Calculo II - Superfıcies no Espaco
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Calculo II - Superfıcies no Espaco


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UFJF - DEPARTAMENTO DE MATEMA´TICA
Ca´lculo II - Superf´\u131cies no Espac¸o
Prof. Wilhelm Passarella Freire
Prof. Grigori Chapiro
1
Conteu´do
1 Introduc¸a\u2dco 4
2 Plano 6
2.1 Parametrizac¸a\u2dco do plano . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7
3 Qua´dricas 8
4 Esfera 9
4.1 Parametrizac¸a\u2dco da esfera . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10
5 Elipso´ide 11
5.1 Parametrizac¸a\u2dco do Elipso´ide . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13
6 Hiperbolo´ide 13
6.1 Parametrizac¸a\u2dco do Hiperbolo´ide de uma Folha . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14
6.2 Parametrizac¸a\u2dco do Hiperbolo´ide de duas Folhas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16
7 Parabolo´ide 17
7.1 Parametrizac¸a\u2dco do paraboloide el´\u131ptico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
7.2 Parametrizac¸a\u2dco do Paraboloide Hiperbo´lico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
8 Cilindro qua´drico 20
8.1 Parametrizac¸a\u2dco do Cilindro Qua´drico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
9 Superf´\u131cie cil´\u131ndrica 21
9.1 Parametrizac¸a\u2dco de uma superf´\u131cie Cil´\u131ndrica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
10 Cone el´\u131ptico 23
10.1 Parametrizac¸a\u2dco do Cone El´\u131ptico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
11 Superf´\u131cie co\u2c6nica 25
11.1 Parametrizac¸a\u2dco de uma Superf´\u131cie Co\u2c6nica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27
2
12 Superf´\u131cies de revoluc¸a\u2dco 28
12.1 Equac¸a\u2dco Cartesiana de uma Superf´\u131cie de Revoluc¸a\u2dco . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28
12.2 Parametrizac¸a\u2dco de uma Superf´\u131cies de Revoluc¸a\u2dco . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29
13 Identificac¸a\u2dco de qua´dricas 30
3
1 Introduc¸a\u2dco
Definic¸a\u2dco 1 Um subconjunto S \u2282 IR3 e´ chamado superf´\u131cie se existe um subconjunto R \u2282 IR2 e uma
func¸a\u2dco injetora f : R \u2212\u2192 IR3 tal que f(R) = S. A func¸a\u2dco f junto com a regia\u2dco R e´ chamada de
parametrizac¸a\u2dco de S.
Definic¸a\u2dco 2 Considere tre\u2c6s retas duas a duas ortogonais Ox, Oy e Oz satisfazendo a regra da ma\u2dco
direita. O sistema de coordenada cartesiano associa cada ponto no espac¸o IR3 a tre\u2c6s nu´meros reais
(x, y, z) correspondendo respectivamente a projec¸o\u2dces deste ponto nas retas Ox, Oy e Oz (chamadas
de eixos).
OBS.: Esta associac¸a\u2dco e´ u´nica para cada ponto do espac¸o.
Definic¸a\u2dco 3 Dado o sistema de coordenadas cartesiano, um ponto P do espac¸o IR3 e P \u2032 a projec¸a\u2dco
de P no plano xy. O sistema de coordenadas cil´\u131ndricas associa P a tre\u2c6s nu´meros reais (r, \u3b8, z)
correspondendo respectivamente ao tamanho do segmento OP \u2032, ao a\u2c6ngulo que o segmento OP \u2032 faz com
a semi-reta positiva de Ox e a projec¸a\u2dco de P no eixo Oz.
Figura 1: Esquema de coordenadas cartesianas e cil´\u131ndricas.
OBS.: Coordenadas cil´\u131ndricas sa\u2dco coordenadas polares no plano xy junto com a altura z do ponto.
Analogamente com as coordenadas polares a representac¸a\u2dco da origem nas coordenadas cil´\u131ndricas na\u2dco
e´ u´nica.
