Lista_8

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Lista 8 - Probabilidade II
Estat´ısticas de Ordem
Prof.: Marco Aure´lio
1. Sejam X1, X2 e X3 v.a. i.i.d. com distribuic¸a˜o exponencial de me´dia 1.
(a) Encontre a distribuic¸a˜o conjunta das estat´ısticas de ordem X(1), X(2) e X(3). Verifique
que realmente se trata de uma func¸a˜o densidade conjunta.
(b) Encontre as distribuic¸o˜es marginais de cada estat´ıstica de ordem X(1), X(2) e X(3).
Voceˆ conhece essas distribuic¸o˜es?
(c) Calcule a me´dia de cada estat´ıstica de ordem X(1), X(2) e X(3). Compare o resultado
com a me´dia de Xi. Esta´ de acordo com o que voceˆ esperava?
(d) Calcule a probabilidade da distaˆncia entre o maior e o menor valor ser menor que 1.
2. Sejam X1, X2, X3 v.a. i.i.d. com distribuic¸a˜o uniforme no intervalo (0, 1). Qual a proba-
bilidade da mediana entre as treˆs varia´veis aleato´rias ficar abaixo de 1/2?
3. Treˆs pessoas marcaram de se encontrar para uma reunia˜o entre 12:00h e 13:00h. Suponha
que os treˆs hora´rios de chegada sejam varia´veis aleato´rias i.i.d. uniformes entre 12:00h e
13:00h. Suponha tambe´m que a reunia˜o so´ comec¸a depois que as treˆs pessoas chegarem.
(a) Em me´dia que horas a primeira pessoa chega no local combinado?
(b) Em me´dia que horas a reunia˜o vai comec¸ar?
(c) Qual a probabilidade da primeira pessoa que chegar ter que esperar mais de 30 minutos
pelo in´ıcio da reunia˜o?
4. Uma ma´quina opera de forma efetiva enquanto pelo menos 3 dos 5 motores esta˜o em
funcionamento. Suponha que o tempo de vida de cada motor seja uma varia´vel aleato´ria
com distribuic¸a˜o exponencial de me´dia igual a 1 ano.
(a) Encontre a func¸a˜o densidade de probabilidade do tempo de vida da ma´quina.
(b) Encontre o tempo me´dio de vida da ma´quina
(c) Qual a probabilidade da ma´quina durar mais de 2 anos?
5. Uma ma´quina tem quatro componentes ideˆnticos, cujos tempos de durac¸a˜o em anos sa˜o
varia´veis aleato´rias independentes e identicamente distribu´ıdas, com distribuic¸a˜o exponen-
cial com valor esperado igual a 4. Fac¸a o que se pede:
(a) Determine a densidade do tempo de durac¸a˜o da ma´quina, supondo que ela falha
quando todos os componentes tiverem falhado e identifique-a se for um modelo conhe-
cido;
(b) Determine a densidade do tempo de durac¸a˜o da ma´quina, supondo que ela falha
quando um dos componentes falhar;
(c) Supondo que a ma´quina falha quando todos os componentes tiverem falhado, qual o
tempo me´dio de vida da ma´quina?
6. Sejam X1 e X2 varia´veis aleato´rias i.i.d. com distribuic¸a˜o dada por: f(x) = 2x, 0 < x < 1.
Qual a probabilidade da distaˆncia entre X1 e X2 ser menor ou igual a` d?
7. As varia´veis aleato´rias X1 e X2 sa˜o independentes e teˆm densidade comum Exp(λ).
(a) Obtenha a func¸a˜o densidade conjunta das varia´veis Y1 = min(X1, X2) e Y2 = max(X1, X2).
(b) Determine a densidade condicional de Y2 − Y1 dado Y1.
8. Sejam X1, X2, ..., Xn amostra aleato´ria de X ∼ Geom(p).
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Lista 8 Probabilidade II
a) Mostre que a func¸a˜o de distribuic¸a˜o acumulada de X, para x ∈ Im(X) = {1, 2, ...}, e´
dada por FX(x) = 1− (1− p)x.
a) Encontre a distibuic¸a˜o de M = ma´x{X1, ..., Xn}.
b) Encontre a distibuic¸a˜o de N = min{X1, ..., Xn}.
9. Sejam X1, X2, ..., Xn amostra aleato´ria de X ∼ Ber(p).
a) Encontre a distibuic¸a˜o de X(n) = ma´x{X1, ..., Xn}.
b) Encontre a distibuic¸a˜o de X(1) = min{X1, ..., Xn}.
10. Quando uma amostra de 2n + 1 varia´veis aleato´rias i.i.d. e´ observada, o n + 1-e´simo
maior valor observado e´ denominado mediana (da amostra). Se uma amostra de 3 varia´veis
aleato´rias X1, X2, X3 i.i.d. U(0, 1) e´ realizada, determine a probabilidade de que a mediana
pertenc¸a ao intervalo formado pelo 1o quartil e pelo 3o quartil de X1. (Dica: Na˜o confundir
quant´ıs da amostra com quant´ıs de uma varia´vel aleato´ria.)
11. Sejam W1,W2,W3 v.a.’s i.i.d, com mesma distribuic¸a˜o de X ∼ Beta(2, 1). Calcule a proba-
bilidade de que o menor valor obtido dentre Wi, i = 1, 2, 3, exceda a mediana de X. Esta
probabilidade e´ maior ou menor do que 0,5? Interprete.
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