Bases de Gröbner

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UNIVERSIDADE FEDERAL DE SERGIPE
DEPARTAMENTO DE MATEMA´TICA
Bases de Grobner e o Algoritmo de Buchberger
Thiago Dantas Santos
Orientador Dro Zaqueu Alves Ramos
2019
Resumo
O objetivo do presente trabalho, e´ estudar um me´todo para soluc¸a˜o de sistemas de
equac¸o˜es polinomiais na˜o lineares. Para isto, se faz necessa´rio a apresentac¸a˜o de conceitos
introduto´rios que chamaremos de preliminares alge´bricas, tais como Ane´is de Polinoˆmios
em va´rias varia´veis, ideais e teoremas que conectam estes conceitos.
Veremos que resolver sistemas de equac¸o˜es polinomiais esta´ diretamente ligado com o
problema da pertineˆncia de um ideal, ale´m do problema da descric¸a˜o de ideais. Assim,
trataremos do problema baseando-se inicialmente no que ocorre no caso de uma varia´vel,
e por conseguinte trataremos do caso geral com uma quantidade arbitra´ria de varia´veis.
Para isto, sera´ estudada a teoria das Bases de Grobner, junto com o Algoritmo de Bu-
chberger, tendo como ferramenta fundamental o Algoritmo da Divisa˜o. Estes resultados
por sua vez, sera˜o a chave para a demonstrac¸a˜o do Teorema da Eliminac¸a˜o, que e´ uma
generalizac¸a˜o do me´todo de Gauss para a soluc¸a˜o de sistemas de equac¸o˜es polinomiais.
Por fim, responderemos as questo˜es sobre a pertineˆncia de um ideal, ale´m de aplica´-la
resolvendo um sistema de equac¸o˜es polinomiais em va´rias varia´veis.
Palavras chave: Sistemas de equac¸o˜es polinomiais, algoritmo da divisa˜o, Base de
Grobner, Algoritmo de Buchberger, Teorema da Eliminac¸a˜o.
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Suma´rio
1 Preliminares Alge´bricas 5
1.1 Ane´is, Corpos e Domı´nios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5
1.2 Ane´is de Polinoˆmios em Uma Varia´vel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10
2 Ane´is de polinoˆmios em va´rias varia´veis 19
2.1 Ordenac¸a˜o Monomial . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
2.2 Algoritmo da Divisa˜o em K[X1, ..., Xn] . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25
2.3 O Lema de Dickson . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30
3 Bases de Grobner e o Algoritmo de Buchberger 35
3.1 O Teorema da Base de Hilbert e a Condic¸a˜o da Cadeia Ascendente . . . . 36
3.2 Bases de Grobner e suas propriedades . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38
3.3 O Algoritmo de Buchberger . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43
4 O Teorema da Eliminac¸a˜o 53
5 Conclusa˜o e Refereˆncias Bibliogra´ficas 59
Introduc¸a˜o
A Teoria das Bases de Grobner foi surgiu em 1965, introduzida por Bruno Buchberger
em sua tese de PhD, e foi batizada com tal nome em homenagem ao seu orientador
Wolfgang Gro¨bner. Apesar de ser um conceito muito amplo que aparece em diversas
a´reas das cieˆncias exatas, como por exemplo na robo´tica, na teoria de co´digos, em visa˜o
computacional, estat´ıstica, teoria de controle, etc. Em particular, fornece um me´todo
para resolver sistemas de equac¸o˜es polinomiais de grau arbitra´rio (sistemas de equac¸o˜es
na˜o-lineares).
No Cap´ıtulo 1, forneceremos conceitos e resultados ba´sicos para a compreensa˜o da
teoria, como ane´is, domı´nios e corpos; ale´m de introduzirmos os ane´is de polinoˆmios em
uma varia´vel, e discutirmos o problema em questa˜o no caso particular de uma varia´vel.
No Cap´ıtulo 2, trataremos do ambiente geral; o anel de polinoˆmios em n varia´veis com
coeficientes em um corpo K.Ale´m disso, trataremos de generalizar a ferramenta que sera´
utilizada por todo o trabalho: o Algoritmo da Divisa˜o nesse novo ambiente.
O Cap´ıtulo 3 e´ o centro de todo o trabalho, onde os principais resultados sera˜o demons-
trados, e toda teoria discutida anteriormente sera´ conectada, e onde sera˜o respondidas as
questo˜es de pertineˆncia e descric¸a˜o de um ideal, ale´m de discutir o me´todo sistema´tico
para soluc¸a˜o de sistema de equac¸o˜es polinomiais, aplicando-no a um exemplo pra´tico.
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Cap´ıtulo 1
Preliminares Alge´bricas
1.1 Ane´is, Corpos e Domı´nios
Definic¸a˜o 1.1. Um anel comutativo com identidade, e´ uma estrutura composta por um
conjunto na˜o vazio A, munido de duas operac¸o˜es bina´rias chamadas adic¸a˜o, e multiplicac¸a˜o
que denotaremos por ”+”e ”·”respectivamente, satisfazendo as seguintes condic¸o˜es:
i) Dados a, b ∈ A, a+ b ∈ A
ii) a+ (b+ c) = (a+ b) + c, quaisquer que sejam a, b, c ∈ A
iii) a+ b = b+ a, ∀a, b ∈ A
iv) Existe um elemento 0 ∈ A, tal que a+ 0 = a, ∀a ∈ A
v) Para cada a ∈ A, existe d ∈ A tal que a+ d = 0.
vi) Dados a, b ∈ A, a · b ∈ A
vii) a · (b · c) = (a · b) · c, ∀a, b, c ∈ A
viii) a · b = b · a, ∀a, b ∈ A
ix) Existe um elemento 1 ∈ A, tal que a · 1 = a, qualquer que seja a ∈ A
x) Quaisquer que sejam a, b, c ∈ A, a(b+ c) = ab+ ac
Observac¸a˜o 1.1. Denotaremos por (A,+, ·) o anel A munido das operac¸o˜es + e ·. Ale´m
disso, em vez de escrevermos a · b iremos denotar apenas por ab.
Como nosso foco sa˜o os ane´is comutativos com identidade, e iremos trabalhar apenas
em tais ambientes, utilizaremos apenas a terminologia anel. Mas estara´ impl´ıcito que tal
este e´ comutativo e com identidade.
Observac¸a˜o 1.2. Os elementos 0 e 1 da Definic¸a˜o 1.1 sa˜o u´nicos, e sa˜o chamados de
zero e identidade, respectivamente. O mesmo vale para o elemento do item (v), que por
ser u´nico, o denotaremos por −a, para cada a ∈ A. Tal elemento e´ chamado de inverso
aditivo ou sime´trico.
Exemplo 1.1. (Z,+, ·), (Q,+, ·), (R,+, ·), (C,+, ·) sa˜o exemplos de ane´is comutativos
com identidade.
5
Exemplo 1.2. Considere o conjunto
F(R,R) = {f : R→ R | f e´ func¸a˜o }
e definamos a adic¸a˜o e multiplicac¸a˜o da forma
(f + g)(x) = f(x) + g(x)
(fg)(x) = f(x)g(x)
qualquer que seja x ∈ R.
Enta˜o, F(R,R) e´ um anel comutativo com identidade, onde 0 e´ a func¸a˜o identicamente
nula, e 1 e´ a func¸a˜o constante f(x) = 1, ∀x ∈ R.
Definic¸a˜o 1.2. Seja (A,+, ·) um anel, e S um subconjunto de A. Dizemos que S e´ subanel
de A, se S e´ um anel com as operac¸o˜es induzidas de A.
Exemplo 1.3. Z e´ subanel de Q sob as operac¸o˜es usuais de adic¸a˜o e multiplicac¸a˜o. O
mesmo vale para Q e R e tambe´m entre R e C.
Exemplo 1.4. E´ subanel de F(R,R), o conjunto
C(R,R) = {f ∈ F(R,R) | f e´ cont´ınua }
Definic¸a˜o 1.3. Seja A um anel. Um divisor de zero de A, e´ um elemento b ∈ A tal que
existe c ∈ A− {0} tal que bc = 0.
Observac¸a˜o 1.3. Todo anel possui pelo menos um divisor de zero, pois como 0 = 0 + 0,
enta˜o, qualquer que seja a ∈ A− {0},
0 = 0 + 0⇒ a0 = a(0 + 0) = a0 + a0
Donde a0 = a0 + a0. Da´ı, somando −a0, obtemos
−a0 + a0 = −a0 + (a0 + a0)
0 = (−a0 + a0) + a0
= 0 + a0
= a0
Isto e´, 0 = a0 e 0 e´ um divisor de zero.
Definic¸a˜o 1.4. Um domı´nio de integridade, ou simplesmente domı´nio, e´ um anel onde o
u´nico divisor de zero e´ 0.
Definic¸a˜o 1.5. Seja A um anel. Um elemento a ∈ A − {0} e´ dito invert´ıvel, se existe
b ∈ A tal que ab = 1.
Observac¸a˜o 1.4. Tal elemento da definic¸a˜o acima e´ u´nico e o chamamos de inverso. Para
verificarmos a unicidade, suponhamos que existe b′ ∈ A tal que ab′ = 1, para todo a em
A, enta˜o ter´ıamos que ab = ab′. Da´ı, multiplicando b′ a ambos os lados desta igualdade,
obtemos b′(ab) = b′(ab′). Logo, (b′a)b = (b′a)b′; ou seja, 1b = 1b′; donde b = b′. Portanto,
dado a um elemento invert´ıvel, denotaremos seu inverso por a−1.
Definic¸a˜o 1.6. Um corpo e´ um domı´nio onde todo elemento na˜o nulo e´ invert´ıvel.
6
Proposic¸a˜o 1.1. Todo corpo e´ um domı´nio.
Demonstrac¸a˜o. De fato, seja A um corpo, e a, b ∈ A−{0} tais que ab = 0. Da´ı, supondo
sem perda de generalidade que a 6= 0, enta˜o a e´ invert´ıvel. Da´ı,
ab = 0⇒ a−1(ab) = a−10⇒ (a−1a)b = 0⇒ 1b = 0⇒ b = 0
e o resultado segue.
Observac¸a˜o 1.5. Nem todo anel e´ um domı´nio. Para verificarmos esta afirmac¸a˜o, con-
sidere o conjunto
F = {f : R→ R | f e´ func¸a˜o}
Assim, definindo a adic¸a˜o e multiplicac¸a˜o de func¸o˜es usuais; ou seja, dado x ∈ R arbitra´rio,(f + g)(x) = f(x) + g(x)
(fg)(x) = f(x)g(x)
temos que (F ,+, ·) e´ um anel, onde o zero e´ a func¸a˜o identicamente nula, e a identidade
sendo a func¸a˜o constante 1.
Agora, sejam f, g ∈ F dadas por
f(x) =
{
x, se x 6 0
0, se x < 0
g(x) =
{
0, se x 6 0
x, se x < 0
respectivamente. Observe que ambas f e g sa˜o func¸o˜es na˜o nulas. Contudo,
(fg)(x) = f(x)g(x) =
{
x · 0, se x 6 0
0 · x, se x < 0 = 0 ∀x ∈ R
Exemplo 1.5. Sa˜o exemplos de domı´nios (Z,+, ·), (Q,+, ·), (R,+, ·), (C,+, ·), e de
corpos (Q,+, ·), (R,+, ·), (C,+, ·). Ale´m disso, (Z,+, ·) e´ um bom exemplo que mostra
que nem todo domı´nio e´ corpo, pois os u´nicos elementos invert´ıveis de Z, sa˜o 1 e −1.
Definic¸a˜o 1.7. Seja A um anel, e I ⊂ A um subconjunto na˜o vazio. Dizemos que I e´
ideal de A, se
i) 0 ∈ I
ii) ∀a, b ∈ I, a+ b ∈ I
iii) Dado a ∈ A e c ∈ I, ac ∈ I
Exemplo 1.6. O conjunto dos nu´meros inteiros pares 2Z = {2n|n ∈ Z} e´ um ideal de
Z pois 0 = 2 · 0; ou seja, 0 ∈ 2Z. Ale´m disso, dados dois nu´meros pares a, b, temos que
a = 2n e b = 2m, para alguns m e n inteiros. Enta˜o, a + b = 2n + 2m = 2(m + n), e
a+ b ∈ 2Z. Por fim, dado k um nu´mero inteiro e c ∈ 2Z, kc = k(2q) = 2(kq) ∈ 2Z, para
algum q ∈ Z. Portanto o conjunto dos nu´meros inteiros pares e´ um ideal de Z.
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Observac¸a˜o 1.6. Dado um anel A, temos que {0} e o pro´prio A, sa˜o ideais de A. Estes
ideais sa˜o chamados de ideais triviais do anel A.
Observac¸a˜o 1.7. Em um corpo K, os u´nicos ideais sa˜o os triviais. De fato, suponhamos
que existe um outro ideal I 6= {0} de K, e sejam a ∈ K − {0}, e b ∈ I − {0}. Assim,
a = a1 = a(b−1b) = (ab−1)b
Como ab−1 ∈ K, e b ∈ I, segue que a ∈ I; ou seja, K = I.
Proposic¸a˜o 1.2. Seja A um anel, e S 6= ∅ um subconjunto de A. Enta˜o o conjunto
(S) =
{∑
aisi|ai ∈ A, si ∈ S
}
e´ um ideal de A.
Demonstrac¸a˜o. Observe que 0 ∈ (S), pois 0 = ∑ 0si.
Agora, sejam
∑
aisi,
∑
bisi ∈ (S). Enta˜o∑
aisi +
∑
bisi =
∑
(ai + bi)si ∈ (S)
Ale´m disso, dado c ∈ A, e ∑ aisi ∈ (S), temos que
c
∑
aisi =
∑
(cai)si ∈ (S)
e o resultado segue.
O ideal acima, e´ chamado ideal gerado por S. Observe que S ⊂ (S), e mais; (S) e´ o
menor ideal contendo S; ou seja, qualquer outro ideal contendo S tambe´m conte´m (S).
De fato, se I for um outro ideal tal que S ⊂ I, enta˜o ∀si ∈ S, si ∈ I. Assim, como I e´
ideal,
∑
aisi ∈ I, com os a′is em A. Da´ı, (S) ⊂ I.
Quando S for um conjunto finito; ou seja, S = {s1, ..., sn}, dizemos que (S) e´ um ideal
finitamente gerado, que representaremos por (s1, ..., sn) em vez de (S). Em particular,
quando n = 1; isto e´, quando S = {s}, denotamos este ideal por (s), e dizemos que (s) e´
um ideal principal.