Definic¸a\u2dco 4 Dado o sistema de coordenadas cartesiano, um ponto P do espac¸o IR3 e P \u2032 a projec¸a\u2dco
de P no plano xy. O sistema de coordenadas esfe´ricas associa P a tre\u2c6s nu´meros reais (r, \u3b8, \u3c6)
4
correspondendo respectivamente ao tamanho do segmento OP , ao a\u2c6ngulo que o segmento OP \u2032 faz com
a semi-reta positiva de Ox e ao a\u2c6ngulo que o segmento OP faz com a semi-reta positiva de Oz.
P = (x, y, z) um ponto gene´rico da superf´\u131cie esfe´rica E
P \u2032 = (x, y, 0) a projec¸a\u2dco de P no plano-xy
\u3b8 = a\u2c6ngulo que OP \u2032 faz com o sentido positivo do eixo-x
\u3d5 = a\u2c6ngulo que OP faz com o sentido positivo do eixo-z
Enta\u2dco z = R cos\u3d5
OP \u2032 = R sen\u3d5
x = OP \u2032 cos \u3b8 \u2212\u2192 x = R cos \u3b8 sen\u3d5
y = OP \u2032 sen \u3b8 \u2212\u2192 y = R sen \u3b8 sen\u3d5
com \u3b8 \u2208 [0, 2pi] e \u3d5 \u2208 [0, pi].
OBS.: Analogamente com as coordenadas cil´\u131ndricas a representac¸a\u2dco da origem nas coordenadas
esfe´ricas na\u2dco e´ u´nica.
Nem toda superf´\u131cie pode ser definida atrave´s de uma equac¸a\u2dco. (Ex.: fractais). Classificamos as
superf´\u131cies descritass por uma equac¸a\u2dco em:
Definic¸a\u2dco 5 Dado um sistema de coordenadas em IR3. Uma superf´\u131cie esta definida na forma
expl´\u131cita quando a equac¸a\u2dco que a descreve tem uma das coordenadas em func¸a\u2dco das outras.
Definic¸a\u2dco 6 Dado um sistema de coordenadas em IR3. Uma superf´\u131cie esta definida na forma
5
impl´\u131cita quando a equac¸a\u2dco que a descreve tem a forma f(a, b, c) = 0, onde a, b e c sa\u2dco as co-
ordenadas.
Exemplo 1 As superf´\u131cies z = x2 + y2, x = sen(z \u2212 y) sa\u2dco dadas na forma expl´\u131cita. As superf´\u131cies
x2 + y2 + z2 = 1, exp(xyz) = 5 na forma impl´\u131cita.
Definic¸a\u2dco 7 Seja S uma superf´\u131cie em IR3 representada pela equac¸a\u2dco F (x, y, z) = 0 nas coordenadas
cartesianas (x, y, z).
(1) O trac¸o de S no plano-xy e´ o conjunto de pontos que satisfazem a equac¸a\u2dco f(x, y) = F (x, y, 0) = 0
(2) O trac¸o de S no plano-xz e´ o conjunto de pontos que satisfazem a equac¸a\u2dco f(x, z) = F (x, 0, z) = 0
(3) O trac¸o de S no plano-yz e´ o conjunto de pontos que satisfazem a equac¸a\u2dco f(y, z) = F (0, y, z) = 0
(4) O trac¸o de S no plano z = k e´ o conjunto de pontos que satisfazem f(x, y) = F (x, y, k) = 0
(5) O trac¸o de S no plano y = k e´ o conjunto de pontos que satisfazem f(x, z) = F (x, k, z) = 0
(6) O trac¸o de S no plano x = k e´ o conjunto de pontos que satisfazem f(y, z) = F (k, y, z) = 0
Os trac¸os sa\u2dco as intersecc¸o\u2dces de uma superf´\u131cie com planos paralelos aos planos coordenados e sera\u2dco
de extrema utilidade no esboc¸o da superf´\u131cie.
