988&classId=1157525&topicId=2865856&p0=03c7c0ace395d80182db07ae2c30f034&ena… 4/4 O Cofator de uma matriz é Aij = (-1)i+j . Di,j. Onde Di,j é o menor complementar. O seu deteminante é obtido eliminando a linha i e a coluna j. A11 = (-1)1+1 . D1,1 = 1 . 3 = 3. A12 = (-1)1+2 . D1,2 = -1 . 1 = -1. A21 = (-1)2+1 . D2,1 = -1 . 2 = -2. A22 = (-1)2+2 . D2,2 = 1 . 4 = 4. Conclusão, o cofator da matriz A= é a matriz . [ 4 2 1 3 ] [ 3 −1 −2 4 ] 26/03/2019 EPS estacio.webaula.com.br/Classroom/index.html?id=2506988&classId=1157525&topicId=2865856&p0=03c7c0ace395d80182db07ae2c30f034&ena… 1/3 CCE0579_EX_A2_201901324311_V3 ÁLGEBRA LINEAR 2a aula Lupa Vídeo PPT MP3 Exercício: CCE0579_EX_A2_201901324311_V3 26/03/2019 (Finaliz.) Aluno(a): SANDRO QUIRINO DOS SANTOS 2019.1 EAD Disciplina: CCE0579 - ÁLGEBRA LINEAR 201901324311 1a Questão Dada a matriz A = determinar uma matriz X de ordem 2 de modo que AX = I2 Explicação: A= X = I = Ax = I2 . = . Multiplicando teremos: = Assim, podemos montar as equações: 1)2a + c => 1 +> c = 1 - 2a....................................... c = 1 - 2(1) => c = -1 2)a + c = 0 .................... a + (1- 2a) = 0 => a = 1 3)b + d = 1 => d = 1 - b..........................................d = 1 - (-1) => d = 2 4)2b + d = 0 ................ 2b + (1 - b) = 0 => b = -1 Dessa forma, a matriz é 2a Questão Considere duas matrizes diagonais. A soma dessas matrizes sera uma matriz Lninha Coluna Nula Identidade Diagonal Explicação: Considerando que duas matrizes são diagonais então a soma dessas matrizes será uma matriz diagonal. Cabe observar que uma matriz diagonal só tem elementos não nulos na diagonal principal! [ 2 1 1 1 ] [ 1 1 1 2 ] [ 1 1 −1 −2 ] [ − 1 −1 −1 −2 ] [ 1 −1 −1 2 ] [ − 1 1 −1 −2 ] [ 2 1 1 1 ] [ a b c d ] [ 1 0 0 1 ] [ 2 1 1 1 ] [ a b c d ] [ 1 0 0 1 ] [ 1 0 0 1 ] [ 2a+ a 2b+ d a+ a b+ d ] [ 1 0 0 1 ] [ 1 −1 −1 2 ] 26/03/2019 EPS estacio.webaula.com.br/Classroom/index.html?id=2506988&classId=1157525&topicId=2865856&p0=03c7c0ace395d80182db07ae2c30f034&ena… 2/3 3a Questão Considere que o valor de um determinante é 36. Se dividirmos a 1ª linha por 6 e multiplicarmos a 3ª coluna por 4, o novo determinante valerá: 1 24 144 36 12 Explicação: Quando se multiplica (ou se divide) uma fila de um determinante por um número, o novo determinante fica multiplicado (ou dividido) por esse número. No caso temos: (36 / 6) . 4 = 24 4a Questão Considere que o valor de um determinante é 36. Se dividirmos a 2ª linha por 6 e multiplicarmos a 1ª coluna por 4, o novo determinante valerá: 6 36 24 144 4 Explicação: Quando se multiplica (ou se divide) uma fila de um determinante por um número, o novo determinante fica multiplicado (ou dividido) por esse número. No caso temos: (36 / 6) . 4 = 24 5a Questão Dada a matriz A = , calcule a sua INVERSA. Explicação: Solução: A inversa da matriz A = , pode ser calculada a partir da fórmula A-1 = . . det(A) = diagonal principal - diagonal secundária = (4.3) - (-2.5) = 12 - (-10) =22. A-1 = . = .= Concluão: A inversa da matriz A = é a matriz A-1 = . 