Definic¸a˜o 1.8. Um domı´nio D e´ dito domı´nio de ideais principais, ou simplesmente DIP,
se todo ideal I ⊂ D e´ principal; ou seja, I = (d), para algum d ∈ D.
Observac¸a˜o 1.8. Dado um anel A, podemos escreveˆ-lo da forma A = (1), que e´ o ideal
trivial.
Um exemplo interessante de domı´nio de ideais principais, e´ o conjunto Z dos nu´meros
inteiros. De fato, seja I ⊂ Z um ideal. Se I = {0}, enta˜o I = (0), que e´ principal.
Suponha enta˜o, que I 6= {0}, e seja a o menor elemento de I. Afirmamos que I = (a).
Com efeito, claramente (a) ⊂ I.
Para mostrarmos a inclusa˜o inversa, considere b ∈ I. Se b = 0, b ∈ (a), pois 0 = 0.a =
b.a. Deste modo, consideremos que b 6= 0. Podemos supor que b > 0. Logo, existem
q, r ∈ Z tais que b = aq + r, onde r = 0 ou r < a. Observe que r = 0, pois do contra´rio,
como b = aq + r, enta˜o r = b − aq; ou seja, r ∈ I, contradizendo a minimalidade de a.
Portanto b = aq, donde b ∈ (a) e I = (a), ou seja, I e´ gerado por um u´nico elemento.
Definic¸a˜o 1.9. Seja A um anel, e P ⊂ A um ideal. Dizemos que P e´ ideal primo, se
P 6= A, e se dados a, b ∈ A tais que ab ∈ P , tivermos que a ∈ P ou b ∈ P .
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Observac¸a˜o 1.9. Em um domı´nio D, {0} = (0) e´ ideal primo, pois por D ser domı´nio,
D 6= (0). Ale´m disso, dados a, b ∈ D tais que ab ∈ (0), ab = 0; donde a = 0 ou b = 0; isto
e´ a ∈ (0) ou b ∈ (0).
Exemplo 1.7. Em Z, todo ideal primo na˜o nulo e´ da forma (p), onde p e´ um nu´mero
inteiro primo. De fato, inicialmente, observe que (p) e´ um ideal primo, pois (p) 6= Z, por
1 6= (p).Agora, sejam a, b ∈ Z tais que ab ∈ (p), temos que ab = np, para algum n ∈ Z.
Logo p|ab, e pelo Lema de Euclides, p|a ou p|b. Por fim, dado P ⊂ Z um ideal primo na˜o
nulo, mostraremos que P e´ gerado por um nu´mero primo. Com efeito, como Z e´ DIP,
P = (a), para algum a ∈ Z. Por (a) ser ideal primo, 1 6= (a); ou seja, a 6= ±1. Ale´m
disso, por (a) ser ideal primo, dados inteiros m e n tais que mn ∈ (a), temos que m ∈ (a)
ou n ∈ (a); ou seja, a|m ou a|n. Logo a e´ um inteiro primo.
Definic¸a˜o 1.10. Seja A um anel e M ⊂ A um ideal. Dizemos que M e´ um ideal maximal,
se M 6= A, e se os u´nicos ideais em A que conte´m M sa˜o M e o pro´prio A; ou seja, se
existir um ideal J tal que M ⊂ J ⊂ A, enta˜o J = M ou J = A.
Exemplo 1.8. Em Z, os ideais maximais sa˜o os ideais primos na˜o nulos. De fato, seja
M ⊂ Z um ideal primo com M 6= {0}, e suponha que existe N ⊂ Z ideal tal que
M ⊂ N ⊂ Z. Assim, como todo ideal em Z e´ principal, existem p, n ∈ Z com p primo tais
que M = (p) e N = (n). Logo (p) ⊂ (n) ⊂ Z. Em particular, p ∈ (n); ou seja p = nk,
para algum k inteiro. Deste modo, segue que n = ±1 ou k = ±1; isto e´, (n) = Z ou
(n) = (p), como quer´ıamos.
Proposic¸a˜o 1.3. Todo ideal maximal e´ primo.
Demonstrac¸a˜o. Seja A um anel, e M ⊂ A um ideal maximal. Assim, M 6= A. Agora,
considere a, b ∈ A tais que ab ∈M , mas a 6= M . Da´ı, temos que
M (M,a) ⊂ A
Assim, como M e´ maximal, temos que (M,a) = A. Em particular, 1 ∈ (M,a); donde
1 = m + an, para algum m ∈ M e n ∈ A. Multiplicando b a` essa equac¸a˜o, obtemos
b = bm+ ban; ou seja, b ∈M .
Observac¸a˜o 1.10. A rec´ıproca da proposic¸a˜o acima na˜o e´ verdadeira, pois num domı´nio
D (que na˜o seja corpo), {0} = (0) e´ um ideal primo, mas na˜o e´ maximal, pois qualquer
outro ideal I ⊂ D, e´ tal que (0) ⊂ I ⊂ D.
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1.2 Ane´is de Polinoˆmios em Uma Varia´vel
E´ sabido, que um polinoˆmio com coeficientes em um anel, e´ um expressa˜o da forma
a0 + a1X + a2X
2 + ...+ anX
n
onde os ai’s sa˜o chamados coeficientes, e X, as inco´gnitas ou indeterminadas. No entanto,
esta e´ uma forma ”pra´tica”de representar estes objetos. Assim, como os polinoˆmios sa˜o
personagens chaves e importantes na teoria que esta´ sendo discutida, iremos tratar de
polinoˆmios a priori com sua notac¸a˜o formal.
Seja A um anel. Definiremos o seguinte conjunto, denominado conjunto das sequeˆncias
quase nulas :
AN = {(a0, a1, a2, ...) | com ai ∈ A, i ∈ N, e am = 0, ∀m > n, para algum n ∈ N }
Assim, definindo as operac¸o˜es de adic¸a˜o e multiplicac¸a˜o respectivamente por
⊕ : AN × AN −→ AN
((a1, a2, ...), (b1, b2, ...)) 7−→ (a1 + b1, a2 + b2, ...)
� : AN × AN −→ AN
((a1, a2, ...), (b1, b2, ...)) 7−→ (c1, c2, ...)
onde ck = a0bk + a1bk−1 + ...+ ak−1b1 + akb0, ∀ k > 1; temos que AN e´ um anel, chamado
Anel de Polinoˆmios com coeficientes em A, onde
1. (0, 0, 0, ...) e´ o zero do anel;
2. (1, 0, 0, ...) e´ a identidade do anel;
3. Dado (a1, a2, ...) ∈ AN, o oposto de (a1, a2, ...), e´ (−a1,−a2, ...).
Observe que como A e´ comutativo, AN tambe´m o e´.
Ale´m disso, observe tambe´m que dado (a1, a2, ...) ∈ AN, definimos
(a1, a2, ...)
n = (a1, a2, ...)� (a1, a2, ...)� ...� (a1, a2, ...)︸ ︷︷ ︸
n vezes
Perceba tambe´m que dados (0, ..., 0, an, 0, ...), (0, ..., 0, 1, 0, ...) com an e 1 ocupando a
(n+ 1)-e´sima posic¸a˜o, temos que
(i) (0, ..., 0, an, 0, ...) = (an, 0, ...)� (0, ..., 0, 1, 0, ...)
(ii) (0, ..., 0, 1, 0, ...) = (0, 1, 0, ...)n
Da´ı, segue de (i) e (ii) que podemos escrever (a0, a1, ..., an, 0, ...) como
(a0, 0, ...)⊕[(a1, 0, ...)�(0, 1, 0, ...)]⊕[(a2, 0, ...)�(0, 1, 0, ...)2]⊕...⊕[(an, 0, ...)�(0, 1, 0, ...)n]
Portanto, se nos referirmosa` X em vez de (0, 1, 0, ...) e ai em vez de (ai, 0, ...), obtemos
a forma conhecida dos polinoˆmios:
10
a0 + a1X + a2X
2 + ...+ anX
n
Portanto, em vez de AN, denotaremos o anel de polinoˆmios com coeficientes em A na
varia´vel X por A[X], e representaremos os seus elementos por f(X), g(X), h(X), e assim
sucessivamente.
Agora, faremos as seguintes identificac¸o˜es:
1. O zero de A[X], chamado polinoˆmio nulo, identificaremos por
0 = 0 + 0X + 0X2 + ...+ 0Xn
que e´ o zero do anel A.
2. A identidade de A[X], identificaremos como sendo o polinoˆmio
1 = 1 + 0X + 0X2 + ...+ 0Xn
3. Se dado f(X) = a0 + ...+ anX
n ∈ A[X], identificaremos o inverso (ou sime´trico) de
f(X), por
−f(X) = (−a0) + (−a1)X + ...+ (−an)Xn
Exemplo 1.9. Sa˜o exemplos de ane´is de polinoˆmios Z[X], Q[X], R[X], C[X].
Observac¸a˜o 1.11. Denotaremos por K[X] o anel de polinoˆmios com coeficientes em K,
onde K e´ um corpo arbitra´rio.
Exemplo 1.10. Se tivermos A = Z, enta˜o f(X) = 3 + 2X + 7X2 e´ um polinoˆmio em
Z[X].
Definic¸a˜o 1.11. Seja f(X) = a0 + ...+anX
n ∈ A[X]. Enta˜o f(X) se escreve de maneira
u´nica no seguinte sentido: Se f(X) = b0 + b1X + ...+ bmX
m, com n 6 m, enta˜o
a0 + a1X + ...+ anX
n = b0 + b1X + ...+ bmX
m
onde ai = bi para todo i 6 n, e bj = 0, para todo j > n.
Definic¸a˜o 1.12. Seja A um anel, e f(X) = a0 + ... + anX
n ∈ A[X] um polinoˆmio na˜o
nulo. O grau de f(X), denotado por gr(f(X)), e´ o maior i ∈ N (1 6 i 6 n, tal que ai 6= 0.
Definic¸a˜o 1.13. Um monoˆmio, e´ um polinoˆmio da forma Xm, onde m e´ um inteiro
positivo.
Definic¸a˜o 1.14. Seja A um anel, e f(X) = a0 + ... + anX
n ∈ A[X] um polinoˆmio na˜o
nulo. Enta˜o,
1. O coeficiente l´ıder de f(X), denotado por CL(f(X)), e´ o elemento an tal que
n = gr(f(X))
2. O monoˆmio l´ıder de f(X) e´ o monoˆmioXgr(f(X)), o qual denotaremos porML(f(X))
3. O termo l´ıder de f(X), denotado por TL(f(X)), e´ o elemento CL(f(X))·ML(f(X)).
11
Definic¸a˜o 1.15. Um polinoˆmio f(X) ∈ A[X], onde A e´ um anel, e´ dito moˆnico, se
CL(f(X)) = 1.
Exemplo 1.11. f(X) = 13 + 4X +X3 ∈ Z[X] e´ moˆnico pois CL(f(X)) = 1.
Assim, todo monoˆmio e´ um polinoˆmio moˆnico, e todo polinoˆmio pode ser visto como
uma combinac¸a˜o de monoˆmios.
Exemplo 1.12. Seja f(X) = 3 + 2X4 + 13X5 ∈ Z[X]. Enta˜o,
i) gr(f(X)) = 5
ii) ML(f(X)) = X5
iii) CL(f(X)) = 13
iv) TL(f(X)) = 13X5
Proposic¸a˜o 1.4. Seja A um anel, e f(X), g(X) ∈ A[X]. Enta˜o
gr(f(X)g(X)) 6 gr(f(X)) + gr(g(X))
Demonstrac¸a˜o. Digamos que f(X) = a0+a1X+...+anX
n e g(X) = b0+b1X+...+bmX
m,
com gr(f(X)) = n e gr(g(X)) = m. Da´ı por definic¸a˜o temos que
f(X)g(X) = a0b0 + (a0b1 + a1b0)X + ...+ anbmX
n+m
Da´ı, se anbm 6= 0, observe que gr(f(X)g(X)) = n + m = gr(f(X)) + gr(g(X)). Caso
contra´rio, segue da 1.12 que o grau de f(X)g(X) sera´ o maior ı´ndice i com 1 6 i <
m + n tal que a0bi + ... + aib0 6= 0; ou seja, gr(f(X)g(X)) = i < m + n. Portanto,
gr(f(X)g(X)) 6 m+ n.
Em particular, no caso em que A e´ um domı´nio, como an, bm 6= 0 implica anbm 6= 0,
temos sempre que gr(f(X)g(X)) = gr(f(X)) + gr(g(X)). Da´ı, segue imediatamente que
se A e´ domı´nio enta˜o A[X] tambe´m o e´.
Em Z, sabemos que vale o algoritmo da divisa˜o. Vimos que essa ferramenta e´ de
suma importaˆncia, e de grande utilidade para o estudo de ideais, por exemplo. Ane´is
de polinoˆmios sera´ o ambiente no qual as discusso˜es ocorrera˜o para a teoria das Bases
de Grobner. Enta˜o, e´ natural questionar sobre a existeˆncia de uma espe´cie de algoritmo
da divisa˜o para ane´is de polinoˆmios. Como os elementos sa˜o diferentes (polinoˆmios na˜o
sa˜o nu´meros inteiros), pode-se pensar que na˜o. Mas a resposta e´ sim. Contudo, se faz
necessa´rio algumas modificac¸o˜es.
Teorema 1.1. (Algoritmo da Divisa˜o em Ane´is de Polinoˆmios) Seja A um anel, e
f(X), g(X) ∈ A[X] com g(X) 6= 0. Se o coeficiente l´ıder de g(X) e´ invert´ıvel em A,
enta˜o existem q(X), r(X) ∈ A[X] tais que
f(X) = g(X)q(X) + r(X)
onde r(X) = 0 ou gr(r(X)) < gr(g(X)).
12
Demonstrac¸a˜o. Inicialmente, provaremos a existeˆncia. Com efeito, se f(X) = 0, ou se
gr(f(X)) < gr(g(X)) enta˜o basta tomar q(X) = 0 e r(X) = f(X).
