Traçado-de-Estradas-parte-1

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Curso Técnico de Geomensura, Set.-2008 
 
Projeto Geométrico Horizontal | Prof. Lúcio Mendes 
CEFET-SC TRAÇADO DE ESTRADAS – 1ª PARTE 
 
SC-450 Serra do Rio do Rastro 
 Lauro Muller – Bom Jardim da Serra (SC) 
Centro Federal de Educação Tecnológica de Santa Catarina 
Departamento Acadêmico da Construção Civil 
Curso Técnico de Geomensura 
Disciplina: Traçado de Estradas 
 
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SUMÁRIO 
 
 
1 Interpretação de projeto ................................................................................................. 3 
1.1 Características técnicas para projeto geométrico .................................................. 6 
2 Estudos dos traçados ..................................................................................................... 7 
2.1 Tipos e alternativas dos traçados de estradas ....................................................... 9 
2.1.1 Traçado de vale: ................................................................................................. 9 
2.1.2 Traçado transversal:......................................................................................... 10 
2.1.3 Traçado de Planície ......................................................................................... 10 
2.1.4 Montanha ......................................................................................................... 11 
2.1.4.1 Traçado Direto ........................................................................................... 11 
2.1.4.2 Traçado de desenvolvimento artificial ....................................................... 11 
3 Projeto geométrico horizontal ....................................................................................... 12 
3.1 Tangente .............................................................................................................. 12 
3.2 Estaqueamento .................................................................................................... 13 
3.2.1 Estacas ............................................................................................................. 13 
3.2.2 Km .................................................................................................................... 14 
3.2.3 Igualdades ........................................................................................................ 14 
3.3 Curvas de concordância ....................................................................................... 15 
3.3.1 Curva Circular .................................................................................................. 15 
3.3.1.1 Elementos .................................................................................................. 16 
3.3.2 Curva de Transição em espiral ........................................................................ 22 
3.3.2.1 Elementos .................................................................................................. 25 
4 Bibliografia .................................................................................................................... 28 
 
 
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1 Interpretação de projeto 
Um projeto de engenharia é a disposição quantitativa e qualitativa dos atributos técnicos, 
econômicos e financeiros de um empreendimento, com base em dados, elementos, informações, 
estudos, especificações, normas, desenhos, cálculos e disposições especiais. 
No que diz respeito especificamente a projetos de estradas, existe uma série de estudos e 
projetos específicos, que devem ser efetuadas, sendo basicamente as seguintes: 
Estudos para um projeto rodoviário: 
• Estudo de viabilidade técnica – econômica – financeira; 
• Estudos topográficos; 
• Estudos de tráfego; 
• Estudos geológicos e geotécnicos; 
• Estudos hidrológicos; 
• Estudos ambientais. 
Projetos necessários para a construção de uma rodovia: 
• Projeto geométrico; 
• Projeto de terraplanagem; 
• Projeto drenagem; 
• Projeto de obras de arte correntes e especiais; 
• Projeto de pavimentação; 
• Projeto de integração ao meio ambiente e paisagismo; 
• Projeto de intersecções, (trevos, rotatórias...) 
• Projeto de desapropriação; 
OBS.: Relatório final (memória do projeto ou memorial descritivo ) 
• Orçamento da obra; 
• Plano de execução 
• Plano de manutenção da via; 
Assim, o projeto geométrico de uma rodovia, é o estudo dos elementos de planta, perfil 
longitudinal e seção transversal de uma via, fundamentado na mecânica e em experiências 
realizadas, objetivando fornecer aos veículos condições de operações compatíveis no que se 
refere à segurança, conforto e economia. 
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No plano horizontal, os elementos básicos que caracterizam um projeto geométrico 
rodoviário encontram-se ilustrados na figura a seguir: 
 
Figura: Elementos planimétricos básicos de um projeto rodoviário. 
Legenda: 
Os elementos em vermelho correspondem ao traçado da rodovia. 
• Trechos ,AB ,DE GH � Trechos em Tangente; 
• Trechos ,BC ,CD ,EF FG� Tangentes Externas. 
• Trechos ,BD EG � Desenvolvimento em curvas horizontais; 
• R1, R2 � Raios das curvas horizontais; 
• 1∆ , 2∆ � Ângulos de deflexão das tangentes; 
• AC � Ângulo Central da curva; 
• O � Centro da curva horizontal; 
• C e F � pontos das intersecções das tangentes (PI’s). 
 