6a Questão A soma de todos os elementos da matriz A = (aij)2x2 definida por aij = 3 i - j será: ( 4 5 −2 3 ) ( 3/22 −5/22 1/11 2/11 ) ( 4 −2 5 3 ) ( 3 5 −2 4 ) ( 4 5 −2 3 ) ( 1 0 0 1 ) ( 4 5 −2 3 ) 1 det(A) ( d −b −c a ) 1 22 ( 3 −5 2 4 ) ( 3/22 −5/22 2/22 4/22 ) ( 3/22 −5/22 1/11 2/11 ) ( 4 5 −2 3 ) ( 3/22 −5/22 1/11 2/11 ) 26/03/2019 EPS estacio.webaula.com.br/Classroom/index.html?id=2506988&classId=1157525&topicId=2865856&p0=03c7c0ace395d80182db07ae2c30f034&ena… 3/3 12 -8 0 9 -16 Explicação: aij = 3i - j a11 = 3.1 - 1 = 2 a12 = 3.1 - 2 = 1 a21 = 3.2 - 1 = 5 a22 = 3.2 - 2 = 4 A soma é igual a 2 + 1 + 5 + 4 = 12 7a Questão Um aluno deseja fazer uma operação com duas matrizes A e B. A matriz A tem 2 linhas e 3 colunas e a matriz B tem 3 linhas e 4 colunas. Das operações abaixo, qual (is) ele pode realizar? B x A A + B A - B A / B A x B Explicação: Para que exista o produto A x B, é necessário que o número de colunas de A seja igual ao número de linhas de B, o que ocorre. 8a Questão Dado que a matriz A abaixo é a inversa de uma matriz B, então o det(B) é: 1/20 8 20 1/8 -1/14 Explicação: Utilizando a propriedade: det (A-1) = 1 / det A det (A-1) = 8 Logo det A = 1 / 8 26/03/2019 EPS estacio.webaula.com.br/Classroom/index.html?id=2506988&classId=1157525&topicId=2865856&p0=03c7c0ace395d80182db07ae2c30f034&ena… 1/4 CCE0579_EX_A2_201901324311_V4 ÁLGEBRA LINEAR 2a aula Lupa Vídeo PPT MP3 Exercício: CCE0579_EX_A2_201901324311_V4 26/03/2019 (Finaliz.) Aluno(a): SANDRO QUIRINO DOS SANTOS 2019.1 EAD Disciplina: CCE0579 - ÁLGEBRA LINEAR 201901324311 1a Questão Complete a afirmativa, abaixo, com a alternativa correta: Uma matriz A , n x n, é invertível se, e somente se, ... det(A) 0 det(A) = 1 A é singular A possui pelo menos duas linhas múltiplas uma da outra A é uma matriz diagonal Explicação: Regra prática - caso o determinante dê igual a zero, não existe matriz inversa. Gabarito Coment. 2a Questão Determine a matriz dos cofatores da matriz A= . Explicação: Solução: A = O cofator de uma matriz é Aij = (-1)i+j . Di,j. Onde Di,j é o menor complementar. O seu deteminante é obtido eliminando a linha i e a coluna j. A11 = (-1)1+1 . D1,1 = 1 . 1 = 1. A12 = (-1)1+2 . D1,2 = -1 . 1 = -1. A21 = (-1)2+1 . D2,1 = -1 . 1 = -1. A22 = (-1)2+2 . D2,2 = 1 . 2 = 2. ≠ [ 2 1 1 1 ] [ 0 1 1 0 ] [ 1 0 0 1 ] [ 2 1 1 1 ] [ 1 −1 −1 2 ] [ 1 ] [ 2 1 1 1 ] 26/03/2019 EPS estacio.webaula.com.br/Classroom/index.html?id=2506988&classId=1157525&topicId=2865856&p0=03c7c0ace395d80182db07ae2c30f034&ena…2/4 Conclusão, o cofator da matriz A= é a matriz . 3a Questão Se B é a matriz inversa de A, então sobre o produto AxB é correto afirmar que gera a transposta de A gera uma matriz identidade de mesma ordem de A gera uma matriz nula gera uma matriz triangular superior gera a própria matriz A Explicação: Se B é a matriz inversa de A, então sobre o produto AxB é correto afirmar que A*B = B*A = In Onde In é a matriz identidade de ordem n. 4a Questão Se A é uma matriz cujo det(A) é não nulo e B é uma matriz tal que AxB = I, sendo I a matriz identidade de mesma ordem de A, então é correto afirmar que: B é a inversa de A B + A = 0, sendo 0 a matriz nula de mesma ordem B é a transposta de A A = B A = B/2 Explicação: Seja A uma matriz quadrada de ordem n, e X uma matriz tal que A.X = In e X.A = In (onde In é a matriz identidade). Caso isso ocorra, denominamos a matriz X de matriz inversa de A, tendo como notação A(-1). Dada a matriz quadrada A, existe A-1 se, e somente se, det A ≠ 0 5a Questão Se A, B e C são matrizes do tipo 2x3, 3x1 e 1x4, respectivamente, então o produto A . B . C Não é definido É matriz do tipo 3x4 É matriz do tipo 4x2 É matriz do tipo 2x4 É matriz do tipo 4x3 Explicação: Para o produto A . B temos 2 x 3 . 