Controle 1 - Aula10

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AULA 10 –DIAGRAMAS POLARES E ESTABILIDADE 
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Aula 10 Diagramas Polares e Estabilidade 
 
10.1 Diagramas Polares 
 
O diagrama polar de uma função de transferência senoidal G(jω) consiste de um diagrama do 
módulo de G(jω) versus o ângulo de fase de G(jω) em coordenadas polares, conforme G(jω) 
varia desde zero a infinito. Em diagramas polares, um ângulo de fase positivo (negativo) é 
medido no sentido anti-horário (horário) em relação ao eixo real positivo. O diagrama polar é 
conhecido como diagrama de Nyquist. 
Em um diagrama polar, para se obter o produto de duas funções de transferência 
G(jω) = G1(jω)G2(jω) deve-se considerar que 
1 1 1
2 2 2
( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( )
G j G j G j
G j G j G j
ω ω ω
ω ω ω
= ∠
= ∠ 
logo, 
1 2
1 2
( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( )
G j G j G j
G j G j G j
ω ω ω
ω ω ω
=
∠ = ∠ +∠ 
Em geral, se for desejado um diagrama polar de G1(jω)G2(jω), é conveniente desenhar primeiro 
seu diagrama logarítmico e então converter em um diagrama polar. 
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Uma vantagem do diagrama polar é que ele mostra as características de resposta em freqüência 
de um sistema, em toda a faixa de freqüência, em um único diagrama. Sua desvantagem é que 
ele não indica claramente a contribuição da cada um dos fatores individuais da função de 
transferência. 
 
 Im 
Re 
ω → ∞ 
ω → 0 
|G(jω)| 
∠G(jω) 
Re[G(jω)]
Im[G(jω)]
 
Figura 10.1 
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10.1.1 Fator integral: ωj
1 
1 1 1G( j ) j 90
j
ω ω ω ω= = − = ∠− ° 
 
 Im 
Re 
ω → ∞ 
ω → 0 
Figura 10.2 
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10.1.2 Fator derivativo: jω 
G( j ) j 90ω ω ω= = ∠+ ° 
 
 Im 
Re 
ω → ∞ 
ω = 0 
 
Figura 10.3 
 
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10.1.3 Pólo real: 1
1 jωτ+ 
1
2 2 2 22 2
1 1 1G( j ) tg j
1 j 1 11
ωτω ωτωτ ω τ ω τω τ
−= = ∠− = −+ + ++ 
 
1
ω = 0 
Im[G(jω)] 
Im 
Re 
ω → ∞ 
Re[G(jω)] 
ω = 1/τ 
0,5
 
Figura 10.4 
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10.1.4 Zero real: 1 jωτ+ 
2 2 1G( j ) 1 j 1 tgω ωτ ω τ ωτ−= + = + ∠ 
 
 
1
ω = 0 
Im 
Re 
ω → ∞ 
 
Figura 10.5 
 
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10.1.5 Pólos complexos: 2
n n
1
[1 2 ( j / ) ( j / ) ]ζ ω ω ω ω+ + 
 
2
n n
2 22
2
n n
1 n
2
2
n
1G( j )
[1 2 ( j / ) ( j / ) ]
1G( j )
1 2
2
G( j ) tg
1
ω ζ ω ω ω ω
ω
ω ωζω ω
ωζ ωω ω
ω
−
= + +
=
   − +      
   ∠ = −  −  
 
 
A forma exata de um diagrama polar depende do valor do fator de amortecimento ζ, porém, a 
forma geral do diagrama é a mesma tanto para o caso subamortecido (0 < ζ < 1) quanto para o 
caso superamortecido (ζ > 1) (Figura 10.6). 
Para o caso subamortecido em ω = ωn, tem-se G(jω) = 1/(j2ζ). No diagrama polar, o ponto de 
freqüência cuja distância à origem é máxima corresponde à freqüência de ressonância ωr. O 
valor de pico de G(jω) é obtido pela relação entre o módulo do vetor na freqüência ωr e o 
módulo do vetor em ω = 0 (Figura 10.7). 
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Para um sistema superamortecido, conforme ζ aumenta, o lugar geométrico de G(jω) aproxima-
se de uma semicircunferência. Isto se deve ao fato de que para um sistema muito amortecido as 
raízes características são reais e uma delas é muito menor que a outra. O sistema comporta-se 
como de primeira ordem. 
 
 
1
ω = 0 
Im 
Re 
ζ ⇑ 
ζ ⇓
ω → ∞ 
ω = ωn 
 
Figura 10.6 
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1 
ω = 0 
Im 
Re 
ω → ∞ 
ωn 
ωr 
Pico de 
ressonância
 
Figura 10.7 
 
 
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- 10 - 
10.2 Análise da Estabilidade Através dos Diagramas de Bode 
 
A margem de ganho (GM) é a mudança no valor do ganho de malha aberta na freqüência onde o 
ângulo de fase é −180o (ωφ), expressa em decibéis (dB), necessária para tornar instável o 
sistema em malha fechada. Quanto maior GM, maior o afastamento da instabilidade e maior a 
segurança. Os valores recomendados variam entre 1,5 e 2,0. 
 