Já os elementos altimétricos de um projeto rodoviário, são representados e estudados no 
Perfil Longitudinal da rodovia, que é a representação do projeto em perfil, constituída por uma 
série de alinhamentos retos, coordenados por curvas, denominadas de curvas de concordância 
vertical. A representação é feita segundo um plano vertical, relacionando as cotas do eixo 
projetado, com uma distância convencional de 20 em 20 metros, as estacas, conforme ilustrado na 
figura a seguir: 
 
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Figura: Elementos altimétricos básicos de um projeto rodoviário. 
Legenda: 
Os elementos em vermelho correspondem ao traçado da rodovia, na projeção vertical; 
A linha em verde corresponde ao perfil do terreno natural; 
PCV � Ponto de Concordância Vertical 
PIV � Ponto Intersecção Vertical 
PTV � Ponto de Tangência Vertical 
Os valores do greide são dados por inclinação de rampa, em porcentagem (%); 
 
E por fim, a Seção Transversal é a representação no plano vertical das diferenças de nível 
obtidas perpendicularmente ao eixo da estrada projetada, e a uma distância lateral (para direita e 
esquerda), pré-estabelecida. (as seções são de acordo com a necessidade da obra), conforme 
ilustrado nas figuras a seguir: 
 
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Figura: Elementos básicos de três seções transversais típicas de um projeto 
rodoviário. 
Legenda: 
Os elementos em vermelho correspondem aos elementos da rodovia, como pista de 
rolamento e taludes de corte e aterro; 
A linha em verde corresponde a seção transversal do terreno natural; 
CT � Cota do terreno natural no eixo da rodovia projetada. 
CP � Cota do projeto no eixo da rodovia projetada. 
1.1 Características técnicas para projeto geométrico 
As principais características técnicas a serem consideradas para a elaboração de um 
projeto rodoviário variam de acordo com a classe da rodovia, topografia local, importância no 
contextoregional entre outras, sendo as principais: 
a) Velocidade de Projeto: 
É a velocidade selecionada para fins do projeto geométrico da via. 
b) Velocidade de Operação 
É a mais alta velocidade de percurso que o veículo pode realizar, em condições normais 
de tráfego sem exceder a velocidade diretriz. 
c) Distância de Visibilidade 
Utilizada no cálculo das curvas de concordância vertical. 
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d) Veículos do Projeto 
É o veiculo padrão que condiciona diversos aspectos do dimensionamento geométrico de 
uma via. 
Tipos de veículos padrão: 
VP – Veículo de passeio 
CO – Veículo comercial 
SR – Veículo comercial articulado (semi-reboque) 
O – Veículos comerciais de maiores dimensões. 
 
Essas características técnicas definem na rodovia: 
• A largura da pista; 
• Os tipos de interseções; 
• Necessidade e largura dos acostamentos; 
• Largura dos canteiros; 
• Faixas adicionais; 
• Gabarito vertical; 
• Raios de curvas horizontais, etc. 
2 Estudos dos traçados 
Uma das fases preliminares, que antecede os trabalhos de execução do projeto 
geométrico propriamente dito, é a constituída pelos estudos de traçado, que tem por objetivos 
principais: a delimitação dos locais convenientes para a passagem da rodovia, a partir da 
obtenção de informações básicas a respeito da geomorfologia (relevo) da região, e a 
caracterização geométrica desses locais de forma a permitir o desenvolvimento do projeto 
pretendido. 
De conformidade com os objetivos buscados, os estudos de traçado podem ser 
subdivididos em duas etapas, comumente designadas por Reconhecimento e por Exploração, 
respectivamente. 
As definições e comentários adiante colocados referem-se ao caso clássico e geral de 
projeto de uma rodovia nova em áreas que podem não contar com acessos rodoviários existentes 
ao longo da região onde se pretende desenvolver o projeto. Na prática, outras condições podem 
ocorrer, devendo o leitor considerar possíveis adaptações dos procedimentos apontados aos 
casos reais, incluindo eventuais estudos complementares ou mesmo etapas adicionais que 
venham a se tornar necessários. 
É o caso, por exemplo, da elaboração de projetos de duplicação de rodovias existentes, 
em que os traçados dessas rodovias, em pleno serviço, muitas vezes condicionam a definição dos 
locais de passagem (quando não dos próprios traçados) das rodovias ampliadas. Nesses tipos de 
projetos, uma das etapas indispensáveis é constituída pelos estudos do Plano Funcional da 
Rodovia, que visa identificar os efeitos da inserção da rodovia no contexto do sistema existente, 
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caracterizando qualitativa e quantitativamente os impactos decorrentes, e orientando a proposição 
de alternativas para o desenvolvimento do projeto. 
No desenvolvimento dos trabalhos de Reconhecimento, para estudos de traçado, poderão 
vir a ser estabelecidos, além dos pontos de início e de fim do traçado, outros pontos intermediários 
que devem ser obrigatoriamente atingidos (ou, por extensão conceitual, evitados) pelo traçado – 
os denominados Pontos Obrigados – quais sejam: 
� Pontos Obrigados de Condição – que são os pontos a serem obrigatoriamente 
atingidos (ou evitados) pelo traçado, por razões de ordem social, econômica ou estratégia, tais 
como a existência de cidades, vilas, povoados, de áreas de reservas, de instalações industriais, 
militares, e outras a serem atendidas (ou não) pela rodovia; 
� Pontos Obrigados de Passagem – que são aqueles em que a obrigatoriedade de 
serem atingidos (ou evitados) pelo traçado da rodovia é devida a razões de ordem técnica, face à 
ocorrência de condições topográficas, geotécnicas, hidrológicas e outras que possam determinar a 
passagem da rodovia, tais como locais mais (ou menos) convenientes para as travessias de rios, 
acidentes geográficos e locais de ocorrência de materiais. 
Considerando isto, as principais fases ou etapas para o projeto de uma rodovia podem ser 
assim resumidas: 
Reconhecimento: 
É o primeiro levantamento indicado para projetos de rodovias. Esse levantamento 
(planialtimétrico) parte de um planejamento realizado numa faixa variando de 200 à 2.000m, onde 
passa abranger os estudos de vários traçados, com a escolha do melhor deles, que será 
detalhado na fase posterior. 
Ele é feito, utilizando-se um ou mais, dos seguintes processos: 
• Reconhecimento aerofotogramétrico: utilização de vôos para gerar fotografias 
aéreas na escala 1:4.000 e restituição na escala 1:1000 em casos especiais 
podem fazer vôos em escalas para 1:2000 e restituição de 1:500. 
Esse levantamento fornece: 
� Produto Final: plantas planialtimétrica na escala de 1:1000 e com curvas de nível 
de 1 em 1 metros; 
� Menor custo; 
� Menor tempo; 
� Menor precisão. 
 
