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AULA 10 –DIAGRAMAS POLARES E ESTABILIDADE 
- 1 - 
Aula 10 Diagramas Polares e Estabilidade 
 
10.1 Diagramas Polares 
 
O diagrama polar de uma função de transferência senoidal G(jω) consiste de um diagrama do 
módulo de G(jω) versus o ângulo de fase de G(jω) em coordenadas polares, conforme G(jω) 
varia desde zero a infinito. Em diagramas polares, um ângulo de fase positivo (negativo) é 
medido no sentido anti-horário (horário) em relação ao eixo real positivo. O diagrama polar é 
conhecido como diagrama de Nyquist. 
Em um diagrama polar, para se obter o produto de duas funções de transferência 
G(jω) = G1(jω)G2(jω) deve-se considerar que 
1 1 1
2 2 2
( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( )
G j G j G j
G j G j G j
ω ω ω
ω ω ω
= ∠
= ∠ 
logo, 
1 2
1 2
( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( )
G j G j G j
G j G j G j
ω ω ω
ω ω ω
=
∠ = ∠ +∠ 
Em geral, se for desejado um diagrama polar de G1(jω)G2(jω), é conveniente desenhar primeiro 
seu diagrama logarítmico e então converter em um diagrama polar. 
AULA 10 –DIAGRAMAS POLARES E ESTABILIDADE 
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Uma vantagem do diagrama polar é que ele mostra as características de resposta em freqüência 
de um sistema, em toda a faixa de freqüência, em um único diagrama. Sua desvantagem é que 
ele não indica claramente a contribuição da cada um dos fatores individuais da função de 
transferência. 
 
 Im 
Re 
ω → ∞ 
ω → 0 
|G(jω)| 
∠G(jω) 
Re[G(jω)]
Im[G(jω)]
 
Figura 10.1 
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10.1.1 Fator integral: ωj
1 
1 1 1G( j ) j 90
j
ω ω ω ω= = − = ∠− ° 
 
 Im 
Re 
ω → ∞ 
ω → 0 
Figura 10.2 
AULA 10 –DIAGRAMAS POLARES E ESTABILIDADE 
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10.1.2 Fator derivativo: jω 
G( j ) j 90ω ω ω= = ∠+ ° 
 
 Im 
Re 
ω → ∞ 
ω = 0 
 
Figura 10.3 
 
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10.1.3 Pólo real: 1
1 jωτ+ 
1
2 2 2 22 2
1 1 1G( j ) tg j
1 j 1 11
ωτω ωτωτ ω τ ω τω τ
−= = ∠− = −+ + ++ 
 
1
ω = 0 
Im[G(jω)] 
Im 
Re 
ω → ∞ 
Re[G(jω)] 
ω = 1/τ 
0,5
 
Figura 10.4 
AULA 10 –DIAGRAMAS POLARES E ESTABILIDADE 
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10.1.4 Zero real: 1 jωτ+ 
2 2 1G( j ) 1 j 1 tgω ωτ ω τ ωτ−= + = + ∠ 
 
 
1
ω = 0 
Im 
Re 
ω → ∞ 
 
Figura 10.5 
 
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10.1.5 Pólos complexos: 2
n n
1
[1 2 ( j / ) ( j / ) ]ζ ω ω ω ω+ + 
 
2
n n
2 22
2
n n
1 n
2
2
n
1G( j )
[1 2 ( j / ) ( j / ) ]
1G( j )
1 2
2
G( j ) tg
1
ω ζ ω ω ω ω
ω
ω ωζω ω
ωζ ωω ω
ω
−
= + +
=
   − +      
   ∠ = −  −  
 
 
A forma exata de um diagrama polar depende do valor do fator de amortecimento ζ, porém, a 
forma geral do diagrama é a mesma tanto para o caso subamortecido (0 < ζ < 1) quanto para o 
caso superamortecido (ζ > 1) (Figura 10.6). 
Para o caso subamortecido em ω = ωn, tem-se G(jω) = 1/(j2ζ). No diagrama polar, o ponto de 
freqüência cuja distância à origem é máxima corresponde à freqüência de ressonância ωr. O 
valor de pico de G(jω) é obtido pela relação entre o módulo do vetor na freqüência ωr e o 
módulo do vetor em ω = 0 (Figura 10.7). 
AULA 10 –DIAGRAMAS POLARES E ESTABILIDADE 
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Para um sistema superamortecido, conforme ζ aumenta, o lugar geométrico de G(jω) aproxima-
se de uma semicircunferência. Isto se deve ao fato de que para um sistema muito amortecido as 
raízes características são reais e uma delas é muito menor que a outra. O sistema comporta-se 
como de primeira ordem. 
 
 
1
ω = 0 
Im 
Re 
ζ ⇑ 
ζ ⇓
ω → ∞ 
ω = ωn 
 
Figura 10.6 
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1 
ω = 0 
Im 
Re 
ω → ∞ 
ωn 
ωr 
Pico de 
ressonância
 
Figura 10.7 
 
 
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10.2 Análise da Estabilidade Através dos Diagramas de Bode 
 
A margem de ganho (GM) é a mudança no valor do ganho de malha aberta na freqüência onde o 
ângulo de fase é −180o (ωφ), expressa em decibéis (dB), necessária para tornar instável o 
sistema em malha fechada. Quanto maior GM, maior o afastamento da instabilidade e maior a 
segurança. Os valores recomendados variam entre 1,5 e 2,0. 
 
