SIMULADO ÁREA II- PROB E ESTATÍSTICA (quase todo resolvido)

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IME - UFRGS. Departamento de Estat´ıstica
Nome: Carta˜o:
Questa˜o 1. (2,0 pontos) A f.m.p. da varia´vel aleato´ria X = quantidade de memo´ria (GB) em um
pendrive adquirido em uma loja e´ dada a seguir.
x 1 2 4 8 16
pX(x) 0.05 0.20 0.25 0.40 0.10
(a) (1,0 ponto) Calcule E(X);
(b) (1,0 ponto) Calcule a variaˆncia X;
Questa˜o 2. (2,0 pontos) Seja X uma varia´vel aleato´ria com func¸a˜o de distribuic¸a˜o acumulada
FX(x) =

0, se x < 0;
cx2, se 0 ≤ x ≤ 2;
1, se x > 2.
a) (1,0 ponto) Encontre a func¸a˜o densidade de probabilidade (f.d.p) da varia´vel aleato´ria X (na˜o
esquec¸a de encontrar o valor de c);
b) (1,0 ponto) Encontre a me´dia e a variaˆncia dessa varia´vel aleato´ria.
Questa˜o 3. (2,0 pontos) Uma ma´quina de encher refrigerante esta´ regulada para que somente 2%
das latas enchidas fiquem com volume abaixo dos 350ml. A legislac¸a˜o diz que, em um fardo de
12 latas, pode ter no ma´ximo 1 lata com conteu´do abaixo de 350ml para que a empresa na˜o seja
multada.
a) (0,5 pontos) Calcule o valor esperado de itens abaixo de 350ml em um fardo de 12 latas;
b) (1,5 pontos) Calcule a probabilidade da empresa levar uma multa;
Questa˜o 4. (2,0 pontos) Seja X uma varia´vel aleato´ria com func¸a˜o de distribuic¸a˜o dada por
FX(x) =

