A maior rede de estudos do Brasil

Grátis
11 pág.
Sistemas Equivalentes

Pré-visualização | Página 2 de 2

os valores de x e y, agora vamos determinar o valor do 
coeficiente k. 
kx + y = 3k + 5 
k . 1 + 1 = 3k + 5 
k + 1 = 3k + 5 
k – 3k = 5 – 1 
–2k = 4 
2k = –4 
k = –2 
 
 
 
 
7 
 
Exercícios 
1. (Autor, 2019) Após explicar o conteúdo sobre sistemas lineares, o professor 
Renan, passou o seguinte exercício para que seus alunos fizessem. 
O objetivo era apresentar outro sistema que fosse equivalente ao sistema 
dado. 
Professor Renan 
4 10 1
5 11 7
x y
x y
− + =

− − =
 
Passados alguns minutos, os alunos Marilene e Daniel apresentaram seus 
sistemas conforme descrito abaixo: 
Marilene Daniel 
9 8
5 11 1
x y
x y
− =

− − =
 
4 10 1
9 8
x y
x y
− + =

− − =
 
Qual sistema tem a mesma solução que o sistema do professor? 
Lembre-se que dois sistemas lineares são equivalentes quando tem a mesma 
solução. 
2. (Autor, 2019) Verifique se os sistemas abaixo são equivalentes. 
3
2 3 8
x y
x y
+ =

+ =
  3
2 5
x y
x y
+ =
+ =
 
 
3. (IEZZI, 2016) Dados dois sistemas lineares, S1 e S2 encontre a solução e diga 
se são equivalentes. 
1
2
2 1
x y
S
x y
+ =

+ =
 
2
4
3 2 7
x y
S
x y
− =

+ =
 
Gabarito 
1. Podemos ter a certeza que dois sistemas de equações não são equivalentes 
se soubermos que a solução de um não é a solução do outro. Vejamos então: 
Professor Renan Marilene Daniel 
4 10 1
5 11 7
x y
x y
− + =

− − =
 
9 7 8
5 11 1
x
x y
− =

− − =
 
` 4 10 1
9 8
x y
x y
− + =

− − =
 
 
8 
 
 
Comparando Renan e Marilene 
Vamos observar que os coeficientes de x e y na segunda equação de Marilene, 
são iguais aos coeficientes, da segunda equação do professor Renan. Porém, 
os termos constantes nas duas equações são diferentes. Portanto, qualquer 
par de valores para x e y que torne a equação de Marilene verdadeira tornará a 
equação do professor falsa e vice-versa. 
Sendo assim pode-se concluir que os dois sistemas não terão a mesma 
solução, portanto não são equivalentes. 
Comparando Renan e Daniel 
Verificando a primeira equação de Daniel é idêntica à primeira equação do 
professor Renan. (-4x + 10y = 1). 
Já em relação a segunda equação de Daniel, verifica-se que ela pode ser escrita 
como a soma das equações do sistema do professor Renan. 
4 10 1
5 11 7
9 8
x y
x y
x y
− + =

− − =
− − =
 
Portanto, o sistema de Daniel é equivalente ao sistema do professor Renan. 
 
2. São equivalentes, pois tem e mesma solução. 
3
2 3 8
x y
x y
+ =

+ =
 
3
2 5
x y
x y
+ =

+ =
 
x = 3 –y x = 3 -y 
2(3 – y) +3y = 8 3 – y + 2y = 5 
6 – 2y + 3y = 8 y = 2 
y = 2 x + 2 = 3 
x = 3 –y x = 3 - 2 
x = 1 x = 1 
S={(1,2)} S={(1,2)} 
 
3. Para que sejam equivalentes, toda solução de S1 deve ser solução de S2 e 
vice-versa. 
 
9 
 
1
2
2 1
x y
S
x y
+ =

+ =
 
2
4
3 2 7
x y
S
x y
− =

+ =
 
S1 S2 
x = 2 – y x = 4 + y 
2 – y + 2y = 1 3(4 + y) + 2y = 7 
y = - 1 12 + 3y + 2y = 7 
x – 1 = 2 5y = -5 
x = 3 y = -1 Logo x –(-1) = 4 então x = 3 
Como ambas admitem apenas o par (3,-1) como solução, são equivalentes. 
Resumo 
O princípio aditivo da igualdade diz que adicionando ou subtraindo um mesmo 
número nos dois membros de uma igualdade obtém-se outra sentença que ainda é 
uma igualdade. 
O princípio multiplicativo da igualdade diz que multiplicando ou dividindo por 
um mesmo número (diferente de zero) os dois membros de uma igualdade obtêm-se 
uma nova sentença que ainda é uma igualdade. 
Estes dois princípios podem ser aplicados para verificar se dois sistemas são 
lineares, sendo que para que dois sistemas lineares S1 e S2, sejam equivalentes se toda 
solução de S1 é solução de S2, e vice-versa. 
 
 
 
 
 
 
10 
 
Referências bibliográficas 
A Origem das Coisas. A origem da Balança. Disponível em: http://origemdascoisas.com/a-origem-da-balanca/. 
Acessado em 06/04/2019 às 15:25 
IEZZI, G.; DOLCE, O.; DEGENZAJN, D.; PÉRIGO, R.; ALMEIDA, N. Matemática: ciência e aplicações.9. ed. São Paulo, 
Saraiva, 2016. 
Significados. O que é equivalente. Disponível em: https://www.significados.com.br/equivalente/. Acessado em 
06/04/2019 às 14:52