A Posição em função do tempo

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Física 
 
 
 
 
A POSIÇÃO EM FUNÇÃO DO TEMPO 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
1 
 
Sumário 
 
Introdução .................................................................................................................................... 2 
 
Objetivo......................................................................................................................................... 2 
 
1. A posição em função do tempo ........................................................................................... 2 
1.1. O comportamento da posição em função do tempo. ................................................. 2 
1.2. Análise da posição x tempo.......................................................................................... 3 
 
Exercícios ...................................................................................................................................... 6 
 
Gabarito ........................................................................................................................................ 6 
 
Resumo ......................................................................................................................................... 8 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
2 
 
Introdução 
Nesta apostila, você conhecerá a relação da posição com o tempo. 
Vamos conhecer a função horária da posição e estudar seu comportamento a 
cada instante. Dessa forma iremos ter mais uma característica que ajudará na 
definição do movimento uniformemente variado. 
Objetivo 
• Estudar o comportamento da posição em função do tempo. 
• Conhecer a função horária da posição no MUV 
 
1. A posição em função do tempo 
1.1. O comportamento da posição em função do tempo. 
 
A posição é uma grandeza importantíssima na análise de qualquer tipo de 
movimento. É através da observação da posição com o passar do tempo que podemos 
afirmar que um corpo está ou não em movimento. 
Se em um intervalo de tempo o corpo não mudar de posição ele não está em 
movimento. Dizemos então que o corpo está em repouso. Porém, se ele variar a sua 
posição neste intervalo de tempo de observação podemos afirmar que o corpo está 
em movimento. 
No movimento uniformemente variado a posição varia com o passar do tempo 
de acordo com a seguinte função horária: 
 
2
0 0( )
2
at
s t s v t= + + 
 
Onde: 
s →
 posição final 
0s →
 posição inicial 
0v →
 velocidade inicial 
a→
 aceleração 
t →
 tempo 
 
 
 
3 
 
Um ponto importante que devemos analisar sobre a função horária da posição 
é o grau dessa função. Podemos notar que é uma função do segundo grau. 
Esse tipo de função tem algumas características importantes quanto ao seu 
comportamento gráfico. A resposta gráfica de uma equação do 2º grau sempre é uma 
parábola que pode ter concavidade para cima ou para baixo dependendo do 
coeficiente do termo quadrado. 
Para a função horária da velocidade que estamos estudando, o coeficiente do 
termo quadrado é a aceleração divida por 2. Isso significa que o sinal da aceleração 
vai determinar o comportamento da posição com o passar do tempo. 
Os gráficos seguintes demonstram o comportamento da posição em função do 
tempo de uma partícula em MUV para uma aceleração positiva e para uma aceleração 
negativa. 
 
1 
Gráficos da posição versus tempo (s x t) 
 
Podemos notar que no movimento retardado (a < 0) a parábola tem 
concavidade para baixo e no movimento acelerado (a > 0) a parábola que descreve o 
comportamento da posição no tempo tem concavidade para cima. 
A função horária da posição nos permite analisar o seu comportamento em 
função do tempo a cada instante do movimento. E é dessa forma que podemos 
construir o gráfico da posição versus o tempo. 
 
1.2. Análise da posição x tempo 
Para a análise do MUV, ou de qualquer fenômeno físico, precisamos 
estabelecer critérios de observação. De acordo com a definição do MUV, temos uma 
aceleração constante e diferente de zero e a velocidade varia em taxas iguais em 
 
4 
 
intervalos de tempo iguais. Assim, como na análise da velocidade, vamos definir um 
intervalo de tempo constante. 
Outro critério importante é o nosso referencial inicial. Para a função horária da 
posição precisamos definir o ponto de partida dessa análise, isso se refere à posição, 
ao tempo e à velocidade inicial da partícula observada. 
Para seguirmos um padrão, vamos sempre iniciar nossa análise do movimento 
em um
0 0t s=
 . 
A posição inicial 
( )0s
 e a velocidade inicial 
( )0v
 podem variar dependendo da 
situação a ser observada. 
Com estes critérios definidos podemos iniciar a observação do movimento. 
Para uma partícula que se desloca em um movimento uniformemente variado 
com aceleração constante igual a 2 m/s2 e velocidade inicial igual a 5 m/s e posição 
inicial igual a 30 m, temos a seguinte função horária da posição: 
2
2
2
( ) 30 5
2
( ) 30 5
t
s t t
s t t t
= + +
= + +
 
 
Vamos analisar o comportamento dessa partícula! 
2 
Partícula se deslocando em um MUV. 
 
Como fizemos no estudo da velocidade vamos definir nosso intervalo de 
tempo de análise (que deve ser constante) como
1t s =
 . 
Vamos também manter 7 pontos de observação, começando em 
0 0t s=
 . 
 
