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Avaliação 1 \u2013 Solução
Geometria Espacial
MAT 050
6 de abril de 2018
As respostas das quatro questões a seguir devem ser entregue até o final
da aula de hoje:
1. (3 pontos) Mostre que por dois pontos dados passa sempre um plano.
Mostre que esse plano não é único.
Pelos pontos A e B do espaço passa uma única reta r (Postulado 1).
Existe um ponto C que não pertence à reta r (Postulado 2).
Por A, B e C passa um único plano \u3b1 (Postulado 3).
Existe um ponto D que não pertence ao plano \u3b1 (Postulado 4).
Por A, B e D passa um único plano \u3b2 (Postulado 3).
Os planos \u3b1 e \u3b2 são distintos pois D pertence a \u3b2 mas D não pertence
a \u3b1.
Portanto, sempre existem planos \u3b1 e \u3b2 distintos que contêm A e B.
2. (5 pontos) Dois triângulos ABC e DEF , situados em planos distintos,
são tais que as retas AB, AC e BC encontram as retas DE, DF e EF
nos pontos M , N e P , respectivamente. Mostre que M , N e P são
colineares.
Os pontos A, B, C e D, E, F estão situados em planos \u3b1 e \u3b2 distintos,
respectivamente.
Como M pertence às retas AB e DE, que estão contidas em \u3b1 e \u3b2,
respectivamente (Teorema 2.1), o ponto M pertence aos planos \u3b1 e \u3b2.
Analogamente, os pontos N e P pertencem a \u3b1 e \u3b2.
Como \u3b1 e \u3b2 são distintos e possuem os pontos M , N e P em comum,
esses planos não são paralelos nem coincidentes.
Logo, os planos \u3b1 e \u3b2 são secantes e se intersectam segundo uma reta
que contém M , N e P .
Portanto, os pontos M , N e P são colineares.
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3. (3 pontos) É verdade que duas retas distintas ortogonais a uma terceira
são sempre paralelas entre si?
Não.
Por exemplo, considere um sistema ortogonal de coordenadas OXY Z.
As retas OX e OY são distintas e ortogonais à reta OZ, mas OX e
OY não são paralelas.
4. (4 pontos) Mostre que se uma reta é paralela a dois planos secantes,
então ela é paralela à reta de intersecção dos dois planos.
Sejam \u3b1 e \u3b2 planos secantes e seja r uma reta paralela a \u3b1 e paralela
a \u3b2.
Então existe uma reta u em \u3b1 paralela a r e existe uma reta v em \u3b2
paralela a r (Teorema 4.1).
Seja P um ponto da interseção de \u3b1 e \u3b2.
Existe uma única reta u\u2032 em \u3b1 paralela a u passando por P , e existe
uma única reta v\u2032 em \u3b2 paralela a v passando por P (Teorema).
Como u é paralela a r e u\u2032 é paralela a u, segue que u\u2032 é paralela a r.
Analogamente, temos que v\u2032 é paralela a r. Logo u\u2032 e v\u2032 são paralelas
a r e passam por p, e portanto são coincidentes.
Além disso, temos u\u2032 \u2282 \u3b1 e v\u2032 \u2282 \u3b2. Logo u\u2032 \u2282 \u3b1 \u2229 \u3b2. Como \u3b1 e \u3b2 são
secantes, a interseção desses planos é uma reta. Portanto u\u2032 = \u3b1 \u2229 \u3b2.
Logo a reta \u3b1 \u2229 \u3b2 é paralela a r (pois já provamos que u\u2032 e r são
paralelas).
As respostas das questões a seguir devem ser entregues no início da aula
do dia 10-abr-2018:
1. (1 ponto) Quantos são os planos determinados por quatro pontos não
coplanares?
Se quatro pontos são não coplanares, então quaisquer três pontos desse
conjunto são não colineares, e portanto definem um plano. Portanto,
existem
(
4
3
)
= 4 planos possíveis.
2. (2 pontos) Considere um conjunto de pelo menos três retas distintas.
Mostre que se quaisquer duas dessas retas são concorrentes, então elas
estão todas num mesmo plano ou passam todas pelo mesmo ponto.
Considere retas distintas r1, r2, . . . , rn com n \u2265 3 tais que para todo
j, k \u2208 {1, . . . , n} com j 6= k as retas rj e rk são concorrentes.
Para j 6= k, seja pijk o único plano definido por rj e rk (Teorema).
Se pijk e pij\u2032k\u2032 são coincidentes para todo j, k, j\u2032, k\u2032 \u2208 {1, . . . , n} com
j 6= k, j\u2032 6= k\u2032, então as retas r1, . . . , rn estão contidas em um mesmo
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plano. De fato, para quaisquer j, k e j\u2032 distintos, a reta rk está contida
nesse plano pois dois de seus pontos, rj\u2032 \u2229 rk e rj \u2229 rk, estão contidos
em pij\u2032k e pijk, respectivamente, e pij\u2032k = pijk (Teorema 2.1).
