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Apostila_Matematica_ColFundamental_8_8

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Apostila: Matemática Básica vol. VIII – por Prof. Paulo Cesar Pfaltzgraff Ferreira
Apostila de Matemática Básica
Assunto: 
MATEMÁTICA BÁSICA
Coleção Fundamental - volume 8/8
Autor:
Prof. Paulo Cesar Pfaltzgraff Ferreira
Unidade 3
Matrizes, um primeiro enfoque
Apresentação
Esta é a terceira unidade de um curso que temos ministrado no Instituto Politécnico da Universidade Estácio de Sá e vamos, inicialmente, justificar a expressão “um primeiro enfoque” do título do trabalho. Nesta oportunidade apresentaremos a parte básica das matrizes: conceitos fundamentais, tipos especiais e operações. No seguimento de nossos estudos as matrizes serão novamente abordadas, em associação com outros assuntos tais como determinantes e sistemas lineares.
Face a uma quase universalidade nas notações aij, bjk, cik, para elementos genéricos de matrizes, com preferência para a primeira, e por abordarmos também matrizes com números complexos, optamos pela notação j (em negrito e itálico) para representar a unidade imaginária, ou seja j =
, diferentemente dos textos de matemática pura, que preferem utilizar i =
. A nossa notação é a mesma empregada pelo pessoal da área da eletricidade, onde tivemos nossa formação primordial, visto que em eletricidade a letra “i” é reservada para a corrente elétrica.
Os modernos aplicativos para PC’s tais como o MATLAB, por exemplo, já aceitam ambas as notações i =
 e j =
 para a unidade imaginária, a fim de atender sem “prioridades” a todos os usuários.
Introdução Histórica
Somente uma canalização de energia superior, totalmente intangível a nossa falha compreensão humana, pode ter inspirado Isaac Newton e Gottfried Wilhem Leibniz a “criarem” algo tão fantástico e poderoso para o desenvolvimento das ciências exatas quanto o Cálculo Diferencial e Integral, e o que é mais interessante: na mesma época, em lugares diferentes – Laibniz na Alemanha e Newton na Inglaterra e de forma independente, até porque os métodos de abordagem foram diferentes. Gerou-se então uma grande polêmica entre os discípulos desses dois sábios pela reivindicação da primazia na criação do Cálculo. Embora o lado de Newton tivesse levado vantagem na disputa, as conseqüências foram desastrosas para a ciência britânica pois, nos cem anos subseqüentes ao episódio, os matemáticos ingleses, fiéis ao seu mais eminente cientista, concentraram-se nos métodos geométricos puros, preferidos de Newton, ao invés de nos métodos analíticos, que são bem mais produtivos. Uma vez que os demais matemáticos da Europa Continental exploravam tais métodos de modo eficaz, a matemática inglesa acabou ficando para trás no citado período.
No entanto, terminou havendo uma reação e os ingleses acabaram voltando ao primeiro escalão no século 19, e um dos maiores responsáveis por esta reviravolta foi Arthur Cayley, que entre suas muitas criações originais consta a das matrizes em 1855. No século 20 acharam-se inúmeras aplicações para este poderosos e compactador instrumento matemático. Só para formar idéias perguntamos: você conseguiria imaginar o mundo atual sem energia elétrica? Pois bem, enquanto o desenvolvimento de fontes alternativas geradoras de energia elétrica não atingir um estágio de aplicação mais ampla, continuaremos a depender dos atuais sistemas: usinas geradoras, subestações elevadores, linhas de transmissão, subestações abaixadoras e linhas de distribuição. E o que os engenheiros que cuidam da operacionabilidade e estabilidade de tais sistemas fariam sem as matrizes para mapeá-los? A resposta é uma só: nada! Face às dimensões de tais sistemas nos dias atuais seriam impossíveis os cálculos de fluxo de carga e de curto-circuito sem o emprego do Cálculo Matricial às matrizes do tipo impedância de barra 
 e admitância de barra 
.
Não, não é só em Engenharia Elétrica que esta ferramenta matemática é fundamental. Existem inúmeras aplicações em outros campos, como sistemas de referência em Mecânica, cálculos estruturais de grande porte, curvas de ajustamento em Estatística, etc. A propósito: as planilhas geradas no Excel também são exemplos de matrizes.
As matrizes são úteis porque elas nos permitem considerar uma tabela (quadro) de muitos números como sendo apenas um único objeto, denotado por um símbolo simples, e executar cálculos com estes símbolos de forma bem compacta.
Conceitos Fundamentais
O conceito de matriz surge associado às relações lineares tais como transformações lineares e sistemas de equações lineares.
Consideremos, por exemplo, a transformação linear
onde a11, a12, a21 e a22 são números dados, enquanto que x1, x2, bem como y1, y2 são grandezas variáveis. Por exemplo: as coordenadas de um ponto no plano xy em dois sistemas de referência distintos.
Dispondo os coeficientes da maneira pela qual eles ocorrem na transformação e encerrando-os entre colchetes, por exemplo, obtemos a tabela
que é um exemplo de matriz.
Ampliando a definição podemos dizer que denomina-se matriz retangular ou simplesmente matriz m ( n toda aplicação f de I ( J em C, ou seja, é uma correspondência em que associamos ao elemento (i, j) ( I ( J um único elemento aij pertencente ao conjunto C dos números complexos�, sendo que o número aij é denominado imagem do par (i, j).
Por exemplo:
	a11 é uma imagem do par (1, 1)
a12 é uma imagem do par (1, 2)
(
amn é uma imagem do par (m, n)
		I ( J	C
(1, 1)	a11
(1, 2)	a12
(1, 3)	a13
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
(m, n)	amn
	
	Fig. 3.1
Assim sendo a imagem de aplicação�
f : I ( J ( C
é o conjunto de números
, a12, a13, ( , 
pertencente ao corpo dos números complexos C, e os elementos deste conjunto são justamente os elementos da matriz.
Representamos então uma matriz
 retangular, tamanho, tipo ou ordem� m ( n (lê-se m por n), por intermédio de uma tabela, com m ( n elementos, onde os elementos aij são distribuídos por m linhas e n colunas, sendo que o elemento genérico aij situa-se na interseção da linha de ordem i (i-ésima linha) com a coluna de ordem j (j-ésima coluna).
A linha de ordem i é o conjunto dos elementos aij em que i é fixo e j varre todo o conjunto J = 
, 2, 3, ( ,
.
Por exemplo: a 2.ª linha da matriz é:
, a22, a23, ( , 
conforme pode-se ver também na Fig. 3.2.
A coluna de ordem j é o conjunto dos elementos aij em que j é fixo e i varre todo o conjunto I = 
, 2, 3, ( ,
. 
Por exemplo: a 3.ª coluna da matriz é:
, a23, a33, ( , 
		colunas
linhas
 
	m linhas
	n colunas
 
	
	(	(	(	(
	1.ª col.	2.ª col.	3.ª col.	n.ª col
Fig. 3.2
	Elemento Genérico:
�� EMBED Equation.3 
Fig. 3.3
�
�
	Ilustração 3.1
Sejam as tabelas a seguir:
 é matriz tipo 2 ( 3.
 é matriz tipo 3 ( 2, e j = 
 é o número imaginário puro.
 é matriz tipo 1 ( 5.
 é matriz tipo 4 ( 1.
 é matriz tipo 2 ( 2.
 é matriz tipo 1 ( 1, ou matriz de um único elemento, e trata-se de um caso bem particular.
	Ilustração 3.2
Uma tabela contendo informações sobre os moradores de uma determinada vila de casas do tipo
	Número da Casa
	Número de 
Residentes
	Renda Familiar (R$)
	Tempo de 
Residência (anos)
	Canal Favorito de TV
	1
	4
	2000
	1
	4
	2
	3
	1800
	4
	4
	3
	6
	3200
	7
	11
	4
	5
	2000
	2
	9
	5
	2
	800
	9
	11
	6
	7
	2500
	8
	6
	7
	1
	800
	5
	11
	pode ser colocada sob forma matricial
e as informações passadas adiante sob forma mais compacta, porém, é necessário que quem vai recebê-las saiba exatamente o papel representado por cada linha e por cada coluna.
�
	Ilustração 3.3
	Um outro exemplo bem usual é a bem conhecida matriz origem-destino de passageiros. Uma matriz desta natureza é construída a partir de uma tabela listando o número de passageiros que, partindo de uma determinada
cidade, dirigem-se a uma outra. Por exemplo.
	Destino
Origem
	Belém
	São Paulo
	Belo Horizonte
	Manaus
	Brasília
	150
	1200
	800
	700
	Porto Alegre
	5
	300
	20
	100
	Recife
	10
	150
	5
	20
	Rio
	60
	1500
	500
	100
	Temos então:
	Ilustração 3.4
	Produto
	Venda diária
	