 
5 
 
Vamos lá! 
Para 
2
0 0 (0) 30 (5.0) 0 (0) 30mt s s s= → = + + → =
 
Para 
2
1 1 (1) 30 (5.1) 1 (1) 36mt s s s= → = + + → =
 
Para 
2
2 2 (2) 30 (5.2) 2 (2) 44mt s s s= → = + + → =
 
Para 
2
3 3 (3) 30 (5.3) 3 (3) 54mt s s s= → = + + → =
 
Para 
2
4 4 (4) 30 (5.4) 4 (4) 66mt s s s= → = + + → =
 
Para 
2
5 5 (5) 30 (5.5) 5 (5) 80mt s s s= → = + + → =
 
Para 
2
6 6 (6) 30 (5.6) 6 (6) 96mt s s s= → = + + → =
 
Para cada análise temos um instante determinado e uma posição 
correspondente, como por exemplo no instante 4s estamos na posição 66 m. São 
estes pontos que marcamos no plano cartesiano para a construção do gráfico. 
Como o tempo é nossa variável independente, ele ficará no eixo das abcissas. 
E a posição é nossa variável dependente, ela ficará no eixo das ordenadas. 
 
IMPORTANTE! 
 
 
 
 
É dessa maneira que podemos observar o comportamento da velocidade em 
função do tempo. 
 
Para marcamos um ponto no plano cartesiano 
usamos os pares de coordenadas (x , y). 
Marcamos o ponto no eixo x e unimos com o ponto 
em y traçando retas perpendiculares até o ponto de 
intersecção entre elas. 
 
 
6 
 
Exercícios 
1) (FUVEST, 2014) Um veículo parte do repouso em movimento retilíneo e 
acelera com aceleração escalar constante e igual a 2,0 m/s2. Pode-se dizer que sua 
velocidade escalar e a distância percorrida após 3,0 segundos, valem, 
respectivamente: 
a) 6,0 m/s e 9,0m; 
b) 6,0m/s e 18m; 
c) 3,0 m/s e 12m; 
d) 12 m/s e 35m; 
e) 2,0 m/s e 12 m. 
 
2) (UEL, 2014) Dois móveis A e B partem simultaneamente de um mesmo 
ponto e deslocam-se numa mesma trajetória com as velocidades dadas no gráfico a 
seguir. Determine a distância que separa os móveis após 30s em metros. 
 
Gabarito 
1) Segundo o exercício temos os seguintes dados: 
2 2,0 /a m s=
 e 
3 t s=
 
0 0v =
 temos esse dado já que, o objetivo parte do repouso. E podemos utilizar esta 
equação: 
0
0 2.3 6 /
v v at
v m s
= +
= + =
 
 
 
7 
 
Também utilizamos a função horária do espaço para o movimento 
uniformemente variado: 
2
0 0( )
2
at
s t s v t= + +Como 
0S
 e 
0v
 são iguais a zero, colocamos a fórmula desta forma: 
2 2.3
9
2 2
at
s m= = =
 
Resposta correta é a letra A. 
 
2) Para o móvel A, obtemos a aceleração do corpo a partir do gráfico v(t): 
0
2
.
2
20 0 .30 /
3
v v a t
a a m s
= +
= + → =
 
 Usando a função horária do espaço (usada no exercício 1) para t = 30s: 
22 30 2
0 0,30 . .450 30
3 2 3
S
   
= + + = =   
   
 
 Que é a posição do móvel A em t = 30s. 
Para o móvel B, que está com velocidade constante (movimento uniforme), 
temos: 
0
0 ( 10).30 300
s s vt
s m
= +
= + − = −
 
 
A distância entre eles após 30s é dada por: 
 A Bd S S= −
 
d = [300 – (-300)] = 300+300 = 600m 
 
Obs.: Como A e B saíram do mesmo ponto, torna-se arbitrário estabelecer o 
valor de 
0S
; para facilitar na solução deste problema, foi estabelecido 
0 0S =
 para 
ambos. 
 
 
 
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Resumo 
Nesta apostila vimos o estudo a respeito da relação de posição versus tempo. 
Estudamos o comportamento da posição em função do tempo, e a partir de 
sua função horária (que é uma função do 2º grau) concluímos que seu comportamento 
é representado graficamente por uma parábola. 
Fizemos também uma análise da variação da posição a cada instante em um 
determinado movimento de uma partícula em MUV. 
 
 
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Referências bibliográficas 
Universidade Estadual de Londrina: hhttp://portal.uel.br/home/ - Acessado em: 06/03/2019 às 11h30. 
Fundação Universitária para o vestibular -https://www.fuvest.br/ - Acessado em: 06/03/2019 às 11h30. 
Física, volume 1 (Ensino médio). Ricardo Helou Doca, Gualter José Biscuola, Newton Villas Bôas. 1.ed. São Paulo: 
Saraiva, 2010. 
Referências imagéticas 
www.thenounproject.com 
www.pexels.co