18148564 Apostila 2 Somatorio e produtorio

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1 
 
Universidade Federal do Piauí 
Campus Universitário “Profa. Cinobelina Elvas” – Bom Jesus, PI 
Profa. Gisele 
 
ESTATÍSTICA 
II - SOMATÓRIO E PRODUTÓRIO 
 
 As operações de somatório e produtório são de grande importância para a Estatística por 
facilitar a indicação e formulação de medidas, bem como algumas operações algébricas. 
 
1. SOMATÓRIO 
1.1 Índices ou notação por índices 
O símbolo Xi (lê-se X índice i) representa qualquer um dos n valores, X1, X2,....,Xn, assumidos 
pela variável X, na amostra ou no conjunto de dados. 
 
Exemplo: Seja X a variável peso de 10 coelhos abatidos com 90 dias: 
 
 
 
1.2 Notação de somatório 
Para designar o somatório utiliza-se a letra grega sigma maiúsculo ( Σ ), que deve ser lido 
SOMATÓRIO ou SOMA DE. 
O símbolo ∑
=
n
1i
iX é usado para representar a soma de todos os valores Xi desde i = 1 até i = n, ou 
seja, por definição: 
 ∑
=
n
1i
iX = X1 + X2 + .......+ Xn 
 Lê-se da seguinte maneira: “somatório de Xi, com i variando de 1 a n”. 
 
X1 X2 X3 ......... ......... ......... ......... ......... ........ X10 
2,47 2,49 2,56 2,56 2,59 2,61 2,62 2,62 2,62 2,70 
 2 
Ex.: 10987654321
10
1
i X XXXXXXX X XX +++++++++=∑
=i
 
70,262,262,262,261,259,256,256,249,247,X
10
1
i +++++++++=∑
=
2
i
 
84,5X
10
1
i 2=∑
=i
 
 
1.3 Número de termos do somatório (NT) 
 Corresponde ao número de termos que farão parte da soma. 
 Tem-se duas formas de calcular o NT: 
 
NT = Ls – Li + 1 (sem restrição) 
NT = Ls – Li + 1 – r (com restrição) 
 
Em que, 
Ls = limite superior do somatório 
Li = limite inferior do somatório 
r = número de restrições no somatório (ou seja, número de termos que não farão parte da soma) 
 
Ex.: 
SEM RESTRIÇÃO: 
84,5X XXXXXXX X XX 10987654321
10
1
i 2=+++++++++=∑
=i
 
NT = 10 – 1 + 1 = 10 
 
COM DUAS RESTRIÇÕES (r = 2): 
81,0X XXXXXX X X 109876542
10
3,1
1
i 2=+++++++=∑
≠
=
i
i
 
NT = 10 – 1 + 1 - 2 = 8 
 
1.4 Propriedades 
1ª) KNTK
n
I
.
1
=∑
=
, sendo K uma constante e NT = número de termos. 
Ex.: 202.102).1110(2
10
1
==+−=∑
=i
 
 3 
 
2ª) ∑∑
==
=
n
i
i
n
i
i XKXK
11
.. 
Ex.: 68,184,25.2)70,2...49,247,.()X ....... X X.(2.2.2 1021
1
10
1
522 ==+++=+++== ∑∑
==
n
i
i
i
i XX 
 
3ª) ∑∑∑
===
±=±
n
I
i
n
I
ii
n
i
i YXYX
111
)( 
Ex.: Considerando duas variáveis X e Y, em que: 
X1 =2 X2 = 4 X3 = 6 
Y1 = 3 Y2 = 5 Y3 = 9 
291712)953()642()()()( 321321
3
1
3
1
3
1
=+=+++++=+++++=+=+ ∑∑∑
===
YYYXXXYXYX
I
i
I
ii
I
i
 
4ª) KNTXKXKX
n
I
i
n
I
n
I
i
n
I
i .)(
1111
±=±=± ∑∑∑∑
====
 
Ex.: Considerando-se os dados dos 10 coelhos tem-se: 
84,52.1084,252.2)2(
10
1
10
1
10
1
10
1
4=+=+=+=+ ∑∑∑∑
====
NTXXX
I
i
II
i
i
i 
 
