Unidade IV - Espaço Vetorial
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Unidade IV - Espaço Vetorial


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Álgebra Linear
Unidade IV: Espaço Vetorial
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Vetores
\u25aa Conceito
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Vetores
\u25aa Vetores no Plano
\ud835\udc63 = \ud835\udc42\ud835\udc43
O (0,0)
\ud835\udc43(\ud835\udc4e, \ud835\udc4f)
\ud835\udc63 = (\ud835\udc4e, \ud835\udc4f) \ud835\udc63 =
\ud835\udc4e
\ud835\udc4f
\ud835\udc64 = \ud835\udc42\ud835\udc44
\ud835\udc44(\u2212\ud835\udc4e,\u2212\ud835\udc4f)
\ud835\udc64 = (\u2212\ud835\udc4e,\u2212\ud835\udc4f) \ud835\udc64 =
\u2212\ud835\udc4e
\u2212\ud835\udc4f
\ud835\udc98 = \u2212\ud835\udc97
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Vetores
\u25aa Vetores no Plano
\u25aa Operações com Vetores no Plano
\u25aa Multiplicação de um vetor por escalar
\u25aa \ud835\udc62 = \ud835\udc4e, \ud835\udc4f \u2192 \ud835\udc58 \u2219 \ud835\udc62 = (\ud835\udc58 \u2219 \ud835\udc4e, \ud835\udc58 \u2219 \ud835\udc4f)
\u25aa Adição de dois vetores
\u25aa \ud835\udc62 = \ud835\udc4e, \ud835\udc4f \ud835\udc52 \ud835\udc63 = \ud835\udc50, \ud835\udc51 \u2192 \ud835\udc62 + \ud835\udc63 = (\ud835\udc4e + \ud835\udc50, \ud835\udc4f + \ud835\udc51)
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Vetores
\u25aa Vetores no Espaço
\ud835\udc63 = \ud835\udc42\ud835\udc43
\ud835\udc43(\ud835\udc65, \ud835\udc66, \ud835\udc67)
\ud835\udc63 = (\ud835\udc65, \ud835\udc66, \ud835\udc67) \ud835\udc63 =
\ud835\udc65
\ud835\udc66
\ud835\udc67
O (0,0,0)
\ud835\udc49 = \ud835\udc651, \ud835\udc652, \ud835\udc653 ; \ud835\udc65\ud835\udc56 \u2208 \ud835\udc45
\ud835\udc49 = \ud835\udc45 × \ud835\udc45 × \ud835\udc45 = \ud835\udc453
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Vetores
\u25aa Vetores no Espaço
\u25aa Operações com Vetores no Espaço
\u25aa Multiplicação de um vetor por escalar
\u25aa \ud835\udc62 = \ud835\udc651, \ud835\udc652, \ud835\udc653 \u2192 \ud835\udc58 \u2219 \ud835\udc62 = (\ud835\udc58 \u2219 \ud835\udc651, \ud835\udc58 \u2219 \ud835\udc652, \ud835\udc58 \u2219 \ud835\udc653)
\u25aa Adição de dois vetores
\u25aa \ud835\udc62 = \ud835\udc651, \ud835\udc652, \ud835\udc653 \ud835\udc52 \ud835\udc63 = \ud835\udc661, \ud835\udc662, \ud835\udc663 \u2192 \ud835\udc62 + \ud835\udc63 = (\ud835\udc651 + \ud835\udc661, \ud835\udc652 + \ud835\udc662, \ud835\udc653 + \ud835\udc663)
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Vetores
\u25aa Propriedades
\u25aa Adição
