Lista de Derivadas

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MAT001 - Cálculo Diferencial e Integral 1
Profº Yuri Aparecido Opata
Lista de Exercícios - Derivadas
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1. Derive as funções dadas.
(a) f(x) = 186, 5 (b) f(x) =
√
30 (c) f(x) = 5x− 1 (d) f(x) = −4x10 (e) f(x) = x3 − 4x+ 6
(f) f(x) = 1, 4x5 − 2, 5x2 + 6, 7 (g) f(x) = x2(1− 2x) (h) f(x) = x5/3 − x2/3 (i) f(x) = 3ex + 4
3
√
x
(j) f(x) =
x2 + 4x+ 3√
x
(k) f(x) = aex +
b
x
+
c
x2
(l) f(x) =
√
x+ x
x2
(m) f(x) =
(√
x+
1
3
√
3
)
(n) f(x) = (x3 + 2x)ex (o) f(x) =
√
xex (p) f(x) =
ex
1 + x
(q) f(x) = (1− ex)(x+ ex)
(r) f(x) = x4ex
2. Encontre a derivada das funções trigonométricas.
(a) f(x) = 3x2 − 2cos(x) (b) f(x) = √xsen(x) (c) f(x) = x2cos(x) (d) f(x) = cos(x)
x
(e) f(x) = x3cos(x) (g) f(x) = ex[cos(x) + ax] (i) f(x) =
cos(x)
1− sen(x) (j) f(x) =
xsen(x)
1 + x
3. Usando a regra da cadeia, derive as funções abaixo dadas.
(a) f(x) = (x4 + 3x2 − 2)5 (b) f(x) = (4x− x2)100 (c) f(x) = 4
√
1 + 2x+ x3 (d) f(x) =
1
(x4 + 1)3
(e) f(x) = 3
√
1 + tg(x) (f) f(x) = cos(a3 + x3) (g) f(x) = e−2xcos(4x) (h) f(x) = xekx
(i) f(x) = (3x− 1)4(2x+ 1)−3 (j) f(x) =
(
x2 + 1
x2 − 1
)2
(k) f(x) =
√
1 + 2e3x (l) f(x) = sen[tg(2x)]
(m) f(x) = extg(
√
x) (n) f(x) = cos
(
1− e2x
1 + e2x
)
4. Usando a regra da cadeia, derive as funções logarítmicas dadas.
(a) f(x) = xln(x)− x (b) f(x) = sen[ln(x)] (c) f(x) = ln[sen2(x)] (d) f(x) = 5
√
ln(x)
(e) f(x) = ln( 5
√
x) (f) f(x) = sen(x)ln(5x) (g) f(x) = ln(x
√
x2 − 1) (h) f(x) = ln(x+
√
x2 − 1)
(i) f(x) = x2ln(2x+ 1) (j) f(x) = ln(x3 + 1) (k) f(x) = ln(xex)
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Respostas:
1.
a) 0; b) 0; c) 5; d) − 40x9; e) 3x2 − 4; f) 7x4 − 5x; g) 2x− 6x2; h) 5x
2/3
3
− 2
3x1/3
; i) 3ex − 4
3
3
√
x4
; j)
3x2 + 4x− 3
2x3/2
;
k) aex − b
x2
− 2c
x3
; l)
−3
2x5/2
− 1
x2
; m)
1
2
√
x
; n) ex(x3 + 3x2 + 2x+ 2); o) ex
(
1
2
√
x
+
√
x
)
; p)
xex
(1 + x)2
;
q) 1− xex − 2e2x; r) ex(4x3 + x4)
2.
a) 6x+ 2sen(x); b)
sen(x)
2
√
x
+
√
xcos(x); c) 2xcos(x)− x2sen(x); d) −
[
xsen(x) + cos(x)
x2
]
; e) 3x2cos(x)− x3sen(x);
f) 5(1+xtg(x))sec(x); g) ex[cos(x)+ax+a−sen(x)]; h) [2− tg(x)] + xsec
2(x)
[2− tg(x)]2 ; i)
1
1− sen(x) ; j)
cos(x)(x2 + x) + sen(x)
(1 + x)2
;
k)
xex[sex(x)− cos(x)] + exsen(x)
sen2(x)
3.
a) 5(x4 + 3x2 − 2)4(4x3 + 6x); b) 100(4x− x2)99(4− 2x); c) (2 + 3x
2)
4(1 + 2x+ x3)3/4
; d)
−12x3
(x4 + 1)4
; e)
sec2(x)
3[1 + tg(x)]2/3
;
f) − 3x2sen(a3 + x3); g) − 4e−2xsen(4x)− 2e−2xcos(4x); h) ekx(1 + kx); i) 12
(
3x− 1
2x+ 1
)3
− 6
(
3x− 1
2x− 1
)4
;
j)
4x(x2 + 1)
(x2 − 1)2
[
1− (x
2 + 1)
(x2 − 1)
]
; k)
3e3x√
1 + 2e3x
; l) 2cos[tag(2x)]sec2(2x); m) extg(
√
x)[tg(
√
x) + x
(
sec2(
√
x)
2
√
x
)
];
n)
4e2x
(1 + e2x)2
sen
(
1− e2x
1 + e2x
)
4.
a) ln(x); b)
cos[ln(x)]
x
; c) 2cotg(x); d)
1
5x[ln(x)]4/5
; e)
1
5x
; f)
sen(x)
x
+ cos(x)ln(5x); g)
1− 2x2
x− x3 ;
h)
1√
x2 − 1 ; i) 2x
[
x
(2x+ 1)
= ln(2x+ 1)
]
; j)
3x2
(x3 + 1)
; k)
1 + x
x
2