	Loja 1
	Loja 2
	Loja 3
	Loja4
	Computadores
	20
	15
	12
	25
	Impressoras
	18
	20
	10
	13
	Periféricos
	9
	10
	12
	6
	
	Ilustração 3.5
Além da forma padrão já apresentada
são também possíveis as seguintes representações:
, 
, 
, 
i ( 
, 2, 3, ( , 
 e j ( 
, 2, 3, ( , 
 
ou simplesmente 
.
EXEMPLO 3.1
Indique claramente os elementos da matriz 
 tal que aij = 3i – j.
Solução:
a11 = 3 ( 1 – 1 = 2; a12 = 3 ( 1 – 2 = 1; a13 = 3 ( 1 – 3 = 0
a21 = 3 ( 2 – 1 = 5; a22 = 3 ( 2 – 2 = 4; a23 = 3 ( 2 – 3 = 3
a31 = 3 ( 3 – 1 = 8; a32 = 3 ( 3 – 2 = 7; a33 = 3 ( 3 – 3 = 6
Logo,
EXEMPLO 3.2
Uma confecção vai fabricar 4 tipos de roupa utilizando também 4 tipos de material diferentes. Seja a matriz 
 onde aij representa quantas unidades do material j serão empregadas para produzir uma roupa do tipo i.
 
Quantas unidades do material 3 serão empregadas para confeccionar uma roupa do tipo 4?
Calcule o total de unidades do material 4 que serão necessárias para fabricar 3 roupas do tipo 1, 5 roupas do tipo 2, 2 roupas do tipo 3 e 4 roupas do tipo 4.
Solução:
Da definição de elemento genérico e do enunciado vem que
Se i = 4 e j = 3 o elemento em questão é a43, cujo valor é 2, ou seja, 2 unidades.
Neste caso,
i = 1, 2, 3 e 4; j = 4.
Logo,
3 ( 
 = 3
5 ( 
 = 10
2 ( 
 = 16
4 ( 
 = 
e o total procurado é 57 unidades.
Matrizes Especiais e Operações com Matrizes
Há matrizes que por apresentarem certas peculiaridades recebem nomes especiais. Os conceitos que envolvem tais matrizes estão tão intimamente interligados com as operações matriciais que não há como apresentar todo um assunto primeiro e depois o outro. Optamos então por intercalá-los em uma ordem que a nossa experiência didática nos mostrou ser a mais eficiente, sem com isso querermos afirmar ser a nossa a única seqüência possível e válida.
Matriz Linha
Uma matriz
do tipo 1 ( n, que possui somente uma linha, é chamada matriz em linha ou um vetor em linha.
	Ilustração 3.6
Temos a seguir uma matriz linha 1 ( 5:
Matriz Coluna
Uma matriz
do tipo m ( 1, que tem apenas uma coluna, denomina-se matriz em coluna ou um vetor em coluna.
	Ilustração 3.7
A matriz a seguir é uma matriz coluna 6 ( 1:
Matriz Quadrada
Definição:
A matriz que possui o mesmo número de linha e colunas é chamada matriz quadrada, e o número de linhas é igual a sua ordem�.
Seja então 
 uma matriz quadrada de ordem n, com n ( n = n2 elementos:
Nesta matriz devemos destacar dois conjuntos de elementos: a diagonal principal e a diagonal secundária.
Diagonal Principal:
É o conjunto dos n elementos aij para os quais i = j, isto é:
 = 
 , a22 , a33 , ( , 
Diagonal Secundária:
É o conjunto dos n elementos aij para os quais i + j = n + 1, ou seja:
 = 
 ; a2, n – 1 ; a3, n – 2 ; ( ; 
Elementos Não-Diagnonais:
Resumindo a situação: temos então que uma matriz quadrada de ordem n tem ao todo n2 elementos, sendo n situados na diagonal principal e n na secundária.
Para determinar o número de elementos situados fora de ambas as diagonais devemos levar em conta dois casos:
n par: não existe elemento comum a ambas as diagonais.
n.º elementos não-diagonais = n.º total de elementos – n.º de elementos da diagonal principal (n) – n.º de elementos da diagonal secundária (n) = 
	n.º elem n/d = n2 – 2n
	 (1)
n ímpar: existe um elemento comum a ambas as diagonais.
n.º elementos não-diagonais = n.º total de elementos – n.º de elementos da diagonal principal (n) – n.º de elementos da diagonal secundária (n – 1, pois o elemento comum a ambas já foi computado na principal) = 
.
	n.º elem n/d = 
	 (2)
Traço
O traço de uma matriz quadrada é definido como sendo a soma dos elementos de sua diagonal principal, ou seja:
	
	 (3)
	Ilustração 3.8
Consideremos as seguintes matrizes:
A matriz
 é quadrada de ordem 3. Sua diagonal principal é 
, 7, 
, sua diagonal secundária é 
,7, 
, e temos 4 elementos fora de ambas as diagonais 
, que são 
, – 3, 9, 
. Seu traço é 
 = 8 + 7 – 10 = 5.
A matriz 
 
é quadrada de ordem 4. Sua diagonal principal é 
, – 1, 4, 
, sua diagonal secundária é 
, 5, 2 + j2, 
, e temos 8 elementos fora de ambas as diagonais 
, que são 
, 8, 7, 9, 2, –7, 1–
. Seu traço é 
.
Exemplo 3.3
Dada a matriz 
 tal que 
, calcular a diferença entre o produto dos elementos da diagonal principal e da diagonal secundária.
Solução:
Diagonal principal:
	
Diagonal secundária:
	
Assim sendo temos:
5 ( 10 ( 15 ( 20 – 1 ( 1 ( 12 ( 11 = 14.868
Matriz Triangular
Uma matriz quadrada 
, cujos elementos aij = 0, para i > j é chamada triangular superior, enquanto que aquela cujos elementos aij = 0, para i < j, é chamada triangular inferior. Assim sendo,
 é triangular superior e
 é triangular inferior.
	Ilustração 3.9
	
	(triangular inferior)
	
	(triangular superior)
Matriz Diagonal
A matriz 
 cujos elementos 
 são nulos para i ( j
que é ao mesmo tempo triangular superior e triangular inferior é chamada de matriz diagonal. Ela também pode ser representada por
 = diag 
, a22, a33, ( , 
	Ilustração 3.10
As seguintes matrizes são diagonais:
Matriz Escalar
Se na matriz diagonal tivermos a11 = a22 = a33 = ( = ann = k, ela é chamada de matriz escalar.
	Ilustração 3.11
As seguintes matrizes são escalares:
	
	(k = 2)
	
