Exercícios Resolvidos - Diagonalização e cônicas
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Exercícios Resolvidos - Diagonalização e cônicas

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GAAL - Lista de Exerc´\u131cios - 5
Diagonalizac¸a\u2dco e co\u2c6nicas
SOLUC¸O\u2dcES
Exerc´\u131cio 1: Considere o plano pi de equac¸a\u2dco 2x+ y \u2212 3z = 0.
(a) Mostre que este plano e´ um subespac¸o de R3 exibindo uma base {W1,W2} para
pi. Observe que se este e´ o caso, enta\u2dco pi e´ o espac¸o gerado por W1 e W2, ou seja,
pi e´ o conjunto de todas as combinac¸o\u2dces lineares de W1 e W2. Complete esta base
{W1,W2} de pi para uma base {W1,W2,W3} de R3.
(b) Determine uma base ortogonal {V1, V2} de pi. Complete esta base para uma base
ortogonal {V1, V2, V3} de R3.
(c) Determine uma base ortonormal {U1, U2} de pi. Complete esta base para uma base
ortonormal {U1, U2, U3} de R3.
SOLUC¸A\u2dcO:
(a) Uma base para um subespac¸o e´ um conjunto de vetores linearmente independentes
que geram o espac¸o. No caso de um plano pela origem, uma base e´ um conjunto de
dois vetores na\u2dco paralelos pertencentes a este plano. Na\u2dco existe regra ou restric¸a\u2dco
alguma: basta escolher dois vetores quaisquer no plano com o cuidado de um na\u2dco
ser mu´ltiplo do outro. Existem va´rias maneiras para se obter estes dois vetores.
\u2022 1o modo: atribuindo valores. Queremos uma base para o plano 2x+y\u22123z = 0.
Substituindo, por exemplo, x = 0 e z = 1 nesta equac¸a\u2dco obtemos y = 3. Isto
significa que W1 = (0, 3, 1) e´ um vetor do plano pi. Substituindo agora, por
exemplo, x = 2 e z = 1 obtemos y = \u22121. Logo W2 = (2,\u22121, 1) e´ um outro
vetor deste plano. Como W1 e W2 na\u2dco sa\u2dco mu´ltiplos um do outro, o conjunto
{W1,W2} e´ uma base para pi. (nesta soluc¸a\u2dco poderiam ser escolhidos outros
valores para x e z)
\u2022 2o modo: separando as varia´veis. Da equac¸a\u2dco 2x + y \u2212 3z = 0 obtemos
y = \u22122x+3z. Logo todo vetor W do plano pi e´ da forma W = (x,\u22122x+3z, z)
onde x e z sa\u2dco varia´veis livres. Separando estas varia´veis na expressa\u2dco de W
obtemos
W = x(1,\u22122, 0) + z(0, 3, 1).
Esta expressa\u2dco mostra que se W1 = (1,\u22122, 0) e W2 = (0, 3, 1) enta\u2dco todo
vetor de pi e´ uma combinac¸a\u2dco linear de W1 e W2. Como estes vetores na\u2dco sa\u2dco
mu´ltiplos um do outro, conclu´\u131mos que {W1,W2} tambe´m e´ uma base de pi.
Ja´ calculamos uma base {W1,W2} para o plano pi. Para completar esta base para
uma base {W1,W2,W3} de R3 basta escolher W3 qualquer vetor na\u2dco pertencente
ao plano pi, pois uma base de R3 e´ um conjunto de tre\u2c6s vetores na\u2dco coplanares. A
escolha deste vetor W3 tambe´m e´ livre: ele pode ser escolhido como qualquer vetor
que na\u2dco esta´ no plano pi. Por exemplo, como x = 1, y = 0 e z = 0 na\u2dco satisfazem
a equac¸a\u2dco 2x+ y \u2212 3z = 0, podemos considerar W3 = (1, 0, 0).
1
(b) Queremos agora uma base ortogonal para o plano pi. Ou seja, queremos determinar
dois vetores perpendiculares, ambos pertencentes ao plano pi. Vamos determinar
uma tal base de dois modos diferentes.