5ª) ∑∑∑
===
≠
n
i
i
n
i
ii
n
i
i YXYX
111
 
Ex.: Considerando duas variáveis X e Y, em que: 
X1 =2 X2 = 4 X3 = 6 
Y1 = 3 Y2 = 5 Y3 = 9 
8054209.65.43.332211
1
=++=++=++=∑
=
62YXYXYXYX i
n
i
i 
0417.2)).(( 321321
11
21 ==++++=∑∑
==
YYYXXXYX
n
i
i
n
i
i 
 Logo, 80 ≠ 204 
 ⇒⇒⇒⇒ Ao i
n
i
iYX∑
=1
 dá-se o nome de SOMA DE PRODUTOS e ao ∑∑
==
n
i
i
n
i
i YX
11
 dá-se o nome de 
PRODUTO DA SOMA. 
 
6ª) ∑∑
==
≠
n
i
i
n
i
i XX
1
2
1
2 )( 
 4 
Ex.: Considerando-se os dados dos 10 coelhos tem-se: 
81,6670,2...49,247,X ... X X 222210
2
2
2
1
1
2
=+++=+++=∑
=
2
n
i
iX 
71,667)84,5()( 2
1
2
==∑
=
2
n
i
iX 
 Logo, 66,81 ≠ 667,71 
 ⇒⇒⇒⇒ Ao∑
=
n
i
iX
1
2 dá-se o nome de SOMA DE QUADRADOS e ao ∑
=
n
i
iX
1
2)( dá-se o nome de 
QUADRADO DA SOMA. 
 
7ª) ∑
∑ =
=
≠
n
i i
n
i
i
XX 1
1
11
 
Ex.: Considerando-se os dados dos 10 coelhos tem-se: 
0387,0
70,262,262,262,261,259,256,256,249,247,
11
1
=
+++++++++
=
∑
=
2n
i
iX
 
87,3
70,2
1
62,2
1
62,2
1
62,2
1
61,2
1
59,2
1
56,2
1
56,2
1
49,2
1
47,2
11
1
=+++++++++=∑
=
n
i iX
 
 Logo, 0,0387 ≠ 3,87 
 
1.5 Somatório duplo - Soma de variáveis arranjadas com dupla entrada 
 É um procedimento comum em que os dados de um experimento ou uma amostra são 
representados em uma tabela de dupla entrada. Desta forma tem se a variável X com dois índices 
(Xij). O índice i representa as linhas e o índice j representa as colunas. 
Dois tipos de notação de somatório podem ser utilizadas, a notação por índice e por ponto. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 5 
Exemplo. 
Tabela 1 - Produtividade em t/ha de uma forrageira sob o efeito de 4 doses de fósforo em 
combinação com 3 doses de nitrogênio. 
 
Teor de nitrogênio (j) Teor de fósforo (i) 1 2 3 TOTAL 
1 4,6 5,0 5,5 15,1 
2 5,0 5,5 6,1 16,6 
3 5,2 5,8 6,4 17,4 
4 6,0 6,2 6,8 19,0 
TOTAL 20,8 22,5 24,8 68,1 
Na Tabela 1 observa-se que dois fatores determinam a produtividade, portanto dois índices são 
utilizados para representá-los. Assim dois símbolos de somatórios podem ser utilizados. 
A partir de dados organizados em tabela de dupla entrada obtêm-se os seguintes somatórios: 
 
a) Somar cada uma das combinações ij, ou seja, toda a produtividade da Tabela 1 
NOTAÇÃO POR ÍNDICE: 
∑∑
= =
4
1i
3
1j
ijX = X11 + X12 + X13 + X21 + X22 + X23 + X31 + X32 + X33 + X41 + X42 + X43 
∑∑
= =
4
1i
3
1j
ijX = 4,6 + 5,0 + 5,5 + 5,0 + 5,5 + 6,1 + 5,2 + 5,8 + 6,4 + 6,0 + 6,2 + 6,8 = 68,1 
 
NOTAÇÃO POR PONTO: 
..
X = X11 + X12 + X13 + X14 + X21 + ...+ X43 = 4,6 + 5,0 + 5,5 + 5,0 + 5,5 +......+ 6,8 = 68,1 
 
b) Somar cada uma das linhas i, ou seja, o total de cada dose de fósforo. 
 