	(k = – 8)
Matriz Identidade ou Matriz Unidade
Se na matriz diagonal tivermos a11 = a22 = a33 = ( = ann = 1, dizemos que ela é uma matriz identidade de ordem n, indicada por 
.
Uma outra maneira de se indicar a matriz identidade é
sendo (ij o símbolo de Kronecker ou delta de Kronecker, isto é:
(ij = 1 se i = j com i, j ( 
, 2, 3, ( , 
(ij = 1 se i ( j com i, j ( 
, 2, 3, ( , 
	Ilustração 3.12
Temos as seguintes matrizes identidades:
matriz identidade de ordem 1 ( 
matriz identidade de ordem 2 ( 
matriz identidade de ordem 3 ( 
matriz identidade de ordem n ( 
Matriz Nula ou Matriz Zero
É toda matriz cujos elementos em sua totalidade são nulos.
	Ilustração 3.13
 é matriz nula do tipo 2 ( 3.
 é matriz nula de ordem 2.
 é matriz nula do tipo 1 ( 5.
Igualdade de Matrizes
Duas matrizes 
e 
são iguais quando apresentarem todos os elementos correspondentes iguais, ou seja, quando aij = bij ( i ( 
, 2, 3, ( , 
 e ( j ( 
, 2, 3, ( , 
.
�
	Ilustração 3.14
 pois todos os elementos correspondentes são iguais.
 pois a22 ( b22 o que evidencia o fato de que basta apenas dois elementos correspondentes não serem iguais para que não se verifique a igualdade de duas matrizes.
Exemplo 3.4
Determine x e y de modo que se tenha
Solução:
Devemos ter:
Somando membro as equações, obtemos:
2x = 2 ( x = 1
Substituindo o valor de x em uma das equações encontramos
y = 2.
Transposição de Matrizes
Definição:
Chama-se matriz transposta de 
 a matriz 
 tal que 
 ( i ( 
, 2, 3, ( , 
 e ( j ( 
, 2, 3, ( , 
. Isto significa que, por exemplo 
, 
, 
, ( , 
 são respectivamente iguais a a11, a12, a13, (, a1n, valendo dizer que a 1.ª coluna de 
é igual a 1.ª linha de 
. Repetindo o raciocínio chegaríamos a conclusão de que as colunas de 
 são, ordenadamente, iguais às linhas de 
.
	Ilustração 3.15
Temos as matrizes a seguir e suas respectivas transpostas:
Propriedade:
Demonstração:
Observação: No decorrer da apresentação de outros assuntos serão apresentadas outras propriedades envolvendo a transposição de matrizes.
Matriz Oposta
Dadas duas matrizes 
 e 
, dizemos que 
 é matriz oposta de 
 se todos os elementos de 
 são os opostos� dos elementos correspondentes de 
, ou seja:
 ( bij = – aij	( i ( 
, 2, 3, ( , 
 e ( j ( 
, 2, 3, ( , 
	Ilustração 3.16
Temos as matrizes a seguir e suas respectivas opostas:
Matriz Conjugada
Definição:
Chama-se matriz conjugada de 
 a matriz 
 em que cada elemento 
 é o conjugado do elemento correspondente na matriz
.
Propriedade:
Demonstração:
Temos que
 ( 
 = aij = x +jy
 (1)
 (2)
De (1) (e) vem que
Notação Especial:
Use-se a notação especial 
 para a transposta conjugada de 
, e deve-se notar que se 
 é uma matriz real então 
.
	Ilustração 3.17
Exemplo 3.5
Dada a matriz
 determinar 
.
Solução:
Sabemos que 
 logo,
Matriz Simétrica
Conforme já mencionado na seção 3.2 os elementos de uma matriz podem ser números reais e ou complexos. Se todos os elementos da matriz são reais, ela é dita real.
A matriz quadrada real é dita simétrica se ela é igual a sua transposta, isto é, se
decorrendo da definição que se 
 é uma matriz simétrica, temos:
aij = aji, ( i, ( j ( 
, 2, 3, ( , 
isto é os elementos simetricamente dispostos em relação à diagonal principal são iguais.
	Ilustração 3.18
São simétricas as seguintes matrizes:
Matriz Anti-Simétrica
Denomina-se matriz anti-simétrica toda matriz quadrada real 
 tal que
decorrendo da definição que se 
 é uma matriz anti-simétrica, temos:
aij = – aji, ( i, ( j ( 
, 2, 3, ( , 
ou seja, os elementos simetricamente dispostos em relação à diagonal principal são opostos, e os elementos dessa diagonal são nulos, pois para i = j temos aii = – aii, o que só é possível se aii = 0 ( i.
	Ilustração 3.19
São anti-simétricas as seguintes matrizes:
EXEMPLO 3.6
Determinar x, y e z para que a matriz
seja anti-simétrica.
Solução:
Da definição de matriz anti-simétrica vem
exemplo 3.7
Determinar os elementos incógnitos da matriz a seguir sabendo-se que a mesma é anti-simétrica.
Solução:
Da definição de matriz anti-simétrica temos:
Temos também que:
Matriz Hermitiana
Denomina-se matriz hermitiana a toda matriz quadrada complexa 
tal que 
, ou seja, que é igual a sua transposta conjugada. Neste caso a matriz recebe uma notação especial, já vista subseção 3.3.12,
Decorre então da definição que se 
 é uma matriz hermitiana, temos:
, ( i, ( j ( 
, 2, 3, ( , 
ou seja, os elementos simetricamente dispostos em relação à diagonal principal são conjugados, e os elementos dessa diagonal devem ser reais, pois para i = j devemos ter 
, o que só é possível se aii ( R ( i.
Observação: A notação 
, conforme já havíamos afirmado na subseção 3.3.12, não significa que a matriz em questão seja necessariamente hermitiana. No exemplo 5 temos uma situação na qual 
, o que nos leva a concluir que aquele exemplo a matriz
 não é hermitiana.
	Ilustração 3.20
As seguintes matrizes são hermitianas:
Matriz Anti-Hermitiana
Denomina-se matriz anti-hermitiana toda matriz quadrada complexa
 tal que 
, ou seja, que é igual à oposta de sua transposta conjugada, e podemos escrever
Da definição temos pois que se 
 é uma matriz anti-hermitiana devemos ter:
, ( i, ( j ( 
, 2, 3, ( , 
ou seja, os elementos simetricamente dispostos em relação à diagonal principal são opostos conjugados, e os elementos dessa diagonal devem ser nulos ou imaginários puros, pois, para i = j , temos 
, o que só é possível se aii = 0 ou aii = jy (imaginário puro) (i.
	Ilustração 3.21
São anti-hermitianas as seguintes matrizes:
Soma ou Adição de Matrizes
Definição:
Dadas duas matrizes
 e 
 denomina-se soma 
 + 
 a matriz 
 tal que cij = aij + bij , ( i, ( j. Isto equivale a dizer que a soma de duas matrizes
 e 
 do tipo m ( n é uma matriz
 do mesmo tipo, em que cada elemento é a soma dos elementos correspondentes em 
 e 
.
	Ilustração 3.22
Propriedades:
A adição de matrizes possui as seguintes propriedades:
(1.ª) 	Comutativa: 
(2.ª) 	Associativa: 
(3.ª) 	Elemento Neutro: 
(4.ª) 	Elemento Oposto: 
(5.ª) 	Transposição: 
onde 
, 
, 
 e 
 são matrizes do tipo m ( n. Estas propriedades são conseqüências de propriedades análogas da adição no conjunto dos números complexos. Assim, ( i ( 
, 2, 3, ( , 
 e ( j ( 
, 2, 3, ( , 
.
Demonstrações:
(1.ª) 	
(2.ª) 	
(3.ª) 	
(4.ª) 	
Devido à propriedade associativa, a definição de adição pode ser generalizada para n ( 2 matrizes. Por exemplo, temos:
 	 já definidas
5.ª)	Sendo 
, 
, 
, 
, 
 e 
	temos que:
	
	Ilustração 3.23
Sejam
 , 
Temos então:
Logo, 	
Exemplo 3.8
Determinar (, (, ( e ( de modo a que se tenha
Solução:
Devemos ter:
( + 3 = 5 ( ( = 2
1 + ( =1 (( = 0
1 + 0 = ( ( ( = 1
2 – 4 = ( (( = –2
exemplo 3.9
Determine x e y de modo que se tenha
Solução:
Devemos por definição satisfazer ao sistema:
	