\u2022 1o modo: usando projec¸a\u2dco ortogonal. No item (a) vimos, por exemplo, que
se W1 = (1,\u22122, 0) e W2 = (0, 3, 1) enta\u2dco {W1,W2} e´ uma base de pi. Como
\u3008W1,W2\u3009 = \u22126 6= 0, esta base na\u2dco e´ ortogonal. Vamos mudar desta base
para uma base ortogonal {V1, V2} usando projec¸a\u2dco ortogonal. Observando a
figura a seguir, estes vetores podem ser definidos por
V1 = W1 e V2 = W2 \u2212 projV1(W2)
Efetuando os ca´lculos obtemos
V1 = W1 = (1,\u22122, 0)
V2 = W2 \u2212 projV1(W2) = (0, 3, 1)\u2212
0\u2212 6 + 0
1 + 4 + 0
(1,\u22122, 0) =
(
6
5
,
3
5
, 1
)
.
Observe que estes vetores V1 = (1,\u22122, 0) e V2 =
(
6
5
,
3
5
, 1
)
satisfazem a
equac¸a\u2dco 2x + y \u2212 3z = 0 e que, como tinha que ser, \u3008V1, V2\u3009 = 0. Portanto,
{V1, V2} e´ uma base ortogonal de pi.
\u2022 2o modo: usando o produto vetorial. Ache um vetor qualquer V1 pertencente
ao plano pi. Por exemplo, podemos considerar V1 = W1 = (1,\u22122, 0). Agora
considere um vetor normal de pi. Como pi tem equac¸a\u2dco 2x+ y \u2212 3z = 0, um
tal vetor normal pode ser N = (2, 1,\u22123). Se definimos V2 como o produto
vetorial V2 = V1 × N , enta\u2dco V2 e´ um vetor ortogonal a N (logo pertencente
ao plano pi) e V2 e´ ortogonal a V1. Isto significa que {V1, V2} e´ uma base
ortogonal de pi. Calculando o produto vetorial
V2 = V1 ×N = det
\uf8ee\uf8f0 ~i ~j ~k1 \u22122 0
2 1 \u22123
\uf8f9\uf8fb = (6, 3, 5).
Portanto obtemos V1 = (1,\u22122, 0) e V2 = (6, 3, 5).
Ja´ sabemos calcular uma base ortogonal {V1, V2} de pi. Para completar esta base
para uma base ortogonal {V1, V2, V3} de R3, podemos considerar V3 = N =
(2, 1,\u22123) onde N e´ vetor normal de pi. Se este e´ o caso, V1, V2 e V3 = N sa\u2dco
tre\u2c6s vetores, dois a dois ortogonais, e esta e´ a definic¸a\u2dco de base ortogonal.
2
(c) No item (b) vimos que se V1 = (1,\u22122, 0), V2 = (6, 3, 5) e V3 = (2, 1,\u22123) enta\u2dco
{V1, V2, V3} e´ uma base ortogonal de R3. Considerando vetores unita´rios
U1 =
V1
\u2016 V1 \u2016 =
(
1\u221a
5
,\u2212 2\u221a
5
, 0
)
U2 =
V2
\u2016 V2 \u2016 =
(
6\u221a
70
,
3\u221a
70
,
5\u221a
70
)
U3 =
V3
\u2016 V3 \u2016 =
(
2\u221a
14
,
1\u221a
14
,\u2212 3\u221a
14
)
obtemos uma base ortonormal {U1, U2, U3} de R3 de modo que {U1, U2} e´ uma
base ortonormal de pi.
Exerc´\u131cio 2: Para cada uma das matrizes abaixo, fac¸a o que se pede.
A =
[
5 2
2 2
]
A =
\uf8ee\uf8f00 1 11 0 1
1 1 0
\uf8f9\uf8fb
(a) Mostre que A e´ diagonaliza´vel exibindo uma matriz invert´\u131vel P e uma matriz
diagonal P tais que P\u22121AP = D.
(b) Como A e´ uma matriz sime´trica sabemos que A e´ diagonaliza´vel por uma matriz
ortogonal. Enta\u2dco construa uma matriz ortogonal P e uma matriz diagonal D
tais que P\u22121AP = D.