• Reconhecimento aerofotográfico: Utiliza fotos aéreas (não restituídas) e as 
medidas da topografia convencional. 
• Reconhecimento terrestre: utilização dos métodos e técnicos da topografia 
convencional. 
 
 
 
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Exploração: 
Esta fase consiste na obtenção de dados mais preciosos realizados numa faixa entre 200 
e 300 metros do reconhecimento, onde se obtém uma planta planialtimétrica na escala 1:2000 e 
com curvas de nível de 1 em 1 metro. 
- Roteiro para a elaboração do levantamento planialtimétrico cadastral para faixa de 
exploração: 
• Implantação dos pontos de apoio (P ∆ A) ao longo do traçado selecionado na fase 
do reconhecimento. Os pontos de apoios (PA) podem ser levantados com a 
técnica GPS ou poligonal eletrônica do tipo IPA. NBR 13133/94; 
• Traçado da diretriz selecionada através da implantação dos pontos de intersecção 
(PI); 
• Estaqueamento da diretriz de 20 em 20 metros; 
• Levantamento das seções transversais; 
• Processamento dos dados topográficos ; 
• Execução dos desenhos. 
2.1 Tipos e alternativas dos traçados de estradas 
O tipo do traçado depende fundamentalmente do relevo do local onde será executada a 
estrada. Adota-se o tipo de traçado que possa superar as limitações do meio físico e ao mesmo 
tempo atenda as exigências do meio de transporte para o qual se está projetando a estrada. 
A cada dia é mais necessário à eficiência na construção de estradas não importando o seu 
tipo, sempre é necessário consciência e bom senso. A construção de estradas traz benefícios e 
malefícios, que podem ser minimizados, respeitando as legislações e as boas práticas. Abrem 
novos horizontes e encurta distância entre povos, do mesmo modo que prejudica e altera o relevo 
e a natureza do lugar. 
Existem quatro tipos de traçados clássicos: traçado de vale, traçado transversal, traçado 
de planície e traçado de montanha. 
2.1.1 Traçado de vale: 
É o que se faz ao longo de um vale, por uma de suas margens. É um traçado 
praticamente definitivo, pois a diretriz é o próprio curso da água. Quando o vale é fechado, o 
traçado torna-se sinuoso e obrigará muitas vezes a passagem de uma margem para a outra, a fim 
de possibilitar a obtenção de boas características e economia. A conveniência destas travessias 
está naturalmente condicionada a largura do curso da água, pois sendo este muito largo, deve-se 
evitar atravessá-lo escolhendo-se então a margem que permite em geral o melhor traçado. 
Todas estas observações devem ser assinaladas nas cadernetas do levantamento 
expedito, defronte da estaca correspondente. 
Quando o curso da água apresentardesníveis fortes (cachoeiras ou corredeiras) e o 
terreno marginal acompanhar este desnível, é necessário assinalar a observação, pois a crista de 
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uma cachoeira representa um ponto obrigatório de passagem e cria muitas vezes dificuldades, 
principalmente ao traçado das ferrovias, por exigirem rampas fortes nesses pontos. 
2.1.2 Traçado transversal: 
O traçado transversal caracteriza-se por atravessar diversas bacias, inclusive planícies, 
cursos d’água de vulto, garganta de contrafortes e de outros divisores de água, mais ou menos 
altos, que estão na diretriz. Por isso, esse tipo de traçado exige estudos cuidadosos. Previamente 
ao Ievantamento expedito, devem-se percorrer os pontos obrigatórios de passagem que estejam 
na diretriz, cujos principais são as travessias de gargantas dos contrafortes avançados ou 
depressões de elevações isoladas, os locais convenientes para a travessia dos cursos d’água a 
zonas pantanosas, etc. 
O traçado transversal compreende em geral um misto de traçado de planície com traçado 
de montanha. 
2.1.3 Traçado de Planície 
A primeira vista, a situação de planície é a que apresenta menores dificuldades ao traçado 
de estradas. Porém apresentam dificuldades sempre que ocorrem extensas zonas pantanosas e 
cursos d’água de grande vulto que obriguem a mudança de direção com o objetivo de procurar 
terrenos mais altos ou atravessar cursos d’água em locais mais convenientes. 
No caso de terreno de planície um traçado ferroviário é totalmente diferente de um traçado 
rodoviário. Enquanto no caso da ferrovia, o traçado ideal é a reta, pois curva em tal traçado 
significa maior resistência ao movimento, no caso das rodovias não há praticamente acréscimo de 
resistência nas curvas. Por outro lado, as retas nas rodovias devem ser limitadas a 3 km no 
máximo, para evitar a monotonia das grandes retas e o ofuscamento constante dos faróis a noite. 
No caso, porém, de região em terreno ondulado, não há inconveniente nas tangentes rodoviárias, 
pois deixa de existir o perigo da monotonia e do ofuscamento dos faróis. 
 