)j(GH
1GM
φω
= 
Em decibéis, 
 
)j(GHlog20)Glog(20G M)dB(M φω−== 
 
Uma margem de ganho positiva, em dB, significa que o sistema e estável. Para um sistema de 
fase mínima, a margem de ganho indica quanto o ganho pode ser aumentado antes do sistema 
se tornar instável. Para um sistema instável, a margem de ganho indica quanto o ganho deve ser 
diminuído para se tornar estável. 
 
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A margem de fase (ΦM) é a mudança no valor da fase de malha aberta no ponto com ganho 
unitário (0 dB), necessária para tornar instável o sistema em malha fechada. Os valores 
recomendados estão entre 30o e 60o. 
 
)(180 gM ωφΦ +°= 
 
onde φ é o ângulo de fase da função de transferência de malha aberta na freqüência de 
cruzamento do ganho (ωg). Para um sistema de fase mínima ser estável, a margem de fase deve 
ser positiva. 
 
Sistemas com margens de ganho e de fase maiores podem suportar mudanças relativamente 
grandes nos parâmetros do sistema antes de se tornarem instáveis. Os dois parâmetros devem 
ser considerados simultaneamente. É interessante analisar o efeito que os erros de modelagem 
teriam na qualidade do sistema controlado, especialmente em termos de estabilidade. A 
resposta freqüencial permite uma análise simples. 
 
AULA 10 –DIAGRAMAS POLARES E ESTABILIDADE 
- 12 - 
 
Figura 10.8 
AULA 10 –DIAGRAMAS POLARES E ESTABILIDADE 
- 13 - 
Exemplo: Obter as margens de fase e de ganho do sistema indicado na Figura 10.9 para os 
casos onde K = 10 e K = 100. 
 
 + 
 _ ( 1)( 5)
K
s s s+ +
Y(s)R(s) 
 
Figura 10.9 
Solução: 
 
Função de transferência de malha aberta: 
3 2( ) ( 1)( 5) 6 5
K KG s
s s s s s s
= =+ + + + 
 
Função de transferência senoidal: 
3 2 2 3( ) ( ) 6( ) 5( ) 6 ( 5 )
K KG j
j j j j
ω ω ω ω ω ω ω= =+ + − + − + 
 
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- 14 - 
Determinação da freqüência de cruzamento do ganho (ωg): 
2 3( ) 16 ( 5 )
KG j
j
ω ω ω ω= =− + − + 
4 3 2
4 6 4 3 2
6 4 3 2
36 ( 5 )
36 ( 10 25 ) 0
26 25 0
K
K
K
ω ω ω
ω ω ω ω
ω ω ω
+ − + =
+ − + − =
+ + − =
 
 
10 { 4,9831; 1,6354; 1, 2271} 1, 2271 /
100 { 1,5748 4,8076;1,5748 1,6354; 3,9073} 3,9073 /
g
g
K j j rad s
K j j rad s
ω ω
ω ω
= → = ± ± ± → =
= → = − ± ± ± → = 
 
Determinação da freqüência de cruzamento de fase (ωφ): 
2 3
3
1
2
3
( ) 180
[ 6 ( 5 )]
( 5 )( ) 180
( 6 )
5 0
{0; 5} 5 /
KG j
j
G j tg
rad sφ
ω ω ω ω
ω ωω ω
ω ω
ω ω
−
∠∠ = = − °∠ − + − +
− +∠ = − = − °−
∴− + =
= ± → =
 
 
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Cálculo da margem de ganho: 
)j(GH
1GM
φω
= 
4 3 2
5
( )
36 ( 5 )
( )
30
KG j
KG j
φω ω
ω
ω ω ω ω
ω
=
=
= + − +
=
 
 
110 ( ) 3 9,54
3
10100 ( ) 0,3 10,46
3
M
M
K G j G dB
K G j G dB
φ
φ
ω
ω
= → = → = =
= → = → = = −
 
 
Cálculo da margem de fase: 
3
1
2
180 ( )
( 5 )( )
( 6 )g
M g
G j tgω ω
φ ω
ω ωω ω
−
=
Φ = °+
− +∠ = − −
 
 
10 1,2271 / ( ) 154,6114 25,4
100 3,9073 / ( ) 203,6506 23,6
g g M
g g M
K rad s G j
K rad s G j
ω ω
ω ω
= → = →∠ = − °→ Φ = °
= → = →∠ = − °→ Φ = − ° 
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Resumindo: 
 
 K = 10 K = 100 
Margem de fase 25,4o −23,6o 
Margem de ganho 9,54 dB −10,46 dB 
 
Portanto, o sistema é estável para K = 10 e instável paraK = 100. A margem de fase pode ser 
aumentada diminuindo-se o ganho K. Entretanto, a diminuição de K não é desejável porque 
resultará em um grande erro para uma entrada em rampa. Isto sugere que pode ser necessária 
uma modificação na forma da curva de resposta em freqüência de malha aberta adicionando-se 
um compensador. 
 
