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Matemática SISTEMAS EQUIVALENTES 1 Sumário Introdução .................................................................................................................................... 2 Objetivo......................................................................................................................................... 2 1. Sistemas equivalentes ......................................................................................................... 2 1.1. Princípio aditivo da igualdade e multiplicativo da igualdade ........................................ 2 1.2. Conceito de sistemas equivalentes ................................................................................. 3 1.3. Criando situações de equivalência .................................................................................. 5 Exercícios ...................................................................................................................................... 7 Gabarito ........................................................................................................................................ 7 Resumo ......................................................................................................................................... 9 2 Introdução Na apostila anterior, estudamos as técnicas de resolução de sistemas, através dos métodos de adição e de subtração. Fizemos alguns exercícios e pudemos perceber também como podemos aplicar estes métodos no nosso dia a dia. Diante do aprendizado já adquirido, vamos agora conhecer os sistemas equivalentes, resolver exercícios, obtendo assim novos saberes, de uma forma bem clara e contextualizada. Veremos que a equivalência entre dois sistemas, pode ser feita pelos métodos da adição ou da subtração. Então, arregacem as mangas e mãos à obra. Objetivo • Conceituar os sistemas equivalentes; • Resolver sistemas equivalentes. 1. Sistemas equivalentes 1.1. Princípio aditivo da igualdade e multiplicativo da igualdade Quando vamos a um supermercado, uma mercearia ou algo desse tipo para efetuarmos compras de mercadorias através do peso, normalmente utiliza-se uma balança para que o preço pago seja de acordo com a quantidade pesada do produto. Antigamente, bem lá nos primórdios da civilização, os primitivos geralmente, não tinham a necessidade de pesar os objetos, pois se duas pessoas precisavam de alguma coisa da outra, utilizam a troca direta. Mas isto mudou por volta do no 5.000 a.C., pois o ouro como sendo considerado um metal muito valioso, tornou necessária a invenção da balança pelos egípcios. Em inúmeros murais e papiros podemos ver as balanças egípcias. Vejamos então a balança abaixo: Os quadrados verdes e azuis representados no desenho acima possuem o mesmo peso, independentemente de suas cores serem diferentes. Perceba que a □ □□ □□□ □□□ □□ □ □□□□ 6 + 2 = 8 1 + 7 = 8 3 quantidade em cada lado da balança, é a mesma, fazendo assim que ela se mantenha equilibrada. Se acrescentarmos ou retirarmos algum quadrado de um lado, temos que retirar ou acrescentar a mesma quantidade do outro lado para manter a igualdade. Assim também, se multiplicarmos ou dividirmos cada lado da balança pelo mesmo número, a igualdade irá permanecer. FIQUE ATENTO! 