 �
	
	y = 2
	x = – 3
	
EXEMPLO 3.10
Uma fábrica produz um certo refrigerante. Os custos relativos à compra e transporte de quantidades específicas dos ingredientes necessários para a sua produção, adquiridas em duas localidades (fornecedoras) distintas são dadas respectivamente pelas seguintes matrizes:
	Ingredientes
	Preço de Compra
	Custo de Transporte
	
	
	
	Ingredientes
	Preço de Compra
	Custo de Transporte
	
	
	
Determinar a matriz que representa os custos totais de compra e de transporte dos ingredientes a, b e c.
Solução:
Subtração ou Diferença de Matrizes
Definição:
Dadas duas matrizes 
 e 
, denomina-se diferença 
 a matriz 
 tal que cij = aij – bij, (i e (j. Isto equivale a dizer que a diferença entre duas matrizes 
 e 
 do tipo m ( n é uma matriz
 do mesmo tipo, em que cada elemento é a diferença dos elementos correspondentes em 
 e 
.
	Ilustração 3.24
	a)
	
	b)
	
Exemplo 3.11
Calcular 
 sabendo-se que 
, 
 e 
Solução:
Produto de um Número Complexo por uma Matriz
Definição:
Dada a matriz 
 e o número complexo z, chama-se produto de z por 
, que se indica por z
, a matriz 
 cujos elementos são iguais aos elementos correspondentes de 
 multiplicados por z. Em símbolos:
= z
( bij = zaij, (i ( 
, 2, 3, ( ,
 e (j ( 
, 2, 3, ( ,
	Ilustração 3.25
 
(os cálculos intermediários deste item da ilustração vêm logo a seguir)
É claro que os números complexos podem ser multiplicados tanto na forma retangular quanto na polar, embora tal operação nesta última forma seja mais fácil. A menos que o estudante possua uma calculadora HP apropriada, que executa o produto, diretamente, tanto em uma forma quanto em outra. Uma calculadora dessa natureza admite até que cada número esteja em uma forma, e dá a opção de resposta em ambas as formas.
No entanto, vamos partir do pressuposto que poucos possuam uma calculadora com tais recursos, e que a disponível faça, no máximo, as conversões polar ( retangular e retangular ( polar.
Temos então duas opções:
1.ª)	Trabalhar na forma retangular e converter a forma polar no final:
	3 + j2
2 + j3
6 + j4
6 + j9 – 6
6 +j13 = 13 90º
	​– 1 – j
– 2 + j3
– 2 – j2
– 2 – j3 + 3
– 1 – j5 = 5,0990 – 78,69º
	2 + j3
2 + 5
10 + j15 = 18,0280 56,31º
	
	e o resultado do produto é:
2.ª)	Converter os números para a forma polar, efetuar as multiplicações, e depois
voltar à forma retangular:
2 + j3 = 3,6056 56,31º ; 5 = 5 0º
3 + j2 = 3,6056 33,69º
– 1 – j = 1,4142 – 135º
1 – j5 = 5,0990 –78,69º
Efetuando os produtos obtemos:
�� EMBED Equation.3 = 13 90º = j13
�� EMBED Equation.3 = 5,0990 –78,69º = 1 – j5
�� EMBED Equation.3 = 18,0280 56,31º = 10 + j15​
Finalmente,
Propriedades:
O produto de um número complexo por uma matriz goza das seguintes propriedades:
1.ª)	
2.ª)	
3.ª)	
4.ª)	
5.ª)	
onde 
 e 
 são matrizes do tipo m × n e z1 e z2 são números complexos.
Estas propriedades também são conseqüências de propriedades análogas da multiplicação no corpo complexo. Suas demonstrações são imediatas.
EXEMPLO 3.12
Resolver a equação matricial
Solução:
Temos que:
ou seja,
Finalmente,
EXEMPLO 3.13
Resolver a equação matricial
sendo dadas:
, 
 e 
Solução:
Temos então:
ou seja,
Finalmente,
EXEMPLO 3.14
Resolver o sistema de equações matriciais
sendo dadas as matrizes
 e 
Solução:
Somando membro a membro as equações do sistema, temos:
Subtraindo membro a membro as equações do sistema, temos:
Assim sendo,
 
EXEMPLO 3.15
Se 
 é uma matriz simétrica e k é um escalar, demonstre que k
 também é uma matriz simétrica.
Se 
 é uma matriz anti-simétrica e k é um escalar, demonstre que k
 também é uma matriz anti-simétrica.
Demonstração:
Se 
 é simétrica temos 
 o que implica em aij = aji , ( i, ( j ( 
, 2, 3, ( , 
Temos que k
 é de tal forma que 
 e 
Uma vez que aij = aji temos também que 
, o que evidencia o fato de k
 ser também simétrica.
Se 
 é anti-simétrica temos 
 o que implica em aij = – aji , ( i, ( j ( 
, 2, 3, ( , 
Temos que k
 é de tal forma que
 e 
Uma vez que aij = – aji temos também que 
, o que evidencia o fato de que k
 ser também anti-simétrica.
EXEMPLO 3.16
Sabendo-se que 
 é uma matriz quadrada demonstre que 
 é uma matriz simétrica.
Sabendo-se que 
 é uma matriz quadrada demonstre que 
 é uma matriz anti-simétrica.
Escreva a matriz
 como a soma de uma matriz simétrica 
 e uma anti-simétrica 
.
Solução:
Se 
 for simétrica então devemos ter 
Determinação de 
:
e está demonstrado que 
 é simétrica.
Se 
 for simétrica então devemos ter 
.
Determinação 
:
e está demonstrado que 
 é anti-simétrica.
Do item (a) sabemos que 
 é uma matriz simétrica, logo:
De forma semelhante (pelo item (b)) sabemos que 
 é uma matriz anti-simétrica, de modo que:
Somando 
 + 
 obtemos 2
, logo
 
Finalmente:
e
EXEMPLO 3.17
Sabendo-se que 
 é uma matriz quadrada complexa demonstre que 
 é uma matriz hermitiana.
Sabendo-se que 
 é uma matriz quadrada complexa demonstre que 
 é uma matriz anti-hermitiana.
Escreva a matriz
 como a soma de uma matriz hermitiana
 e uma anti-hermitiana
.
Solução:
Se 
 for hermitiana devemos ter 
Determinação de 
:
e está demonstrado que 
 é hermitiana.
Se 
 for anti-hermitiana devemos ter 
Determinação de 
:
Do item (a) sabemos que 
 é uma matriz hermitiana, logo:
De forma semelhante (pelo item (b)) sabemos que 
 é uma matriz anti-hermitiana, de modo que:
Somando 
+
obtemos 2
, de modo que
 
Finalmente:
Produto de Matrizes:
Definição: dadas duas matrizes 
 e 
, chama-se produto 
�� EMBED Equation.3 a matriz 
 tal que:
para todo i = 
, 2, 3, ( ,
 e todo k= 
, 2, 3, ( ,
.
Da presente definição concluímos que:
1.º) 	O produto 
�� EMBED Equation.3 existe tão somente se o número de colunas da matriz
 for igual ao número de linhas da matriz
, ou seja:
 é do tipo m × n
e
 é do tipo n × p
2.º)	A matriz produto tem o número de linhas da matriz
 e o número de colunas da matriz
, pois 
 = 
�� EMBED Equation.3 é do tipo m × p.
Tais observações podem ser resumidas e melhor compreendida através do esquema a seguir:
	