0, se x < 0;
x2, se 0 6 x < 1
2
;
1− 3(1− x)2, se 1
2
6 x < 1;
1, se x > 1.
(a) (0,7 pontos) Calcule P(X > 1
4
);
(b) (1,3 pontos) Calcule P(X > 1
4
|X 6 3
4
).
Questa˜o 5. (2,0 pontos) Existem muitas lendas sobre o porqueˆ do tamanho padra˜o de garrafas de
vinho ser 750 mL, mas o mais aceito e´ que o tamanho foi definido numa e´poca em que os vinhos
de Bordeaux eram comercializados pelos ingleses na pro´pria barrica (ainda na˜o eram vendidos na
garrafa!). Ale´m de eles na˜o utilizarem o mesmo sistema me´trico da Franc¸a (um gala˜o correspondia
a 4,5 L), as barricas bordalesas tinham desde aquela e´poca 225 litros, o que resulta em um total de
300 garrafas de 750 mL (fonte:https://blog.grandcru.com.br/os-diferentes-tamanhos-de-garrafa/).
Seja X a v.a. que representa a quantidade de vinho em uma garrafa(padra˜o). Sabe-se que a
distribuic¸a˜o de X e´ normal com µ = 750 e desvio σ = 25. Qual e´ a probabilidade de encontrar uma
garrafa com conteu´do entre 710 ml e 795 ml?
Questa˜o 6. (Peso 1.00) Identifique o termo dentro do pareˆntesis que torna a sentenc¸a verdadeira.
(a) (Amostra, Populac¸a˜o) e´ o conjunto formado por todos os elementos ou resultados sob inves-
tigac¸a˜o.
(b) (Paraˆmetro, Estat´ıstica) e´ a medida usada para escrever uma caracter´ıstica nume´rica da (amos-
tra, populac¸a˜o).
(c) O teorema central do limite (TCL) afirma que, a medida que o tamanho da amostra cresce, a
distribuic¸a˜o da me´dia amostral se aproxima cada vez mais da distribuic¸a˜o (normal, t-Student,
Qui-quadrado).
(d) (Estimativa, Estimador) e´ um valor espec´ıfico que (uma estimativa, um estimador) assume
para uma dada amostra.
(e) Estimac¸a˜o pontual e/ou intervalar sa˜o utilizadas para fazer infereˆncia sobre (um paraˆmetro,
uma estat´ıstica) cujo valor na˜o conhecemos.
Questa˜o 7. (Peso 1.00) Dada uma amostra de tamanho n, os dois estimadores abaixo podem ser
usados para estimar a me´dia da populac¸a˜o.
µˆ1 =
1
n
n∑
i=1
Xi e µˆ2 = X1.
Qual dos dois voceˆ escolheria? Justifique sua resposta com base nos crite´rios vistos em aula.
Questa˜o 8. A famosa lei de Murphy e´ enunciada de diversas formas. Uma delas diz o seguinte: “o
pa˜o sempre cai com a margarina virada para baixo”. Descrentes da veracidade desta lei universal,
psico´logos afirmaram que a “aparente” validade da Lei de Murphy e´, de fato, devido a` memo´ria
seletiva dos seres humanos, que tendem a lembrar apenas os resultados ruins de um evento. Para
testar a validade cient´ıfica da Lei de Murphy, cientistas enta˜o fizeram o seguinte experimento:
derrubaram, a partir de uma mesa padra˜o, 102 fatias de pa˜o com margarina padra˜o no cha˜o.
Destas, 49 cairam com a margarina virada para baixo. Seja pi a verdadeira proporc¸a˜o de fatias de
pa˜o com margarina que caem com a margarina virada para baixo.
(a) (Peso 1.00) O tamanho de amostra considerado e´ suficiente para estimar a verdadeira pro-
porc¸a˜o pi, com uma precisa˜o de 0.08 e confianc¸a 95%?
(b) (Peso 2.00) Determine um intervalo de confianc¸a, com n´ıvel de 95% de confianc¸a, para a
proporc¸a˜o de fatias de pa˜o com margarina que caem virada para baixo. Baseado no intervalo
de confianc¸a constru´ıdo, poder´ıamos afirmar, dentro do n´ıvel de confianc¸a do intervalo, que
a proporc¸a˜o de fatias de pa˜o com margarina que caem com a margarina virada para baixo e´
maior, menor ou igual a 50%? Explique.
Questa˜o 9. Uma fa´brica de celular compra baterias de um fornecedor A, mas esta´ decidida a trocar
de fornecedor de baterias para um determinado modelo de celular devido aos custos, desde que as
baterias do novo fornecedor, digamos B, apresentem um desempenho (no mı´nimo) semelhante a`s
atuais em termos de durac¸a˜o. Para efeito de comparac¸a˜o, o fabricante aferiu uma amostra de 30
baterias do fornecedor B, que resultou numa me´dia de 115 horas e variaˆncia S2B = 104h
2 de durac¸a˜o
em standby. Assuma que o tempo de durac¸a˜o das baterias com o celular em standby segue uma
distribuic¸a˜o normal.
2.1. (Peso 1.00) O intervalo de confianc¸a, com n´ıvel de 95% de confianc¸a, para a me´dia da durac¸a˜o
das baterias do fornecedor B e´ dado por
IC(µB, 0.05) = [111.19, 118.81].
Sabendo que as baterias do fornecedor atual da empresa apresentam durac¸a˜o de 119 horas,
baseado no intervalo de confianc¸a poder´ıamos afirmar que a durac¸a˜o das duas baterias e´ igual,
ao n´ıvel de 95% de confianc¸a? Por queˆ?
2.2. (Peso 2.00) O fabricante tambe´m esta´ interessado em analisar se o desvio padra˜o da durac¸a˜o
das baterias dos dois fornecedores sa˜o equivalentes. O desvio padra˜o das baterias do fornecedor
A que e´ conhecido (da experieˆncia do fabricante) e e´ igual a 11h. Determine um intervalo
de confianc¸a, com n´ıvel de 95% de confianc¸a, para a variaˆncia da durac¸a˜o das baterias do
fornecedor B. Converta o intervalo constru´ıdo apresentando-o em termos de desvio padra˜o e
conclua se o desvio padra˜o da durac¸a˜o das baterias do fornecedor B e´ maior, menor ou igual
ao do fornecedor A.
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