3 x 1 = 2 x 1 Para o produto 2 x 1 . 1 x 4 = 2 x 4 6a Questão Podemos afirmar que o produto das matrizes: A(3X2) por B(2X3) será: Não é possivel fazer o produto de matriz de ordem diferente. Uma matriz 3X2. Uma matriz quadra de ordem 3 Uma matriz 2X3. Uma matriz quadra de ordem 2 Explicação: Produto de matriz, o aluno deverá saber que para realizar a operação o número de colunas da primeira matriz tem que ser igual ao número de linhas da segunda. E a matriz resultante terá o número de linha da primeira matriz e a o número de colulna da segunda. [ 2 1 1 1 ] [ 1 −1 −1 2 ] 26/03/2019 EPS estacio.webaula.com.br/Classroom/index.html?id=2506988&classId=1157525&topicId=2865856&p0=03c7c0ace395d80182db07ae2c30f034&ena… 3/4 7a Questão Determine a matriz inversa da matriz quadrada A de ordem 2. Explicação: Para determinar a matriz inversa de uma matriz quadrada A de ordem n, basta descobrir uma matriz B tal que a multiplicação entre elas tenha como resultado uma matriz identidade de ordem n. A*B = B*A = In * = = Equação 1: ----------------------- -2c = 1 => c = -1/2. Logo, -a + 2c = 0 => -a + 2(-1/2) = 0 => -a -1 = 0 => a = -1. Equação 2: --------------------- -2d = 1 => d = -1/2. Logo, b - 4d = 0 => b = 4d => b = 4(-1/2) => b = -2. Conclusão: A inversa da matriz A= é . 8a Questão Determine a inversa da matriz = = = = = = [ 2 1 1 1 ] [ − 1 −2 −1/2 −1/2 ] [ 2 1 1 1 ] [ 1 0 0 1 ] [ −2 0 0 −2 ] [ − 1 −1 −1/2 −1/2 ] [ 1 −4 −1 2 ] [ a b c d ] [ 1 0 0 1 ] [ a− 4c b− 4d −a+ 2c −b+ 2d ] [ 1 0 0 1 ] { a− 4c = 1 −a+ 2c = 0 { b− 4d = 0 −b+ 2d = 1 [ 1 −4 −1 2 ] [ − 1 −2 −1/2 −1/2 ] A ⎡ ⎢ ⎣ 1 2 1 1 1 2 1 0 1 ⎤ ⎥ ⎦ A ⎡ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎣ −1 0 − − 1 − ⎤ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎦ 1 2 3 2 1 2 1 2 1 2 1 2 A ⎡ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎣ 1 0 −1 ⎤ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎦ 1 2 3 2 1 2 1 2 1 2 1 2 A ⎡ ⎢ ⎣ 1 −2 1 1 0 1 2 −1 1 ⎤ ⎥ ⎦ A ⎡ ⎢ ⎣ −1 −2 −1 −1 −1 −2 −1 0 −1 ⎤ ⎥ ⎦ A ⎡ ⎢ ⎣ 1 −1 2 2 1 3 1 2 1 ⎤ ⎥ ⎦ 26/03/2019 EPS estacio.webaula.com.br/Classroom/index.html?id=2506988&classId=1157525&topicId=2865856&p0=03c7c0ace395d80182db07ae2c30f034&ena… 4/4 Explicação: A-1 = 1 / det A . Adj (A) Adj (A) é a transposta da matriz de cofatores! det A = 2 Matriz de cofatores: cofator do elemento a11 = (-1)1+1 . det = 1 a12 = (-1)1+2 . det = 1 a13 = (-1)1+3 . det = -1 a21 = (-1)2+1 . det = - 2 a22 = (-1)2+2 . det = 0 a23 = (-1)2+3 . det = 2 a31 = (-1)1+3 .det = 3 a32 = (-1)2+3 . det = - 1 a33 = (-1)3+3 . det = -1 Matriz de cofatores : Adj da matriz de cofatores: A-1 = 1/2 . A-1 = [ 1 2 0 1 ] [ 1 2 1 1 ] [ 1 1 1 0 ] [ 2 1 0 1 ] [ 1 1 1 1 ] [ 1 2 1 0 ] [ 2 1 1 2 ] [ 1 1 1 2 ] [[1, 2], [1, 1] ⎡ ⎢ ⎣ 1 1 −1 −2 0 2 3 −1 −1 ⎤ ⎥ ⎦ ⎡ ⎢ ⎣ 1 −2 3 1 0 −1 −1 2 −1 ⎤ ⎥ ⎦ ⎡ ⎢ ⎣ 1 −2 3 1 0 −1 −1 2 −1 ⎤ ⎥ ⎦ ⎡ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎣ −1 0 − − 1 − ⎤ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎦ 1 2 3 2 1 2 1 2 1 2 1 2 26/03/2019 