1.2. Conceito de sistemas equivalentes O termo equivalente, tem origem francesa “equivalente” e quer dizer aquilo que possui valor igual, ou tenha o mesmo sentido. Ao usarmos a palavra equivalente, para a descrição de algo, dizemos que esse algo, ou essa coisa pode substituir a outra da mesma forma ou do mesmo significado. O sinônimo, por exemplo de uma palavra, é o significado daquela palavra, o seja equivale à essa palavra. Quando falamos de dois sistemas lineares equivalentes, dizemos que estes possuem o mesmo conjunto solução. A equivalência entre dois sistemas, pode ser feita através de técnicas de resolução de sistema, como por exemplo o método da adição ou método da substituição. No exemplo abaixo, temos dois sistemas na qual o conjunto solução é o mesmo, portanto são equivalentes. Os sistemas abaixo 1S e 2S são equivalentes, pois ambos admitem apenas o par (3,-1) como solução. Princípio aditivo da igualdade: adicionando ou subtraindo um mesmo número nos dois membros de uma igualdade obtém-se outra sentença que ainda é uma igualdade. Princípio multiplicativo da igualdade: multiplicando ou dividindo por um mesmo número (diferente de zero) os dois membros de uma igualdade obtêm-se uma nova sentença que ainda é uma igualdade. 4 1 2 2 1 x y S x y + = + = 2 4 3 2 7 x y S x y − = + = Resolvendo S1 pelo método da adição: 2 .(-1) 2 1 x y x y + = + = 2 2 1 1 x y x y y − − = − + = = − logo x + y = 2 → x – 1 = 2 → x = 3 Resolvendo S2 pelo método da substituição: 4 3 26 7 x y x − = + = 4x y= + Substituindo x = 4 + y em 3x + 2y = 7 3(4 + y) + 2y = 7 12 +3 y + 2y = 7 5y = 7 – 12 y = -1 logo x = 4 – 1 → x = 3 Vejamos outro exemplo: 19 2 31 x y x y + = + = 3 43 2 2 x y x y + = − = − x = 19 – y y = 43 – 3x 2x + y = 31 x – 2y = -2 2.(19-y)+y = 31 x -2.(43 – 3x) = -2 38 -2y + y = 31 x – 86 +6x = -2 -y = 31 – 38 7x = -2 + 86 -y = -7 7x = 84 y = 7 x = 12 5 x + y = 19 3x + y = 43 x = 19 –y y = 43 – 3x x = 19 – 7 y = 43 -3.12 x = 12 y = 43 - 36 y = 7 S = {(12,7)} S = {(12,7)} 1.3. Criando situações de equivalência Agora que já sabemos o que são sistemas equivalentes, podemos criar situações no intuito de realizar a equivalência entre dois sistemas. Vamos então ver alguns exemplos: Exemplo 1 10 4 2 38 x y x y + = + = 3 21 6 55 ax y x by + = + = O nosso objetivo será determinar os valores de a e b para que os sistemas acima sejam equivalentes. Bem, para começar, vamos resolver o sistema no qual os coeficientes possuem valores indicados. 10 4 2 38 x y x y + = + = 1ª equação 2ª equação Substituindo na 1ª equação y = 10 – x 4x + 2(10 – x) =38 y = 10 – x 4x +20 -2x = 38 y = 10 – 9 2x = 18 y = 1 x = 9 Como já obtemos os valores de x e y, agora vamos substituir os valores no sistema com os coeficientes a e b. 3 21 6 55 ax y x by + = + = 1ª equação 2ª equação a.9 + 3.1 = 21 6.9 + b.1 = 55 6 9a + 3 = 21 54 + b = 55 9a = 21 -3 b = 55 - 54 9a = 18 b = 1 a = 2 Para que os sistemas sejam equivalentes, os coeficientes a e b devem assumir os valores 2 e 1 respectivamente. Exemplo 2: Neste segundo exemplo, vamos determinar o valor do coeficiente k Є R, de forma que os sistemas sejam equivalentes. 2 1 3 2 5 x y x y − = + = 3 5 2 kx y k x y + = + + = 1ª equação 2ª equação Substituindo na 1ª equação 2x – y =1 3x + 2y = 5 2x - y = 1 -y = 1 – 2x 3x +2(-1 +2x)=5 2.1 -y = 1 y = -1 + 2x 3x -2 + 4x = 5 -y = 1 - 2 7x = 5 + 2 y = 1 7x = 7 x = 1 Como já obtemosos valores de x e y, agora vamos determinar o valor do coeficiente k. kx + y = 3k + 5 k . 