NOTAÇÃO POR ÍNDICE: 
∑
=
4
1i
ijX = X1j + X 2j + X3j + X 4j ∀ j = 1, 2, 3 
∑
=
4
1i
ijX = (X11 + X12 + X13) + (X21 + X22 + X23) + (X31 + X32 + X33) + (X41 + X42 + X43) = 16,1 
+ 16,6 + 17,4 + 19,0 = 68,1 
 
 
 6 
NOTAÇÃO POR PONTO: 
∑
=
4
1i
ijX = X1. + X 2. + X3. + X 4. ∀ j = 1, 2, 3 
∑
=
4
1i
ijX = 16,1 + 16,6 + 17,4 + 19,0 = 68,1 
 
Ou ainda, para fósforo dose 2 (i = 2), a produtividade total é: 
=∑
=
3
1
2
j
jX X21 + X22 + X23 = 5,0 + 5,5 + 6,1 = 16,6 
 
c) Somar cada uma das colunas j, ou seja, o total de cada dose de nitrogênio. 
 
NOTAÇÃO POR ÍNDICE: 
∑
=
3
1j
ijX = Xi1 + Xi2 + Xi3 ∀ i = 1, 2, 3, 4 
∑
=
3
1j
ijX = (X11 + X21 + X31 + X41) + (X21 + X22 + X32 + X34) + (X13 + X23 + X33 + X43) 
∑
=
3
1j
ijX = 20,8 + 22,5 + 24,8 = 68,1 
 
NOTAÇÃO POR PONTO: 
∑
=
3
1j
ijX = X.1 + X.2 + X.3 ∀ i = 1, 2, 3, 4 
∑
=
3
1j
ijX = X.1 + X.2 + X.3 = 20,8 + 22,5 + 24,8 = 68,1 
 
Ou ainda, para nitrogênio dose 3 (j =3), a produtividade total é: 
=∑
=
4
1
3
i
iX X13 + X23 + X33 + X43 = 5,5 + 6,1 + 6,4 + 6,8 = 24,8 
 
 Portanto, neste exemplo de Somatório duplo as seguintes notações por índice e por 
ponto se equivalem: 
∑∑
= =
4
1i
3
1j
ijX = X..
 
 7 
∑
=
4
1i
ijX = ∑
=
4
1
.
i
iX 
∑
=
3
1j
ijX = ∑
=
3
1
.
j
jX 
 E o mesmo vale para Somatórios duplos com outros números de linha i e coluna j. 
 
OBS.: Por somatório duplo entende-se também: 
∑∑∑∑
=== =
=
m
j
j
n
i
ij
n
i
m
j
i YXYX
111 1
. 
 
Ex.: Dados: 
Xi Yj 
X1 = 2 Y1 = 1 
X2 = 4 Y2 = 3 
X3 = 6 Y3 = 5 
X4 = 8 Y4 = 7 
X5 = 10 - 
30
1
=∑
=
n
i
iX 16
1
=∑
=
n
i
iY48016.30.
4
1
5
1
5
1
4
1
=== ∑∑∑∑
=== = j
j
i
ij
i j
i YXYX 
)7.10()5.10()3.10()1.10(...)7.4()5.4()3.4()1.4()7.2()5.2()3.2()1.2(
5
1
4
1
++++++++++++=∑∑
= =
j
i j
iYX
480
5
1
4
1
=∑∑
= =
j
i j
iYX 
 
2. PRODUTÓRIO 
2.1 Notação de produtório 
Para designar o produtório utiliza-se a letra grega pi maiúsculo ( Π ), que deve ser lido 
PRODUTÓRIO ou PRODUTO DE. 
O símbolo ∏
=
n
i
iX
1
é usado para representar a multiplicação de todos os valores Xi desde i = 1 até 
i = n, ou seja, por definição: 
ni
n
i
XXXX .... 21
1
=∏
=
 