EPS estacio.webaula.com.br/Classroom/index.html?id=2506988&classId=1157525&topicId=2865856&p0=03c7c0ace395d80182db07ae2c30f034&ena… 1/4 CCE0579_EX_A2_201901324311_V5 ÁLGEBRA LINEAR 2a aula Lupa Vídeo PPT MP3 Exercício: CCE0579_EX_A2_201901324311_V5 26/03/2019 (Finaliz.) Aluno(a): SANDRO QUIRINO DOS SANTOS 2019.1 EAD Disciplina: CCE0579 - ÁLGEBRA LINEAR 201901324311 1a Questão Considere a matriz A = Determe uma matriz X de ordem 2 de modo que AX = I2. Explicação: A = AX = I2 Agora, nós resolvemos uma parte da segunda equação(c=-a), depois a resolvemos a primeira equação(a=1) e finalizamos a solução da segunda equação(c=-1). 1)2a+c=1............ 2a+(-a)=1 => a=1 2)a+c=0 => c=-a.................................. c=-1 Por fim, nós resolvemos uma parte da terceira equação(d=-2b), depois a resolvemos a quarta equação(b=-1) e finalizamos a solução da terceira equação(d=2). 3)2b+d=0 => d=-2b.............................................. d=-2(-1)=> d=2 4)b+d=1...................b+(-2b) = 1 => -b=1 => b=-1 Conclusão: 2a Questão Determine o volume do paralelepípedo que tem um vértice na origem e os vértices adjacentes nos pontos (1, 0, -2), (1, 2, 4) e (7, 1, 0) 28 24 30 22 26 ( 2 1 1 1 )X = ( a b c d ) . [ −1 −1 −1 −2 ] [ 1 −1 −5 2 ] [ 3 −1 −1 2 ] [ 1 −1 −1 2 ] [ 1 −1 −1 4 ] ( 2 1 1 1 )X = ( a b c d ) ( 2 1 1 1 ) .( a b c d ) = ( 1 0 0 1 ) .( 1 0 0 1 ) ( 2a+ c 2b+ d a+ c b+ d ) = ( 1 0 0 1 ) ( 1 −1 −1 2 ) 26/03/2019 EPS estacio.webaula.com.br/Classroom/index.html?id=2506988&classId=1157525&topicId=2865856&p0=03c7c0ace395d80182db07ae2c30f034&ena… 2/4 Explicação: Determiante = = 22 3a Questão Quais são os valores de x e y para que: -2 e 1. -1 e 2. 2 e -1. 2 e 1. -1 e -2. Explicação: 2x - y = 5 x + y = 1 3x = 6 x = 2 Temos então que: 2 + y = 1 y = 1 - 2 = -1 4a Questão Dada a matriz A = , calcule a sua INVERSA. Explicação: Solução: A inversa da matriz A = , pode ser calculada a partir da fórmula A-1 = . . det(A) = diagonal principal - diagonal secundária = (3.2) - (2.2) = 6 - 4 =2. A-1 = . = = Concluão: A inversa da matriz A = é a matriz A-1 = . 5a Questão Dada a matriz A = , calcule a sua INVERSA. ⎡ ⎢ ⎣ 1 0 −2 1 0 1 2 4 1 2 7 1 0 7 1 ⎤ ⎥ ⎦ ( 2x − y 8 3 x + y ) = ( 5 8 3 1 ) ( 3 2 2 2 ) ( 1 1 1 3/2 ) ( 1 ) ( 1 −1 −1 3/2 ) ( 1 00 1 ) ( 3 2 2 2 ) ( 3 2 2 2 ) 1 det(A) ( d −b −c a ) 1 2 ( 2 −2 −2 3 ) ( 2/2 −2/2 −2/2 3/2 ) ( 1 −1 −1 3/2 ) ( 3 2 2 2 ) ( 1 −1 −1 3/2 ) ( 1 1 1 2 ) ( 1 1 1 2 ) ( 2 1 1 1 ) ( 1 0 0 1 ) ( 2 −1 −1 1 ) ( 1 ) 26/03/2019 EPS estacio.webaula.com.br/Classroom/index.html?id=2506988&classId=1157525&topicId=2865856&p0=03c7c0ace395d80182db07ae2c30f034&ena… 3/4 Explicação: Solução: A inversa da matriz A = , pode ser calculada a partir da fórmula A-1 = . . det(A) = diagonal principal - diagonal secundária = (2.1) - (1.1) = 2 - 1 = 1. A-1 = . = . Concluão: A inversa da matriz A = é a matriz A-1 = . 6a Questão Dada a matriz A = , calcule a sua INVERSA. Explicação: Solução: A inversa da matriz A = , pode ser calculada a partir da fórmula A-1 = . . det(A) = diagonal principal - diagonal secundária = (2.3) - (1.1) = 6 - 1 =5. A-1 = . = . Concluão: A inversa da matriz A = é a matriz A-1 = . 