 	. 	
 	= 	
	m × n	n × p	m × p
Fig. 3.3
Assim, por exemplo, existem os produtos de matrizes
	
 	por 	
 	( 	
	5×3 	por 	3×6 	( 	5×6
	4×1 	por 	1×3 	( 	4×3
	8×9 	por 	9×1 	( 	8×1
porém não são definidos produtos tais como:
	
	por	
	( 	
	3×4 	por 	6×8 	( 	
3.º) 	Se 
 e 
 forem matrizes quadradas, a matriz 
=
�� EMBED Equation.3 existirá se, e somente se, 
 e 
 forem da mesma ordem, a qual será também a ordem de 
. Por exemplo:
	
 	por 	
 	( 	
	5×5 	por 	5×5 	( 	5×5
Algoritmos de Obtenção da Matriz Produto:
Observando a expressão do elemento genérico
que foi apresentada na definição, concluímos que foram utilizadas na sua obtenção a i-ésima linha da matriz
.
e a k-ésima coluna da matriz
Concluímos também que houve uma multiplicação entre elementos correspondentes, e depois uma soma, ou seja:
Tal fato nos sugere os algoritmos a seguir
Algoritmo 1:
1.º passo: com as duas matrizes
 e 
 lado a lado selecionamos a i-ésima linha da matriz
 e a k-ésima coluna da matriz
, correspondentes ao elemento cik ;
2.º passo: transportamos a k-ésima coluna da matriz
 para uma posição horizontal sobre a matriz
;
3.º passo: calculamos os n produtos dos elementos correspondentes (que ficam uns sobre os outros);
4.º passo: somamos estes n produtos obtendo o elemento cik da matriz produto.
A figura a seguir ilustra o processo.
		 b1k	b2k	b3k	(	bnk
�� EMBED Equation.3 = 
Fig. 3.4
Este processo é interessante pois permite calcular qualquer elemento de 
, sem nenhuma ordenação pré-estabelecida. No entanto, se pretendemos calcular todos os elementos
 é conveniente seguir a seqüência abaixo:
1.º)	selecionamos a 1.ª linha de 
 e a 1.ª coluna de 
; 
2.º)	transportamos a 1.ª coluna de 
 para uma posição horizontal sobre a matriz
;
3.º)	efetuamos os produtos dos elementos correspondentes;
4.º)	somamos estes produtos e determinamos c11;
5.º)	aproveitamos que a 1.ª coluna de 
 já está re-posicionada sobre 
 e selecionamos, agora, a 2.ª linha de 
;
6.º) 	efetuamos os produtos dos elementos correspondentes;
7.º)	somamos estes produtos e determinamos c21;
8.º) 	continuamos com a 1.ª coluna de 
 até que havíamos varrido todas as linhas de 
 e, em conseqüência, obtido toda a 1.ª coluna de 
;
9.º)	transpomos agora a 2.ª coluna de 
 e com a mesma varremos todas as linhas de 
 obtendo, deste modo, a 2.ª coluna de 
;
10º)	o processo continua até que a última coluna de 
 tenha varrido todas as linhas de 
 quando, então, a matriz
 estará completa.
	Ilustração 3.26
Determinar o elemento c23 do produto matricial a seguir:
�� EMBED Equation.3 
Pelo esquema acima concluímos que o produto matricial é possível, e vai resultar em uma matriz 3 × 3. No entanto estamos interessados, por enquanto, no elemento c23, logo:
c23	3	1
	(×)	(+)	(×)	
	2	2
Determinar todos os elementos do produto matricial 
=
�� EMBED Equation.3 indicado no item a.
Vamos posicionar as colunas da matriz
 sobre a matriz
 e seguir seqüência já mencionada:
�� EMBED Equation.3 =
O resultado final é:
Com o tempo o estudante não vai mais precisar escrever as colunas de 
 em posições horizontais sobre 
. Não, isto já vai ser feito mentalmente. Você duvida? Então é hora de você, que não sabia digitação, se lembrar de como começou a digitar dados no computador; e hoje consegue bater sem olhar para o teclado. A comparação é a mesma.
Algoritmo 2:
1.º passo: com as três matrizes 
, 
 e 
 nas posições indicadas a seguir, selecionamos a i-ésima linha de 
 e a k-ésima coluna de 
;
2.º passo: efetuamos os n produtos dos elementos
correspondentes.;
3.º passo: somamos estes n produtos obtendo o elemento genérico cik da matriz produto.
	
 
 
Fig. 3.5
	Ilustração 3.27
Vamos agora calcular alguns elementos do produto matricial da ilustração anterior utilizando este segundo algoritmo.
Observação:
1.ª)	Este segundo algoritmo apresenta algumas vantagens sobre o primeiro;
Se for mantido um espaçamento constante entre elementos adjacentes das matrizes 
 e 
, a própria montagem do algoritmo já garante a obtenção da matriz produto com as dimensões apropriadas.
A própria disposição física do algoritmo já indica para cada elemento de 
 qual a linha de 
 e a coluna de 
 que devem ser utilizadas.
2.ª)	Antes de prosseguirmos é bom não esquecer nunca que a matriz
 entra com as linhas e a matriz
 com as colunas.
EXEMPLO 3.18
Calcular os seguintes produtos matriciais:
a) 
�� EMBED Equation.3 ; b) 
�� EMBED Equation.3 ; c) 
�� EMBED Equation.3 ; 
d) 
�� EMBED Equation.3 ; e) 
�� EMBED Equation.3 
Solução:
Vamos utilizar apenas o segundo algoritmo que é, pelo nosso ponto de vista, o mais imediato.
 	
	
 	 
	
	
	
	
 	
	
	
EXEMPLO 3.19
Considere as matrizes
 e 
 tais que aij = 2i + 3j e b​jk = 3j – 4k. determine o elemento c35 da matriz
=
�� EMBED Equation.3 .
Solução:
Já sabemos que 
 entra com as linhas e 
 com as colunas, a fim de obter a matriz
=
�� EMBED Equation.3 . Uma vez que desejamos determinar o elemento c35, devemos utilizar a 3.ª linha de 
 e a 5.ª coluna de 
:
	
EXEMPLO 3.20
A matriz
 fornece, em reais, o custo das porções de arroz, carne e salada usados em um restaurante:
	Custos
A matriz
 fornece o número de porções de arroz, carne e salada usados na composição dos pratos P1, P2 e P3 desse restaurante.
	Arroz	Carne	Salada
Ache a matriz que fornece, em reais, os custos de produção dos pratos P1, P2 e P3.
Solução:
Para calcularmos o custo de produção de um determinado prato poderíamos usar a seguinte fórmula:
+ (n.º de porções de arroz) . (custo da porção de arroz) +
+ (n.º de porções de carne) . (custo da porção de carne) +
+ (n.º de porções de salada) . (custo da porção de salada)
O custo de produção do prato P1, por exemplo, é:
custo P1 = 2 . 1 + 1 . 3 + 1 . 2 = 7
No entanto é mais elegante e operacional trabalharmos com matrizes onde o custo de cada prato será interpretado como o produto da respectiva linha da matriz 
 pela matriz coluna 
, ou seja:
 . 
= 
	Custos
O exemplo a seguir demonstra utilidade semelhante para o produto matricial.
�
EXEMPLO 3.21
Uma indústria de informática produz computadores X e Y nas versões Pentium II, Pentium III e Pentium IV. Componentes A, B e C são utilizados na montagem desses computadores. Para um certo plano de montagem são dadas as seguintes informações:
	