Agora, se f(X) 6= 0 e gr(g(X)) 6 gr(f(X)), enta˜o a prova sera´ por induc¸a˜o sobre
gr(f(X)). Com efeito, se gr(f(X)) = 0, enta˜o gr(g(X)) = 0; ou seja, f(X) = a, e
g(X) = b, para alguns a, b ∈ A. Da´ı, como o coeficiente l´ıder de g(X) e´ invert´ıvel por
hipo´tese, basta tomar q(X) = b−1a, e r(X) = 0; ou seja, a = b(b−1a) + 0.
Assuma agora, que o teorema e´ va´lido para todo polinoˆmio com grau menor do que
n, e digamos que f(X) = a0 + a1X + ... + anX
n com an 6= 0; isto e´, gr(f(X)) = n e
g(X) = b0 + b1X + ... + bmX
m com gr(g(X)) = m, com m 6 n. Nosso objetivo, sera´
dividir f(X) por g(X). Com efeito, como CL(g(X)) = bm e´ invert´ıvel, multipliquemos
anb
−1
m X
n−m a` g(X). Da´ı, obtemos
anb
−1
m X
n−m(b0 + b1X + ...+ bmXm)
que por sua vez, e´ igual a`
anX
n + anb
−1
m X
n−1 + ...+ anb−1m b0X
n−m
Agora, note que anb
−1
m X
n−mg(X) tem o mesmo grau que f(X). Deste modo, o po-
linoˆmio
f(X)− anb−1m Xn−mg(X)
tem grau menor ou igual a` n (ou e´ o polinoˆmio nulo). Desta forma, pela hipo´tese de
induc¸a˜o, existem q1(X), r1(X) ∈ A[X] tais que
f(X)− anb−1m Xn−mg(X) = g(X)q1(X) + r1(X)
com r(X) = 0 ou gr(r1(X)) < gr(g(X)). Consequentemente,
f(X) = g(X)[anb
−1
m X
n−m + q1(X)] + r(X)
onde r1(X) = 0 ou gr(r1(X)) < gr(g(X)). Por conseguinte, o teorema vale para q(X) =
anb
−1
m X
n−m + q1(X) e r(X) = r1(X) e gr(f(X)) = n, e a existeˆncia se verifica.
Para provarmos a unicidade, suponha que existam q2(X), r2(X) tais que
f(X) = g(X)q2(X) + r2(X)
com r2(X) = 0 ou gr(r2(X)) < gr(g(X)). Enta˜o,
g(X)q(X) + r(X) = g(X)q2(X) + r2(X)
ou seja,
g(X)[q(X)− q2(X)] = r2(X)− r(X)
Perceba que se q(X)− q2(X) = 0, enta˜o a demonstrac¸a˜o chega ao fim. Do contra´rio,
segue da Proposic¸a˜o 1.4 que
gr(g(X)[q(X)− q2(X)]) > gr(g(X))
No entanto, ambos r(X) e r2(X) possuem graus menor do que o grau de g(X), e o mesmo
vale para r2(X)− r(X), o que nos leva a uma contradic¸a˜o. Portanto q(X)− q2(X) = 0;
donde r2(X)− r(X) = 0 e chegamos ao desejado.
13
Em particular, se A = K, onde K e´ um corpo, a u´nica restric¸a˜o para g(X) e´ que
g(X) 6= 0, pois o coeficiente por ser elemento de um corpo e´ sempre invert´ıvel. Portanto,
em K[X] sempre vale o algoritmo da divisa˜o.
Exemplo 1.13. Sejam f(X) = 3X4 + 5X2 + 7 ,g(X) = 5X2 +X + 1 ∈ Q[X]. Desejamos
encontrar q(X), r(X) ∈ Q[X] tais que
3X4 + 5X2 + 7 = (5X2 +X + 1)q(X) + r(X)
onde r(X) = 0 ou gr(r(X)) < gr(g(X)) = 2; ou seja, r(X) = 0 ou r(X) = a1X + a0.
Assim, apliquemos o algoritmo da divisa˜o ater obter r(X) = 0 ou r(X) = a1X +a0. Com
efeito, note que
3X4 + 5X2 + 7 5X2 +X + 1
−3X4 − 3
5
X3 − 3
5
X2 3
5
X2 − 3
25
X + 113
125
−3
5
X3 − 22
5
X2 + 7
3
5
X3 + 3
25
X2 − 3
25
X
113
25
X2 − 3
25
X + 7
−113
25
X2 − 113
125
X − 113
125
−98
25
X + 762
125
Portanto, q(X) = 3
5
X2 − 3
25
X + 113
125
e r(X) = −98
25
X + 762
125
, como quer´ıamos.
Definic¸a˜o 1.16. Seja A um anel, e f(X) ∈ A[X]. Um elemento a ∈ A e´ tido raiz de
f(X), se f(a) = 0.
Exemplo 1.14. Se f(X) = 3X + 1 em Q[X], enta˜o a = −1
3
e´ raiz de f(X), pois
f(−1
3
) = 0.
Observac¸a˜o 1.12. Dado f(X) ∈ A[X], onde A e´ um anel, o resto da divisa˜o de f(X)
por X − a e´ f(a).
Como foi dito, os ane´is de polinoˆmios com coeficientes num corpo, sera´ o ambiente em
que ocorrera˜o as discusso˜es e o estudo de toda a teoria. Em Z, vimos que o algoritmo
da divisa˜o desempenha um importante papel para o estudo dos ideais, onde sabemos
que todo ideal I ⊂ Z e´ da forma I = (m), onde m e´ o menor inteiro positivo tal que
m ∈ I. Tendo em vista que nesse ambiente (Z) o algoritmo da divisa˜o e´ sempre va´lido,
mostramos queem ane´is de polinoˆmios, tambe´m existe um algoritmo da divisa˜o, desde
que o dividendo seja na˜o nulo, e seu coeficiente l´ıder seja invert´ıvel. No entanto, vimos
que se o anel dos coeficientes for um corpo, basta que o dividendo seja na˜o nulo. Enta˜o
e´ natural questionar-se : Como sa˜o descritos os ideais de K[X]? Podemos descreveˆ-los
atrave´s de geradores? O algoritmo da divisa˜o e´ a ferramenta chave a resposta.
A partir de agora, em vez de ane´is de polinoˆmios com coeficientes em um anel A ar-
bitra´rio, trataremos apenas com A = K, onde K[X] sempre denotara´ o anel de polinoˆmios
com coeficientes em um corpo K.
Proposic¸a˜o 1.5. Seja K um corpo. Enta˜o todo ideal de K[X] e´ principal. Ou seja, K[X]
e´ um DIP.
Demonstrac¸a˜o. Seja I ⊂ K[X] um ideal. Se I = {0}, enta˜o I = (0); ou seja, e´ principal.
Suponha agora que I 6= {0}, e seja f(X) ∈ I o polinoˆmio de I com o menor grau.
Afirmamos que I = (f(X)). De fato, como f(X) ∈ I, enta˜o claramente (f(X)) ⊂ I pois
I e´ ideal.
14
Agora, seja g(X) ∈ I − {0}. Da´ı, pelo Teorema 1.2, existem q(X), r(X) ∈ K[X] tais
que
g(X) = f(X)q(X) + r(X)
onde r(X) = 0 ou gr(r(X)) < gr(f(X)).
Observe que r(X) = 0, pois do contra´rio, como
g(X) = f(X)q(X) + r(X)⇒ r(X) = g(X)− f(X)q(X)
temos que r(X) ∈ I, contradizendo a minimalidade de f(X). Portanto g(X) = f(X)q(X);
ou seja, I ⊂ (f(X)), e o resultado segue.
Sabendo que todo ideal em K[X] e´ principal, outra questa˜o e´ interessante. Por exem-
plo, se tivermos I = (X4 − 1, X6 − 1) ⊂ Q[X], segue da Proposic¸a˜o 1.5, que I = (f(X)),
para algum f(X) ∈ Q[X]. Como encontrar f(X)? Para respondermos esta questa˜o,
falaremos de ma´ximo divisor comum em ane´is de polinoˆmios.
Definic¸a˜o 1.17. Sejam f(X), g(X) ∈ K[X]. Dizemos que f(X) divide g(X), e denota-
mos por f(X)|g(X), se existe h(X) ∈ K[X] tal que g(X) = f(X)h(X).
Assim, se f(X), g(X) ∈ K[X] satisfizerem o Teorema 1.2, segue que f(X)|g(X), se na
divisa˜o
f(X) = g(X)q(X) + r(X)
tivermos r(X) = 0.
Definic¸a˜o 1.18. Sejam f(X), g(X) ∈ K[X]. O ma´ximo divisor comum de f(X) e g(X)
denotado por MDC{f(X), g(X)}, e´ o polinoˆmio moˆnico d(X) ∈ K[X], tal que
1. d(X)|f(X) e d(X)|g(X)
2. Se existir d′(X) ∈ K[X] tal que d′(X)|f(X) e d′(X)|g(X), enta˜o d′(X)|d(X).
Proposic¸a˜o 1.6. Sejam f(X), g(X) ∈ K[X]. Enta˜o MDC{f(X), g(X)} existe e e´ u´nico,
a menos de um elemento invert´ıvel em K.
Demonstrac¸a˜o. Considere o ideal (f(X), g(X)). Como todo ideal em K[X] e´ principal,
(f(X), g(X)) = (d(X)), para algum d(X) ∈ K[X]. Afirmamos que d(X) = MDC{f(X), g(X)}.
De fato, observe inicialmente que d(X)|f(X) e d(X)|g(X).
Suponha agora que exista d′(X) ∈ K[X] tal que d′(X) divida ambos f(X) e g(X).
Assim, existem p(X), q(X) ∈ K[X] tais que
f(X) = d′(X)p(X) e g(X) = d′(X)q(X)
Por outro lado, como d(X) ∈ (f(X), g(X))
∃ f1(X), g1(X) ∈ K[X] ; d(X) = f(X)f1(X) + g(X)g1(X)
ou seja
d(X) = [d′(X)p(X)]f1(X) + [d′(X)q(X)]g1(X) = d′(X)[p(X)f1(X) + q(X)g1(X)]
donde d′(X)|d(X). Portanto d(X) = MDC{f(X), g(X)}, e a existeˆncia se verifica.
15
Para provarmos a unicidade, suponha que h(X) seja outro MDC{f(X), g(X)}. Assim,
pela Definic¸a˜o 1.18, h(X)|d(X) e d(X)|h(X); ou seja, existem a(X), b(X) ∈ K[X] tais
que
d(X) = a(X)h(X) e h(X) = b(X)d(X)
isto e´, d(X) = a(X)b(X)d(X). Como todo corpo e´ um domı´nio, segue que
d(X) = a(X)b(X)d(X)⇒ gr(d(X)) = gr(a(X))+gr(b(X))+gr(d(X))⇒ 0 = gr(a(X))+gr(b(X))
ou seja, gr(a(X)) = 0 ou b(X) = 0; donde a(X) = c ou b(X) = c′, com c, c′ ∈ K, e
chegamos ao desejado.
Apesar de sabermos a existeˆncia do ma´ximo divisor comum de dois polinoˆmios, en-
contrar esse ma´ximo divisor comum ainda e´ uma inco´gnita. A existeˆncia desse elemento
implica diretamente em resolver o problema de encontrar o gerador de um ideal da forma
I = (f(X), g(X)). No entanto, o Teorema 1.2 nos fornece um algoritmo para encontrar o
MDC{f(X), g(X)}.
Consideremos enta˜o, f(X), g(X) ∈ K[X], com g(X) 6= 0. Pelo 1.2, existem u´nicos
q(X), r(X) ∈ K[X] tais que f(X) = g(X)q(X) + r(X), onde r(X) = 0 ou gr(r(X)) <
gr(g(X)). Se r(X) = 0, MDC{f(X), g(X)} = f(X). Do contra´rio,afirmamos que
MDC{f(X), g(X)} = MDC{r(X), g(X)}
De fato, pela Proposic¸a˜o 1.6, e´ suficiente mostrar que
(f(X), g(X)) = (r(X), g(X))
Com efeito, observe que claramente (r(X), g(X)) ⊂ (f(X), g(X)). Agora, dado
h(X) ∈ (f(X), g(X)), h(X) = f(X)t(X) + g(X)p(X), para alguns t(X), p(X) ∈ K[X].
E como f(X) = g(X)q(X) + r(X),
h(X) = r(X)t(X) + g(X)[q(X)t(X) + p(X)
e obtemos a inclusa˜o inversa.
Deste modo, pelo Teorema 1.2, existem q1(X), r1(X) ∈ K[X] tais que g(X) = r(X)q1(X)+
r1(X), onde r1(X) = 0 ou gr(r1(X)) < gr(r(X)). E com argumento ana´logo ao que foi
feito acima, obtemos que
MDC{g(X), r(X)} = MDC{r(X), r1(X)}
Observe que obteremos enta˜o uma sequeˆncia de graus
gr(g(X)) > gr(r(X)) > gr(r1(X)) > ...
e como o grau e´ um nu´mero inteiro na˜o negativo, o processo terminara´ quando algum dos
ri(X) = 0.
Agora, podemos encontrar os geradores do ideal (X2 − 4, X−7X + 10) ⊂ R[X]. Com
efeito, observe que
16
X4 − 1 = 0(X6 − 1) +X4 − 1
X6 − 1 = X2(X4 − 1) +X2 − 1
X4 − 1 = (X2 + 1)(X2 − 1) + 0
Portanto,
MDC{X4 − 1, X6 − 1} = MDC{X6 − 1, X4 − 1}
= MDC{X4 − 1, X2 − 1}
= MDC{X2 − 1, 0}
= X2 − 1
Donde (X4 − 1, X6 − 1) = (X2 − 1).
E´ natural questionar-se sobre o seguinte fato: Se tivermos I = (f1(X), f2(X), ..., fn(X))
com n > 2 ? Assim como definimos o ma´ximo divisor comum entre dois polinoˆmios, de-
finimos tambe´m o ma´ximo divisor comum de treˆs ou mais polinoˆmios.
Definic¸a˜o 1.19. Sejam f1(X), ..., fn(X) ∈ K[X]. O ma´ximo divisor comum de f1(X), ..., fn(X),
denotado por MDC{f1(X), ..., fn(X)}, e´ o polinoˆmio moˆnico d(X) ∈ K[X] tal que
(i) d(X)|fi(X), ∀i = 1, ..., n
(ii) Se d′(X) ∈ K[X] e´ tal que d′(X)|fi(X), ∀i = 1, ..., n, enta˜o d′(X)|d(X).
Assim como fizemos para o ma´ximo divisor comum de dois polinoˆmios, temos uma
caracterizac¸a˜o para treˆs ou mais polinoˆmios.