7a Questão Considere que o valor de um determinante é 18. Se dividirmos a 1ª linha por 6 e multiplicarmos a 3ª coluna por 4, o novo determinante valerá: 12 3 27 18 24 Explicação: Quando se multiplica (ou se divide) uma fila de um determinante por um número, o novo determinante fica multiplicado (ou dividido) por esse número. No caso temos: (18 / 6) . 4 = 12 8a Questão Considere que o valor de um determinante é 24. Se dividirmos a 3ª linha por 6 e multiplicarmos a 3ª coluna por 4, o novo determinante valerá: 16 96 24 ( 1 1 1 2 ) 1 det(A) ( d −b −c a ) 1 1 ( 2 −1 −1 1 ) ( 2 −1 −1 1 ) ( 1 1 1 2 ) ( 2 −1 −1 1 ) ( 2 1 1 3 ) ( 2 1 1 3 ) ( 2 −1 −1 3 ) ( 3/5 −1/5 −1/5 2/5 ) ( 3 1 1 2 ) ( 1 ) ( 2 1 1 3 ) 1 det(A) ( d −b −c a ) 1 5 ( 3 −1 −1 2 ) ( 3/5 −1/5 −1/5 2/5 ) ( 2 1 1 3 ) ( 3/5 −1/5 −1/5 2/5 ) 26/03/2019 EPS estacio.webaula.com.br/Classroom/index.html?id=2506988&classId=1157525&topicId=2865856&p0=03c7c0ace395d80182db07ae2c30f034&ena… 4/4 12 4 Explicação: Quando se multiplica (ou se divide) uma fila de um determinante por um número, o novo determinante fica multiplicado (ou dividido) por esse número. No caso temos: (24 / 6) . 4 = 16 26/03/2019 EPS estacio.webaula.com.br/Classroom/index.html?id=2506988&classId=1157525&topicId=2865856&p0=03c7c0ace395d80182db07ae2c30f034&ena… 1/3 CCE0579_EX_A2_201901324311_V6 ÁLGEBRA LINEAR 2a aula Lupa Vídeo PPT MP3 Exercício: CCE0579_EX_A2_201901324311_V6 26/03/2019 (Finaliz.) Aluno(a): SANDRO QUIRINO DOS SANTOS 2019.1 EAD Disciplina: CCE0579 - ÁLGEBRA LINEAR 201901324311 1a Questão Sejam as matrizes quadradas A e B de ordem n. Sabendo-se que ambas matrizes admitem inversa, encontre a matriz X, de ordem n, tal que A.X= B X=B / A X=A.B X=B-1.A X=B. A-1 X=A-1.B Explicação: A.X= B Multiplicando ¿pela esquerda por A-1 A-1A.X= A-1.B Mas, A-1.A = I I.X= A-1.B X= A-1.B 2a Questão A soma de todos os elementos de uma matriz quadrada A de ordem 2 é igual a 100. Podemos afirmar que a soma de todos os elementos da matriz 2A é igual a : 500 400 200 100 300 Explicação: Quando multiplicamos um número real K por uma matriz A do tipo m x n, encontramos para resultado uma matriz do tipo m x n, que representaremos por KA, obtida multiplicando K por cada elemento da matriz A. Dessa forma a soma dos elementos passa a ser 100 . 2 = 200 3a Questão Qual é a matriz X tal que: ( 5 1 4 1 ). x = ( 9 7 ) X = ( 2 −1 ) X = ( 2 1 ) 26/03/2019 EPS estacio.webaula.com.br/Classroom/index.html?id=2506988&classId=1157525&topicId=2865856&p0=03c7c0ace395d80182db07ae2c30f034&ena… 2/3 Explicação: Só podemos multiplicar duas matrizes quando o número de colunas da primeira matriz for igual ao número de linhas da segunda matriz. A matriz produto terá o número de linhas da primeira matriz e o número de colunas da segunda matriz. No caso temos uma matriz 2x2 e a matriz produto 2x1 o que nos leva a concluir que a matriz x é do tipo 2x1, que hipoteticamente tem os elementos X1 e X2. Neste caso temos então que: 5X1 + X2 = 9 4X1 + X2 = 7 Resolvendo o sistema X1 = 2 e X2 = -1 4a Questão Considere que o valor de um determinante é 6. Se dividirmos a 1ª linha por 6 e multiplicarmos a 3ª coluna por 4, o novo determinante valerá: 1 24 12 6 4 Explicação: Quando se multiplica (ou se divide) uma fila de um determinante por um número, o novo determinante fica multiplicado (ou dividido) por esse número. No caso temos: (6 / 6) . 