	Computadores
	Componentes
	X
	Y
	A
	4
	3
	B
	3
	5
	C
	6
	2
	
	Versões
	Computadores
	Pentium II
	Pentium III
	Pentium IV
	X
	2
	4
	3
	Y
	3
	2
	5
Determine as seguintes matrizes:
componentes ( computadores;
computadores ( versões;
componentes ( versões.
Solução:
[componentes ( computadores] = 
[computadores ( versões] = 
[componentes ( computadores] . [computadores ( versões] = [componentes ( versões]
�
[componentes ( versões] = 
�� EMBED Equation.3 = 
EXEMPLO 3.22
Ao se estudar um sistema de energias elétrica obteve-se a seguinte equação matricial para as correntes nas fases a, b e c:
�� EMBED Equation.3 
Pode-se determinar as expressões de Ia , Ib e Ic.
Solução:
Aplicando um dos algoritmos anteriores, obtemos:
EXEMPLO 3.23
Para um determinado sistema de energia elétrica obteve-se a seguinte equação matricial:
Sabendo-se que a = 1 120º , a2 = 1 240º = 1 – 120º , e que, em conseqüência, 1 + a + a2 = 0, e que Ia + Ib + Ic = 0, pede-se determinar Vn.
Solução:
Efetuando-se a multiplicação matricial, obtemos:
Somando-se as três equações membro a membro, temos:
Assim sendo,
o que implica em
Cumpre notar que a multiplicação de matrizes não é comutativa, isto é, para duas matrizes quaisquer 
 e 
, nem sempre 
�� EMBED Equation.3 = 
�� EMBED Equation.3 .
(D1) Temos casos em que existe 
�� EMBED Equation.3 e não existe 
�� EMBED Equation.3 . Isto acontece quando 
 é do tipo m ( n, 
 é do tipo n ( p e m ( p:
 e 
 ( ( 
�� EMBED Equation.3 =
 e 
 ( 
�� EMBED Equation.3 �� EMBED Equation.3 
(D2) Temos casos em que existem 
�� EMBED Equation.3 e 
�� EMBED Equation.3 , mas são no entanto matrizes de tipos diferentes e, em decorrência, 
�� EMBED Equation.3 ( 
�� EMBED Equation.3 . Isto acontece quando 
 é do tipo m ( n, 
 é do tipo n ( m e m ( n:
 e 
 ( ( 
�� EMBED Equation.3 =
 e 
 ( (
�� EMBED Equation.3 =
(D3) Mesmo nos casos em que 
�� EMBED Equation.3 e 
�� EMBED Equation.3 são do mesmo tipo – o que ocorre quando 
 e 
 são quadradas e de mesma ordem – temos quase sempre 
�� EMBED Equation.3 ( 
�� EMBED Equation.3 .
	Ilustração 3.28
Quando 
 e 
 são tais que 
�� EMBED Equation.3 = 
�� EMBED Equation.3 , dizemos que 
 e 
 comutam ou então que são comutativas. Devemos notar que uma condição necessária, mas não suficiente, para que 
 e 
 sejam comutativas é que elas sejam quadradas e de mesma ordem.
Quando 
 e 
 são tais que 
�� EMBED Equation.3 = –
�� EMBED Equation.3 , dizemos que elas são anti-comutativas.
	Ilustração 3.29
EXEMPLO 3.24
Sendo 
, qual das matrizes a seguir comuta com 
(
	
	
	
	
Solução:
Para que duas matrizes comutem é necessário que elas sejam quadradas e de mesma ordem, o que já exclui as matrizes 
 e 
. Temos então:
É também importante notar que a implicação
( 
= 0, 
= 0 ou 
=
= 0
não é válida no caso de matrizes, uma vez que é possível haver duas matrizes não nulas cujo produto seja a matriz nula.
	Ilustração 3.30
 Se 
 e 
 são matrizes simétricas temos também que 
+
 e 
 são simétricas, conforme já vimos nos exemplos 15 e 16. Entretanto, 
 não é necessariamente simétrica.
	Ilustração 3.31
Sejam
Se 
 então temos que:
(1.º) 
(2.º) 
Demonstração:
(1.º) Sendo 
, 
 e 
 temos:
bij = ai1 c1j + ai2 c2j + ai3 c3j+ ( + aij cjj + ( + ain cnj 
de onde se obtem:
bij = ai1 . 0 + ai2 . 0 + ai3 . 0 + ( + aij . 1 + ( + ain . 0 = aij
o que permite escrever:
(2.º) Sendo 
, 
 e 
 temos:
bij = ci1 a1j + ci2 a2j + ci3 a3j+ ( + cii aij + ( + cim amj 
de onde se tiramos:
bij = 0 . a1j + 0 . a2j + 0 . a3j + ( + 1 . aij + ( + 0 . amj = aij
o que nos leva a:
A multiplicação de matrizes goza das seguintes propriedades:
(1.ª) 	Associativa: 
	quaisquer que sejam as matrizes 
, 
 e 
;
(2.ª) 	Distributiva à direita: 
	quaisquer que sejam as matrizes 
, 
 e 
;
(3.ª)	Distributiva à esquerda: 
	quaisquer que sejam as matrizes 
, 
 e 
;
(4.ª)	
 
	onde z é um número complexo e 
 e 
 duas matrizes genéricas.
(5.ª)	
 sendo 
 e 
 duas matrizes genéricas.
Demonstração
(1.ª)	Sejam 
 
, 
, 
, 
, 
 e 
onde temos:
1 ( i ( m , 1 ( j ( n , 1 ( k ( p e 1 ( l ( r.
Temos então:
de modo que,
(2.ª)	Sejam 
, 
, 
 e 
onde temos:
1 ( i ( m , 1 ( j ( n e 1 ( k ( p.
Temos então:
de modo que,
(3.ª) 	A demonstração é semelhante à 2.ª
(4.ª) 	Sejam 
, 
, 
, 
, 
 e z = x + jy
onde temos:
1 ( i ( m , 1 ( j ( n e 1 ( k ( p.
Temos então:
e
de modo que,
(5.ª)	Sejam 
, 
, 
 e 
onde temos:
1 ( i ( m , 1 ( j ( n e 1 ( k
( p.
Temos que:
Pela definição de produto,
pela definição de matriz transposta,
o que nos permite escrever:
mas, pela propriedade comutativa dos números complexos,
aij bjk = bjk aij
logo,
No entanto, temos também que:
e
o que nos leva a colocar então,
e concluir que:
Matriz Periódica
Uma matriz quadrada
 é periódica se 
, onde k é um inteiro positivo. Se k é o menor inteiro para o qual 
 dizemos que o período de 
 é k.
	Ilustração 3.32
 k = 2 (menor inteiro)
Assim 
 é periódica de período 2.
Matriz Idempotente
Se na matriz periódica tivermos k = 1, teremos que 
2 = 
, e dizemos que 
 é idempotente.
	Ilustração 3.33
Logo a matriz identidade de ordem n é idempotente.
Matriz Nilpotente ou Nulipotente
Dizemos que uma matriz
 é nilpotente ou nulipotente se existir um número positivo p tal que 
p = 0. Se p é menor inteiro positivo tal que 
p = 0, dizemos que 
 é nilpotente de índice ou classe p. No entanto temos 
p – 1 = 0
	Ilustração 3.34
Logo 
 é nilpotente de índice 3.
Polinômio de uma Matriz
A operação polinômio de uma matriz quadrada
 é definida para qualquer polinômio
onde os coeficientes são escalares.
 é a matriz
sendo 
 a matriz identidade de mesma ordem k que a matriz
.
Note-se que 
 é obtida de 
 substituindo a variável x pela matriz
 e o escalar a0 pela matriz
.
Se 
 for igual a matriz nula, a matriz
 é chamada zero ou raiz do polinômio
.
EXEMPLO 3.25
Sendo 
= 5 – 3x + 2x2 e 
 calcular 
.
Solução:
Matrizes em Blocos ou Partição de Matrizes
Uma matriz
 pode ser particionada em matrizes menores, chamadas blocos ou células de 
, por meio de linhas tracejadas horizontais e verticais. Logicamente que uma matriz
 pode ser dividida em blocos de várias maneiras, como por exemplo:
A vantagem da partição em blocos é que o resultado das operações sobre matrizes particionadas pode ser obtido trabalhando-se com os blocos tal como se fossem, efetivamente, os elementos das matrizes. Quando as matrizes são muito grandes para serem armazenadas na memória de um computador, elas são particionadas, permitindo que o computador opere apenas com duas ou três submatrizes de cada vez. Algumas matrizes, como as relativas a grandes Sistemas de Potência�, mesmo em computadores de grande porte, devem ser particionadas.
Seja então
 uma matriz genérica particionada em blocos, a seguir,
Se multiplicarmos cada bloco por um número complexo z, cada elemento de 
 ficará multiplicado por z, ou seja:
Consideremos agora um matriz que tenha sido particionada da mesma maneira que 
, conforme ilustrado a seguir:
Se os blocos correspondentes de 
 e tiverem o mesmo tamanho e somarmos estes blocos, estaremos somando os elementos correspondestes de 
 e . Em conseqüência,
A multiplicação matricial é menos óbvia, mas mesmo assim é possível. Sejam pois as matrizes
 e particionadas em blocos conforme a seguir:
de tal modo que o número de colunas de cada bloco Aij seja igual ao número de linhas de cada bloco Bjk. Então temos:
EXEMPLO 3.26
Calcule 
 utilizando multiplicação em bloco, com
 e 
Solução:
O produto matricial
��EMBED Equation.3 é dado por:
Finalmente,
EXEMPLO 3.27
Calcule 
��EMBED Equation.3 utilizando multiplicação em bloco, sendo
 e 
Solução:
Preparando as partições de 
 e 
 para que a multiplicação em blocos seja possível temos:
 
