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Apostila Probabilidade e estatistica descritiva fev 2017

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E s t a t í s t i c a D e s c r i t i v a 
P r o f . C o n r a d E . P i n h e i r o 
 
 2 
Índice 
 
Sobre o autor............................................................................................................................... 5 
Edição ........................................................................................................................................... 5 
Contato ......................................................................................................................................... 5 
Orientação de Estudos ............................................................................................................... 6 
1. Introdução à Estatística .......................................................................................................... 9 
1. O que é Estatística? .............................................................................................................. 9 
2. Estatística Descritiva e Estatística Indutiva ........................................................................... 9 
3. Parâmetros x Estatísticas .................................................................................................... 10 
4. Planejamento de Experimentos .......................................................................................... 10 
5. População e Amostra .......................................................................................................... 11 
6. Pesquisa Estatística ............................................................................................................. 11 
Tipos de amostragem .............................................................................................................. 12 
Amostragem Não Probabilística .............................................................................................. 13 
- Acidental ou conveniência ................................................................................................ 13 
- Intencional ........................................................................................................................ 13 
- Quotas ou proporcional .................................................................................................... 13 
- Desproporcional ................................................................................................................ 14 
Amostragem Probabilística ..................................................................................................... 15 
- Aleatória Simples ou Casual Simples ................................................................................. 15 
- Sistemática ........................................................................................................................ 15 
– Aleatória Estratificada ...................................................................................................... 16 
– Conglomerado .................................................................................................................. 20 
7. Dado x Variável .................................................................................................................... 20 
8. Arredondamento de números ............................................................................................ 25 
9. Exercícios ............................................................................................................................. 26 
2. Organização de Dados ......................................................................................................... 31 
1. ROL ...................................................................................................................................... 31 
2. Tabelas ................................................................................................................................ 31 
3. Classes ................................................................................................................................. 32 
4. Amplitude de classe ............................................................................................................ 33 
5. Amplitude total ................................................................................................................... 33 
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 3 
6. Frequências ......................................................................................................................... 33 
7. Distribuição de Frequências ................................................................................................ 34 
8. Escolha do número e tamanho de classes .......................................................................... 41 
Alguns problemas na montagem das classes ............................................................. 45 
9. Ponto médio de uma classe ................................................................................................ 47 
10. Exercícios ........................................................................................................................... 48 
3. Gráficos Estatísticos ............................................................................................................. 61 
1. Gráfico em linhas ou em curva ............................................................................................ 61 
2. Gráfico em colunas (vertical) ou em barras (horizontal) .................................................... 63 
3. Gráfico de setores ............................................................................................................... 68 
4. Gráfico de Dispersão ........................................................................................................... 69 
5. Diagrama ramo–e–folhas .................................................................................................... 70 
6. Histograma .......................................................................................................................... 71 
7. Polígono de frequência ....................................................................................................... 72 
8. Pictograma .......................................................................................................................... 73 
9. Exemplos comparativos ...................................................................................................... 73 
10. Exercícios ........................................................................................................................... 77 
4. Medidas de Posição .............................................................................................................. 93 
1. Média Aritmética ( x ou µ )................................................................................................. 93 
Caso I: Dados não agrupados ........................................................................................ 94 
Caso II: Dados agrupados sem intervalos de classe .................................................. 94 
Caso III: Dados agrupados com intervalos de classe ................................................. 94 
2. Moda (Mo) .......................................................................................................................... 96 
Caso I: Dados não agrupados ........................................................................................ 96 
Caso II: Dados agrupados sem intervalos de classe .................................................. 96 
Caso III: Dados agrupados com intervalos de classe ................................................. 96 
3. Mediana (Md) ......................................................................................................................98 
Caso I: Dados não agrupados ........................................................................................ 98 
Caso II: Dados agrupados sem intervalos de classe ................................................ 100 
Caso III: Dados agrupados com intervalos de classe ............................................... 101 
4. Exemplos ........................................................................................................................... 104 
5. A média é representativa? ................................................................................................ 106 
6. Exercícios ........................................................................................................................... 106 
5. Medidas de Dispersão ........................................................................................................ 115 
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 4 
1. Introdução ......................................................................................................................... 115 
2. Desvio Médio ..................................................................................................................... 115 
3. Variância (s2 ou σ2) e Desvio padrão (s ou σ) .................................................................... 116 
4. Desvio-padrão × Variância ................................................................................................ 117 
5. Exemplos ........................................................................................................................... 117 
FORMULÁRIO .............................................................................................................................. 127 
Bibliografia ................................................................................................................................ 128 
 