2 Plano
Definic¸a\u2dco 8 E´ a superf´\u131cie cuja equac¸a\u2dco cartesiana pode ser colocada na forma ax+ by + cz = d .
Seja S o plano que passa pelo ponto A = (x0, y0, z0) e tem N = (a, b, c) como vetor normal.
Seja P = (x, y, z) o ponto gene´rico do plano S. O vetor AP e´ paralelo a S e, portanto, a equac¸a\u2dco
cartesiana de S e´ dada por
N ·AP = 0
ou
(a, b, c) · (x\u2212 x0, y \u2212 y0, z \u2212 z0) = 0
6
ou
ax+ by + cz = d onde d = ax0 + by0 + cz0.
2.1 Parametrizac¸a\u2dco do plano
Consideremos u e v vetores paralelos ao plano S tais que um vetor na\u2dco e´ mu´ltiplo do outro. Sejam
A \u2208 S e P o ponto gene´rico de S.
Escolhendo \u3b1, \u3b2 \u2208 IR convenientemente podemos escrever
P = A+ \u3b1u+ \u3b2v.
Pondo f : IR2 \u2212\u2192 IR3, f(\u3b1, \u3b2) = A + \u3b1u + \u3b2v, temos que f(IR2) = S e, portanto, f e´ uma
parametrizac¸a\u2dco de S.
OBS.:
A = (x0, y0, z0) : ponto da reta r
P = (x, y, z) : ponto gene´rico de r
7
v = (a, b, c) : vetor diretor de r
Equac¸a\u2dco vetorial de r : P = A+ tv , t \u2208 IR
Equac¸o\u2dces parame´tricas de r :
(x, y, z) = (x0, y0, z0) + t(a, b, c) =\u21d2
\uf8f1\uf8f4\uf8f4\uf8f4\uf8f2\uf8f4\uf8f4\uf8f4\uf8f3
x = x0 + at
y = y0 + bt
y = y0 + bt
Exemplo 2 Escreva as equac¸o\u2dces vetorial, parame´tricas e cartesiana do plano que passa pelos pontos
A = (1, 0, 1), B = (2, 1,\u22121) e C = (1,\u22121, 0).
Exemplo 3 Obtenha a intersec¸a\u2dco da reta r com o plano pi
(a) r : P = (1, 0, 1) + t(2, 1, 3) , t \u2208 IR
pi : x+ y + z = 20
(b) r : P = (0, 1, 1) + t(2, 1,\u22123) , t \u2208 IR
pi : P = (1, 0, 0) + \u3b1(1, 0, 0) + \u3b2(0, 1, 1)
3 Qua´dricas
Definic¸a\u2dco 9 Qua´dricas sa\u2dco as superf´\u131cies cuja equac¸a\u2dco cartesiana tem a forma geral:
Ax2 +By2 + Cz2 +Dxy +Exz + Fyz +Gx+Hy + Iz + J = 0
em que A, B, C, D, E, F , G, H, I, J \u2208 IR com A,B,C,D,E, F na\u2dco simultaneamente nulos.
Atrave´s de rotac¸a\u2dco e/ou translac¸a\u2dco de eixos e´ poss´\u131vel escrever a equac¸a\u2dco de uma qua´drica em uma
forma padra\u2dco, possibilitando sua identificac¸a\u2dco.
Em um primeiro momento, apresentaremos as qua´dricas na forma padra\u2dco e aprenderemos a reconhece\u2c6-
las. Depois, estudaremos como transformar a equac¸a\u2dco geral em uma das formas padra\u2dco.
8
4 Esfera
Definic¸a\u2dco 10 Uma esfera e´ o lugar geome´trico dos pontos P = (x, y, z) \u2208 IR3 cuja dista\u2c6ncia a um
ponto fixo chamado centro e´ igual a uma constante positiva chamada raio.
Equac¸a\u2dco Cartesiana