4 = 4 5a Questão Prove que a matriz A= é inversível, através do seu determinante. 10 1 14 0 -10 Explicação: Solução: De modo geral uma matriz quadrada de ordem n é inversível se, e somente se,o seu detereminanete for diferente de zero. A= det A = (4.3) - (1.2) = 10. Conclusão, a matriz A= é inversível, pois o seu determinante é igual a 10(diferente de zero). 6a Questão As matrizes A, B e C são tais que a operação A x B + C é possível, gerando como resultado uma matriz D(3x4). Com base nessas informações é CORRETO afirmar que: B e C possuem a mesma quantidade de linhas. C é uma matriz com 5 linhas. A e C possuem a mesma quantidade de colunas. A e B são matrizes quadradas. A possui 3 linhas e B 4 colunas. Explicação: X = ( −1 2 ) X = ( −2 −1 ) X = ( −2 1 ) [ 4 2 1 3 ] [ 4 2 1 3 ] [ 4 2 1 3 ] 26/03/2019 EPS estacio.webaula.com.br/Classroom/index.html?id=2506988&classId=1157525&topicId=2865856&p0=03c7c0ace395d80182db07ae2c30f034&ena… 3/3 Regra para o produto: Só podemos multiplicar duas matrizes quando o número de colunas da primeira matriz for igual ao número de linhas da segunda matriz. A matriz produto terá o número de linhas da primeira matriz e o número de colunas da segunda matriz. Como regra para a soma temos: Chamamos de soma das matrizes A e B do mesmo tipo m x n, a matriz do tipo m x n, cujos elementos são obtidos a partir da soma dos elementos correspondentes de A e B. Devemos atentar para o fato de as matrizes A e B serem do mesmo tipo pois, se forem de tipos diferentes, a operação não será definida. Como a matriz resultado e do tipo 3 x 4 então podemos afirmar que o número de linhas de A é 3 e que o número de colunas de C é 4. 7a Questão As matrizes A= e B= são inversas. Calcule os valores de m e p. m=3 e p=2 m=2 e p=3 m=2 e p=1 m=1 e p=2 m=3 e p=1 Explicação: Seja A uma matriz quadrada de ordem n, e X uma matriz tal que A.X = In e X.A = In. Caso isso ocorra, denominamos a matriz X de matriz inversa de A, tendo como notação A(-1). Como temos como resultante do produto a matriz identidade podemos então estabelecer que: 1 . (-2) + m . 1 = 0 que nos leva a m = 2 1 . p + 3 . (-1) = 0 que nos leva a p = 3 8a Questão A regra de Cramer é um procedimento empregado na solução de equações lineares, com uso de determinantes. Existe o determinante principal, e os determinantes designados por Nx, Ny e Nz. Um sistema de equações lineares é representado como: { 6x + 2y - 3z = 1} { x - y + z = 2 } { 2x + 2y - z = 3 } Os determinantes D, Nx, Ny e Nz para a equação acima têm valores de, respectivamente: -11, -13, -29 e -31 15, 45, 50 e 44 11, 13, 29 e 31 -12, -12, -24 e -36-15, -45, -50 e -44 Explicação: Ao resolvermos um sistema linear de n equações e n incógnitas para a sua resolução devemos calcular o determinante (D) da equação incompleta do sistema e depois substituirmos os termos independentes em cada coluna e calcular os seus respectivos determinantes. D = = -12 Nx = = -12 Ny= = -24 Nz= = -36 [ 1 m 1 3 ] [ p −2 −1 1 ] ⎡ ⎢ ⎣ 6 2 − 3 6 2 1 −1 1 1 −1 2 2 −1 2 2 ⎤ ⎥ ⎦ ⎡ ⎢ ⎣ 1 2 −3 1 2 2 −1 1 2 −1 3 2 −1 3 2 ⎤ ⎥ ⎦ ⎡ ⎢ ⎣ 6 1 −3 6 1 1 2 1 1 2 2 3 −1 2 3 ⎤ ⎥ ⎦ ⎡ ⎢ ⎣ 6 2 1 6 2 1 −1 2 1 −1 2 2 3 2 2 ⎤ ⎥ ⎦ 26/03/2019 EPS estacio.webaula.com.br/Classroom/index.html?id=2506988&classId=1157525&topicId=2865856&p0=03c7c0ace395d80182db07ae2c30f034&ena… 