 8 
Lê-se da seguinte maneira: “produtório de Xi, com i variando de 1 a n”. 
 
2. 2 Número de termos (NT) do produtório 
NT = Ls – Li + 1 (sem restrição) 
NT = Ls – Li + 1 – r (com restrição) 
 
2.3 Propriedades 
1ª) !.....3.2.1
1
nni
n
i
==∏
=
 
Ex.: 24!44.3.2.1
1
===∏
=
i
n
i
 
 
2ª) NT
n
i
KK =∏
=1
 
Ex.: 622.2.2.22 4
4
1
1===∏
=i
 
 
3ª) ))...().(()( 21
1
KXKXKXKX ni
n
i
±±±=±∏
=
 
Ex.: )2).(2).(2()2( 321
3
1
+++=+∏
=
XXXX i
i
 
Considerando a variável X, em que: 
X1 =2 X2 = 4 X3 = 6 
Tem-se que: 
1928.6.4)26).(24).(22()2(
3
1
==+++=+∏
=
i
i
X 
 
4ª) i
n
i
n
i
n
i
XKKX ∏∏
==
=
11
. 
Considerando a variável X, em que: 
X1 =2 X2 = 4 X3 = 6 
Ex.: 384)6.4.2.(2.2.222. 332.1
3
1
===∏
=
XXXX i
i
 
 
 9 
5ª) ai
n
i
na
i
n
i
XKKX ∏∏
==
=
11
. 
Ex.: Considerando a variável X, em que: 
X1 =2 X2 = 4 X3 = 6 
E a = 3 e K = 5, tem-se que: 
5.. 3
3
11
i
i
a
i
n
i
XKX ∏∏
==
= 
13824000110592.125)6.4.2.(5.55.6.5.4.5.5..5.55. 3333
3
1
333333
3
3
2
3
1
3
3
1
====== ∏∏
== i
ii
i
XXXXX 2 
 
6ª) i
n
i
i
n
i
ii
n
i
YXYX ∏∏∏
===
=
111
 
Ex.: Considerando duas variáveis X e Y, em que: 
X1 =2 X2 = 4 X3 = 6 
Y1 = 3 Y2 = 5 Y3 = 9 
6480)9.5.3).(6.4.2()9.6.5.4.3.2()).((.. 321321332211
3
1
=====∏
=
YYYXXXYXYXYXYX ii
i
 
 
7ª) ∑∏
==
=+++==
n
i
inni
n
i
XXXXXXXX
1
2121
1
log)log(...)log()log().....log()log( 
Ex.: Considerando a variável X, em que: 
X1 =2 X2 = 4 X3 = 6 
∑∏
==
=++==
3
1
321321
3
1
log)log()log()log()..log()log(
i
ii
i
XXXXXXXX 
68,178,60,030,0)6log()4log()2log()log(
3
1
=++=++=∏
=
i
i
X 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 10 
UNIVERSIDADE FEDERAL DO PIAUÍ 
Campus Universitário “Profa. Cinobelina Elvas” – Bom Jesus, PI 
Lista de exercícios: Somatório e produtório. 
 
1 – Considerando os seguintes valores: 
X1 = 2 X2 = 6 X3 = 7 X4 = 9 
Y1 = 1 Y2 = 4 Y3 = 5 Y4 = 11 
 
Calcular: 
a) ∑∑
==
+
4
2
3
1
)2(
j
i
i
X b) ∑∑
==
−
3
2
4
2
)(3
j
ji
i
YX c) ∑
=
−
3
1
2)2(
t
tY d) ∑
=
−
4
1
)4(
i
ii YX 
 
2 – Efetuar 
a) ∑
−=
+
3
1
2 )1(
i j
i b) ∑∑
==
−
+
2
0
6
31
)3().(
j i
iji 
 
3 – Calcule X1 e X3, dado que: 
∑
=
=
6
1
42
i
iX ∑
=
=
6
1
2 364
i
iX ∑
≠
=
=
6
3,1
1
34
i
i
iX ∑
≠
=
=
6
3,1
1
2 324
i
i
iX
 