Fotografia: Traçado de planície (Patagônia Argentina) 
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2.1.4 Montanha 
Para se traçar uma estrada através de uma montanha, escolhe-se a garganta mais 
conveniente por onde deve passar o traçado, sendo de conveniência que esta garganta seja uma 
das mais baixas e situadas na diretriz escolhida. 
O acesso natural de uma estrada para atingir uma garganta, é feito em geral ao longo de 
vales que nascem nesta garganta e só na impossibilidade é que se passa para um vale vizinho. 
Há dois tipos clássicos de traçado se apresentam no acesso de uma montanha, a saber: 
a) Traçado direto: exemplo BR-282 trecho Santo Amaro da Imperatriz – Bom Retiro (SC), 
b) Traçado com desenvolvimento artificial: exemplo SC-438 Serra do Rio do Rastro (SC). 
2.1.4.1 Traçado Direto 
Geralmente não é possível lançar um traçado de montanha pelas margens de um rio até o 
alto de uma montanha, devido à declividade acentuada que cresce á medida que se aproxima do 
topo e que é superior ao limite de declividade possível nos traçados ferroviários, ou mesmo 
rodoviário. No entanto é possível que o traçado suba pela encosta de um contraforte de montanha 
para em seguida caminhar pela encosta da montanha até atingir a garganta, que geralmente será 
atravessada em corte ou túnel. 
 
Fotografia: Traçado de montanha direto (rodovia Yungas, Bolívia) 
2.1.4.2 Traçado de desenvolvimento artificial 
Quando não é possível levar o traçado diretamente para a garganta por falta de extensão 
suficiente para atingi-la com a rampa máxima estabelecida, recorre-se então ao expediente do 
desenvolvimento artificial, fazendo-se deliberadamente um alongamento do traçado, de modo que 
seja possível galgar a garganta com a rampa máxima estabelecida pelas normas ou instruções 
fornecidas. 
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Fotografia: Traçado de montanha com desenvolvimento artificial (Los Caracoles, Cordilheira dos 
Andes, rodovia Mendoza (AR) – Santiago (CH) 
Alguns exemplos marcantes de traçados de montanha com desenvolvimento artificial em 
Santa Catarina, é a SC-438 na Serra do Rio Rasto (Lauro Muller – Bom Jardim da Serra) – 
fotografia da capa desta apostila, SC-439 Serra do Corvo Branco (Urubici - Grão Pará) e a SC-450 
na Serra do Faxinal (Praia Grande, SC – Cambará do Sul, RS). 
 