Proposic¸a˜o 1.7. Sejam f1(X), ..., fn(X) ∈ K[X] com n > 2. Enta˜o MDC{f1(X), ..., fn(X)}
existe e e´ u´nico a menos de uma constante na˜o nula em K.
Demonstrac¸a˜o. Como todo ideal de K[X] e´ principal, existe d(X) ∈ K[X] tal que
(f1(X), ..., fn(X)) = (d(X))
Afirmamos que d(X) = MDC{f1(X), ..., fn(X)}. De fato, como cada fi(X) ∈ (d(X)),
temos que d(X)|fi(X), ∀ i = 1, ..., n, . Seja agora g(X) ∈ K[X] tal que g(X)|fi(X), para
cada i = 1, ..., n ou seja, existem h1(X), ..., hn(X) ∈ K[X] tais que
f1(X) = g(X)h1(X)
...
fn(X) = g(X)hn(X)
No entanto, d(X) ∈ (f1(X), ..., fn(X)); ou seja,
d(X) = t1(X)f1(X) + ...+ tn(X)fn(X)
ou seja,
d(X) = [t1(X)h1(X) + ...+ tn(X)hn(X)]g(X)
17
donde g(X)|d(X).
Por fim, se supormos que exista d′(X) ∈ K[X] tal que d′(X) = MDC{f1(X), ..., fn(X)},
com um argumento ana´logo a Proposic¸a˜o 1.6 conclu´ımos que d′(X) = d(X).
Proposic¸a˜o 1.8. Sejam f1(X), ..., fn(X) ∈ K[X]. Enta˜o
MDC{f1(X), ..., fn(X)} = MDC{f1(X),MDC{f2(X), ..., fn(X)}}
Demonstrac¸a˜o. Pela Proposic¸a˜o 1.7, temos que se d(X) = MDC{f2(X), ..., fn(X)}, enta˜o
(MDC{f1(X), d(X)}) = (MDC{f1(X), ..., fn(X)})
donde MDC{f1(X), d(X)} = MDC{f1(X), ..., fn(X)}, como quer´ıamos.
Segue da Proposic¸a˜o 1.7 e da Proposic¸a˜o 1.8, que podemos encontrar o gerador de um
ideal da forma (f1(X), ..., fn(X)) calculando sucessivos ma´ximos divisores comuns como
na Proposic¸a˜o 1.8.
De maneira geral, obtemos todas as respostas com relac¸a˜o a um dado ideal I ⊂ K[X]:
I = (f(X)), para algum f(X) ∈ K[X], e ale´m disso, para determinar se um dado
polinoˆmio g(X) ∈ K[X] pertence a` I, basta verificar se o resto pela divisa˜o de g(X) pelo
gerador de I e´ zero.
18
Cap´ıtulo 2
Ane´is de polinoˆmios em va´rias
varia´veis
Agora, expandiremos nossos horizontes. Vimos que se o anel de polinoˆmios e´ do tipo
K[X]; ou seja, em uma varia´vel, sabemos que todo ideal de K[X] e´ da forma (f(X)),
onde f(X) ∈ K[X]. Mas se em vezde uma varia´vel tivermos uma quantidade n > 1 de
varia´veis X1, ..., Xn ? Podemos descrever os ideais em termos dos seus geradores como
fizemos em K[X]? Quais as condic¸o˜es para que um dado polinoˆmio, agora em mais de
uma varia´vel pertenc¸a a um dado ideal nesse novo ambiente? E´ uma questa˜o pertinente.
Contudo se faz necessa´ria uma discussa˜o a priori : O que vem a ser um anel de polinoˆmios
em mais de uma varia´vel? Antes de mais nada, comecemos definindo o que vem a ser um
monoˆmio.
Definic¸a˜o 2.1. Um monoˆmio em n varia´veis, ou simplesmente um monoˆmio em X1, ..., Xn,
e´ um produto da forma
Xα11 · · ·Xαnn
com α1, ..., αn sendo inteiros na˜o negativos.
Por simplicidade, utilizaremos as seguintes notac¸o˜es:
i) Z>0 denotara´ o conjunto dos inteiros na˜o negativos, e
Zn>0 = Z>0 × Z>0 × ...× Z>0︸ ︷︷ ︸
n vezes
ii) O monoˆmio Xα11 · · ·Xαnn sera´ denotado por Xα, onde α ∈ Zn>0. Da´ı, se α = (0, ..., 0),
enta˜o Xα = 1, e |α| = ∑ni=1 αi denotara´ o grau total do monoˆmio Xα.
Definic¸a˜o 2.2. Um polinoˆmio nas varia´veis X1, ..., Xn com coeficientes em K, e´ uma
combinac¸a˜o linear finita de monoˆmios (com coeficientes em K) . Escrevemos tal polinoˆmio
da forma
f(X1, ..., Xn) =
∑
α
aαX
α
onde a soma e´ sobre um nu´mero finito de n-u´plas α = (α1, ..., αn) ∈ Zn>0.
19
Similarmente vimos em ane´is de polinoˆmios em uma varia´vel, temos agora queK[X1, ..., Xn]
denota o anel de polinoˆmios em n varia´veis.
Por simplicidade de notac¸a˜o, utilizaremos as letras f, g, h, em vez de
f(X1, ..., Xn), g(X1, ..., Xn), h(X1, ..., Xn)
Definic¸a˜o 2.3. Seja f =
∑
α aαX
α ∈ K[X1, ..., Xn]. Enta˜o
1. aα e´ chamado coeficiente do monoˆmio X
α
2. Se aα 6= 0, enta˜o aαXα e´ chamado termo de f
3. O grau total de f , sera´ gr(f) = max{|α| = ∑ni=1 αi}, cujos coeficientes sa˜o na˜o
nulos.
Exemplo 2.1. f = f(X, Y, Z) = 2X3Y 2Z + 3
7
Y 3Z3 − XY Z + 1
2
Y 2 e´ um polinoˆmio em
Q[X, Y, Z]. Ale´m disso,
(i) Os monoˆmios de f sa˜o X3Y 2Z, Y 3Z3, XY Z, e seus respectivos coeficientes sa˜o
2, 3
7
,−1.
(ii) Os termos de f sa˜o 2X3Y 2Z, 3
7
Y 3Z3 e −XY Z.
(iii) gr(f) = 6.
2.1 Ordenac¸a˜o Monomial
Em K[X], ao utilizarmos o algoritmo da divisa˜o, podemos observar que os termos ficam
ordenados conforme vamos dividindo os polinoˆmios uns pelos outros, e quem mante´m essa
ordem satisfato´ria, e´ o grau de cada monoˆmio:
... > Xm+1 > Xm > Xm−1 > ... > X2 > X > 1
Assim, podemos perceber que o sucesso do algoritmo se da´ tambe´m pelo fato dos
monoˆmios estarem ordenados e os termos removidos na˜o serem feitos de forma ”aleato´ria”.
Deste modo, nosso objetivo sera´ ordenar as varia´veis X1, X2, ..., Xn da seguinte forma:
X1 > X2 > ... > Xn
ou seja, em ordem decrescente, conforme aumentamos o ı´ndice n. Para isto, deveremos
observar atentamente e relacionar os monoˆmios Xα = Xα11 · · ·Xαnn com as n-u´plas de
expoentes α = (α1, ..., αn) ∈ Zn>0. Esta observac¸a˜o estabelece uma correspondeˆncia um-a-
um entre os monoˆmios em K[X1, ..., Xn] e Zn>0. Assim, poderemos ordenar os monoˆmios
no seguinte sentido: Se α, β ∈ Zn>0 sa˜o tais que α > β, enta˜o Xα > Xβ. Para isto,
queremos que nossas ordenac¸o˜es sejam ordenac¸o˜es lineares ou totais ; ou seja, dados dois
monoˆmios Xα, Xβ ∈ K[X1, ..., Xn], temos que valha apenas uma das seguintes condic¸o˜es
Xα > Xβ , Xα = Xβ , Xα < Xβ
20
assim como ocorre em Z e Zn>0.
Definic¸a˜o 2.4. Uma Ordenac¸a˜o Monomial sobre K[X1, ..., Xn], e´ uma relac¸a˜o ”>”em
Zn>0; ou seja, uma relac¸a˜o sobre o conjunto dos monoˆmiosXα = X
α1
1 · · ·Xαnn , com α ∈ Zn>0,
satisfazendo
(i) > e´ uma ordenac¸a˜o total ou linear sobre Zn>0; isto e´, dados α, β ∈ Zn>0, com α 6= β,
enta˜o α > β ou β > α.
(ii) Se α, β ∈ Zn>0 sa˜o tais que α > β, enta˜o α + γ > β + γ, ∀γ ∈ Zn>0.
(iii) > e´ uma boa ordenac¸a˜o sobre Zn>0; ou seja, todo subconjunto na˜o vazio de Zn>0
admite um menor elemento sobre >.
Lema 2.1. Uma relac¸a˜o de ordem > sobre Zn>0 e´ uma boa ordenac¸a˜o se, e somente se,
toda sequeˆncia escritamente decrescente em Zn>0
α(1) > α(2) > ...
e´ finita.
Demonstrac¸a˜o. Faremos a demonstrac¸a˜o utilizando a contrapositiva. Com efeito, suponha
que > na˜o e´ uma boa ordenac¸a˜o. Enta˜o, existe um subconjunto na˜o vazio S ⊂ Zn>0 que
na˜o possui um elemento mı´nimo. Da´ı, tome α(1) ∈ S. Se α(1) na˜o e´ o menor elemento
de S, enta˜o podemos obter α(2) ∈ S tac¸ que α(1) > α(2). Continuando deste modo,
obteremos uma sequeˆncia infinita de element
α(1) > α(2) > ...
de elementos de S.
Reciprocamente, suponha que α(1) > α(2) > ... seja uma sequeˆncia infinita. Assim,
{α(1) > α(2) > ...}
e´ um subconjunto na˜o vazio de Zn>0 que na˜o possui um menor elemento. Portanto > na˜o
e´ uma boa ordenac¸a˜o, e o resultado segue.
Definic¸a˜o 2.5. (Ordenac¸a˜o Lexicogra´fica) Sejam α = (α1, ..., αn), β = (β1, ..., βn) ∈ Zn>0.
Diremos que α >lex β, se ao fazermos α− β em Zn>0, a entrada na˜o nula mais a` esquerda,
e´ positiva.
Exemplo 2.2. Sejam α = (3, 4, 2), β = (1, 5, 2), γ = (1, 2, 5), δ = (1, 2, 3) com α, β, γ, δ ∈
Zn>0. Enta˜o
1. α >lex β, pois α− β = (2, 1, 0).
2. γ >lex δ, pois γ − δ = (0, 0, 3).
Dito isto, podemos observar que as varia´veis X1, ..., Xn esta˜o ordenadas usualmente
pela ordenac¸a˜o lexicogra´fica, pois
(1, 0, ..., 0) >lex (0, 1, 0, ..., 0) >lex ... >lex (0, ..., 0, 1)
21
ou seja, X1 >lex ... >lex Xn.
Como nos exemplos iremos trabalhar com polinoˆmios em duas ou treˆs varia´veis, iremos
nos referir a` X1, X2, X3 como X, Y, Z respectivamente, e caso na˜o fac¸amos refereˆncia como
os monoˆmios esetjam ordenados, estara´ impl´ıcito que X >lex Y >lex Z.
A ordenac¸a˜o lexicogra´fica sera´ nosso primeiro exemplo de ordenac¸a˜o monomial.
Proposic¸a˜o 2.1. A Ordenac¸a˜o Lexicogra´fica e´ uma ordenac¸a˜o monomial.
Demonstrac¸a˜o. Para conclu´ırmos a demonstrac¸a˜o, basta verificarmos que a Ordenac¸a˜o
Lexicogra´fica satisfaz a Definic¸a˜o 2.4. Com efeito, segue da pro´pria definic¸a˜o que >lex e´
uma ordenac¸a˜o total. Ale´m disso, se dados α, β ∈ Zn>0 tais que α >lex β, enta˜o a primeira
entrada na˜o nula mais a` esquerda de α − β e´ positiva. Digamos que seja αk − βk. Da´ı,
como dado γ ∈ Zn>0, temos que α−β = (α+γ)−(β+γ), temos que a primeira coordenada
na˜o nula mais a` esquerda ainda e´ αk − βk.
Para mostrarmos a terceira condic¸a˜o da Definic¸a˜o 2.4, faremos por contradic¸a˜o. Supo-
nha enta˜o que >lex na˜o e´ uma boa ordenac¸a˜o. Assim, pelo Lema 2.1, existe uma sequeˆncia
infinita decrescente
α(1) >lex α(2) >lex ... (2.1)
em Zn>0.
Considere agora, a primeira entrada dos α(i)’s. Pela Definic¸a˜o 2.5, as primeiras entra-
das formam uma sequeˆncia na˜o decrescente de inteiros na˜o negativos. Como Z e´ ordenado,
enta˜o tal sequeˆncia se estabiliza; isto e´, existe um ı´ndice k tal que a primeira entrada dos
α(i)’s sa˜o iguais, ∀ i > k.
Agora, observemos a segunda entrada dos α(i)’s, ∀ i > k. Como estas tambe´m
determinam uma ordenac¸a˜o lexicogra´fica, enta˜o existira´ um ı´ndice tal que os elementos da
segunda entrada de cada de cada α(i) ira˜o se estabilizar. Continuando da mesma maneira
nas entradas restantes, obteremos um ı´ndice ` tal que α(`) = α(`+ 1), contradizendo 2.1.
Portanto a Ordenac¸a˜o Lexicogra´fica e´ uma Ordenac¸a˜o Monomial, e a demonstrac¸a˜o se
verifica.
E´ interessante observarmos, que podem existir inu´meras ordenac¸o˜es lexicogra´ficas, a
depender de como as varia´veis sa˜o ordenadas. Ate´ agora, utilizamos a ordenac¸a˜o lexi-
cogra´fica com X1 > X2 > ... > Xn. Contudo, dada qualquer ordenac¸a˜o nas varia´veis
X1, ..., Xn, existe uma ordem lexicogra´fica correspondente. Por exemplo, fazendo X1 = X
e X2 = Y , podemos definir uma ordenac¸a˜o lexicogra´fica tanto pra X > Y , quanto para
Y > X.Assim, a ordenac¸a˜o lexicogra´fica na˜o e´ ta˜o precisa quanto desejamos, pois esta
por exemplo, desconsidera o grau total dos monoˆmios. Seordenarmos X >lex Y >lex Z,
temos que X >lex Y
5Z3. Assim, para propo´sitos futuros, precisaremos levar em conta o
grau total dos monoˆmios na hora em que formos ordena´-los.