4 – Seja uma variável X, assumindo os seguintes valores: X = {5,2,3,0,1,2,6,9,4,8} n = 10 
Calcule: 
a) ∑
=
10
1i
iX b) ∑
=
10
1
2
i
iX c) ∑
=
10
1
2)(
i
iX d) 110
10
)(10
1
10
1
2
2
−
−∑
∑
=
=
i
i
i
i
X
X
 
e) ∑
=
−
10
1
)4(
i
iX f) 
210
1
)4(∑
=
−
i
iX g) 110
)4(
10
1
2
−
−∑
=i
iX
 h) 
10
10
1
∑
=i
iX
 
5 – Sabendo-se que 6
5
1
−=∑
=i
iX e 12
5
1
2
=∑
=i
iX , Calcule: 
a) ∑
=
+
5
1
)54(
i
iX b) ∑
=
−
5
1
)2(
i
ii XX c) 
25
1
)3(∑
=
−
i
iX 
 
6 – Desenvolver e calcular: 
a) ∑∑
= =
+
3
1
6
2
).(
i j
jbi b) ∑∑
= =
−
2
1
5
2
)(
j i
ji c) 
22
1
2
1
)3(∑∑
= =
−
i j
ji 
d) ∑∑
= =
7
1
8
0i j
cb e) ∑∑
= =
4
1
5
1
2
i j
i 
 
 
 
 
 
 
 11 
7 – Utilizando os dados da tabela abaixo, calcule: 
 
j i 1 2 3 4 
1 8 7 5 9 
2 4 0 10 2 
a) ∑
=
2
1
1
i
iX b) ∑
=
4
1
1
j
jX c) ∑∑
= =
2
1
4
1i j
ijX d) ∑∑
≠
= =
4
3
1
2
1
j
j i
ijX 
e) ∑
=
3
2
2
j
jX f) ∑
≠
=
4
2
1 2
1
j
j jX
 g) ∏
≠
=
4
3
1
16
j
j
jX h) ∏
≠
=
4
2
1
2
j
j
jX 
 
8 – Escreva usando notação de somatório ou produtório, conforme o caso: 
a) 
2
442211
222





 −
+
−
+
− YXYXYX
 
b) a! 
c) ))()(( 312111 YXYXYX +++ 
d) )()()()()()( 322212312111 YXYXYXYXYXYX +++++ 
e) ).)...()(( 2211 nn YXYXYX 
 
9 – Considere os seguintes valores: 
 
X1 = 2 X2 = 4 X3 = 6 X4 = 8 X5 = 10 X6 = 12 X7 = 14 X8 = 16 
Y1 = 1 Y2 = 3 Y3 = 5 Y4 = 7 Y5 = 9 Y6 = 11 Y7 = 13 Y8 =15 
 
Calcule os seguintes somatórios e produtórios: 
a) )3(
8
1
5
2
−∑∑
= =i j
iX b) ∑
=






−
8
1
2
2i
i
i YX c) ∏
=
4
1i
iX 
d) ∏
=
4
2 3i
iiYX
 
 
10 – Desenvolver: 
a) ∑
=






+
3
1
2 1
i j
i b) ∑∑
≠
= =
+
−
5
4
1
4
2
22 )(
j
j i ji
jji
 c) 
25
1
)8( 





+∑
=i
i 
d) ∏
=
+
5
1
)8(
i
i 
 
11 – Se ∑
=
=
3
1
12
i
iX ∑
=
=
3
1
2 56
i
iX e 31 =Y 52 =Y 63 =Y , calcule: 
a) ∑
=
3
1
9
i
 b) ∑
=
3
1
12
i
iX c) )2(
3
1
2
1 −∑
=i
X d) )(
3
1
i
i
iYX∑
=
 
 
12 – Se X1 = 2, X2 = 4, X3 = 6 e Y1 = 3, Y2 = 5, Y3 = 6, calcule: 
a) )(
3
1
i
i
iYX∑
=
 b) )5)(2(
3
1
−−∑
=
i
i
i YX 
 12 
13 – Calcule X9 e X21, sabendo-se que: 
∑
=
=
50
1
200
i
iX ∑
=
=
50
1
2 1206
i
iX ∑
≠
=
=
50
219
1
190
ei
i
iX ∑
≠
=
=
50
219
1
2 1154
ei
i
iX 
 