1/3 CCE0579_EX_A3_201901324311_V1 ÁLGEBRA LINEAR 3a aula Lupa Vídeo PPT MP3 Exercício: CCE0579_EX_A3_201901324311_V1 26/03/2019 (Finaliz.) Aluno(a): SANDRO QUIRINO DOS SANTOS 2019.1 EAD Disciplina: CCE0579 - ÁLGEBRA LINEAR 201901324311 1a Questão Perguntado sobre a idade de seu filho Júnior, José respondeu o seguinte: "Minha idade quando somada à idade de Júnior é igual a 47 anos; e quando somada à idade de Maria é igual a 78 anos. As idades de Maria e Júnior somam 39 anos." Qual a idade de Júnior? 5 anos 2 anos 6 anos 4 anos 3 anos 2a Questão O sistema abaixo representa as equações relativas à produção de uma empresa que fabrica caixas de papelão. As caixas são fabricadas por máquinas de processamento que possuem velocidades de produção diferentes e são chamadas de X e Y e Z. A produção PE é dada de acordo com o sistema abaixo indicado. Resolvendo o sistema, podemos afirmar que a as máquinas X , Y e Z produzem, respectivamente, em 1 minuto as seguintes quantidades de caixas: 1, 2, 3 2, 3, 1 1, 4, 5 4, 5, 1 2, 1, 3 Gabarito Coment. 3a Questão (PUC-SP) A solução do Sistema (a-1)x1 + bx2 = 1 (a+1)x1 + 2bx2 = 5, são respectivamente: x1 = 1 e x2 = 2 . Logo, a=1 e b=2 a=0 e b=1 a=0 e b=0 a=1 e b=0 a=2 e b=0 Explicação: Dada as equações: 1)(a-1)x1 + bx2 = 1 2)(a+1)x1 + 2bx2 = 5, Substituindo os valores de x1 = 1e x2 = 2 nas equações, teremos: 1)(a-1)(1) + b(2) = 1 => a -1 + 2b = 1 => a + 2b = 2 => a = 2 - 2b 2)(a+1)(1) + 2b(2) = 5 => a + 1 + 4b = 5 => a + 4b = 5 - 1 => a + 4b = 4 26/03/2019 EPS estacio.webaula.com.br/Classroom/index.html?id=2506988&classId=1157525&topicId=2865856&p0=03c7c0ace395d80182db07ae2c30f034&ena… 2/3 Substituindo a equação a primeira equação na segunda, teremos: A + 4b = 4 => 2 - 2b + 4b = 4 => 2b = 4 - 2 => b = 2/2 => b = 1 Substituindo o resultado de "b" na primeira equação, teremos: A = 2 - 2b => a = 2 - 2(1) => a = 0 Gabarito Coment. 4a Questão Coma base na matriz ampliada a seguir indique a alternativa que representa as equações correspondentes? x + y + z = 1 x + y + 3z = -2 x + 2y + 4z = -3 2x + y + z = 3 x + y + 3z = 4 x+ 3y + z = -5 x + y + z = -5 2x + 2y + 3z = 6 3x + 3y + 4z = -5 x + 2y + z = 6 x + 2y + 3z = 3 2x + 3y + 4z = -2 x + y + 4z = -5 3x + 2y + 3z = 6 x + 3y + 4z = -4 Explicação: Cabe observar que a matriz ampliada deve ser obtida com o acréscimo de uma coluna, com os termos independentes, à matriz dos coeficientes. Dessa forma podemos estruturar as seguintes equações: x + y + z = 1 x + y + 3z = -2 x + 2y + 4z = -3 5a Questão Coma base na matriz ampliada a seguir indique a alternativa que representa as equações correspondentes? 2x + y + z = 3 x + y + 3z = 4 x+ 3y + z = -5 x + 2y + z = 6 x + 2y + 3z = 3 2x + 3y + 4z = -2 2x + 2y + 4z = -1 x + y + 3z = -2 x + 2y + 4z = -3 x + y + 4z = -5 3x + 2y + 3z = 6 x + 3y + 4z = -4 x + y + z = -5 2x + 2y + 3z = 6 3x + 3y + 4z = -5 Explicação: Cabe observar que a matriz ampliada deve ser obtida com o acréscimo de uma coluna, com os termos independentes, à matriz dos coeficientes. Dessa forma podemos estruturar as seguintes equações: 2x + 2y + 4z = -1 x + y + 3z = -2 x + 2y + 4z = -3 ⎡ ⎢ ⎣ 1 1 1 1 1 1 3 −2 1 2 4 −3 ⎤ ⎥ ⎦ ⎡ ⎢ ⎣ 2 2 4 −1 1 1 3 −2 1 2 4 −3 ⎤ ⎥ ⎦ 26/03/2019 EPS estacio.webaula.com.br/Classroom/index.html?id=2506988&classId=1157525&topicId=2865856&p0=03c7c0ace395d80182db07ae2c30f034&ena… 3/3 6a Questão Dado o sistema de equações ax + 2y = 3 e 5x + 4y = 6, para que valor de a tem-se um sistema impossível? 