Definic¸a˜o 2.6. (Ordenac¸a˜o Lexicogra´fica Graduada) Sejam α, β ∈ Zn>0. Dizemos que
α >grlex β, se
|α|
n∑
i=1
αi > |β| =
n∑
j=1
ou tivermos |α| = |β| e α >lex β.
22
Exemplo 2.3. Sejam α = (1, 2, 3), β = (3, 2, 0), γ = (1, 2, 4), δ = (1, 1, 5) com α, β, γ, δ ∈
Z3>0. Enta˜o
1. α >grlex β, pois |α| > |β|.
2. γ >grlex δ, pois |γ| = |δ|, e γ >lex δ.
Mais uma vez, podemos observar que os monoˆmios X1, ..., Xn tambe´m satisfazem a
Ordenac¸a˜o Lexicogra´fica Graduada; ou seja,
X1 >grlex X2 >grlex ... >grlex Xn
Proposic¸a˜o 2.2. A Ordenac¸a˜o Lexicogra´fica Graduada e´ uma Ordenac¸a˜o Monomial.
Demonstrac¸a˜o. Os itens (i) e (ii) da Definic¸a˜o 2.4 sa˜o ana´logos ao que foi feito na Pro-
posic¸a˜o 2.1.
Agora, se tivermos |α| = |β| e α >lex β, o resultado segue pela Proposic¸a˜o 2.1. Do
contra´rio, suponha que >grlex na˜o e´ uma ordenac¸a˜o monomial. Assim pelo Lema 2.1,
existe uma sequeˆncia decrescente infinita
α(1) >grlex α(2) >grlex ... (2.2)
em Zn>0.Contudo, isto implica que
|α(1)| > |α(2)| > ...
e´ uma sequeˆncia de inteiros na˜o negativos infinita, contradizendo o Princ´ıpio da Boa
Ordenac¸a˜o em Z. Portanto >grlex e´ uma Ordenac¸a˜o Monomial, como quer´ıamos.
Agora, observe que se tivermos f = 4XY 2Z+4Z2−5X3 +7X2Z2 ∈ Q[X, Y, Z], enta˜o
temos que
1. f = −5X3 + 7X2Z2 + 4XY 2Z + 4Z2, com respeito a` Ordenac¸a˜o Lexicogra´fica
2. f = 7X2Z2+4XY 2Z−5X3+4Z2, com relac¸a˜o a` Ordenac¸a˜o Lexicogra´fica Graduada
Definic¸a˜o 2.7. Seja f =
∑
α aαX
α ∈ K[X1, ..., Xn] − {0}, e ”>”uma ordenac¸a˜o mono-
mial. Enta˜o
(i) O multigrau de f e´ MG(f) = max{α ∈ Zn>0|aα 6= 0}
(ii) O coeficiente l´ıder de f , e´ o elemento
CL(f) = aMG(f) ∈ K
(iii) O monoˆmio l´ıder de f e´ ML(f) = XMG(f) (com coeficiente l´ıder 1)
(iv) O termo l´ıder de f e´ TL(f) = CL(f)ML(f)
Exemplo 2.4. Se tivermos f = 4XY 2Z + 4Z2 − 5X3 + 7X2Z2 ∈ Q[X, Y, Z], e fixando
>lex, enta˜o
23
(i) MG(f) = (3, 0, 0)
(ii) CL(f) = −5
(iii) ML(f) = X3
(iv) TL(f) = −5X3
Lema 2.2. Sejam f, g ∈ K[X1, ..., Xn]− {0}. Enta˜o, sa˜o va´lidos
(i) MG(fg) = MG(f) +MG(g)
(ii) Se f + g 6= 0, enta˜o
MG(f + g) 6 max{MG(f),MG(g)}
Se ale´m disso, tivermos MG(f) 6= MG(g), enta˜o a igualdade ocorre.
Demonstrac¸a˜o. (i)
Sejam f =
∑r
i=1 aiX
α(i), g =
∑s
j=1 bjX
β(j) ∈ K[X1, ..., Xn], com ai, bj ∈ K e α(i), β(j) ∈
Zn>0 , (i = 1, ..., r), (j = 1, ..., s). Fixando uma ordenac¸a˜o monomial >, podemos supor
que
α(1) > ... > α(r) e β(1) > ... > β(s)
donde MG(f) = α(1) e MG(g) = β(1). Ale´m disso,
f · g =
(
r∑
i=1
aiX
α(i)
)
·
(
s∑
j=1
bjX
β(j)
)
=
r∑
i=1
s∑
j=1
(aibj)X
α(i)+β(j)
Agora observe que α(1) > α(i), para todo i satisfazendo 2 6 i 6 r, e β(1) > β(j),
qualquer que seja j satisfazendo 2 6 j 6 s. Deste modo,
α(1) + β(j) > α(i) + β(j) (2.3)
α(i) + β(1) > α(i) + β(j) (2.4)
com i, j satisfazendo 1 < i 6 r, 1 < j 6 s. Da´ı, somando as equac¸o˜es (2.3) e (2.4),
obtemos
α(1) + β(1) + α(i) + β(j) > 2(α(i) + β(j))
ou seja,
α(1) + β(1) > α(i) + β(j)
quaisquer que sejam i, j satisfazendo 1 < i 6 r, 1 < j. Portanto MG(fg) = α(1) + β(1).
(ii)
Sejam f, g ∈ K[X1, ..., Xn] como definido acima, agora sob a condic¸a˜o de que f+g 6= 0.
Logo MG(f + g) esta´ bem definido.
24
Suponhamos agora, que MG(f) 6= MG(g); ou seja, α(1) > α(i) e β(1) > β(j), para
todo i, j satisfazendo 1 < i 6 r, 1 < j 6 s.
Como α(1) 6= β(1), enta˜o MG(f + g) sera´ o maior entre eles; ou seja, MG(f + g) =
max{MG(f),MG(g)}.
Contudo, se tivermos MG(f) = MG(g), teremos treˆs possibilidades:
1. TL(f) = TL(g): Nesse caso, na˜o ha´ cancelamento de termos l´ıderes; donde MG(f+
g) = max{MG(f),MG(g)}.
2. TL(f) = −TL(g): Neste caso, os termos l´ıderes se cancelam, e enta˜o MG(f + g) <
MG(f) = MG(g); ou seja, MG(f + g) < max{MG(f),MG(g)}.
3. TL(f) 6= −TL(g): Ana´loga a` possibilidade 1.
e a demonstrac¸a˜o se verifica.
2.2 Algoritmo da Divisa˜o em K[X1, ..., Xn]
Como vimos, o Algoritmo da Divisa˜o em K[X] pode ser utilizado para resolver o pro-
blema da pertineˆncia de um ideal. Agora, iremos estudar o problema para uma quantidade
maior de varia´veis; ou seja, nosso objetivo sera´ estudar quais as condic¸o˜es e em quais
situac¸o˜es podemos dividir f ∈ K[X1, ..., Xn] por polinoˆmios f1, ..., fs ∈ K[X1, ..., Xn].
Veremos que isso significa expressar f da forma
f =
n∑
i=1
aifi
onde os ”quocientes”a1, ..., an e o resto r vive emK[X1, ..., Xn]. No entanto, sera´ necessa´rio
ordenarmos os monoˆmios para que possamos caracterizar este resto.
A ideia ba´sica do algoritmo, e´ a mesma que utiliza´vamos no caso para uma varia´vel.
Queremos cancelar o termo l´ıder de f , com respeito a` ordenac¸a˜o monomial fixada pela
multiplicac¸a˜o de algum fi por um monoˆmio apropriado, e subtrair. Vejamos como ocorre
na pra´tica.
Seja f = XY 2 + 1 ∈ K[X, Y ]. Dividamos f por f1 = XY + 1 e f2 = Y + 1, utilizando
a ordenac¸a˜o monomial X >lex Y .
Inicialmente, observe que TL(f1) = XY e TL(f2) = Y , e ambos tividem TL(f) =
XY 2. Assim, o primeiro passo sera´ cancelar o termo l´ıder de f utilizando o termo l´ıder
de f1. Para isto, multipliquemos o monoˆmio Y a` f1 e depois subtraiamos f1 de f , a obter
XY 2 + 1
XY+1
Y+1
−XY 2 − Y a1 : Y
−Y + 1
Agora, repetimos o processo para −Y + 1. Desta vez, iremos dividir f por f2, pois
TL(f1) - TL(−Y + 1). Ou seja,
25
XY 2 + 1
XY+1
Y+1
−XY 2 − Y a1 : Y
−Y + 1 a2 : Y − 1
Y + 1
2
Como TL(f1), TL(f2) - 2, enta˜o o resto da divisa˜o e´ r = 2, e portanto
XY 2 + 1 = Y (XY + 1) + (−1)(Y + 1) + 2
Agora vamos para um exemplo um pouco diferente. Dividamos f = X2Y +XY 2 +Y 2
por f1 = XY − 1 e f2 = Y 2 − 1 em R[X, Y ]. Como feito no exemplo acima, utilizaremos
a ordenac¸a˜o monomial X >lex Y . Observe que
XY 2 + 1
XY − 1
Y 2 − 1
−X2Y +X a1 : X + Y
XY 2 +X + Y 2
−XY 2 + Y
X + Y 2 + Y
Note que TL(f1), TL(f2) - TL(X + Y 2 + Y ). Contudo, X + Y 2 + Y na˜o e´ o resto da
divisa˜o, pois TL(f2)|Y 2. Deste modo, ”moveremos”X para o resto, e continuaremos com
o algoritmo.
Para implementarmos esta ideia, criaremos uma coluna para o resto r a` esquerda dos
dividendos, onde colocaremos os termos pertencentes ao resto. Ale´m disso, chamaremos
os polinoˆmios abaixo do dividendo de dividendo intermedia´rio, e continuaremos a dividir,
ate´ que ele se anule. Observe:
r X2Y +XY 2 + Y 2
XY − 1
Y 2 − 1
−X2Y +X a1 : X + Y
XY 2 +X + Y 2 a2 : 1
−XY 2 + Y
X ← X + Y 2 + Y
Y 2 + Y
−Y 2 + 1
Y + 1 ← Y + 1
0
Por conseguinte, o resto e´ r = X + Y + 1. Assim,
X2Y +XY 2 + Y 2 = (X + Y )(XY − 1) + (1)(Y 2 − 1) +X + Y + 1
Perceba que o resto e´ uma soma de monoˆmios, na qual nenhum dos monoˆmios e´
divis´ıvel pelos termos l´ıderes de f1 e f2.
Tendo em vista que o algoritmo aparentemente funciona, vejamos sua demonstrac¸a˜o.
Teorema 2.1. (Algoritmo da Divisa˜o em K[X1, ..., Xn]) Fixe uma ordenac¸a˜o monomial
> sobre Zn>0, e seja F = {f1, ..., fs} uma s-upla ordenada de polinoˆmios em K[X1, ..., Xn].
Enta˜o, qualquer que seja f ∈ K[X1, ..., Xn] pode ser escrito como
26
f = a1f1 + ...+ asfs + r
onde os ai’s vivem em K[X1, ..., Xn] e r e´ uma combinac¸a˜o linear de monoˆmios em
K[X1, ..., Xn] tais que nenhum deles e´ divis´ıvel pelos termos l´ıderes dos fi’s. Chamaremos
r de resto de f pela divisa˜o por F . Ale´m disso, se fi 6= 0, ∀i = 1, ..., s, enta˜o
MG(f) >MG(aifi)
para todo i entre 1 e s.
Demonstrac¸a˜o. Observe, que podemos ter as seguintes situac¸o˜es:
(A1) Existe tal TL(fi1) que divide TL(f)
(B1) Na˜o existe TL(fi1) tal que TL(fi1)|TL(f).
Agora, defina
p1 =
{
f −
(
TL(f)
TL(fi1)
)
fi1, caso acontec¸a (A1)
f − TL(f), caso acontec¸a (A2)
De qualquer forma,podemos escrever
f =
(
s∑
i=1
aifi
)
+ p1 + r1
onde r1 = 0 ou r1 = TL(f1).
No entanto, se tivermos que TL(fi) - pi, ∀ i = 1, ..., s, ou p1 = 0, basta tomar
r = p1 + r1. Caso contra´rio, teremos as seguintes situac¸o˜es:
(A2) Existe TL(fi2) que divide TL(f)
(B2) Na˜o existe TL(fi2) tal que TL(fi2)|TL(f).
Por conseguinte, definamos
p2 =
{
f −
(
TL(f)
TL(fi2)
)
fi2, caso acontec¸a (A1)
f − TL(f), caso acontec¸a (A2)
Em ambos os casos, poderemos escrever
f =
(
s∑
i=1
aifi
)
+ p1 + r1 =
(
s∑
i=1
aifi
)
+ p2 + r1 + r2
com r2 = 0 ou r2 = TL(p1).
Se para todo i tivermos que TL(fi) na˜o divide nenhum termo de p2, a demonstrac¸a˜o
se verifica, pois basta fazer r = p2 + r2 + r1. Do contra´rio, constru´ımos p3, p4, e assim
sucessivamente. Agora, devemos verificar que o algoritmo termina. Com efeito; note que
cada vez que definimos um pi, temos que
MG(pi−1) > MG(pi)
27
quando pi 6= 0. Da´ı, pelo Lema 2.2 , a sequeˆncia
MG(p1) > MG(p2) > ...
e´ finita, pois > e´ uma boa ordenac¸a˜o, por hipo´tese. Portanto, existira´ um ı´ndice j tal que
pj = 0, e o processo chegara´ ao fim.
Para finalizarmos a demonstrac¸a˜o, vamos verificar a relac¸a˜o entre MG(f) e MG(aifi).
Para isto, note que todo termo de ai e´ da forma
TL(p)
TL(fij)
, para algum valor de p. Observe
que o algoritmo comec¸a com p1 = f e acabamos de mostrar que MG(pk) decresce a cada
etapa. Isto mostra que TL(pk) 6 TL(f). E assim, por definic¸a˜o de ordenac¸a˜o monomial,
segue que
MG(aifi) 6MG(f)
quando aifi 6= 0, como quer´ıamos.