14 – Dados: 
i fi Xi 
1 3 10 
2 5 11 
3 9 15 
4 10 19 
Calcule: a) ∑
=
4
1i
iX b) ∑
=
4
1i
if c) ∑
=
4
1i
ii Xf d) 
∑
∑
=
=
4
1
4
1
i
i
i
ii
f
Xf
 
15 – Com a finalidade de aumentar a produção de lã de suas ovelhas, por meio de uma alimentação 
mais apropriada um criador separou 28 ovelhas de sua criação. Como as ovelhas eram de idades 
diferentes, dividiu-as em 7 grupos (G), sendo que dentro de cada um destes grupos havia 4 ovelhas 
de mesma idade e homogeneidade para as demais características. Dentro de cada grupo foi 
realizado um sorteio para distribuir ao acaso, os 4 tipos de alimentação (TA) às ovelhas do grupo. O 
experimento se iniciou logo após as ovelhas terem sido submetidas a uma tosquia e se encerrou 
quando já era o momento de se realizar uma nova tosquia, da qual obtiveram-se os seguintes 
resultados, expressos em unidade de medida de lã por animal: 
 
GRUPOS TA 1 2 3 4 5 6 7 Totais 
1 30 32 33 34 29 30 33 221 
2 29 31 34 31 33 33 29 220 
3 43 47 46 47 48 44 47 322 
4 23 25 21 19 20 21 22 151 
Totais 125 135 134 131 130 128 131 914 
 
Calcular: 
a) ∑
=
4
1
.
i
iX b) ∑
=
7
1
.
j
jX c) ∑
=
4
1
2
.
i
iX d) ∑
=
7
1
2
.
jjX 
 
e) 2
4
1
.
)(∑
=i
iX f) 2
7
1
.
)(∑
=j
jX g) ∑∑
==
7
1
2
.
4
1
.
j
j
i
i XX 
h) X.. i) ∑∑
= =
4
1
7
1i j
ijX j) ∑∑
= =
4
1
7
1
2
i j
ijX 
 
k) ∑∑
= =
4
1
7
1
2)(
i j
ijX l) ∑
=
4
1
1
i
iX m) ∑
=
7
1
1
j
jX n) ∑
=
4
1
2
1
i
iX 
 
o) ∑
=
7
1
2
1
j
jX p) 2
4
1
7 )(∑
=i
iX q) ∑
=
4
1
2
7
i
iX r) 2
7
1
4 )(∑
=j
jX s) ∑
=
7
1
2
4
j
jX 
 
 
 13 
RESPOSTAS 
1 – 
a) 63 b) 51 c) 14 d) -60
 
2 – 
a) 5(3+ 1/j) b) 429/20 
 
3 – 
X1 = 2 ou 6; X2 = 6 ou 2 
 
 
 
4 – 
a) 40 b) 240 c) 1600 d) 80/9 e) 0 f) 80 g) 80/9 
h) 4
 
5 – 
a) 1 b) 24 c) 93 
 
6 –
a) 30 + 60b b) 16 c) 159 d) 63cb e) 150 
 
 
7 – 
a) 12 b) 29 c) 45 d) 30 e) 10 f) 17/20 g) 108864 
h) 80 
 
9 – 
a) 192 b) 140 c) 19,59 d) 746,66 
 
10 – 
a) 5(3 + 1/j) b) -18 c) 3025 d) 154440 
 
11 – 
a) 27 b) 144 c) 50 d) 3X1 + 5X2 + 6X3 
 
12 – 
a) 62 b) 4 
 
13 – 
 X9 = 4 e X21 = 6 
 
14 – 
a) 55 b) 27 c) 410 d) 410/27 
 
15 – 
a) 914 b) 914 c) 223726 d) 119412 e) 835396 
f) 835396 g) 109142568 h) 914 i) 914 j) 32050 k) 835396 
l) 125 m) 221 n) 4119 o) 6999 p) 17161 q) 4623 
r) 22801 s) 3281