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Lista 6 - Probabilidade II
Esperanc¸a Condicional, Variaˆncia Condicional e Lei das
Expectaˆncias Iteradas
Prof.: Marco Aure´lio
1. Um dado e´ lanc¸ando sucessivamente. Sejam X e Y varia´veis aleato´rias definidas, respecti-
vamente, pelo nu´mero de lanc¸amentos necessa´rios ate´ se obter o 6 e o 5. Calcule:
(a) E[X] (b) E[X | Y = 1]
2. Em uma caixa existem duas moedas. A probabilidade de sair cara quando lanc¸adas e´ de
0,4 para a primeira moeda e 0,7 para a segunda. Suponha que uma das moedas tenha
sido selecionada ao acaso e lanc¸ada 10 vezes. Qual o nu´mero esperado de lanc¸amentos que
resultara˜o em cara?
3. Um prisioneiro esta´ preso em uma cela com 3 portas. A primeira porta leva a` um tu´nel
que o leva de volta para a sua cela depois de 2 dias de viagem. A segunda porta leva a` um
tu´nel que o leva de volta para a sua cela depois de 4 dias de viagem. A terceira porta o leva
para a liberdade depois de 1 dia de viagem. Assuma que o prisioneiro sempre vai escolher
as portas 1, 2 e 3 com probabilidades de 0, 5, 0, 3 e 0, 2, respectivamente. Qual o nu´mero
de dias esperados ate´ que esse prisioneiro consiga sua liberdade.
4. Um oˆnibus parte com 20 pessoas e tem em seu trajeto 10 pontos diferentes, parando em um
ponto somente se uma ou mais pessoas solicitarem. Suponha que cada passageiro escolhe
com igual probabilidade o ponto em que vai parar e que as escolhas sa˜o independentes de
passageiro para passageiro. Determine o nu´mero esperado de paradas feitas pelo oˆnibus.
5. Mostre que se X e Y sa˜o varia´veis aleato´rias independentes enta˜o E[X|Y ] = E[X].
6. A func¸a˜o densidade conjunta do vetor aleato´rio (X,Y ) esta´ apresentada a seguir. Calcule
E[X3|Y = y].
f(x, y) = e
−y
y , se 0 < x < y e 0 < y <∞
7. Seja (X,Y ) um ponto escolhido aleatoriamente no quadrado (0, 1)×(0, 1). Calcule E(X|XY ).
8. Sejam X, e Y varia´veis aleato´rias com densidade conjunta:
fX,Y (x, y) =
{
1
8(6− x− y) , se 0 ≤ x ≤ 2 e 2 ≤ y ≤ 4
0 , caso contra´rio.
(a) Obtenha E[Y |X = x] e Var[Y |X = x].
(b) Defina a varia´vel aleato´ria E[Y |X] como func¸a˜o de X.
(c) Verifique que E[Y ] = E[E[Y |X]].
(d) Calcule E[XY |X = x].
9. Numa fa´brica empacotam-se palitos de fo´sforo em caixas mediante uma ma´quina que na˜o
pode ser totalmente controlada. Para na˜o perder clientes, a ma´quina se ajusta de forma
que todas as caixas contenham pelo menos 50 palitos. O nu´mero de palitos em cada caixa
e´ uma varia´vel aleato´ria X com funca˜o de probabilidade dada por
P (X = x) = (0, 8)(0, 2)x−50, x = 50, 51, . . .
Ademais, o n´ımero de palitos defeituosos em uma caixa que contem x fo´sforos tem distri-
buic¸a˜o Binomial(x, 1/10). Obtenha o nu´mero me´dio de palitos defeituosos em uma caixa.
Respostas:
1. (a) 6 (b) 7
2. (a) 5,5;
4.
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3. 12;
6. y3/4;
7. XY−1log(XY )
8. (a) E[Y |X = x] = (26−9x)/(9−3x) e Var(Y |X = x) = (3x2+26)/(9−3x)2, para 0 < x <
2 (b) E[Y |X] = (26− 9X)/(9− 3X) (d) E[XY |X = x] = xE[Y |X = x] = (26x− 9x2)/(9− 3x).
9. 5,025
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