algebra linear
177 pág.

algebra linear

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A´lgebra Linear
Andre´ Arbex Hallack
2017
I´ndice
1 Sistemas Lineares 1
1.1 Corpos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1
1.2 Sistemas de Equac¸o\u2dces Lineares . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3
1.3 Sistemas equivalentes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4
1.4 Operac¸o\u2dces elementares sobre as equac¸o\u2dces de um sistema - como produzir sistemas
equivalentes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5
1.5 Matrizes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6
1.6 Operac¸o\u2dces elementares sobre linhas de uma matriz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9
1.7 Matrizes linha-reduzidas a` forma em escada . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10
1.8 Multiplicac¸a\u2dco de matrizes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14
1.9 Matrizes invert´\u131veis . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16
1.10 Determinantes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
2 Espac¸os Vetoriais 27
2.1 Definic¸a\u2dco e exemplos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27
2.2 Subespac¸os Vetoriais . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31
2.3 Combinac¸o\u2dces lineares: gerac¸a\u2dco de subespac¸os . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39
2.4 Depende\u2c6ncia e independe\u2c6ncia linear . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44
2.5 Base e dimensa\u2dco de um espac¸o vetorial . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46
3 Transformac¸o\u2dces Lineares 59
3.1 Definic¸a\u2dco e exemplos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 59
3.2 Resultados imediatos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 64
i
3.3 Nu´cleo e Imagem de uma transformac¸a\u2dco linear . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 67
3.4 Transformac¸o\u2dces injetoras, sobrejetoras, bijetoras . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 71
3.5 Isomorfismos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 73
3.6 Representac¸a\u2dco de transformac¸o\u2dces por matrizes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 76
3.7 Composic¸a\u2dco de transformac¸o\u2dces lineares . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 84
3.8 Posto e Nulidade de uma transformac¸a\u2dco linear . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 87
4 Formas Cano\u2c6nicas 89
4.1 Autovalores e autovetores . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 89
4.2 Obtendo autovalores e autovetores . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 93
4.3 Forma diagonal: a primeira forma cano\u2c6nica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 97
4.4 Polino\u2c6mio minimal (ou m\u131´nimo) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 101
4.5 Matriz companheira . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 109
4.6 A forma cano\u2c6nica de Jordan . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 110
5 Espac¸os com Produto Interno 117
5.1 Produto interno . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 117
5.2 Ortogonalidade . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 119
5.3 Norma . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 123
5.4 A\u2c6ngulo entre dois vetores . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 125
5.5 Ortogonalizac¸a\u2dco; Projec¸a\u2dco ortogonal: a melhor aproximac¸a\u2dco; Complemento ortogonal . 126
5.6 Tipos especiais de operadores lineares . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 136
A Respostas dos exerc´\u131cios 143
Refere\u2c6ncias 173
Cap´\u131tulo 1
Sistemas Lineares
1.1 Corpos
Seja IK um conjunto de elementos x, y, z, ..., com duas operac¸o\u2dces:
Adic¸a\u2dco: associa a cada par de elementos x, y \u2208 IK um elemento x+ y \u2208 IK.
Multiplicac¸a\u2dco: associa a cada par de elementos x, y \u2208 IK um elemento x.y \u2208 IK.
Suponhamos que estas duas operac¸o\u2dces possuam as seguintes propriedades:
1. x+ y = y + x para todos (\u2200) x, y \u2208 IK ;
(comutatividade da adic¸a\u2dco)
2. x+ (y + z) = (x+ y) + z \u2200x, y, z \u2208 IK ;
(associatividade da adic¸a\u2dco)
3. Existe um u´nico elemento nulo 0 (zero) em IK tal que 0 + x = x \u2200x \u2208 IK ;
(elemento neutro da adic¸a\u2dco)
4. A cada x \u2208 IK corresponde um u´nico elemento (\u2212x) \u2208 IK tal que x+ (\u2212x) = 0 ;
(sime´trico na adic¸a\u2dco)
5. x.y = y.x \u2200x, y \u2208 IK ;
(comutatividade da multiplicac¸a\u2dco)
6. x.(y.z) = (x.y).z \u2200x, y, z \u2208 IK ;
(associatividade da multiplicac¸a\u2dco)
7. Existe um u´nico elemento na\u2dco-nulo 1 (um) em IK tal que x.1 = x \u2200x \u2208 IK ;
(elemento neutro da multiplicac¸a\u2dco)
1
2 CAPI´TULO 1
8. Para cada x 6= 0 em IK existe um u´nico elemento x\u22121 (ou 1/x) em IK tal que x.x\u22121 = 1 ;
(inverso na multiplicac¸a\u2dco)
9. x.(y + z) = x.y + x.z \u2200x, y, z \u2208 IK .
(distributividade da multiplicac¸a\u2dco com relac¸a\u2dco a` adic¸a\u2dco)
O conjunto IK, munido das duas operac¸o\u2dces com as propriedades acima, e´ denominado um
CORPO.