Fotografia: Traçado de montanha com desenvolvimento artificial (SC-439 Serra do Corvo Branco 
(Grão Pará – Urubici - SC) 
3 Projeto geométrico horizontal 
3.1 Tangente 
O eixo de uma estrada é formado por uma série de linhas retas, ligadas entre si por 
curvas. As linhas retas são chamadas de tangentes. 
Assim, tangente de uma estrada pode ser caracterizada como um trecho da via com 
projeção horizontal em reta, sendo sinônimo de ‘alinhamento reto’. 
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Fotografia: Trecho em tangente de uma rodovia brasileira. 
3.2 Estaqueamento 
Estaqueamento pode ser entendido como a marcação topográfica, executada ao longo do 
da estrada, que objetiva a correlação dos dados dos projetos com a localização em campo. 
3.2.1 Estacas 
Estacas são a distância horizontal de 20 metros, ao longo do eixo da rodovia, que é o 
intervalo entre duas estacas topográficas designadas por números inteiros. 
Para fins de caracterização dos elementos que constituirão a rodovia, estes deverão ter 
sua geometria definida, pelo projeto, em pontos sucessivos ao longo do eixo, pontos esses que 
servirão, inclusive, para fins de posterior materialização do eixo projetado e dos demais elementos 
constituintes da rodovia no campo. 
Esses pontos, denominados genericamente de estacas, são marcados a cada 20,00m de 
distância a partir do ponto de início do projeto e numerados seqüencialmente, sendo o processo 
conhecido como estaqueamento do eixo. 
O ponto de início do projeto constitui a estaca 0 (zero), sendo convencionalmente 
representada por 0 = PP (estaca zero = Ponto de Partida); os demais pontos, eqüidistantes de 
20,00 m, constituem as estacas inteiras, sendo denominadas seqüencialmente, por estaca 1, 
estaca 2, ... e assim sucessivamente. 
Qualquer ponto do eixo pode ser referenciado a esse estaqueamento, sendo sua posição 
determinada pela designação da estaca inteira imediatamente anterior à posição do ponto, 
acrescida da distância (em metros, com precisão de 0,01 m) desta estaca inteira até o ponto 
considerado. 
A marcação das estacas ao longo das tangentes não oferece dificuldades maiores, pois 
não ocorre perda de precisão teórica quando se medem distâncias ao longo de retas. 
Já nos trechos em curva ocorre alguma perda de precisão, pois as medidas de distâncias 
são sempre tomadas ao longo de segmentos retos, na marcação das posições das estacas com 
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os recursos normais da topografia, ao passo que as distâncias reais (assim como as de projeto) 
entre as estacas correspondem a arcos de curvas. 
Visando minimizar esses erros de mensuração e de referenciamento dos trechos curvos 
do eixo, as Normas do Departamento Nacionalde Infra-Estrutura de Transportes (DNIT), 
estabelecem a obrigatoriedade de se marcar, nos trechos em curva, além dos pontos 
correspondentes às estacas inteiras, outros pontos – correspondentes a estacas intermediárias – 
de forma a melhorar a precisão na caracterização do eixo nas curvas. 
A marcação das curvas considerando apenas as estacas inteiras corresponde à 
materialização de pontos das curvas por meio de cordas de 20,00 m. Para evitar diferenças 
significativas entre os comprimentos dessas cordas e as extensões dos correspondentes arcos de 
curvas, o DNIT recomenda a caracterização dos trechos curvos com cordas de 20,00 m somente 
para raios de curva superiores a 600,00 m. 
Trechos curvos com raios menores que esse valor, mas superiores a 100,00 m, deverão 
ser marcados por meio de pontos distantes não mais de 10,00 m entre si. Nesses casos, deverão 
ser marcados, nos trechos curvos, além dos pontos correspondentes às estacas inteiras, também 
os pontos correspondentes a estacas fracionárias, múltiplas de 10,00 m. 
Quando os raios de curva são inferiores a 100,00 m, os comprimentos máximos de corda 
são fixados em 5,00 m, devendo ser caracterizados, nos trechos curvos, pontos correspondentes 
às estacas inteiras e às estacas fracionárias múltiplas de 5,00 m. 
3.2.2 Km 
Trecho de rodovia compreendido entre dois marcos quilométricos. Ainda, em projeto 
rodoviário, a marcação das estacas em campo e no projeto, ao invés de se fazer com anotação 
em estacas (Est. 0=PP, Est. 1, Est. 2, Est. 3 ....), pode também ser feita com anotação em 
quilômetro (km 0+000=PP, km 0+020, km 0+040, km 0+060 ...), de acordo com as exigências e 
conveniências do contratante do projeto. 
3.2.3 Igualdades 
Durante os estudos de um projeto rodoviário, são feitas muitas alterações de traçado, 
sempre buscando a alternativa mais econômica e menos impactante ao meio-ambiente. Após ser 
feita a primeira alternativa de traçado, esta é marcada em campo, através das estacas, para ser 
feito um refinamento dos levantamentos topográficos e para os projetistas visualizarem de forma 
mais efetiva o traçado in loco. Após esta fase, quase sempre são feitas alterações de traçado, de 
acordo com os problemas e dificuldades identificadas em campo. 
Os trechos onde ocorrem alterações de traçado, são chamados de variantes. Quando uma 
variante retorna ao traçado original, sempre há uma diferença entre a estaca de chegada da 
variante e a estaca do traçado original, uma vez que pouco provavelmente a variante terá a 
mesma distância do trecho do traçado original. 
Visando o aproveitamento das marcações já feitas em campo, ou mesmo para evitar ter 
que reescrever todo o projeto já pronto do trecho que segue conforme o original, são feitas 
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igualdades de estacas de chegada da variante com as estacas do traçado original, sendo que 
após a chegada da variante, o estaqueamento permanece conforme o original. 
3.3 Curvas de concordância 
Conforme já mencionado, o eixo de uma estrada é formado por uma série de linhas retas, 
ligadas entre si por curvas. 
As curvas são geralmente circulares, havendo, porém, o emprego (às vezes vantajoso), de 
curvas parabólicas ou mesmo empíricas. 
 