Se nem todos os planos são coincidentes, podemos dividir os planos em
classes de planos coincidentes.
Se pijk e pij\u2032k\u2032 são representantes de classes de planos distintos para
algum (j, k) e algum (j\u2032, k\u2032), então pijk e pij\u2032k\u2032 não são coincidentes, ou
seja, são paralelos ou secantes.
É impossível que os planos sejam paralelos, pois nesse caso as retas rj
e rj\u2032 não seriam concorrentes.
Se pijk e pij\u2032k\u2032 são secantes, então pelo menos uma das retas rj\u2032 e rk\u2032
não está contida em pijk (caso contrário os planos seriam coincidentes).
(Denotamos por Apq o ponto de intersecção da reta rp com a reta rq.)
Suponha que rj\u2032 está contida em pijk e rk\u2032 não está contida em pijk.
Por hipótese, rk\u2032 intersecta pijk em Ak\u2032j , Ak\u2032k e Ak\u2032j\u2032 . Como rk\u2032 e pijk
são secantes, temos Ak\u2032j = Ak\u2032k = Ak\u2032j\u2032 , ou seja, rk\u2032 intersecta rj , rk e
rj\u2032 em um mesmo ponto. Logo essas retas se intersectam e intersectam
rk\u2032 em um mesmo ponto, ou seja, as quatro retas se intersectam em
um mesmo ponto.
Analogamente, se rj\u2032 e rk\u2032 não estão contidas em pijk, prova-se que as
retas rj , rk, rj\u2032 e rk\u2032 se encontram em um mesmo ponto.
A análise feita vale para todos os representantes de classes diferentes
de planos coincidentes. Portanto, comparando classes diferentes de
planos coincidentes, concluímos que todas as retas se encontram em
um mesmo ponto.
3. (2 pontos) Seja F uma figura tal que quaisquer quatro de seus pontos
sejam coplanares. Mostre que F é plana, isto é, está contida em um
plano.
Se todos os pontos de F são colineares, então F está contida em um
plano. Caso contrário, existem pelo menos três pontos não colineares,
A, B e C.
Seja \u3b1 o plano definido por A, B e C.
Para qualquer ponto D na figura, os pontos A, B, C e D estão contidos
em um plano que contém os pontos A, B e C. Como \u3b1 é o único plano
que contém A, B e C, todo ponto D da figura pertence a \u3b1.
4. (4 pontos) Suponha que em lugar do Postulado 5 (segundo o qual a
intersecção de dois planos não pode ser um único ponto) tivéssemos
adotado a propriedade da separação do espaço por um plano, isto é,
tivéssemos adotado o seguinte postulado:
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Postulado 5\u2019. Um plano divide os pontos que lhe são exteriores em
dois conjuntos, chamados semi-espaços, de forma que um segmento
com extremos no mesmo semi-espaço não corta o plano e um segmento
com extremos em semi-espaços diferentes corta o plano.
Usando os Postulados 1, 2, 3, 4 e 5\u2019, mostre que a intersecção de dois
planos não pode ser um único ponto. (Isso mostra que substituindo 5
por 5\u2019 obtemos um sistema equivalente de postulados.)
Sejam \u3b1 e \u3b2 planos distintos que se intersectam em um ponto P .
Pelo Postulado 5\u2019, o plano \u3b1 divide o espaço em dois semi-espaços, S1
e S2.
Seja A um ponto de \u3b2 que não pertence a \u3b1. Então A pertence a um
dos semi-espaços, digamos S1.
Considere a reta r que passa por A e P . O ponto P divide a reta r em
duas semi-retas, a semi-reta PA e a semi-reta r2. A semi-reta r2 está
contida no semi-espaço S2. (De fato, ela não pode estar contida em \u3b1
e não pode estar contida em \u3b2 \u2229 S1.)
Seja B um ponto da semi-reta r2 distinto de P . Então A \u2208 S1, B \u2208 S2
e a reta r definida por A e B corta \u3b1 em P .
Em \u3b2 \u2229 S1, seja C um ponto externo à reta r. Pelo Postulado 5\u2019, a
reta CB corta \u3b1 em um ponto Q (que pertence a ambos os planos).
Claramente Q e P são distintos.
Portanto \u3b1 e \u3b2 se intersectam em pelo menos dois pontos distintos (e
consequentemente segundo uma reta).
5. (3 pontos) Mostre que duas retas distintas paralelas a uma mesma reta
são paralelas entre si.
Sejam r, s e t retas distintas no espaço e suponha que r e s são paralelas
e s e t são paralelas.
Se as três retas são coplanares, suponha que r e t não sejam paralelas,
então elas são concorrentes. Seja A o ponto de intersecção de r e t.
Então r e t são retas distintas paralelas a s que passam por A, o que
é impossível. Portanto r e t são paralelas.
Suponha que as retas não são coplanares. Seja \u3b1 o plano determinado
por r e