e 
Logo o produto matricial
��EMBED Equation.3 é dado por:
Finalmente,
Exercícios Propostos:
Uma indústria possui 3 fábricas I, II e III, que produzem por mês 30, 40 e 60 unidades, respectivamente, do produto A e 15, 20 e 10 unidades do produto B. Forme a matriz fábricas ( produtos e indique o tipo dessa matriz.
Quantos elementos possui a matriz:
3 ( 2
4 ( 4
p ( q
linha de 3 colunas
quadrada de ordem 3
coluna de 4 linhas
Uma matriz possui 6 elementos. Quais os seus possíveis tipos(
Escreva explicitamente as seguintes matrizes:
 onde aij = i + j
 onde bij = 3i + 2j
 onde cij = 
 onde dij = 
 onde eij = 
Quantos elementos não pertencem à diagonal principal de uma matriz quadrada de ordem 10(
Quantos elementos não pertencem às diagonais de uma matriz quadrada de ordem 2k – 1 onde K ( N* e K ( 2(
Quantos elementos estão situados abaixo da diagonal principal de uma matriz quadrada de ordem n(
Um conjunto de dados são todos os elementos de uma matriz quadrada de ordem 101. Sabendo-se que um usuário deseja uma tabulação contendo todos os dados (elementos da matriz) situados fora de ambas as diagonais e que deverá pagar R$ 0,70 por dado tabulado qual será o custo desta tabulação para este usuário(
Os números inteiros positivos são dispostos em matrizes seqüênciais da seguinte forma:
 , 
 , 
 (
Determine a linha e a coluna em que se encontra o número 1955.
Calcular o traço da matriz quadrada 
 definida por aij = 
.
O técnico de um time de basquetebol descreveu o desempenho dos titulares de sua equipe, em seus jogos, através da matriz
Cada elemento aij dessa matriz é o número de pontos marcados pelo jogador de número i no jogo j. Pergunta-se:
Quantos pontos marcou o jogador de número 3 no jogo 5(
Quantos pontos marcou a equipe no jogo 4(
Quantos pontos marcou o jogador de número 2 em todos os jogos(
Antônio, Bernardo e Cláudio saíram para tomar chope, de bar em bar, tanto no sábado quanto no domingo.
As matrizes a seguir resumem quantos chopes cada um consumiu e como a despesa foi dividida:
 e 
 refere-se às despesas de sábado e 
 às de domingo.
Cada elemento aij nos dá o número de chopes que i pagou para j, sendo Antônio o número 1, Bernardo o número 2 e Cláudio o número 3 (aij representa o elemento da linha i, coluna j de cada matriz).
Assim, no sábado Antônio pagou 4 chopes que ele próprio bebeu, 1 chope de Bernardo e 4 de Cláudio (primeira linha da matriz
).
Quem bebeu mais chope no fim de semana(
Quantos chopes Cláudio ficou devendo a Antônio(
Um conglomerado é composto por cinco lojas numeradas de 1 a 5. A matriz a seguir apresenta o faturamento em dólares de cada loja nos quatro primeiros dias de janeiro:
Cada elemento aij dessa matriz é o faturamento da loja i no dia j.
Qual foi o faturamento da loja 3 no dia 2(
Qual foi o faturamento de todas as lojas no dia 3(
Qual foi o faturamento da loja 1 nos 4 dias(
Uma figura geométrica tem 4 vértices (1, (2, (3 e (4. Forma-se a matriz 
, onde aij = distância ((i , (j) para 1 ( i ( 4 e 1 ( j ( 4, de sorte que
. Pergunta-se: qual é a figura de vértices (1, (2, (3 e (4(
De que tipo é a transposta de uma matriz coluna(
Quantos elementos possui a transposta de uma matriz 5 ( 7(
Dada uma matriz
 qualquer. O que se obtêm ao calcular 
(
Ache a transposta da matriz
 tal que 
.
Dada a matriz
 tal que aij = i + j, obter o elemento b23 da matriz 
 transposta de 
.
Determinar x, y e z para que a matriz 
 seja simétrica.
Sabendo-se que a matriz 
 é simétrica, pede-se calcular x + y + z.
Sabendo-se que a matriz a seguir é anti-simétrica, pede-se determinar os elementos incógnitos (a12 , a13 e a23).
Calcule a, b e c de modo que a matriz a seguir seja anti-simétrica.
Achar a conjugada da matriz 
achar x, y e z tais que as matrizes a seguir sejam hermitianas:
(a) 
 ; (c) 
Encontrar x, y, z e w para que se tenha 
.
Determinar x e y de modo que tenhamos 
.
Determinar x, y, z e w para que se tenha 
.
Se 
 e 
, calcular 
 e 
.
Se 
, 
 e 
resolver a equação matricial 
.
Se 
, calcular as matrizes 
, 
 e 
.
Utilizando as matrizes 
, 
 e 
 do problema 30, resolver o seguinte sistema de equações:
Dadas as matrizes 
 e 
, calcular 
.
Calcular os seguintes produtos matriciais:
�
�
Calcular os seguintes produtos matriciais:
Em cada caso determinar 
 e, se existirem, 
, 
 e 
:
	
 e 
	
 e 
	
 e 
	
 e 
Em quais dos casos abaixo é válida a propriedade comutativa da multiplicação, isto é, 
	
 e 
	
 e 
	
 e 
	
 e 
	
	
	Fig. 3.6
A figura 3.6 mostra um diagrama esquematizado das intercomunicação entre os aeroportos em três países diferentes a, b e c cujos aeroportos são denotados por ai , bj e ck , respectivamente, onde i, j = 1, 2 e k = 1, 2, 3, 4. Os números ao lado das linhas de união indicam o número de possíveis escolhas de linhas aéreas para cada trajeto. Por exemplo, o número 2 ao lado da conexão a1 – b1 indica que duas companhias de aviação voam ao longo dessa rota. A informação pode ser expressa nas seguintes tabelas:
	
	 
	
	
	 
	
	
	
	
	
Sem utilizar a figura 3.6, porém utilizando tais tabelas, pede-se montar o quadro que dá o número de escolhas de rotas entre os aeroportos dos países a e c.
 Encontre as matrizes quadradas de ordem 2 que comutam com 
.
Encontre as matrizes quadradas de ordem 3 que comutam com 
.
Determine as matrizes quadradas de ordem 3 que comutam com 
.
Determinar uma matriz
, de ordem 2 e não nula, tal que 
.
Calcule o produto 
 sabendo-se que 
 e 
.
Demonstre que, se 
 e 
 são matrizes quadradas de ordem n, então 
 e 
 comutam se, e somente se, 
 e 
 comutam para cada escalar K.
Mostre que as matrizes 
, 
 e 
 são anti-comutativas duas a duas.
Para um determinado sistema de energia elétrica obteve-se a seguinte equação matricial para as correntes nas fases a, b e c:
Pede-se determinar as expressões de Ia, Ib e Ic.
Ao se estudar um sistema de energia elétrica, obteve-se a seguinte equação matricial para as correntes nas fases a, b e c.
Sabendo-se que Ia + Ib + Ic = 0, pede-se determinar (n.
Mostre que as matrizes a seguir são idempotentes.
	