 
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10-1 100 101 102
-120
-100
-80
-60
-40
-20
0
20
40
Freqüência (rad/s)
G
an
ho
 (d
B
)
Diagramas de Bode para K = 10
10-1 100 101 102
-300
-270
-240
-210
-180
-150
-120
-90
-60
Freqüência (rad/s)
Fa
se
 (
gra
us
)
 
GM > 0
φM > 0 
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10-1 100 101 102
-100
-80
-60
-40
-20
0
20
40
60
Freqüência (rad/s)
G
an
ho
 (d
B
)
Diagramas de Bode para K = 100
10-1 100 101 102
-300
-270
-240
-210
-180
-150
-120
-90
-60
Freqüência (rad/s)
Fa
se
 (
gra
us
)
 
GM < 0
φM < 0
AULA 10 –DIAGRAMAS POLARES E ESTABILIDADE 
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Leitura: 
 
‰ OGATA (4a ed.) – cap. 8, p.427-463. 
‰ NISE – cap. 10, p.451-455. 
 
Problemas resolvidos: 
 
‰ OGATA (4a ed.) – A.8.8, A.8.15, A.8.16. 
‰ NISE – exemplos: 10.8, 10.9, 10.10. 
exercícios de avaliação: 10.5, 10.6.. 
 
Problemas propostos: 
 
‰ OGATA (4a ed.) – B.8.26, B.8.27, B.8.28, B.8.29, B.8.30, B.8.31, B.8.33, B.8.35, B.8.36. 
‰ NISE (cap. 10) – 11, 34. 
 
AULA 10 –DIAGRAMAS POLARES E ESTABILIDADE 
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Problemas complementares: 
 
1) Considere o sistema mostrado na Figura 10.10. Desenhe o diagrama de Bode da função de 
transferência de malha aberta G(s). Determine a margem de fase e a margem de ganho (i) 
através dos diagramas de Bode; (ii) analiticamente. 
 
 
Y(s) R(s) 
2
20( s 1)
s( s 2s 10 )( s 5 )
+
+ + +
 
Figura 10.10 
 
 
2) Os diagramas de Bode de um processo são mostrados na Figura 10.11. Determine a margem 
de ganho, a margem de fase, a freqüência de 0 dB e a freqüência de 180o. Este sistema é 
estável? 
 
AULA 10 –DIAGRAMAS POLARES E ESTABILIDADE 
- 21 - 
 
Figura 10.11 
AULA 10 –DIAGRAMAS POLARES E ESTABILIDADE 
- 22 - 
3) Considere um sistema com a seguinte função de transferência de malha aberta 
 
 
 
a) Faça T=0 e calcule k de modo que: 
i) Margem de ganho = 15,6 dB 
ii) Margem de fase = 25º 
b) Com o ganho obtido em (a), item (ii), calcule o valor do atraso máximo T que mantém o 
sistema estável. 
 
4) Seja o sistema de controle em malha fechada ilustrado na Figura 10.12, para um trocador de 
calor com atraso (tempo morto) de 2 segundos e constante de tempo de 10 segundos. 
 
 
Figura 10.12 
AULA 10 –DIAGRAMAS POLARES E ESTABILIDADE 
- 23 - 
Os diagramas que se seguem correspondem à resposta em freqüência de G(jω). Foram 
considerados o diagrama de fase exato e aquele obtido de uma aproximação de Padé de 2ª 
ordem para G(jω). Estime, a partir dos diagramas correspondentes à aproximação de Padé, o 
ganho máximo K que preserva a estabilidade do sistema. 
 
 
 
AULA 10 –DIAGRAMAS POLARES E ESTABILIDADE 
- 24 - 
 
Figura 10.13 
 
AULA 10 –DIAGRAMAS POLARES E ESTABILIDADE 
- 25 - 
5) Um sistema de controle com função de transferência de malha aberta 
)1(
)()(
1
2 += sTs
KsHsG 
é inerentemente instável. Este sistema pode ser estabilizado adicionando-se um controlador 
derivativo. Esboce os diagramas de Bode da função de transferência de malha aberta com o seu 
controle derivativo. 
 
6) Considere um sistema de malha fechada cuja função de transferência de malha aberta é 
s
KesHsG
s2
)()(
−
= 
Determine o valor máximo de K para o qual o sistema é estável. 
 
7) Considere o sistema mostrado na Figura 10.14. Desenhe o diagrama de Bode da função de 
transferência de malha aberta e determine o valor do K de modo que a margem de fase seja 
igual a 50º. Qual é a margem de ganho deste sistema com o ganho K encontrado? 
 
 
Y(s) R(s) s 0,1K
s 0,5
+
+
10
s( s 1)+
 
Figura 10.14