Ava1 Matematica financeira UNIJORGE

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Situação 1: Uma pessoa aplicou um capital de R$ 50.000,00 durante 40 meses no regime de capitalização composto. Sabendo que nos 10 primeiros meses a taxa foi de 2% am, nos 15 meses seguintes foi de 1,5% am e nos últimos 15 meses foi de 2,5% am, determine o valor final desse capital. 
Resposta: Suponhamos que um período de aplicação comece após o término do mês Se ao final deste período de meses, a taxa de juros não muda então o montante acumulado até o final do -ésimo mês é dado por: 
 
 	Onde; 
C(k) é o valor acumulado até o início do período (até o -ésimo mês), ou seja, o inicial é R$ 50.000,00. 
O valor da taxa de juros inicial, ou seja, i inicial é 2% a.m (0,02). 
O numero de período inicial é de 10 meses. 
 Então, vamos analisar cada período onde a taxa não muda: 
i = 2% / mês para 1 ≤ t ≥ 10 
 = R$ 50.000,00 
Ao final do décimo mês, o montante acumulado é. 
 
i = 1,5 % / mês para 10 ≤ t ≥ 25 
 
Ao final do vigésimo-quinto mês, o montante acumulado é. 
 
i = 2,5 % / mês para 25 ≤ t ≥ 40 
 
Ao final do quadragésimo mês, o montante acumulado é. 
 
 	Compreende-se então que, ao final dos 40 meses, o valor de resgate do capital aplicado foi R$ 110.362,20. 
Situação 2: A Concessionário Vende Tudo S/A está oferecendo um automóvel por R$ 35.000,00 à vista, ou entrada de R$ 20% e mais uma parcela de R$ 31.000,00, no fim de 5 meses. Sabendo-se que outra opção seria aplicar esse capital à taxa de 3,5% no mercado financeiro, determinar a melhor opção para o interessado que possua os recursos disponíveis, comprá-lo pelo método do valor presente e pelo método do valor futuro. 
Resposta: 
Pelo método do valor presente ele pagará: 
Preço a vista do veiculo pelo método do valor presente = R$ 35.000,00 
Para o pagamento a prazo a concessionaria ofereceu a seguinte opção: uma entrada de 20%, ou seja, R$ 7.000,00 mais uma parcela de R$ 31.000,00, totalizando R$ 38.000,00. 
O valor de períodos, ou seja, n = 5 meses. 
A taxa de juros, ou seja, i = 3,5% (0,035). 
A fórmula utilizada será: 
Pv = Fv/(1 + i)n 
Pv = 7.000 + 31.000 / (1 + 0,035)5 
Pv = 7.000 + 26.101,17 
Pv = 33.101,17. 
Preço a prazo do veiculo pelo método do valor presente = R$ 33.101,17 
Pelo método do valor futuro ele pagará: 
Para analisarmos a segunda opção oferecida vamos verificar os dados informados na questão: 
O valor presente, ou seja, P = R$ 35.000,00. 
O valor de períodos, ou seja, n = 5 meses. 
A taxa de juros, ou seja, i = 3,5% (0,035). 
A fórmula utilizada será: 
 Fn = P (1 +i) n 
Fn = 35.000 (1 + 0,035)5 
Fn = 35.000 * 1.187687 
Fn = 41.569,02 
Preço a vista do veiculo pelo método do valor futuro = RS 41.569,02 
A opção oferecida pela concessionaria de parcelamento pelo método do valor futuro nos permite a seguinte conclusão. 
O valor presente, ou seja, P = R$ 33.101,17. 
O valor de períodos, ou seja, n = 5 meses. 
A taxa de juros, ou seja, i = 3,5% (0,035). 
A fórmula utilizada será: 
 Fn = P (1 +i) n 
Fn = 33.101,17 (1 + 0,035)5 
Fn = 33.101,17 * 1.187687 
Fn = 39.313,81 
Preço a prazo do veiculo pelo método do valor futuro = RS 39.313,81 
Pelo método do valor futuro ele pagará: FV = 39.313,81 em parcela e FV = 41.569,02 à vista Pelo método do valor presente ele pagará: 
VP = 33.101,17 em parcela e PV = 35.000,00 à vista. 
 	Outra forma de comparação seria através da comparação da taxa: 
i = ( Fn /P )^(1/n) – 1 i = ( 31000 / 28000)^(1/5) – 1 i = ( 1,10714)^(1/5) – 1 i = 1,02056 – 1 i = 0,02056 
i = 2,06% 
Como a taxa encontrada é menor do que 3,5% a melhor opção é o parcelamento. 
 A conclusão observada nos diz que com relação à taxa de 3,5% o melhor negócio será sempre o parcelamento seja pelo método do valor presente ou pelo método do valor futuro. 
 	Compreende – se então que, o método mais vantajoso para o interessado, é método do valor futuro, haja vista que o valor investido foi R$ 38,000,00, obtendo – se um montante de R$ 41.569,02, e uma diferença de R$ 3.569,02. 
 