3 5 3,5 4 2,5 7a Questão Coma base na matriz ampliada a seguir indique a alternativa que representa as equações correspondentes? 2x + y + z = 3 x + y + 3z = 4 x+ 3y + z = -5 x + y + 4z = -5 3x + 2y + 3z = 6 x + 3y + 4z = -4 2x + 2y + 4z = -1 x + 2y + 3z = 2 x + 3y + 4z = 3 x + 2y + z = 6 x + 2y + 3z = 3 2x + 3y + 4z = -2 x + y + z = -5 2x + 2y + 3z = 6 3x + 3y + 4z = -5 Explicação: Cabe observar que a matriz ampliada deve ser obtida com o acréscimo de uma coluna, com os termos independentes, à matriz dos coeficientes. Dessa forma podemos estruturar as seguintes equações: 2x + 2y + 4z = -1 x + 2y + 3z = 2 x + 3y + 4z = 3 8a Questão Para as apresentações de uma peça teatral (no sábado e no domingo à noite) foram vendidos 500 ingressos e a arrecadação total foi de R$ 4.560,00. O preço do ingresso no sábado era de R$ 10,00 e no domingo era de R$ 8,00. O número de ingressos vendidos para a apresentação do sábado e para a do domingo, nessa ordem, foi: 280 e 220 260 e 240 290 e 210 270 e 230 300 e 200 ⎡ ⎢ ⎣ 2 2 4 −1 1 2 3 2 1 3 4 3 ⎤ ⎥ ⎦ 26/03/2019 EPS estacio.webaula.com.br/Classroom/index.html?id=2506988&classId=1157525&topicId=2865856&p0=03c7c0ace395d80182db07ae2c30f034&ena… 1/3 CCE0579_EX_A3_201901324311_V2 ÁLGEBRA LINEAR 3a aula Lupa Vídeo PPT MP3 Exercício: CCE0579_EX_A3_201901324311_V2 26/03/2019 (Finaliz.) Aluno(a): SANDRO QUIRINO DOS SANTOS 2019.1 EAD Disciplina: CCE0579 - ÁLGEBRA LINEAR 201901324311 1a Questão Coma base na matriz ampliada abaixo, qual opção representa as suas equações ? x + 2y = 5 3x - 4y = -5 11x - 8y = -5 5x - 10y = -5 x + 3y + 11z = 0 2x - 4y -8z = 0 5x - 5y -5z= 0 x + y = 5 x - y = -5 x - y = -5 x + 2y + 5 3x - 4y - 5 11x - 8y - 5 Explicação: A matriz ampliada é obtida quando você acrescenta a matriz dos coeficientes uma coluna com os termos independentes. Assim, na mariz apresentada , os elementos 5, -5 e -5 da última coluna são os termos independentes. Conclusão: Com base na matriz ampliada acima, podemos montar as seguintes equações: x + 2y = 5 3x - 4y = -5 11x - 8y = -5 2a Questão De acordo com a classificação de um sistema de equações lineares, qual alternativa abaixo é verdadeira? Sistema Possível e Indeterminado (SPI) não possui solução. Sistema Possível e Determinado(SPD) possui apenas uma única solução. Sistema Impossível (SI) possui apenas uma única solução. Sistema Possível e Determinado(SPD) possui infinitas soluções. Sistema Possível e Indeterminado (SPI) possui apenas uma única solução. Explicação: Classifica-se um sistema linear de acordo com o tipo de solução. De forma geral, um sistema de equações lineares pode ser classificado como: Sistema Possível e Determinado (SPD): possui apenas uma única solução. Sistema Possível e Indeterminado (SPI): possui infinitas soluções. Sistema Impossível (SI): não possui solução. Conclusão: A resposta correta é o Sistema Possível e Determinado (SPD) possui apenas uma única solução. ⎛ ⎜ ⎝ 1 2 5 3 −4 −5
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