\u25aa \ud835\udc96 + \ud835\udc97 + \ud835\udc98 = \ud835\udc96 + \ud835\udc97 + \ud835\udc98
\u25aa \ud835\udc62 + \ud835\udc63 = \ud835\udc63 + \ud835\udc62
\u25aa \ud835\udc38\ud835\udc65\ud835\udc56\ud835\udc60\ud835\udc61\ud835\udc52 0 \u2208 \ud835\udc49 \ud835\udc61\ud835\udc4e\ud835\udc59 \ud835\udc5e\ud835\udc62\ud835\udc52 \ud835\udc62 + 0 = \ud835\udc62
\u25aa \ud835\udc38\ud835\udc65\ud835\udc56\ud835\udc60\ud835\udc61\ud835\udc52 \u2212 \ud835\udc62 \u2208 \ud835\udc49 \ud835\udc61\ud835\udc4e\ud835\udc59 \ud835\udc5e\ud835\udc62\ud835\udc52 \ud835\udc62 + \u2212\ud835\udc62 = 0
\u25aa Multiplicação por escalar
\u25aa \ud835\udc4e \ud835\udc62 + \ud835\udc63 = \ud835\udc4e\ud835\udc62 + \ud835\udc4e\ud835\udc63
\u25aa \ud835\udc4e + \ud835\udc4f \ud835\udc63 = \ud835\udc4e\ud835\udc63 + \ud835\udc4f\ud835\udc63
\u25aa \ud835\udc4e\ud835\udc4f \ud835\udc63 = \ud835\udc4e(\ud835\udc4f\ud835\udc63)
\u25aa \ud835\udfcf\ud835\udc96 = \ud835\udc96
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Espaços Vetoriais
\u25aa Espaço Vetorial
\u25aa Um conjunto não vazio
\u25aa Soma: \ud835\udc62, \ud835\udc63, \u2208 \ud835\udc49 \u2192 \ud835\udc62 + \ud835\udc63 \u2208 \ud835\udc49
\u25aa Multiplicação por escalar: \u3bb \u2208 \ud835\udc45, \ud835\udc62 \u2208 \ud835\udc49 \u2192 \u3bb\ud835\udc62 \u2208 \ud835\udc49
\u25aa Deve-se sempre satisfazer as propriedades.
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Espaços Vetoriais
\u25aa Exemplo: Verifique se os conjuntos dados são espaços vetoriais.
\u25aa \ud835\udc45\ud835\udc5b
\u25aa \ud835\udc62 = (\ud835\udc4e1, \ud835\udc4e2, \u2026 , \ud835\udc4e\ud835\udc5b)
\u25aa \ud835\udc63 = (\ud835\udc4f1, \ud835\udc4f2, \u2026 , \ud835\udc4f\ud835\udc5b)
\u25aa \ud835\udc62 + \ud835\udc63 = (\ud835\udc4e1 + \ud835\udc4f1, \ud835\udc4e2 + \ud835\udc4f2, \u2026 , \ud835\udc4e\ud835\udc5b + \ud835\udc4f\ud835\udc5b)
\u25aa \ud835\udf06\ud835\udc62 = \ud835\udf06\ud835\udc4e1, \ud835\udf06\ud835\udc4e2, \u2026 , \ud835\udf06\ud835\udc4e\ud835\udc5b
\u22ee
\u25aa \ud835\udc46 = {(\ud835\udc65, \ud835\udc66, \ud835\udc67) \u2208 \ud835\udc453 | \ud835\udc67 = 1}
\u25aa \ud835\udc62 = (\ud835\udc4e1, \ud835\udc4e2, 1)
\u25aa \ud835\udc63 = (\ud835\udc4f1, \ud835\udc4f2, 1)
\u25aa \ud835\udc62 + \ud835\udc63 = (\ud835\udc4e1 + \ud835\udc4f1, \ud835\udc4e2 + \ud835\udc4f2, 2)
É espaço vetorial
Não é espaço vetorial
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Espaços Vetoriais
\u25aa Exemplo
\u25aa Vetores (\ud835\udc65, \ud835\udc66, \ud835\udc67) do \ud835\udc453 com os dados dos alunos da UFC.