Um fato interessante sobre o algoritmo da divisa˜o em K[X], e´ que o resto e´ unicamente
determinado. Contudo, isto na˜o ocorre em ane´is de polinoˆmios com mais de uma varia´vel.
Para mostrarmos que isto na˜o ocorre, considere o seguinte exemplo:
Exemplo 2.5. Vamos dividir f = X2Y +XY 2 + Y 2 por f1 = Y
2 − 1 e f2 = XY − 1 em
R[X, Y ].
r X2Y +XY 2 + Y 2
Y 2 − 1
XY − 1
−X2Y +X a1 : X + 1
XY 2 +X + Y 2 a2 : X
−Y 2 + 1
X2Y +X + 1
−X2Y +X
2X ← 2X + 1
1 ← 1
0
Logo,
X2Y +XY 2 + Y 2 = (X + 1)(y2 − 1) +X(XY − 1) + 2X + 1
O exemplo acima mostra que o resto na˜o e´ unicamente caracterizado pela exigeˆncia
de que nenhum dos seus termos seja divis´ıvel por TL(f1), ..., TL(fs). Contudo, a situac¸a˜o
na˜o e´ ta˜o cao´tica quanto se imagina: Se seguirmos precisamente o algoritmo, testando a
divisibilidade de TL(pi) por TL(f1), ..., TL(fs) mantendo a ordem, enta˜o a1, ..., as, r sa˜o
unicamente determinados.
Ale´m disso, os exemplos anteriores nos mostram que a ordenac¸a˜o das s-uplas de po-
linoˆmios F = (f1, ..., fs) importa tanto no nu´mero de passos que o algoritmo vai demorar
para completar o ca´lculo, e nos resultados, e os ai’s e o resto podem mudar se simplesmente
rearranjarmos os fi’s.
Um o´timo uso do algoritmo da divisa˜o em K[X] e´ para resolver o problema da per-
tineˆncia de ideais. E´ natural questionar-se se o mesmo ocorre quando temos mais de uma
varia´vel.
28
Sabemos que se apo´s dividirmos f por f1, ..., fs obtivermos r = 0, enta˜o teremos
f =
∑s
i=1 aifi; ou seja, f ∈ (f1, ..., fs). Desta forma, obter r = 0 numa divisa˜o de f
pelos fi’s e´ uma condic¸a˜o suficiente para verificarmos a pertineˆncia de um ideal da forma
(f1, ..., fs) de K[X1, ..., Xn]. No entanto, veremos que obter r = 0 na divisa˜o na˜o e´ uma
condic¸a˜o necessa´ria para que tenhamos f ∈ (f1, ..., fs).
Exemplo 2.6. Seja f1 = XY + 1 e f2 = Y
2 − 1 polinoˆmios de R[X, Y ], com X >lex Y .
Dividindo f = XY 2 −X por f1, f2, temos
r XY 2 −X XY + 1
Y 2 − 1
−XY 2 − Y a1 : Y
−X ← −X − Y a2 : 0
−Y ← −Y
0
Portanto
XY 2 −X = Y (XY + 1) + 0(Y 2 − 1) + (−X − Y )
Por outro lado, dividindo f por f2, f1,
r XY 2 −X Y
2 − 1
XY + 1
−XY 2 +X a1 : X
0
Donde
XY 2 −X = X(Y 2 − 1) + 0(Y 2 − 1) + 0
Observe que o segundo ca´lculo mostra que f ∈ (f1, f2). Enta˜o o primeiro ca´lculo
mostra que se f ∈ (f1, f2) e´ poss´ıvel obter um resto na˜o nulo na divisa˜o de f por f1
e f2. Deste modo, podemos concluir que o algoritmo da divisa˜o em K[X1, ..., Xn] e´
uma generalizac¸a˜o imperfeita do algoritmo da divisa˜o em K[X]. Para remediar essa si-
tuac¸a˜o, note que quando lidamos com uma colec¸a˜o de polinoˆmios f1, ..., fs ∈ K[X1, ..., Xn],
e´ frequentemente deseja´vel passar ao ideal I gerado por eles. Isto nos permite ir de
f1, ..., fs para outros geradores de I. Ale´m disso, podemos nos questionar qual seria um
”bom”conjunto de geradores para I. Para tal conjunto, iremos querer que o resto da
divisa˜o pelo ”bom”conjunto de geradores de I seja unicamente determinado, e a condic¸a˜o
r = 0 seja equivalente a` pertencer ao ideal.
29
2.3 O Lema de Dickson
Agora estudaremos o problema da descric¸a˜o de um ideal em K[X1, ..., Xn]. Para isto,
vamos comec¸ar com um tipo especial de ideais.
Definic¸a˜o 2.8. Um ideal I ⊂ K[X1, ..., Xn] e´ dito ideal monomial, se existe um subcon-
junto A de Zn>0 (possivelmente finito) tal que I consiste em todos os polinoˆmios que sa˜o
somas finitas da forma ∑
α∈A
hαX
α
e escrevemos I = (Xα;α ∈ A).
Exemplo 2.7. I = (X4Y 2, X3Y 4, X2Y 5) e´ um ideal monomial de K[X, Y ].
Agora, caracterizaremos todos os monoˆmios que pertencem a um dado ideal monomial.
Lema 2.3. Seja I = (Xα;α ∈ A) um ideal monomial. Enta˜o um monoˆmio Xβ pertence
a` I se, e somente se, Xα|Xβ, para algum α ∈ A.
Demonstrac¸a˜o. Se Xβ e´ mu´ltiplo de Xα para algum α ∈ A, enta˜o Xβ ∈ I.
Reciprocamente, suponha que Xβ ∈ I. Assim,
Xβ = h1X
α(1) + ...+ hsX
α(s)
com α(i) ∈ A e hi ∈ K[X1, ..., Xn] para todo i de 1 a` s.
Observe que se expandirmos cada hi como uma combinac¸a˜o linear de monoˆmios, te-
remos
hi =
∑
γ
bγ(i)X
γ(i)
Logo,
Xβ =
∑
γ(1)
bγ(1)X
γ(1)
Xα(1) + ...+
∑
γ(s)
bγ(s)X
γ(s)
Xα(s)
Note que cada parcela do lado direito dessa igualdade e´ divis´ıvel por algum Xα(i), com
α(i) ∈ A. Ale´m disso, como o lado esquerdo da igualdade acima e´ um monoˆmio, enta˜o o
lado direito tambe´m o e´. Por conseguinte,
Xβ = Xγ(i)Xα(i)
ou seja, Xα(i)|Xβ, para algum i entre 1 e s, e o resultado segue.
Note que Xβ e´ divis´ıvel por Xα justamente quando Xβ = XγXα para algum γ ∈ Zn>0.
Ou de maneira equivalente, quando β = γ + α. Assim, o conjunto
α + Zn>0 = {α + γ | γ ∈ Zn>0}
consiste no conjunto de expoentes dos monoˆmios divis´ıveis por Xα.
Por exemplo, se tivermos I = (X4Y 2, X3Y 4, X2Y 5), enta˜o os expoentes dos monoˆmios
em I formam o conjunto
((4, 2) + Z2>0) ∪ ((3, 4) + Z2>0) ∪ ((2, 5) + Z2>0)
30
Agora, veremos que para saber se um dado polinoˆmio f ∈ K[X1, ..., Xn] pertence a`
um ideal monomial, basta estudarmos os monoˆmios de f .
Lema 2.4. Seja I um ideal monomial e f ∈ K[X1, ..., Xn] Enta˜o, sa˜o equivalentes:
i) f e´ uma combinac¸a˜o K-linear dos monoˆmios de I.
ii) Todo termo de f pertence a` I.
iii) f ∈ I
Demonstrac¸a˜o. (i) ⇒ (ii)
Suponha que f e´ uma combinac¸a˜o K-linear dos monoˆmios de I; ou seja
f = aα(1)X
α(1) + ...+ aα(s)X
α(s)
Por outro lado, f =
∑
γ bγX
γ. Da´ı, como f se escreve de maneira u´nica, temos que
cada termo de f e´ da forma aα(i)X
α(i) com 1 6 i 6 s; ou seja, cada termo de f pertence
a` I.
(ii) ⇒ (iii)
Como cada termo de f pertence a` I, segue da pro´pria definic¸a˜o de ideal que f ∈ I
(iii) ⇒ (i)
Suponha que f ∈ I. Enta˜o, segue da definic¸a˜o de ideal monomial que
f =
s∑
i=1
hiX
α(i)
com os hi’s em K[X1, ..., Xn] e os α(i)’s em A ⊂ Zn>0. Com o mesm o racioc´ınio feito
na demonstrac¸a˜o do Lema 2.3, teremos que o lado direito da igualdade acima e´ divis´ıvel
por algum Xα(i). Assim, segue do mesmo Lema que cada parcela de f pertence a` I, e
portanto f e´ uma combinac¸a˜o K-linear dos monoˆmios de I.
Corola´rio 2.1. Dois ideais monomiais sa˜o iguais se, e somente se, conte´m os mesmos
monoˆmios.
Agora, trataremos do resultado central destasessa˜o.
Teorema 2.2. (Lema de Dickson) Todo ideal monomial I = (Xα;α ∈ A) de K[X1, ..., Xn]
e´ da forma
I = (Xα(1), ..., Xα(s))
com α(1), ..., α(s) ∈ A ⊂ Zn>0. Em outras palavras, I e´ um ideal finitamente gerado.
Demonstrac¸a˜o. A demonstrac¸a˜o sera´ por induc¸a˜o sobre o nu´mero de varia´veis. Observe
que se n = 1, enta˜o I = (Xα1 ), com α ∈ A ⊂ Zn>0. Agora, considere β o menor elemento
de A. Assim, β 6 α, qualquer que seja α ∈ A. Ale´m disso, Xβ1 divide todos os outros
geradores Xα1 . Logo I = (X
β
1 ).
Agora, suponha que o teorema vale para n − 1 varia´veis. Escreveremos as varia´veis
como X1, ..., Xn−1, Y . Assim, os monoˆmios em K[X1, ..., Xn−1, Y ] podem ser escrito como
XαY m, com α ∈ Zn−1>0 e m um nu´mero inteiro na˜o negativo.
31
Seja enta˜o I ⊂ K[X1, ..., Xn−1, Y ] um ideal monomial. Para encontrarmos gerado-
res para I, considere o ideal J em K[X1, ..., Xn−1] gerado pelos monoˆmios Xα tais que
XαY m ∈ I, para algum m > 0.
Por hipo´tese de induc¸a˜o, J = (Xα(1), ..., Xα(s)). Ale´m disso, observe que para cada i
(1 6 i 6 s), a definic¸a˜o de J nos diz que Xα(i)Y mi ∈ I, para algum inteiro na˜o negativo
mi. Por conseguinte, tomemos m = max{mi|1 6 i 6 s}. Da´ı, para cada k entre 1 e
m − 1, consideremos o ideal Jk ⊂ K[X1, ..., Xn−1] gerado pelos monoˆmios Xβ tais que
XβY k ∈ I. E mais uma vez, a hipo´tese de induc¸a˜o nos fornece que
Jk = (X
αk(1), ..., Xαk(sk))
(podemos ver Jk como uma fatia de I gerada pelos monoˆmios contendo Y na k-e´sima
poteˆncia)
Afirmamos que I e´ gerado pelos monoˆmios da seguinte lista:
J0 : X
α0(1), ..., Xα0(s0)
J1 : X
α1(1)Y, ..., Xα1(s1)Y
J2 : X
α2(1)Y 2, ..., Xα2(s2)Y 2
...
Jm−1 : Xαm−1(1)Y m−1, ..., Xαm−1(sm−1)Y m−1
J : Xα(1)Y m, ..., Xα(s)Y m
Observe inicialmente que todo monoˆmio de I e´ divis´ıvel por algue´m da lista. De fato,
seja XαY p ∈ I. Enta˜o,
(i) Se p > m, enta˜o XαY p e´ divis´ıvel por algum Xα(i)Y m, pela construc¸a˜o de J .
(ii) Se p 6 m− 1, enta˜o XαY p e´ divis´ıvel por algum Xαp(i)Y p, pela construc¸a˜o de Jp.
Desta forma, segue do Lema 2.3 que os monoˆmios acima geram um ideal contendo os
mesmos monoˆmios, tal como I. E pelo Corola´rio 2.1, estes ideais sa˜o iguais.
Para completarmos a prova do teorema, precisamos mostrar que um conjunto finito de
geradores pode ser escolhido a partir de um dado conjunto de geradores (possivelmente
infinito) do ideal. Com efeito, note que se retomarmos a situac¸a˜o anterior para escrever
as varia´veis como X1, ..., Xn, o nosso ideal monomial e´ J = (X
α;α ∈ A) ⊂ K[X1, ..., Xn].
Nosso objetivo sera´ mostrar que I e´ gerado por um nu´mero finito de monoˆmios Xα com
α ∈ A. Oras, pelo para´grafo anterior, temos que I = (Xβ(1), ..., Xβ(s)), para alguns
Xβ(i) ∈ I. E pelo Lema 2.3, cada Xβ(i) e´ divis´ıvel por Xα(i), para algum α(i) ∈ A. Logo
Xβ(i) = hiX
α(i), com hi ∈ K[X1, ..., Xn] para todo i (1 6 i 6 s. Desta forma, dado f ∈ I,
f =
s∑
i=1
aiX
β(i) =
s∑
i=1
(aihi)X
α(i)
com os aihi’s em K[X1, ..., Xn]. Portanto I = (X
α(1), ..., Xα(s)), como quer´ıamos.
O Lema de Dickson resolve o problema da descric¸a˜o de ideais para o caso em que os
geradores sa˜o ideais monomiais, pois e´ mostrado que este e´ gerado por uma quantidade
finita de monoˆmios.
Assim, se I = (Xα(1), ..., Xα(s)), enta˜o um dado polinoˆmio f ∈ K[X1, ..., Xn] pertence
a` I se, e somente se, o resto da divisa˜o de f por Xα(1), ..., Xα(s) e´ zero.
Ale´m disto, podemos utilizar o Lema de Dickson para demonstrar o seguinte fato:
32
Corola´rio 2.2. Seja ”>”uma relac¸a˜o em Zn>0 satisfazendo
(i) ”>”e´ uma ordenac¸a˜o total em Zn>0
(ii) Se α > β em Zn>0, e dado γ ∈ Zn>0 tais que α + γ > β + γ
Enta˜o ”>”e´ uma boa ordenac¸a˜o se, e somente se, α > 0, ∀α ∈ Zn>0.