	
Mostre que, se 
 e 
, então 
 e 
 são idempotentes.
Se 
 é idempotente, mostre que 
 é idempotente e que 
.
Mostre que a matriz a seguir é nilpotente de índice 2.
Se 
 é nilpotente de índice 2, mostre que 
, para qualquer inteiro positivo n.
Seja 
 nilpotente de índice p. mostre que 
 para q > p, mas 
 se q < p.
Sendo g(x) = – 8 – x + x2 e 
, determine g(A).
Calcule 
 utilizando multiplicação em bloco, com
 e 
Respostas dos Exercícios Propostos
(a) 6 ; 	(b) 16 ; 	(c) p . q ; 	(d) 3 ; 	(e) 9 ; 	(f) 4
2 ( 3 , 3 ( 2 , 6 ( 1 , 1 ( 6
(a) 
 ; 	(b)
 ; 	(c) 
; 
(d) 
 ; 	(e) 
90
(2k – 2)2
(n2 – 2n)/2
R$ 7.000,00
1.ª linha e 3.ª coluna
12
(a)14 ; (b) 90 ; (c) 128
(a) Cláudio bebeu mais chope ; (b) Cláudio ficou devendo 2 chopes a Antônio
(a) 2800 ; (b) 10.580 ; (c) 7730
uma vez que a distância entre dois vértices distintos é sempre igual a 1 a figura é um tetraedro.
matriz linha
35
 (a própria matriz original)
5
x = 2 ; y = 5 ; z = – 4
5
a12 = 4 ; a13 = 2 ; a23 = 4
a = 1 ; b = 0 ; c = 
(a) x é um n.º real qualquer, y = 0 e z = 0
(b) x = 3 , y = 0 , z = 3
x = 3 , y = 1 , z = 8 , w = – 2
x = 1 , y = 0
x = 0 , y = 3 , z = 3 , w = 1
 ; 
 ; 
(a) 
 ; (b) 
 ; (c) 
 ; (d) 
 ; (e) 
(f) 
 ; (g) 
 ; (h) 
 ; (i) 
 ; (j) 
(a) 
 ; (b) 
(a) 
 ; 
 ; 
 ; 
(b) 
 ; 
 ; 
 ; 
(c) 
 ; 
 ; 
 ; 
(d) 
 ; 
 ; 
 ; 
(c) e (d)
	
	
	 
	 (Isto é, simplesmente, a matriz produto
)
	
	
	
	
 (a , (b ( C
 (a , (b , (c ( C
 (p , (q , (r ( C
 (a , (b ( C – {0}
 30º
 – 150º
 30º
 – 60º
Basta verificar que (a) 
 e (b) 
Basta verificar que 
� EMBED Equation.3 ���
� EMBED Equation.3 ���
� EMBED Equation.3 ���
=
(–1)(()4
� EMBED Equation.3 ���
� EMBED Equation.3 ���
� EMBED Equation.3 ���
� EMBED Equation.3 ���
k-ésima coluna
i-ésima linha�
�
� EMBED Equation.3 ���
� EMBED Equation.3 ���
� EMBED Equation.3 ���
3.ª coluna
de � EMBED Equation.3 ��� que 
deve ser 
posicionada sobre a 
2.ª linha de� EMBED Equation.3 ��� 
3 × 2
2 × 3
� EMBED Equation.3 ���
(1.ª)
(2.ª)
(3.ª)
� EMBED Equation.3 ���
� EMBED Equation.3 ���
k-ésima coluna
m×n
i-ésima linha
m×p
n×p
� EMBED Equation.3 ���
� EMBED Equation.3 ���
� EMBED Equation.3 ���
� EMBED Equation.3 ���
� EMBED Equation.3 ���
� EMBED Equation.3 ���
� EMBED Equation.3 ���
� EMBED Equation.3 ���
� EMBED Equation.3 ���
� EMBED Equation.3 ���
� EMBED Equation.3 ���
� EMBED Equation.3 ���
� EMBED Equation.3 ���
� EMBED Equation.3 ���
� EMBED Equation.3 ���
� EMBED Equation.3 ���
� EMBED Equation.3 ���
� EMBED Equation.3 ���
� EMBED Equation.3 ���
� EMBED Equation.3 ���
� EMBED Equation.3 ���
i-ésima linha
k-ésima coluna
2(()(–5)
2(()2
1 ( i ( m
1 ( j ( n
1(()1
2(2+2((–5)=
=4–10=–6
1(1+(–1) (4=
=1–4=–3
–5
4
4
3
3
2
–1
1
2
2
1
1
� EMBED Equation.3 ���;
=18
� EMBED Equation.3 ���;
=15
� EMBED Equation.3 ���;
=12
� EMBED Equation.3 ���;
=9
Sendo a matriz � EMBED Equation.3 ��� do tipo 3 ( 4, cada 
linha deve ter 4 elementos
� EMBED Equation.3 ���� EMBED Equation.3 ���
� EMBED Equation.3 ���
� EMBED Equation.3 ���
� EMBED Equation.3 ���
� EMBED Equation.3 ���
Uma vez que a matriz 
� EMBED Equation.3 ��� é do tipo 4 ( 5, cada 
coluna deve ter 4 elementos
� EMBED Equation.3 ���
� EMBED Equation.3 ���
� EMBED Equation.3 ���
� EMBED Equation.3 ���
� EMBED Equation.3 ���
+(+
+
+
soma
� EMBED Equation.3 ���
� EMBED Equation.3 ���
� EMBED Equation.3 ���
� EMBED Equation.3 ���
� EMBED Equation.3 ���
� EMBED Equation.3 ���
� EMBED Equation.3 ���
� De um modo geral uma matriz é uma tabela formada por números complexos. Lembrando que o conjunto dos números reais está incluído no conjunto dos números complexos, podemos dizer que uma matriz é formada por números reais e/ou complexos
� Para o conceito de aplicação volte à seção 1.11 da Unidade 1.
� Os três termos são utilizados, porém, o mais freqüente é tipo.
� No caso da matriz quadrada não utilizamos as expressões tamanho e tipo, conforme na matriz retangular; usamos apenas ordem.
� Em Álgebra dizemos que dois números são opostos ou simétricos quando eles têm mesmo módulo mas sinais contrários. Por exemplo: 2 e – 2; – 5 e 5; etc.
Em matrizes, utilizamos o termo oposta para indicar oposição de sinais, visto que o termo simétrica será guardado para uma próxima aplicação.
� A solução da equação cúbica y3 – y – 6 = 0 está além do nível deste curso, mas existe uma alternativa: calcular as raízes da equação seguinte, y2 + 2y – 8 = 0, que são y = 2 e y = 4 e, voltando na equação cúbica, verificar que apenas a raiz y = 2 verifica ambas as equações.
Ao estudante interessado, que pretenda aprofundar seus estudos, adiantamos que as raízes da equação cúbica em questão são: 2, – 1 + j� EMBED Equation.3 ��� e – 1 – j� EMBED Equation.3 ���.
� Sistemas de potência = Sistemas de energia elétrica: geradores, transformadores, linhas de transmissão, cargas, etc.
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� EMBED Equation.3 ���
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� EMBED Equation.3 ���
� EMBED Equation.3 ���
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� EMBED Equation.3 ���
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� EMBED Equation.3 ���
� EMBED Equation.3 ���
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