Exemplos:
A) O conjunto Z = { ...,\u22123,\u22122,\u22121, 0, 1, 2, 3, 4, ... } dos nu´meros inteiros, com as operac¸o\u2dces usuais,
na\u2dco e´ um corpo.
B) O conjunto Q = { p/q : p, q \u2208 Z, q 6= 0 } dos nu´meros racionais, com as operac¸o\u2dces usuais, e´ um
corpo.
C) O conjunto IR dos nu´meros reais (que fazemos corresponder geometricamente aos pontos de uma
reta orientada), com as operac¸o\u2dces usuais de adic¸a\u2dco e multiplicac¸a\u2dco, e´ um corpo.
D) O conjunto C = { x+ iy : x, y \u2208 IR } dos nu´meros complexos, onde{
x e´ a parte real de x+ iy , y e´ a parte imagina´ria de x+ iy
i2 = \u22121
com as operac¸o\u2dces usuais de adic¸a\u2dco e multiplicac¸a\u2dco, dadas por:
Adic¸a\u2dco: (x1 + iy1) + (x2 + iy2) = (x1 + x2) + i(y1 + y2)
Multiplicac¸a\u2dco: (x1 + iy1).(x2 + iy2) = (x1x2 \u2212 y1y2) + i(x1y2 + x2y1), e´ um corpo.
Observac¸o\u2dces:
\u2022 Os elementos de um corpo IK sera\u2dco chamados ESCALARES.
\u2022 Neste curso iremos trabalhar com os corpos IR e C .
Sistemas Lineares 3
1.2 Sistemas de Equac¸o\u2dces Lineares
Seja IK um corpo (IR ou C). Consideremos o problema da determinac¸a\u2dco de n escalares (elementos
de IK) x1, x2, ..., xn que satisfac¸am a`s condic¸o\u2dces:
(*)
\uf8f1\uf8f4\uf8f4\uf8f4\uf8f4\uf8f2\uf8f4\uf8f4\uf8f4\uf8f4\uf8f3
a11x1 + a12x2 + ... + a1nxn = y1
a21x1 + a22x2 + ... + a2nxn = y2
...
...
...
...
am1x1 + am2x2 + ... + amnxn = ym
onde y1, y2, ..., ym e aij , com 1 \u2264 i \u2264 m e 1 \u2264 j \u2264 n, sa\u2dco elementos dados de IK.
Definic¸a\u2dco 1.1. (*) e´ dito um SISTEMA DE m EQUAC¸O\u2dcES LINEARES A n INCO´GNITAS. Uma
SOLUC¸A\u2dcO do sistema (*) e´ uma n-upla (x1, x2, ..., xn) de escalares em IK que satisfaz simultane-
amente a`s m equac¸o\u2dces.
Observac¸a\u2dco: Se, em particular, y1 = y2 = ... = ym = 0, enta\u2dco o sistema e´ chamado um SIS-
TEMA HOMOGE\u2c6NEO e, neste caso, a n-upla (0, 0, ..., 0) sera´ uma soluc¸a\u2dco, denominada SOLUC¸A\u2dcO
TRIVIAL.
Exemplos:
A) x = 5, y = 3, z = \u22121, ou seja (5, 3,\u22121), e´ (a u´nica) soluc¸a\u2dco do sistema linear:\uf8f1\uf8f4\uf8f2\uf8f4\uf8f3
2x\u2212 y + 2z = 5
\u2212x+ 3y \u2212 z = 5
x+ 2y + 3z = 8
B) O sistema linear
\uf8f1\uf8f4\uf8f2\uf8f4\uf8f3
2x\u2212 y = 7
\u2212x+ 3y = 4
x+ 2y = 10
na\u2dco admite nenhuma soluc¸a\u2dco.
C) Consideremos em um corpo IK o seguinte sistema:\uf8f1\uf8f4\uf8f2\uf8f4\uf8f3
2x+ y \u2212 3z = 0
x\u2212 y + z = 0
x+ 2y \u2212 z = 0
D) Consideremos em um corpo IK, o seguinte sistema homoge\u2c6neo:\uf8f1\uf8f4\uf8f2\uf8f4\uf8f3
2x+ y \u2212 3z = 0
x\u2212 y + z = 0
x+ 2y \u2212 4z = 0
4 CAPI´TULO 1
E) Consideremos, em C, o seguinte sistema linear:{
ix+ 2y = 3\u2212 6i
3x+ y = 2
F) Consideremos em um corpo IK, o seguinte sistema{
2x+ y \u2212 z = 1
\u2212x\u2212 y + z = 2
1.3 Sistemas equivalentes
Seja (x1, x2, ..., xn) uma soluc¸a\u2dco do sistema (*).
Dados m escalares c1, c2, ..., cm em IK, temos\uf8f1\uf8f4\uf8f4\uf8f2\uf8f4\uf8f4\uf8f3
c1(a11x1 + ...+ a1nxn) = c1y1
...
...