Situação 3: Um investidor resgatou a importância de R$ 255.000,00 nos bancos Alfa e Beta. Sabe-se que resgatou 38,55% do Banco Alfa e o restante no banco Beta, com as taxas mensais de 8% e 6%, respectivamente. O prazo de ambas as aplicações foi de 1 mês. Quais foram os valores aplicado nos Bancos Alfa e Beta? 
Resposta 
Fn = R$ 255.000,00 
Alfa + Beta = R$ 255.000,00. 
Fn do Banco Alfa 38,55% = (0,3855*255.000) = 98.302,50 
Fn do Banco Beta 61,45% = (0,6145*255.000) = 156.697,50 
Taxa de juros do Banco Alfa = 8% (0,08) 
Taxa de juros do Banco Beta = 6% (0,06) 
N = 1 mês 
 Agora que sabemos quanto foi o montante de cada operação, vamos jogar na fórmula para achar o capital. 
 	A fórmula aplicada será: 
 	Calcularemos então o valor presente (valor aplicado) do banco Alfa e Beta. 
Banco Alfa 
P = ? 
Fn = R$ 98.302,50 
i = 0,08 
n = 1 mês 
 
Banco Beta 
P = ? 
Fn = R$ 156.697,50 
i = 0,06 
n = 1 mês 
 
 
 Os valores aplicado nos bancos Alfa e Beta respectivamente foram R$ R$ 91.020, 83 e R$ 147.827,83. 
Situação 4: Quantos dias serão necessários para que um investidor consiga triplicar uma aplicação financeira de 6% ao ano, pelo regime de juros compostos? 
Resposta 
 
substituindo: 
3 C 
 
 
 Para resolver este tipo de expressão, iremos tirar o Logaritmo (tanto o natural (LN) quanto o decimal será o suficiente). Lembrando que as calculadoras científicas e financeiras têm teclas para tirar esse numero automaticamente e que geralmente são essenciais em matérias da Matemática Financeira. 
Resolvendo: 
n = LN 3/LN 1,06 = 1,098612289/0,058268908 = 18,85417668 
18,85417668 x 12 (meses) = 226,2501201 x 30 (dias) 6.788 dias 
 	E quantos meses seriam necessários para duplicar um capital investido a uma taxa de juros compostos de 3,5% ao semestre? 
Resposta 
 
Substituindo: 
2C 
 
 
 	Para resolver este tipo de expressão também iremos tirar o Logaritmo. 
Resolvendo: n = Log 2/Log 1,035 = 0,301029995/0,014940349 = 20,14879168 semestres 
1 semestre tem 6 meses 
20,14879168 semestres terá 120,90 meses. 
 	Para triplicar uma aplicação financeira com 6% ano precisamos de aproximadamente 6.788 dias. E para duplicar uma aplicação financeira com 3,5% ao semestre vamos precisar de aproximadamente 120,90 meses. 
Situação 5: Um investidor aplicou R$100.000,00 em um CDB prefixado e resgatou R$110.000,00 após 63 dias úteis. Determine a taxa anual de juros desta aplicação, de acordo com o regime composto de capitalização. 
Resposta 
 	Primeiramente vamos separar os elementos que irão compor a fórmula dos juros compostos. 
 
M=110.000 c=100.000 
i=? (a.a.) 
t=63 dias uteis. Com base no ano comercial = 63/252 = 0,25 ano 
 	O CDB tem rentabilidade diária utilizando somente dias úteis. O mercado adota o padrão de 252 dias úteis por ano. 
Utilizaremos a seguinte fórmula 
 
Substituindo os valores vamos encontrar. 
 
 
 
 	A taxa anual de juros da aplicação de acordo com o regime composto de capitalização corresponde a 46,41% aa. 
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