)j(GH
1GM
φω
= 
Em decibéis, 
 
)j(GHlog20)Glog(20G M)dB(M φω−== 
 
Uma margem de ganho positiva, em dB, significa que o sistema e estável. Para um sistema de 
fase mínima, a margem de ganho indica quanto o ganho pode ser aumentado antes do sistema 
se tornar instável. Para um sistema instável, a margem de ganho indica quanto o ganho deve ser 
diminuído para se tornar estável. 
 
AULA 10 –DIAGRAMAS POLARES E ESTABILIDADE 
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A margem de fase (ΦM) é a mudança no valor da fase de malha aberta no ponto com ganho 
unitário (0 dB), necessária para tornar instável o sistema em malha fechada. Os valores 
recomendados estão entre 30o e 60o. 
 
)(180 gM ωφΦ +°= 
 
onde φ é o ângulo de fase da função de transferência de malha aberta na freqüência de 
cruzamento do ganho (ωg). Para um sistema de fase mínima ser estável, a margem de fase deve 
ser positiva. 
 
Sistemas com margens de ganho e de fase maiores podem suportar mudanças relativamente 
grandes nos parâmetros do sistema antes de se tornarem instáveis. Os dois parâmetros devem 
ser considerados simultaneamente. É interessante analisar o efeito que os erros de modelagem 
teriam na qualidade do sistema controlado, especialmente em termos de estabilidade. A 
resposta freqüencial permite uma análise simples. 
 
AULA 10 –DIAGRAMAS POLARES E ESTABILIDADE 
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Figura 10.8 
AULA 10 –DIAGRAMAS POLARES E ESTABILIDADE 
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Exemplo: Obter as margens de fase e de ganho do sistema indicado na Figura 10.9 para os 
casos onde K = 10 e K = 100. 
 
 + 
 _ ( 1)( 5)
K
s s s+ +
Y(s)R(s) 
 
Figura 10.9 
Solução: 
 
Função de transferência de malha aberta: 
3 2( ) ( 1)( 5) 6 5
K KG s
s s s s s s
= =+ + + + 
 
Função de transferência senoidal: 
3 2 2 3( ) ( ) 6( ) 5( ) 6 ( 5 )
K KG j
j j j j
ω ω ω ω ω ω ω= =+ + − + − + 
 
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Determinação da freqüência de cruzamento do ganho (ωg): 
2 3( ) 16 ( 5 )
KG j
j
ω ω ω ω= =− + − + 
4 3 2
4 6 4 3 2
6 4 3 2
36 ( 5 )
36 ( 10 25 ) 0
26 25 0
K
K
K
ω ω ω
ω ω ω ω
ω ω ω
+ − + =
+ − + − =
+ + − =
 
 
10 { 4,9831; 1,6354; 1, 2271} 1, 2271 /
100 { 1,5748 4,8076;1,5748 1,6354; 3,9073} 3,9073 /
g
g
K j j rad s
K j j rad s
ω ω
ω ω
= → = ± ± ± → =
= → = − ± ± ± → = 
 
Determinação da freqüência de cruzamento de fase (ωφ): 
2 3
3
1
2
3
( ) 180
[ 6 ( 5 )]
( 5 )( ) 180
( 6 )
5 0
{0; 5} 5 /
KG j
j
G j tg
rad sφ
ω ω ω ω
ω ωω ω
ω ω
ω ω
−
∠∠ = = − °∠ − + − +
− +∠ = − = − °−
∴− + =
= ± → =
 
 
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Cálculo da margem de ganho: 
)j(GH
1GM
φω
= 
4 3 2
5
( )
36 ( 5 )
( )
30
KG j
KG j
φω ω
ω
ω ω ω ω
ω
=
=
= + − +
=
 
 
110 ( ) 3 9,54
3
10100 ( ) 0,3 10,46
3
M
M
K G j G dB
K G j G dB
φ
φ
ω
ω
= → = → = =
= → = → = = −
 
 
Cálculo da margem de fase: 
3
1
2
180 ( )
( 5 )( )
( 6 )g
M g
G j tgω ω
φ ω
ω ωω ω
−
=
Φ = °+
− +∠ = − −
 
 
10 1,2271 / ( ) 154,6114 25,4
100 3,9073 / ( ) 203,6506 23,6
g g M
g g M
K rad s G j
K rad s G j
ω ω
ω ω
= → = →∠ = − °→ Φ = °
= → = →∠ = − °→ Φ = − ° 
AULA 10 –DIAGRAMAS POLARES E ESTABILIDADE 
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Resumindo: 
 
 K = 10 K = 100 
Margem de fase 25,4o −23,6o 
Margem de ganho 9,54 dB −10,46 dB 
 
Portanto, o sistema é estável para K = 10 e instável para

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