(c) Para a matriz P que voce\u2c6 calculou no item (b), verifique que P realmente e´ uma
matriz ortogonal, mostrando a igualdade P\u22121 = P t atrave´s do ca´lculo do produto
P tP .
SOLUC¸A\u2dcO 1: Vamos considerar incialmente
A =
[
5 2
2 2
]
.
(a) Para A ser uma matriz diagonaliza´vel devemos ter P\u22121AP = D, em que P e´
uma matriz invert´\u131vel e D e´ uma matriz diagonal. Mais ainda sabemos que as
colunas de P sa\u2dco autovetores e os elementos da diagonal de D sa\u2dco os respectivos
autovalores de A. Enta\u2dco vamos calcular os autovalores e os autovetores de A.
\u2022 Polino\u2c6mio caracter´\u131stico.
p(\u3bb) = det
[
5\u2212 \u3bb 2
2 2\u2212 \u3bb
]
= \u3bb2 \u2212 7\u3bb+ 6.
\u2022 Autovalores. p(\u3bb) = \u3bb2 \u2212 7\u3bb+ 6 = 0. Tem como ra´\u131zes \u3bb = 1 e \u3bb = 6.
3
\u2022 Autovetores para \u3bb = 1 [
4 2
2 1
] [
x
y
]
=
[
0
0
]
Deste sistema linear obtemos a equac¸a\u2dco 2x + y = 0 ou seja y = \u22122x. Assim
o autoespac¸o associado ao autovalor \u3bb = 1 e´ o seguinte subespac¸o de R2
W1 =
{ [
x
\u22122x
]
\u2208 R2 | \u2200 x \u2208 R
}
\u2022 Autovetores para \u3bb = 6 [ \u22121 2
2 \u22124
] [
x
y
]
=
[
0
0
]
Deste sistema linear obtemos a equac¸a\u2dco \u2212x + 2y = 0 ou seja x = 2y. Assim
o autoespac¸o associado ao autovalor \u3bb = 6 e´ o seguinte subespac¸o de R2
W6 =
{ [
2y
y
]
\u2208 R2 | \u2200 y \u2208 R
}
\u2022 Depois de calcular todos os autovalores e todos os autovetores podemos
construir as matrizes P e D. Como A possui autovalores 1 e 6, definimos
D =
[
1 0
0 6
]
.
Tomando, por exemplo, x = 1 no conjunto W1 e y = 1 no conjunto W6
obtemos os seguintes autovetores associados ao autovalores 1 e 6 respectiva-
mente.
V1 =
[
1
\u22122
]
V2 =
[
2
1
]
Colocando estes vetores V1 e V2 como colunas obtemos
P =
[
1 2
\u22122 1
]
.
(b) Neste exerc´\u131cio, A e´ uma matriz sime´trica. Sabemos que, neste caso, autovetores
associados a autovalores diferentes sa\u2dco vetores ortogonais. Observe que este
realmente e´ o caso pois \u3008V1, V2\u3009 = 0, sendo V1 e V2 os autovetores calculados
no item anterior. Para construir uma matriz ortogonal, as suas colunas devem ser
vetores ortogonais e unita´rios. No item anterior ja´ encontramos vetores ortogonais.
Para obter agora vetores unita´rios, basta dividir os vetores encontrados no item
anterior pelas suas normas. Considere enta\u2dco os seguintes autovetores unita´rios
associados aos autovalores 1 e 6 respectivamente.
U1 =
V1
\u2016 V1 \u2016 =
\uf8ee\uf8ef\uf8ef\uf8f0
1\u221a
5
\u2212 2\u221a
5
\uf8f9\uf8fa\uf8fa\uf8fb U2 = V2\u2016 V2 \u2016 =
\uf8ee\uf8ef\uf8ef\uf8f0
2\u221a
5
1\u221a
5
\uf8f9\uf8fa\uf8fa\uf8fb
4
Colocando estes vetores U1 e U2 como colunas obtemos
P =
\uf8ee\uf8ef\uf8ef\uf8f0
1\u221a
5
2\u221a
5
\u2212 2\u221a
5
1\u221a
5
\uf8f9\uf8fa\uf8fa\uf8fb .
(c) Considerando