Fotografia: Seqüência de curvas de concordância horizontal. 
 
3.3.1 Curva Circular 
Para a concordância de dois alinhamentos retos que se interceptam em um vértice, utiliza-
se geralmente, no projeto geométrico de rodovias, a curva circular. Esta preferência é devida às 
boas propriedades que a curva circular oferece tanto para tráfego, pelos usuários da rodovia, 
como para o próprio projeto da curva e para a sua posterior materialização no campo, por 
processos de locação. 
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3.3.1.1 Elementos 
Na figura a seguir está representado o esquema de uma concordância com curva circular 
simples, estando também assinalados os elementos técnicos característicos. 
 
 
 
PI � Ponto de interseção das tangentes; 
PC � Ponto de Concordância horizontal; 
PT � Ponto de Tangência; 
T � Tangente Externa; 
R � Raio da curva circular; 
AC � Ângulo central da curva; 
O � Centro da curva; 
∆ � Ângulo de deflexão das tangentes; 
Dc � Desenvolvimento da curva; 
e � Afastamento ou flecha; 
iT � Ângulo de deflexão total; 
iP � Ângulo de deflexão parcial; 
CP � Corda Parcial; 
P � Ponto qualquer na curva; 
G � Grau da curva para corda parcial. 
 
 
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Cálculo dos principais elementos da curva circular: 
Relações Trigonométricas o triângulo O, PC, PI 
 
 
Re
TACSen
+
=





2
 
Re
RACCos
+
=





2
 
R
TACTan =





2
 
 
a)Tangente Exterior (T): 
São os segmentos de reta que vão do “PC” ao “PI” e do “PT” ao “PI” (expressa em 
metros), sendo: 
PIPTPIPC ,, = 
R
TACTan =





2
 � 






×=
2
ACTanRT
 
b) Raio da curva (R): 
É o raio do arco do círculo empregado na concordância, expresso em metros. É um 
elemento selecionado por ocasião do projeto, de acordo com as características técnicas da 
rodovia e da topografia da região. 
 
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Re
TACSen
+
=





2
 � 
( )
Re
AcTanRACSen
+
×
=




 2
2
 � 





×=





×+
22
)( ACTanRACSenRe � 






×=





×+





×
222
ACTanRACSenRACSene � 






×−





×=





×
222
ACSenRACTanRACSene � 












−





×=





×
222
ACSenACTanRACSene � 
 






−











×
=
22
2
ACSenACTan
ACSene
R � 












−





×
=
2
1
2
2
2
ACCos
ACSen
ACSen
ACSene
R � 
1
2
−





=
ACSec
eR
 
c) Desenvolvimento circular (Dc): 
É o comprimento do arco de círculo que vai desde o “PC” ao “PT”. A extensão do 
desenvolvimento da curva circular é obtida através das seguintes relações: 
 
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19
Em qualquer circunferência sabemos que o comprimento total dividido pelo diâmetro é 
constante: ( )...141592654,3Π=
D
C
 
Logo: Π×= DC � 
 Π××= RC 2 � 
 RC ×Π×= 2 
Onde: C=Circunferência ou Perímetro 
 
Relação linear/angular: 
Comprimento Total (C) -----------------360° 
Comprimento Parcial (Dc)-------------AC 
C ------- 60° 
DC ------ AC 
°
×Π×
=→
°
×
=
360
2
360
ACDCACCDC � 
Assim, 
°
××Π
=
180
ACRDC
 
d) Ângulo Central (AC): 
É o ângulo formado pelos raios que passam pelo “PC” e “PT” e se interceptam no ponto 
“O”. Estes raios são perpendiculares no ponto de tangência (PT e PC) 
 
Sendo Sc = somatório dos ângulos internos de um polígono, tem-se: 
Sc = 180º x ( N – 2 ) 
No polígono O, PC, PI, PT: 
Sc=180ºx ( 4 – 2 ) 
Sc = 360° 
 
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20
AC + 90° + 90° + (180° - ∆ ) = 360° 
AC + 180° + 180° - ∆ = 360° 
 
AC = ∆ Logo: 
O Ângulo central é igual à deflexão 
 
e) Cálculo do Estaqueamento dos pontos notáveis (“PC”,”PT”) 
 
a) Estaca do PC = Est. PI – T 
b) Est. do PT = Est. PC + Dc 
c) Prova de fechamento linear 
Dc = Est. do PT – Est. do PC 
Exercícios: 
1) A partir dos dados do projeto de uma curva circular conforme figura abaixo, calcular: 
a) O raio (R); 
b) A Tangente Exterior (T); 
c) O desenvolvimento Circular (Dc). 
 
 
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21
2) Com base nos elementos da curva circular da figura abaixo, calcule a estaca do “PC” e a 
estaca do “PT”. 
 
3) Calcular os elementos de uma curva circular com o raio de 150,00m, seguindo os dados 
do PI conforme figura abaixo. 
 