\u25aa \ud835\udc65 = \ud835\udc56\ud835\udc51\ud835\udc4e\ud835\udc51\ud835\udc52
\u25aa \ud835\udc66 = \ud835\udc60\ud835\udc52\ud835\udc5a\ud835\udc52\ud835\udc60\ud835\udc61\ud835\udc5f\ud835\udc52
\u25aa \ud835\udc67 = \u124a
0 \u2192 \ud835\udc5bã\ud835\udc5c \ud835\udc5f\ud835\udc52\ud835\udc54\ud835\udc62\ud835\udc59\ud835\udc4e\ud835\udc5f
1 \u2192 \ud835\udc5f\ud835\udc52\ud835\udc54\ud835\udc62\ud835\udc59\ud835\udc4e\ud835\udc5f
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Espaços Vetoriais
\u25aa Subespaços Vetoriais (W)
\u25aa Um conjunto não vazio
\u25aa Para quaisquer \ud835\udc62, \ud835\udc63, \u2208 \ud835\udc4a \u2192 \ud835\udc62 + \ud835\udc63 \u2208 \ud835\udc4a
\u25aa Para quais quer \u3bb \u2208 \ud835\udc45, \ud835\udc62 \u2208 \ud835\udc4a \u2192 \u3bb\ud835\udc62 \u2208 \ud835\udc4a
\u25aa Deve-se sempre satisfazer as propriedades.
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Espaços Vetoriais
\u25aa Subespaços Vetoriais (W)
\u25aa Observações
\u25aa As condições da definição garantem que ao operarmos em W (soma e multiplicação por
escalar), não obteremos um vetor fora de W. Isto é suficiente para afirmar que W é ele próprio
um espaço vetorial, pois assim as operações ficam bem definidas e, além disso, não
precisamos verificar as propriedades do espaço vetorial, porque elas são válidas em V, que
contém W.
\u25aa Qualquer subespaço W de V precisa necessariamente conter o vetor nulo.
\u25aa Todo espaço vetorial admite pelo menos dois subespaços (que são chamados subespaços
triviais), o conjunto formado somente pelo vetor nulo e o próprio espaço vetorial.
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Espaços Vetoriais
\u25aa Exemplo
\u25aa \ud835\udc49 = \ud835\udc454; \ud835\udc4a = \ud835\udc651, \ud835\udc652, \ud835\udc653, \ud835\udc654 , \ud835\udc652 = 0 . Verifique se W é subespaço de V.
\u25aa \ud835\udc62 = (\ud835\udc651, 0, \ud835\udc653, \ud835\udc654)
\u25aa \ud835\udc63 = (\ud835\udc661, 0, \ud835\udc663, \ud835\udc664)
\u25aa \ud835\udc62 + \ud835\udc63 \u2208 \ud835\udc4a,\u2200\ud835\udc62, \ud835\udc63 \u2208 \ud835\udc4a
\u25aa \ud835\udc62 + \ud835\udc63 = (\ud835\udc651 + \ud835\udc661, 0, \ud835\udc653 + \ud835\udc663, \ud835\udc654 + \ud835\udc664)
\u25aa \ud835\udc63 + \ud835\udc62 = (\ud835\udc661 + \ud835\udc651, 0, \ud835\udc663 + \ud835\udc653, \ud835\udc664 + \ud835\udc654)
\u25aa \ud835\udf06u \u2208 \ud835\udc4a;\u2200\ud835\udc62 \u2208 \ud835\udc4a, \u2200\ud835\udf06 \u2208 \ud835\udc45
\u25aa \ud835\udf06\ud835\udc62 = \ud835\udf06\ud835\udc651, 0, \ud835\udf06\ud835\udc653, \ud835\udf06\ud835\udc654
\u25aa 0 \u2208 \ud835\udc4a
\u25aa \ud835\udc62 = (0, 0, 0, 0) É um subespaço vetorial
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Espaços Vetoriais
\u25aa Exemplo
\u25aa \ud835\udc49 = \ud835\udc452; \ud835\udc4a = \ud835\udc65, \ud835\udc66 , \ud835\udc66 = \ud835\udc65 + 1 . Verifique se W é subespaço de V.