Demonstrac¸a˜o. Suponha que ”>”e´ uma boa ordenac¸a˜o, e seja α0 o menor elemento de
Zn>0 sobre ”>”. Da´ı, basta mostrar que α0 > 0. De fato, se 0 > α0, enta˜o pela hipo´tese
(ii), ter´ıamos que α0 > 2α0, o que e´ imposs´ıvel pois contradiz a minimalidade de α0.
Reciprocamente, suponha que α > 0, ∀α ∈ Zn>0, e seja A ⊂ Zn>0 um conjunto na˜o vazio.
Basta mostrar que A possui um menor elemento. Com efeito, sendo I = (Xα;α ∈ A) um
ideal monomial, o Lema de Dickson garante que
I = (Xα(1), ..., Xα(s))
para alguns α(1), ..., α(s) ∈ A. Da´ı, rearranjando se necessa´rio, podemos assumir que
α(s) > α(s− 1) > ... > α(2) > α(1)
Afirmamos que α(1) e´ o menor elemento de A. Para verificarmos a afirmac¸a˜o, considere
α ∈ A. Enta˜o Xα ∈ I, e pelo Lema 2.3, Xα e´ divis´ıvel por algum Xα(i) (1 6 i 6 s);
donde α = α(i) + γ para algum γ ∈ Zn>0. Logo γ > 0, e pela hipo´tese (ii)
α = α(i) + γ > α(i) + 0
ou seja, α(i) > α(1), e o resultado segue.
Definic¸a˜o 2.9. Seja I ⊂ K[X1, ..., Xn] um ideal monomial, enta˜o {Xα(1), ..., Xα(s)} e´ dita
base minimal de I, se Xα(i) - Xα(j), ∀i 6= j.
Proposic¸a˜o 2.3. Todo ideal monomial em K[X1, ..., Xn] possui uma base minimal.
Demonstrac¸a˜o. Seja I ⊂ K[X1, ..., Xn] um ideal monomial. Para provarmos a existeˆncia,
observe que o Lema de Dickson garante a existeˆncia de uma base finita para I constitu´ıda
de monoˆmios. Ale´m disso, note que se um desses monoˆmios divide o outro, este pode ser
retirado do conjunto por ser supe´rfluo (e ainda continuaremos com a base). E como a
quantidade de elementos desta base e´ finita, basta fazer isto repetidamente, e a existeˆncia
se verifica.
Por fim, mostraremos a unicidade. Para isto, suponha que I possua uma outra base
minimal, digamos {Xβ(1), ..., Xβ(t)} . Assim, como Xα(1) e´ um monoˆmio em I, e pelo
Lema 2.3, Xβ(i)|Xα(1), para algum i entre 1 e t. Por outro lado, tambe´m temos que Xβ(i)
e´ um monoˆmio em I. Mais uma vez Lema 2.3, garante que Xα(k)|Xβ(i), para algum k.
Da´ı, Xα(1) = Xα(k)h, para algum h ∈ K[X1, ..., Xn]; ou seja, k = 1 e Xα(1) = Xβ(i).
Assim, a menos de reindexac¸a˜o, podemos tomar i = 1.
Analogamente, tomando Xα(2) ∈ I, temos que existe Xβ(j) tal que, com argumento
analogo ao feito acima, Xα(2) = Xβ(j). Iterando o argumento, obteremos a igualdade.
33
34
Cap´ıtulo 3
Bases de Grobner e o Algoritmo de
Buchberger
Agora, solucionaremos por completo o problema da descric¸a˜o de um ideal. Para isto,
estudaremos ideais que possuem bases com ”boas”propriedades relativas ao algoritmo da
divisa˜o em K[X1, ..., Xn]. A ideia chave que usaremos, e´ que uma vez escolhida uma
ordenac¸a˜o monomial, cada f ∈ K[X1, ..., Xn] possui um u´nico termo l´ıder TL(f). Enta˜o,
para qualquer ideal I de K[X1, ..., Xn], precisamos definir o que vem a ser um ideal de
termos l´ıderes.
Definic¸a˜o 3.1. Seja I ⊂ K[X1, ..., Xn] um ideal na˜o trivial. Enta˜o, denotaremos por
TL(I) o conjunto dos termos l´ıderes dos elementos de I; ou seja
TL(I) = {aXα | ∃f ∈ I;TL(f) = aXα}
Assim, denotaremos por (TL(I)) o ideal gerado pelos elementos do conjunto da de-
finic¸a˜o acima.
Vimos anteriormente que os termos l´ıderes teˆm papel importante no algoritmo da di-
visa˜o. Isto nos fornece uma incr´ıvel sutileza de extrema importaˆncia a respeito de (TL(I)).
Se I = (f1, ..., fs), na˜o necessariamente temos que (TL(I)) = (TL(f1), ..., TL(fs)). Claro
que TL(fi) ∈ (TL(I)), mas a inclusa˜o (TL(f1), ..., TL(fs)) ⊂ (TL(I)) pode ser pro´pria.
Para verificarmos isto, seja I = (X3−2XY,X2Y −2Y 2 +X) ⊂ R[X, Y ], com X >grlex Y .
Utilizando Algoritmo da Divisa˜o, temos que
X2 = X(X2Y − 2Y 2 +X) + (−Y )(X3 − 2XY )
ou seja, X2 ∈ I; donde TL(X2) = X2 ∈ TL(I). No entanto,
X3 - X2 e X2Y - X2
onde
X3 = TL(X3 − 2XY ) e X2Y = TL(X2Y − 2Y 2 +X).
Deste modo,
X2 /∈ (X3, X2Y )
35
isto e´,
(X3, X2Y ) (TL(I))
Proposic¸a˜o 3.1. Seja I ⊂ K[X1, ..., Xn] um ideal. Enta˜o (TL(I)) e´ um ideal monomial.
Demonstrac¸a˜o. Para mostrarmos que (TL(I)) e´ um ideal monomial, observe inicialmente
que os monoˆmios l´ıderes dos polinoˆmios g ∈ I − {0} geram o ideal monomial
(ML(g) ; g ∈ I − {0})
Como ML(g) e TL(g) diferem poruma constante na˜o nula, temos que
(ML(g) ; g ∈ I − {0}) = (TL(g) ; g ∈ I − {0})
ou seja,
(ML(g) ; g ∈ I − {0}) = (TL(I))
donde (TL(I)) e´ um ideal monomial, como quer´ıamos.
Corola´rio 3.1. Seja I ⊂ K[X1, ..., Xn] um ideal. Enta˜o existem f1, ..., fs ∈ I tais que
(TL(I)) = (TL(f1), ..., TL(fs))
Demonstrac¸a˜o. Por definic¸a˜o, (TL(I)) e´ gerado por monoˆmios ML(f), onde f ∈ I−{0}.
E pela Proposic¸a˜o 3.1, (TL(I)) e´ um ideal monomial. Assim, o Lema de Dickson fornece
(TL(I)) = (ML(f1), ...,ML(fs))
e como os monoˆmios l´ıderes e os termos l´ıderes de um dado polinoˆmio diferem por uma
constante na˜o nula, segue do Lema 2.3 que
(TL(I)) = (TL(f1), ..., TL(fs))
como quer´ıamos.
3.1 O Teorema da Base de Hilbert e a Condic¸a˜o da
Cadeia Ascendente
Vimos anteriormente, que o ideal gerado pelos termos l´ıderes de um ideal polinomial
e´ monomial, e o Lema de Dickson nos garantiu que este e´ finitamente gerado. Apesar
de se tratar de um caso particular, este e´ um fato chave para resolvermos o problema da
descric¸a˜o de um ideal polinomial arbitra´rio.
Teorema 3.1. (Base de Hilbert) Todo ideal de K[X1, ..., Xn] e´ finitamente gerado.
Demonstrac¸a˜o. Seja I ⊂ K[X1, ..., Xn] um ideal. Se I = {0}, claramente I e´ finitamente
gerado. Assim, suponha que I 6= {0}. Assim, existe h ∈ I − {0}.
Pela Proposic¸a˜o 3.1, existem f1, ..., fs ∈ I tais que
(TL(I)) = (TL(f1), ..., TL(fs))
36
Afirmamos que I = (f1, ..., fs). De fato, claramente (f1, ..., fs) ⊂ I. Para provarmos a
inclusa˜o inversa, seja f ∈ I arbitra´rio. Da´ı, dividindo f por f1, ..., fs, pelo Algoritmo da
Divisa˜o, existem a1, ..., as, r ∈ K[X1, ..., Xs] tais que
f = a1f1 + ...+ asfs + r
onde nenhum termo de r e´ divis´ıvel por nenhum TL(fi) (1 6 i 6 s).
Para concluir a demonstrac¸a˜o, basta mostrar que r = 0. Para isto, observe inicialmente
que
r = f − a1f1 − ...− asfs
ou seja, r ∈ I. Assim, se tive´ssemos r 6= 0, isto implicaria que
TL(r) ∈ (TL(I)) = (TL(f1), ..., TL(fs))
e pelo Lema 2.3, TL(fi)|TL(r), para algum i entre 1 e s, o que e´ uma contradic¸a˜o.
Portanto r = 0, e f ∈ (f1, ..., fs) e obtemos a igualdade.
Definic¸a˜o 3.2. Uma cadeia ascendente de ideais, e´ uma sequeˆncia da forma
I1 ⊂ I2 ⊂ ... ⊂ In ⊂ ...
onde In ⊂ In+1, ∀n ∈ N. Ale´m disso, dizemos que uma cadeia ascendente se estabiliza se
existe m ∈ N tal que Im = Im+1 = ....
Por exemplo, a sequeˆncia
(X1) ⊂ (X1, X2) ⊂ ... ⊂ (X1, ..., Xn)
forma uma cadeia ascendente de ideais, que no caso e´ finita.
Proposic¸a˜o 3.2. (Condic¸a˜o da Cadeia Ascendente) Toda cadeia ascendente de ideais de
K[X1, ..., Xn] se estabiliza.
Demonstrac¸a˜o. Seja
I1 ⊂ I2 ⊂ ... ⊂ In ⊂ ...
uma cadeia ascendente de ideais de K[X1, ..., Xn], e considere o seguinte conjunto:
J =
⋃
n∈N
In
Afirmamos que J e´ ideal de K[X1, ..., Xn]. De fato, como 0 ∈ In, ∀n ∈ N, 0 ∈ J .
Agora, sejam f, g ∈ J . Assim, f ∈ Ii, g ∈ Ij, para alguns i, j ∈ N. Como os ideais
esta˜o em cadeia, temos que Ii ⊂ Ij ou virse versa. Da´ı f + g ∈ Ii ou f + g ∈ Ij. Com um
argumento ana´logo conclu´ımos que dados h ∈ K[X1, ..., Xn] e f ∈ J , hf ∈ J ; donde J e´
ideal de K[X1, ..., Xn], e pelo Teorema da Base de Hilbert, existem f1, ..., fs ∈ J tais que
J = (f1, ..., fs)
37
Contudo, cada fi pertence a` algum Ik, digamos Iki. Da´ı, tomando m = max{ji |
1 6 i 6 s}, temos que fi ∈ Im. Consequentemente,
J ⊂ Im ⊂ Im+1 ⊂ J
Portanto a cadeia se estabiliza em Im, e chegamos ao desejado.
3.2 Bases de Grobner e suas propriedades
Ale´m de responder a questa˜o da descric¸a˜o de ideais polinomiais, a base utilizada na
demonstrac¸a˜o do Teorema da Base de Hilbert tem a propriedade de que
(TL(I)) = (TL(f1), ..., TL(fs))
e como vimos anteriormente, na˜o e´ toda base que possui tal propriedade. Assim, daremos
um nome especial a este tipo de base; o que nos leva a seguinte definic¸a˜o:
Definic¸a˜o 3.3. Seja I ⊂ K[X1, ...Xn] um ideal, e fixe uma ordenac¸a˜o monomial. Um
subconjunto na˜o vazio F = {f1, ..., fs} ⊂ I e´ uma Base de Grobner, se
(TL(I)) = (TL(f1), ..., TL(fs))
Proposic¸a˜o 3.3. Seja I ⊂ K[X1, ..., Xn] um ideal. Enta˜o F = {f1, ..., fs} e´ uma Base de
Grobner se, e somente se, o termo l´ıder de qualquer elemento de I e´ divis´ıvel por algum
dos TL(fi)’s.
Demonstrac¸a˜o. Se F = {f1, ..., fs} e´ uma base de Grobner de I, segue da pro´pria definic¸a˜o
de Base de Grobner que o termo l´ıder de qualquer elemento e´ divis´ıvel por um dos TL(fi)’s.
Reciprocamente, suponha que para cada f ∈ I, existe i ∈ {1, ..., s} tal que TL(fi)|TL(f).
Claramente (TL(f1), ..., TL(fs)) ⊂ (TL(I)). Ale´m disso, como dado f ∈ I, temos
que TL(f) ∈ (TL(I)), e como TL(fi)|TL(f), para algum i, segue do Lema 2.3 que
TL(f) ∈ (TL(f1), ..., TL(fs)), e obtemos a igualdade.
A proposic¸a˜o a seguir, e´ uma consequeˆncia direta do Teorema da Base de Hilbert.
Proposic¸a˜o 3.4. Fixe uma ordenac¸a˜o monomial. Enta˜o todo ideal polinomial na˜o trivial
possui uma base de Grobner. Ale´m disso, qualquer base de Grobner de um ideal, e´ base
deste ideal.
Demonstrac¸a˜o. Dado I ∈ K[X1, ..., Xn] um ideal na˜o trivial, o conjunto
F = {f1, ..., fs}
constru´ıdo na demonstrac¸a˜o do Teorema 3.1 e´ uma base de Grobner, por definic¸a˜o. Ale´m
disso, note que se tivermos
(TL(I)) = (TL(f1), ..., TL(fs))
enta˜o com o mesmo argumento utilizado na demonstrac¸a˜o do Teorema 3.1, conclu´ımos
que
38
I = (f1, ..., fs)
como quer´ıamos.