 
4) Calcular as coordenadas dos pontos notáveis da curva circular, a partir dos dados do 
projeto abaixo, sendo XPI=1764,81217 e YPI=1490,36640 
 
 
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3.3.2 Curva de Transição em espiral 
Quando o alinhamento de uma pista ou de uma faixa de trânsito muda instantaneamente 
da tangente para uma curva circular, o motorista não pode manter o veículo no centro da faixa, no 
início da curva. Para conseguir isso seria necessário que mudasse instantaneamente também a 
posição das rodas, no momento da passagem pelo PC. Não só tal mudança é impossível, como 
também é acompanhada do impacto da força centrífuga em parte balanceada com a própria 
inércia do veiculo, o que pode resultar, se não em uma situação de sério perigo, pelo menos numa 
situação desconfortável e pouco segura. 
Em outras palavras, o veículo segue uma trajetória de transição intermediária entre a 
tangente e a curva, a qual varia de acordo com a velocidade, o raio da curvatura e a 
superelevação. O problema se acentua, pois a transição se processa numa distância maior, 
podendo resultar até na invasão da faixa adjacente, conforme ilustrado na figura abaixo. 
 
Uma rodovia para permitir essa transposição com conforto e segurança, deve ter 
alinhamento, o máximo possível, seguindo essa transição, ou seja, deve acompanhar a tendência 
dos veículos que por ela transitam. 
Entre nós, é sabida a resistência ao uso rotineiro da transição em projetos, quer pela 
aparente dificuldade que sua introdução acarretaria nos cálculos, no desenho e na locação, quer 
mesmo pelo desconhecimento de suas vantagens. Não seria avançar muito, supor que existe a 
crença de ser perfeitamente dispensável a transição, por ter o motorista liberdade de acomodar se 
na pista, desde que tenha alguma habilidade. 
Na verdade, o que se observa, é que nos projetos para implantação de uma rodovia, as 
concorrências são, via de regra, em curvas circulares simples, deixando-se as transições para 
recolocação na fase de pavimentação, o que leva quase sempre a uma limitação nas soluções, 
pois procura-se intercalar as transições de forma a manter a pista dentro da plataforma existente, 
construída em concordância de plataforma. 
O desenvolvimento deve ser tal, que seu alinhamento e a aceleração centrípeta gerada 
pelo desnível da borda externa por unidade de comprimento seja compatíveis com o conforto e a 
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23
segurança de circulação, remontando a 1910 o estabelecimento do valor máximo da variação da 
aceleração centrípeta em 0,6m/s², a fim de que não fosse afetado aquele conforto e aquela 
segurança. 
Com velocidades diretrizes variando de 30 a 80km/h, caso de nossas estradas de classe 
III, II e I, as deficiências nas concordâncias em planta, de certa forma, ainda são diluídas, quer 
pela queda de velocidade que essas próprias deficiências acarretam, resultando em velocidades 
médias de percurso sensivelmente mais baixas, quer por que sem a facilidade de divisão de 
pistas, bloqueio e separadores, a atenção do motorista se redobra, levando-o quase de forma 
rotineira a compensar aquelas deficiências, pela sua habilidade no dirigir. 
Nas vias de trânsito rápido, porém, em que se parte do pressuposto da existência 
daquelas facilidades, agindo sempre no sentido do mais breve escoamento, qualquer deficiência 
tem seus efeitos bastante ampliados. Embora as transições não sejam elementos que 
caracterizam especificamente uma via expressa, pois devem ser consideradas nas concordâncias 
em todos os tipos de estradas de padrão usual, naquelas vias não seria concebível ou admissível 
fossem negligenciadas. 
Salvo em pequenos percursos, a via expressa tem como velocidade base para a dedução 
dos elementos do projeto velocidade diretriz valores iguais ou acima de 100km/h. Lembrando que 
a força centrífuga e a energia cinética são os pontos de partida para a dedução das características 
técnicas de uma estrada, e que essa força e energia variam com o quadrado da velocidade, ficam 
ressaltadas as inconveniências em relação ao conforto e segurança, resultantes de não se adaptar 
aos alinhamentos e concordâncias às tendências naturais dos veículos que, possuidores de uma 
determinada energia cinética – função de v² - sofrem nas curvas a influência da força centrífuga – 
também função de v². 
Ademais, se o problema existe para cada veículo em si, acentua-se quando o volume de 
trânsito cresce, e torna-se cruciante quando esse volume se aproxima da capacidade prática de 
uma faixa de trânsito. 
A ESPIRAL 
Entre diversas curvas utilizadas para a transição, as mais empregadas são a Lemniscata 
de Bernouilli, na Europa, e a espiral de Cornu, na América. 
A espiral de Cornu recebe também os nomes de Clotóide, Radióide dos Arcos e Espiral de 
Van Leber, em homenagem ao Engº holandês que a utilizou, primeiramente em traçados 
ferroviários, sendo hoje intensamente aplicada aos traçados rodoviários. 
Uma representação gráfica destas curvas encontra-se na figura a seguir. 
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24
 