1 + 1 = 3k + 5 k + 1 = 3k + 5 k – 3k = 5 – 1 –2k = 4 2k = –4 k = –2 7 Exercícios 1. (Autor, 2019) Após explicar o conteúdo sobre sistemas lineares, o professor Renan, passou o seguinte exercício para que seus alunos fizessem. O objetivo era apresentar outro sistema que fosse equivalente ao sistema dado. Professor Renan 4 10 1 5 11 7 x y x y − + = − − = Passados alguns minutos, os alunos Marilene e Daniel apresentaram seus sistemas conforme descrito abaixo: Marilene Daniel 9 8 5 11 1 x y x y − = − − = 4 10 1 9 8 x y x y − + = − − = Qual sistema tem a mesma solução que o sistema do professor? Lembre-se que dois sistemas lineares são equivalentes quando tem a mesma solução. 2. (Autor, 2019) Verifique se os sistemas abaixo são equivalentes. 3 2 3 8 x y x y + = + = 3 2 5 x y x y + = + = 3. (IEZZI, 2016) Dados dois sistemas lineares, S1 e S2 encontre a solução e diga se são equivalentes. 1 2 2 1 x y S x y + = + = 2 4 3 2 7 x y S x y − = + = Gabarito 1. Podemos ter a certeza que dois sistemas de equações não são equivalentes se soubermos que a solução de um não é a solução do outro. Vejamos então: Professor Renan Marilene Daniel 4 10 1 5 11 7 x y x y − + = − − = 9 7 8 5 11 1 x x y − = − − = ` 4 10 1 9 8 x y x y − + = − − = 8 Comparando Renan e Marilene Vamos observar que os coeficientes de x e y na segunda equação de Marilene, são iguais aos coeficientes, da segunda equação do professor Renan. Porém, os termos constantes nas duas equações são diferentes. Portanto, qualquer par de valores para x e y que torne a equação de Marilene verdadeira tornará a equação do professor falsa e vice-versa. Sendo assim pode-se concluir que os dois sistemas não terão a mesma solução, portanto não são equivalentes. Comparando Renan e Daniel Verificando a primeira equação de Daniel é idêntica à primeira equação do professor Renan. (-4x + 10y = 1). Já em relação a segunda equação de Daniel, verifica-se que ela pode ser escrita como a soma das equações do sistema do professor Renan. 4 10 1 5 11 7 9 8 x y x y x y − + = − − = − − = Portanto, o sistema de Daniel é equivalente ao sistema do professor Renan. 2. São equivalentes, pois tem e mesma solução. 3 2 3 8 x y x y + = + = 3 2 5 x y x y + = + = x = 3 –y x = 3 -y 2(3 – y) +3y = 8 3 – y + 2y = 5 6 – 2y + 3y = 8 y = 2 y = 2 x + 2 = 3 x = 3 –y x = 3 - 2 x = 1 x = 1 S={(1,2)} S={(1,2)} 3. Para que sejam equivalentes, toda solução de S1 deve ser solução de S2 e vice-versa. 9 1 2 2 1 x y S x y + = + = 2 4 3 2 7 x y S x y − = + = S1 S2 x = 2 – y x = 4 + y 2 – y + 2y = 1 3(4 + y) + 2y = 7 y = - 1 12 + 3y + 2y = 7 x – 1 = 2 5y = -5 x = 3 y = -1 Logo x –(-1) = 4 então x = 3 Como ambas admitem apenas o par (3,-1) como solução, são equivalentes. Resumo O princípio aditivo da igualdade diz que adicionando ou subtraindo um mesmo número nos dois membros de uma igualdade obtém-se outra sentença que ainda é uma igualdade. O princípio multiplicativo da igualdade diz que multiplicando ou dividindo por um mesmo número (diferente de zero) os dois membros de uma igualdade obtêm-se uma nova sentença que ainda é uma igualdade. Estes dois princípios podem ser aplicados para verificar se dois sistemas são lineares, sendo que para que dois sistemas lineares S1 e S2, sejam equivalentes se toda solução de S1 é solução de S2, e vice-versa. 10 Referências bibliográficas A Origem das Coisas. A origem da Balança. Disponível em: http://origemdascoisas.com/a-origem-da-balanca/. Acessado em 06/04/2019 às 15:25 IEZZI, G.; DOLCE, O.; DEGENZAJN, D.; PÉRIGO, R.; ALMEIDA, N. Matemática: ciência e aplicações.9. ed. São Paulo, Saraiva, 2016. Significados. O que é equivalente. Disponível em: https://www.significados.com.br/equivalente/. Acessado em 06/04/2019 às 14:52
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