\u25aa \ud835\udc62 = (\ud835\udc65, \ud835\udc65 + 1)
\u25aa \ud835\udc63 = (\ud835\udc66, \ud835\udc66 + 1)
\u25aa \ud835\udc62 + \ud835\udc63 \u2208 \ud835\udc4a,\u2200\ud835\udc62, \ud835\udc63 \u2208 \ud835\udc4a
\u25aa \ud835\udc62 + \ud835\udc63 = (\ud835\udc65 + \ud835\udc66, \ud835\udc65 + 1 + \ud835\udc66 + 1)
\u25aa \ud835\udc62 + \ud835\udc63 = (\ud835\udc65 + \ud835\udc66, \ud835\udc65 + \ud835\udc66 + 2)
\u25aa \ud835\udc62 + \ud835\udc63 = (\ud835\udc67, \ud835\udc67 + 2)
Não é um subespaço vetorial
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Espaços Vetoriais
\u25aa Subespaços Vetoriais (W)
\u25aa Interseção de Subespaços
\u25aa Se \ud835\udc4a1,\ud835\udc4a2, \u2026 ,\ud835\udc4a\ud835\udc5b forem subespaços de um espaço vetorial V, então a interseção desses
subespaços também será um subespaço de V.
\u25aa Prova
\u25aa Sejam \ud835\udc62, \ud835\udc63 \u2208 \ud835\udc4a1 \u2229\ud835\udc4a2
\u25aa Então \ud835\udc62, \ud835\udc63 \u2208 \ud835\udc4a1 \ud835\udc52 \ud835\udc62, \ud835\udc63 \u2208 \ud835\udc4a2
\u25aa Como são subespaços, \ud835\udc62 + \ud835\udc63 \u2208 \ud835\udc4a1, \ud835\udc62 + \ud835\udc63 \u2208 \ud835\udc4a2 \u2192 \ud835\udc62 + \ud835\udc63 \u2208 \ud835\udc4a1 \u2229\ud835\udc4a2
\u25aa 0 \u2208 \ud835\udc4a1; 0 \u2208 \ud835\udc4a2 \u2192 0 \u2208 \ud835\udc4a1 \u2229\ud835\udc4a2
\u25aa \ud835\udf06\ud835\udc62, \ud835\udf06\ud835\udc63 \u2208 \ud835\udc4a1; \ud835\udf06\ud835\udc62, \ud835\udf06\ud835\udc63 \u2208 \ud835\udc4a2 \u2192 \ud835\udf06\ud835\udc62, \ud835\udf06\ud835\udc63 \u2208 \ud835\udc4a1 \u2229\ud835\udc4a2
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Espaços Vetoriais
\u25aa Subespaços Vetoriais (W)
\u25aa Combinações Lineares
\u25aa Dizemos que um vetor w em um espaço vetorial V é uma combinação linear dos vetores
\ud835\udc631, \ud835\udc632, \u2026 , \ud835\udc63\ud835\udc5f em V se w puder ser expresso na forma:
\ud835\udc64 = \ud835\udc4e1\ud835\udc631 + \ud835\udc4e2\ud835\udc632 +\u22ef+ \ud835\udc4e\ud835\udc5f\ud835\udc63\ud835\udc5f
Em que \ud835\udc4e1, \ud835\udc4e2, \u2026 , \ud835\udc4e\ud835\udc5f são escalares e denominados de coeficientes da combinação linear.
\u25aa Seja S = {\ud835\udc641, \ud835\udc642, \u2026 , \ud835\udc64\ud835\udc5f} um conjunto não vazio de vetores em um espaço vetorial V.
\u25aa O conjunto W de todas as combinações lineares possíveis de vetores em S é um subespaço de V.