Exemplo 3.1. Seja J = (X + Z, Y − Z) um ideal de R[X, Y, Z]. Afirmamos que {X +
Z, Y − Z} e´ uma base de Grobner para I. De fato, para demonstramos isto, fixemos
inicialmente a ordenac¸a˜o monomial X >lex Y >lex Z. Agora, observe que TL(X+Z) = X
e TL(Y − Z) = Y . Assim, basta mostrar que o termo l´ıder de qualquer polinoˆmio na˜o
nulo de J pertence ao ideal (X, Y ). Pelo Lema 2.3, isto e´ equivalente a mostrarmos que
o termo l´ıder de qualquer polinoˆmio na˜o nulo de J e´ divis´ıvel por X ou Y .
Considere enta˜o f ∈ J − {0}. Assim,
f = (X + Z)f1 + (Y − Z)f2
para alguns f1, f2 ∈ R[X, Y, Z]. Agora, suponha por contradic¸a˜o que
X, Y - TL(f)
Da´ı, f e´ um polinoˆmio apenas na varia´vel Z.
Agora, observe que ∀(a, b, c) ∈ R3 que anula os polinoˆmios X + Z e Y − Z, tambe´m
anula f , pois f ∈ J . Contudo, (a, b, c) = (−t, t, t), onde t e´ um nu´mero real. E como o
u´nico polinoˆmio na varia´vel Z que se anula em todos os pontos desta forma e´ o polinoˆmio
nulo, isto fornece f = 0, o que e´ uma contradic¸a˜o. Portanto X, Y |TL(f), e chegamos ao
desejado.
Como vimos, todo ideal na˜o trivial de K[X1, ..., Xn] admite uma base de Grobner.
Nosso objetivo agora, sera´ estudar as propriedades das bases e aprendermos maneiras
mais ”pra´ticas”para saber se determinado conjunto e´ ou na˜o uma base de Grobner de um
ideal.
Proposic¸a˜o 3.5. Seja F = {f1, ..., fs} uma base de Grobner de um ideal na˜o trivial I ⊂
K[X1, ..., Xn], e f ∈ K[X1, ..., Xn]. Enta˜o, existe um u´nico r ∈ K[X1, ..., Xn] satisfazendo
as seguintes propriedades:
(i) Nenhum termo de r e´ divis´ıvel por TL(f1), ..., TL(fs)
(ii) Existe g ∈ I tal que f = g + r
Em particular, r e´ o resto da divisa˜o de f por f1, ..., fs, independente da ordem com
que os fi’s estejam colocados ao utilizarmos o algoritmo da divisa˜o.
Demonstrac¸a˜o. Observe que a existeˆncia de tal r e´ garantida pelo Teorema 2.1, e (i) e´
satisfeito em sua decorreˆncia. Ale´m disso, tomando g = a1f1 + ...+ asfs, (ii) e´ satisfeito.
Por fim, devemos mostrar a unicidade. Para isto, suponha que existam g′ e r′ satisfa-
zendo (i) e (ii). Logo,
g + r = g′ + r′
donde
r − r′ = g′ − g
39
Observe agora, que r = r′, pois
r 6= r′ ⇒ TL(fi)|TL(r − r′)
para algum i entre 1 e t. Contudo, isto e´ imposs´ıvel, pois para todo i temos que TL(fi)
na˜o divide nenhum termo de r nem de r′. Logo r = r′ e o resultado segue.
Apesar de termos a unicidade do resto, qualquer que seja a base de Grobner tomada,
os ”quocientes”produzidospelo algoritmo da divisa˜o podem mudar se alterarmos a ordem
dos geradores. Para ilustrarmos isto, considere o ideal I = (X+Z, Y −Z) ⊂ R[X, Y, Z], e
fixe a ordenac¸a˜o monomial >lex. Sabemos que F = {X+Z, Y −Z} e´ uma base de Grobner
para I. Da´ı, tomando f = XY ∈ R[X, Y, Z], temos que dividindo f por {X +Z, Y −Z},
obtemos
XY = Y (X + Z) + (−Z)(Y − Z) + (−Z2)
Por outro lado, dividindo f por {Y − Z,X + Z}, obtemos
XY = Z(X + Z) +X(Y − Z) + (−Z2)
O pro´ximo resultado, nos dara´ respostas sobre a pertineˆncia de um polinoˆmio a um
determinado ideal polinomial.
Proposic¸a˜o 3.6. Seja F = {f1, ..., fs} uma base de Grobner de um ideal I ⊂ K[X1, ..., Xn],
e f ∈ K[X1, ..., Xn]. Enta˜o f ∈ I se, e somente se, o resto da divisa˜o de f por f1, ..., fs
e´ zero.
Demonstrac¸a˜o. Se f ∈ I, enta˜o f = f + 0 satisfaz as condic¸o˜es da proposic¸a˜o anterior;
ou seja, o resto da divisa˜o de f por {f1, ..., fs} e´ zero.
Reciprocamente, se r = 0, enta˜o f ∈ I, por motivos anteriormente discutidos.
Em particular, o resultado acima nos fornece um algoritmo para resolver o problema
da pertineˆncia de um ideal desde que saibamos a base de Grobner do ideal em questa˜o.
Precisamente, basta calcular o resto com respeito a` base de Grobner, que determinaremos
se f ∈ I.
A fim de simplicidade, se F = {f1, ..., fs}, enta˜o em vez de escrevermos ”dividindo
f ∈ K[X1, ..., Xn] por f1, ..., fs”, iremos escrever ”dividindo f ∈ K[X1, ..., Xn] por F .
Ale´m disso, se F e´ uma base de Grobner, enta˜o denotaremos por f
F
o resto da divisa˜o
de f por F , e podemos considerar F como um conjunto (sem qualquer ordem particular)
pela proposic¸a˜o anterior.
Exemplo 3.2. Se tivermos f = X5Y e F = {X2Y − Y 2, X4Y 2− Y 2} em R[X, Y ], enta˜o
como
X5Y = (X3XY )(X2 − Y 2) + 0(X4Y 2 − Y 2) +XY 3
temos que X5Y
F
= XY 3.
40
Agora, veremos como determinar se um dado conjunto de geradores de um ideal e´ uma
base de Grobner. Pelo que ja´ foi discutido, podemos observar que um conjunto {f1, ..., fs}
so´ na˜o e´ uma base de Grobner se ocorrerem combinac¸o˜es dos fi’s tais que os termos l´ıderes
destas combinac¸o˜es na˜o pertencem ao ideal (TL(f1), ..., TL(fs)). Uma situac¸a˜o em que
isto pode ocorrer, e´ quando os termos l´ıders de uma combinac¸a˜o da forma
aXαfi − bXβfj
se cancelam, restando apenas termos ”menores”(dependendo da ordenac¸a˜o monomial fi-
xada). Contudo, temos que aXαfi − bXβfj ∈ I, e seu termo l´ıder vive em (TL(I)). Para
estudarmos este tipo de fenoˆmeno introduziremos a priori tipos especiais de combinac¸a˜o.
Definic¸a˜o 3.4. Sejam f, g ∈ K[X1, ..., Xn]− {0} com MG(f) = α, MG(g) = β. Enta˜o,
o mı´nimo mu´ltiplo comum de ML(f) e ML(g), denotado por MMC{ML(f),ML(g)}, e´
o monoˆmio Xγ, onde γ = (γ1, ..., γn) ∈ Zn>0, e γi = max{αi, βi}, para cada i.
Definic¸a˜o 3.5. Dados f, g ∈ K[X1, ..., Xn]− {0}, o S-polinoˆmio de f e g, denotado por
S(f, g), e´ a combinac¸a˜o
S(f, g) =
(
Xγ
TL(f)
)
f −
(
Xγ
TL(g)
)
g
onde Xγ = MMC{ML(f),ML(g)}.
Exemplo 3.3. Sejam f = X3Y 2 −X2Y 3, g = 3X4Y + Y 2 ∈ R[X, Y ], com X >grlex Y .
Como MG(f) = (3, 2), MG(g) = (4, 1), segue que γ = (4, 2); donde
MMC{ML(f),ML(g)} = X4Y 2
E assim,
S(f, g) =
(
X4Y 2
X3Y 2
)
(X3Y 2 −X2Y 3)−
(
X4Y 2
3X4Y
)(
3X4Y + Y 2
)
= X3Y 3 +X2 − 1
3
Y 3
Observe que um S-polinoˆmio e´ ”destinado”a produzir cancelamento de termos l´ıderes.
O resultado a seguir, nos diz que todo cancelamento de termos l´ıderes entre polinoˆmios
de mesmo multigrau resulta neste tipo de cancelamento.
Lema 3.1. Seja
∑s
i=1 cifi, onde c1, ..., cs ∈ K e f1, ..., fs ∈ K[X1, ..., Xn], MG(f1) = ... =
MG(fs). Se
MG
(
s∑
i=1
cifi
)
< MG(fi)
enta˜o
∑s
i=1 cifi e´ uma combinac¸a˜o linear com coeficientes em K dos S-polinoˆmios S(fj, fk),
com 1 6 j, k 6 s. Ale´m disso,
MG(S(fj, fk)) < MG(fi) ,∀1 6 i, j, k 6 s
Demonstrac¸a˜o. Inicialmente, seja di = CL(fi) (1 6 i 6 s); donde CL(cifi) = cidi. Ale´m
disso, digamos que MG(f1) = ... = MG(fs) = δ. Assim,
41
s∑
i=1
cifi =
s∑
i=1
cidiX
δ + h
onde h ∈ K[X1, ..., Xn] e´ tal que MG(h) < δ. Da´ı, como essa seoma tem multigrau menor
do que δ, enta˜o
∑s
i=1 cidi = 0; ou seja, houve um cancelamento dos termos l´ıderes dos
fi’s.
Agora, definamos o polinoˆmio moˆnico pi =
fi
di
. Assim, obtemos
s∑
i=1
cifi =
s∑
i=1
cidipi
que da´ origem a` soma telesco´pica
c1d1(p1−p2)+(c1d1+c2d2)(p2−p3)+...+(c1d1+...+cs−1ds−1)(ps−1−ps)+(c1d1+...+csds)ps
Por hipo´tese, TL(fi) = diX
δ; donde Xδ = MMC{TL(fj), TL(fk)}, (1 6 j, k 6 s).
Daeste modo,
S(fj, fk) =
(
Xδ
TL(fj)
)
fj −
(
Xδ
TL(fk)
)
fk =
(
1
dj
)
fj −
(
1
dk
)
fk = pj − pk (3.1)
Assim, usando a equac¸a˜o 3.1 e tendo em vista que
∑s
i=1 cidi = 0, podemos reescrever
a soma telesco´pica anterior da seguinte forma:
s∑
i=1
cifi = c1d1S(f1, f2) + ...+ (c1d1 + ...+ cs−1ds−1)S(fs−1, fs)
ou seja,
∑s
i=1 e´ uma combinac¸a˜o linear com coeficientes em K dos S-polinoˆmios. Em
particular, como MG(pj) = MG(pk) = δ, e CL(pj) = CL(pk) = 1, segue da equac¸a˜o 3.1
que o mesmo vale para S(fj, fk), e o resultado se verifica.
Quando f1, ...fs satisfazem as hipo´teses do Lema 3.1, obtemos uma equac¸a˜o da forma
s∑
i=1
cifi =
∑
j,k
cjkS(fj, fk)
Agora, vamos tentar compreender onde estes cancelamentos ocorrem. No lado es-
querdo da igualdade, cada parcela da soma tem multigrau δ, de modo que o cancelamento
ocorre apenas depois de adciona´-las. No entanto, no lado direito da igualdade, cada par-
cela cjkS(fj, fk) possui multigrau estritamente menor do que δ, para que o cancelamento
ja´ tenha ocorrido. Intuitivamente, isto significa que os responsa´veis pelo cancelamento
sa˜o os S-polinoˆmios.
42
3.3 O Algoritmo de Buchberger
Vimos que as bases de Grobner possuem excelentes propriedades. Contudo, na˜o e´
uma tarefa simples mostrar que determinada base de um ideal e´ uma base de Grobner.
Contudo, os S-polinoˆmios, e o Lema 3.1 da˜o forc¸a a` alguns crite´rios para que uma dada
base de um ideal seja uma base de Grobner.
Teorema 3.2. (Crite´rio de Buchberger) Seja I ⊂ K[X1, ..., Xn] um ideal. Enta˜o F =
{f1, ..., fs} ⊂ I e´ uma base de Grobner se, e somente se, para todos os pares i 6= j, o resto
da divisa˜o de S(fi, fj) por F , e´ zero.
Demonstrac¸a˜o. Observe que se F e´ uma base de de Grobner, enta˜o como S(fi, fj) ∈ I,
segue da Proposic¸a˜o 3.6 que o resto da devisa˜o de S(fi, fj) por F e´ zero.
Reciprocamente, suponha que o resto da divisa˜o dos S-polinoˆmios por F seja zero.
Nosso objetivo sera´ mostrar que dado f ∈ I − {0}, enta˜o TL(f) ∈ (TL(f1), ..., TL(fs)).
Com efeito, como f ∈ I = (f1, ..., fs), existe g1, ..., gs ∈ K[X1, ..., Xn] tais que
f = g1f1 + ...+ gsfs (3.2)
e o Lema 2.2 fornece
MG(f) 6 max{MG(gk, fk) | 6 k 6 s} (3.3)
Perceba, que se na˜o tivermos uma igualdade na equac¸a˜o 3.3, e´ porque deve ocorrer
algum cancelamento entre os termos l´ıderes da equac¸a˜o 3.2. Assim, o Lema 3.1 nos permi-
tira´ escrever isto em termos de S-polinoˆmios. A ideia sera´ utilizarmos a hipo´tese de que os
S-polinoˆmios possuem resto zero ao serem divididos por F , isto nos permitira´ substitu´ı-los
por expresso˜es que envolvam menos cancelamentos; donde obteremos uma expressa˜o para
f com menos cancelamentos de termos l´ıderes. Por conseguinte, econtraremos uma ex-
pressa˜o como na equac¸a˜o 3.2 para f onde ocorre uma igualdade em 3.3. Portanto teremos
que TL(fi)|TL(f) e conseguiremos demonstrar o resultado.
Seja enta˜o mi = MG(gifi), e defina δ = max{mi|1 6 i 6 s}. Assim, a equac¸a˜o 3.3
fica
MG(f) 6 δ (3.4)
Vamos considerar agora, todas as maneiras poss´ıveis em que f pode ser escrito como
na equac¸a˜o 3.2. Observe que para cada uma dessas expresso˜es obtidas, teremos um δ
possivelmente diferente (relembre que alterarmos a ordem dos fi’s altera os ai’s). No
entanto, uma ordenac¸a˜o