As principais vantagens do emprego de curvas de transição no traçado em planta são as 
seguintes: 
1º Proporciona uma trajetória fácil de ser seguida pelos motoristas, de maneira que a força 
centrífuga aumenta e diminui gradualmente, à medida que o veículo entra ou sai da curva circular. 
Isso diminui a tendência dos veículos de invadirem as faixas adjacentes. 
2º Proporciona um trecho para giro da superfície do pavimento (inclinação transversal ou 
sobre elevação). 
3º Proporciona trecho para a transição da largura normal para a superlargura nas curvas. 
4º Dá um aspecto mais agradável ao traçado quando observado pelo motorista. 
As normas brasileiras recomendam o uso de espirais de transição para curvas de raio 
inferior de 600m para as estradas principais. Para as secundárias, recomenda-se transição para 
curvas de raio inferior a 440 m. 
3.3.2.1 Elementos 
θ
θ
θ
θ
 
Os elementos principais das curvas com transição em espiral são: 
 
Sc � ângulo central dos ramos espirais; 
Xc � abcissas do EC ou CE; 
Yc � ordenada do EC ou CE; 
ic � ângulo formado no TE ou ET a partir do PI até o EC ou CE; 
jc � ângulo formado no EC ou CE a partir do TE ou ET até a tangente dacurva neste ponto; 
p � deslocamento da curva para o encaixe do ramo espiral; 
q � ordenada do PC ou PT imaginário; 
Ce � corda do ramo espiral; 
Cc � corda da circular; 
K, B e A � coeficientes do ramo espiral; 
TL � distância do TE ou ET em direção ao PI, até a interseção com a tangente da curva no ponto 
EC ou CE; 
TC � distância do EC ou CE por sobre a tangente deste ponto até encontrar o alinhamento do TE 
ou ET até o PI; 
Ts � distância do TE ou ET até o PI; 
Θ � ângulo central da curva circular; 
Dc � Comprimento da curva circular; 
e � menor distância do PI até a curva (flecha); 
dm � deflexão para 1(um) metro da curva circular; 
d � deflexões para a curva circular; 
α � deflexões para o ramo espiral; 
X � distância da estação ao ponto a ser visado; 
L � distância da estação ao TE ou ET; 
 
a) Cálculo do Sc: 
 
OBS: o Sc calculado será em radianos. A sua conversão de radianos para graus é dada por: 
 
 
b) Cálculo do Xc e Yc: 
 
OBS: para o cálculo do Xc e do Yc, o valor do Sc deverá estar em radianos 
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27
 
c) Cálculo do ic e do jc: 
 
jc = 2 . ic 
 
d) Cálculo do q e do p: 
q = Yc – (R . sen Sc) 
p = Xc – (R . (1 – cos Sc)) 
 
OBS: o Sc nos dois casos deverá estar em graus. 
 
e) Cálculo do Ce e Cc: 
 
 
f) Cálculo do B, K e A: 
 
 
g) Cálculo da TL e TC 
 
 
OBS : 1) para se calcular uma curva de transição simples (Lc’s iguais), todos os dados já 
calculados valerão para os dois ramos; 2) no caso de uma curva de transição composta (Lc’s 
diferentes), deve-se efetuar os passos de ‘a’ a ‘g’ distintamente para os dois ramos; 3) Para se 
calcular uma curva de transição com apenas um Lc, todos os dados dos passos acima deverão 
ser considerados como zero para o ramo inexistente; 4) assim sendo, uma curva circular simples 
todos os dados acima deverão ser iguais a zero para os dois ramos. 
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28
 
h) Cálculo das Ts 
 
 
 
OBS: os elementos numerados com 1 pertencem ao ramo de entrada e os numerados 
com 2, ao ramo de saída. 
 
i) Cálculo do Θ: 
Θ = AC – Sc1 – Sc2 
j) Cálculo do Dc: 
 
l) Cálculo do e (flecha): 
 
4 Bibliografia 
M. Pacheco de carvalho - Curso de estradas estudos, projetos e locação de ferrovia e 
rodovias, 1° vol, 40 edição, editora cientifica, Rio de Jan eiro. 
Shu Han Lee - Apostila da Disciplina ECV 5115: Projeto Geométrico de estradas. UFSC. 
Raphael do Amaral Campos - Projeto de Estradas. 
José A. Comastri e Carlos A. B. de Carvalho - Estradas Traçado Geométrico. 
Humberto de Campos Borges - Topografia Aplicada a Engenharia Civil. 
P. S. Costa e W. C. Figueiredo - Estradas, Estudos e Projetos. 
Geronymo Pontes Filho - Estradas de Rodagem. Projeto Geométrico. 
Antonio Lopes Pereira - Estrada, Rodovias e Ferrovias. 
 
Sites: 
www.rodovias.com.br 
www.amiranet.com.br 
www2.uefs.br/geotec/estradas/apostilas/