\u25aa O conjunto W do item anterior é o menor subespaço de V que contém todos os vetores de S, no
sentido de que qualquer outro subespaço de V que contenha todos aqueles vetores contém W.
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Espaços Vetoriais
\u25aa Exemplo
\u25aa Considere os vetores \ud835\udc62 = (1, 2, \u22121) e \ud835\udc63 = (6, 4, 2). Mostre que \ud835\udc98 = (\ud835\udfd7, \ud835\udfd0, \ud835\udfd5) é uma
combinação linear de u e v e que \ud835\udc98\u2032 = (\ud835\udfd2,\u2212\ud835\udfcf, \ud835\udfd6) não é uma combinação linear de u e
v .
\u25aa \ud835\udc64 = \ud835\udc581\ud835\udc62 + \ud835\udc582\ud835\udc63
\u25aa 9, 2, 7 = \ud835\udc581(1, 2, \u22121) + \ud835\udc582(6, 4, 2)
\u25aa 9, 2, 7 = \ud835\udc581 + 6\ud835\udc582, 2\ud835\udc581 + 4\ud835\udc582, \u2212\ud835\udc581 + 2\ud835\udc582
\u25aa \ud835\udc581 = \u22123 e \ud835\udc582 = 2
\u25aa \ud835\udc64 = \u22123\ud835\udc62 + 2\ud835\udc63
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Espaços Vetoriais
\u25aa Subespaços Vetoriais (W)
\u25aa Geração
\u25aa Dizemos que o subespaço de um espaço vetorial V que é formado com todas as combinações
lineares possíveis de vetores de um conjunto não vazio S é gerado por S, e dizemos que os
vetores em S geram esse subespaço.
\u25aa Se S = {\ud835\udc641, \ud835\udc642, \u2026 , \ud835\udc64\ud835\udc5f}, denotamos o gerado de S por:
ger{\ud835\udc641, \ud835\udc642, \u2026 , \ud835\udc64\ud835\udc5f} ou ger(\ud835\udc46)
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Espaços Vetoriais
\u25aa Exemplo
\u25aa Determine se \ud835\udc631 = 1, 1, 2 , \ud835\udc632 = (1, 0, 1) e \ud835\udc633 = (2, 1, 3) geram o espaço vetorial \ud835\udc45
3.
\u25aa \ud835\udc4f = \ud835\udc581\ud835\udc631 + \ud835\udc582\ud835\udc632 + \ud835\udc583\ud835\udc633
\u25aa \ud835\udc4f1, \ud835\udc4f2, \ud835\udc4f3 = \ud835\udc581 1, 1, 2 + \ud835\udc582 1, 0, 1 + \ud835\udc583(2, 1, 3)
\u25aa \ud835\udc4f1, \ud835\udc4f2, \ud835\udc4f3 = \ud835\udc581 + \ud835\udc582 + 2\ud835\udc583, \ud835\udc581 + \ud835\udc583, 2\ud835\udc581 + \ud835\udc582 + 3\ud835\udc583
Álgebra LinearSlide 20 Unidade IV: Espaço Vetorial Prof. Douglas de Aquino
Espaços Vetoriais
\u25aa Independência Linear
\u25aa Se S = {\ud835\udc631, \ud835\udc632, \u2026 , \ud835\udc63\ud835\udc5f} for um conjunto não vazio de vetores em um espaço vetorial V,
então a equação vetorial
\ud835\udc581\ud835\udc631 + \ud835\udc582\ud835\udc632 +\u22ef+ \ud835\udc58\ud835\udc5f\ud835\udc63\ud835\udc5f = 0
\u25aa Tem uma solução, pelo menos, a saber,
\ud835\udc581 = 0, \ud835\udc582 = 0,\u2026 , \ud835\udc58\ud835\udc5f = 0
\u25aa Dizemos que essa é a solução trivial.
\u25aa Se essa for a única solução,