 
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 5 
Sobre o autor 
 
Conrad Elber Pinheiro é graduado em Licenciatura em Matemática pelo 
Instituto de Matemática e Estatística da Universidade de São Paulo (USP) 
e mestre em Estatística também pela USP. 
 
 
Edição 
 
Este material está sendo constantemente revisado, atualizado e corrigido. 
Esta versão foi revisada e editada em fevereiro / 2017. 
 
 
Contato 
 
Se você possuir dúvidas, sugestões ou quiser informar de algum erro 
encontrado neste material, sinta-se a vontade para entrar em contato com o 
autor via email: conrad.yy@gmail.com . 
 
 
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 6 
Orientação de Estudos 
 
 
Prezado(a) aluno(a), 
 
Ao longo de todo o curso que ministro, costumo orientar os estudantes em 
COMO estudar Matemática, mais especificamente, Estatística. Alguns 
alunos seguem minhas orientações logo de início. Outros, demoram um tempo 
maior para “aprender” a estudar. Digo “aprender”, pois muitas vezes o 
método de estudo que funciona bem em determinada disciplina não fornece 
bons resultados em outra. Um exemplo: muitas pessoas têm facilidade em 
estudar disciplinas de humanas: basta prestar atenção nas aulas e ler um 
resumo que obtêm ótimos resultados nas provas. Porém, isso não funciona na 
Estatística! Por isso, vou passar algumas orientações que garanto que 
funcionarão. Funcionaram comigo na época em que era estudante. 
Funcionaram com aqueles alunos que seguiram estas orientações. Funcionará 
com você também! 
 
Inicialmente, vale a pena destacar e enfatizar que a Estatística é uma 
disciplina totalmente CUMULATIVA. Ou seja, muitas vezes, nas últimas 
aulas do curso, estaremos retomando conceitos que foram ensinados nas 
primeiras aulas. Então, siga estas orientações: 
 
1) não falte às aulas! Seja assíduo, visto que se faltar, possivelmente terá 
dificuldades em acompanhar o conteúdo das aulas seguintes, e de todo o 
resto do curso! Lembre-se: estar presente não é sinônimo de bom 
desempenho. Participe das aulas, não necessariamente falando, mas 
prestando atenção! 
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 7 
2) Anote tudo que for dado em lousa, seja teoria ou um exercício. Alguns 
alunos dão a famosa desculpa: “ou eu copio, ou eu presto atenção”. Muito 
bem, como já disse, isso é desculpa! É muito importante copiar o que está na 
lousa, pois só assim você terá um material de consulta. Tente conciliar as 
coisas: preste atenção nas palavras do professor enquanto copia. Lembre-
se: copiar não é ficar enfeitando o caderno! Acho muito bom cadernos 
organizados e coloridos, mas, se preciso, copie tudo sem muito capricho e 
depois passe a limpo suas anotações. O importante é que tenha, após a aula, 
anotado tudo que foi dado em lousa. 
 
3) Caso precise, de fato, faltar à alguma aula, procure ler e estudar o que 
foi dado na(s) aula(s) que perdeu, além de, é claro, COPIAR tudo que foi 
passado em lousa de algum colega. 
 
4) Alguns alunos pensam que exercício feito em lousa é apenas para 
exemplificar a matéria e, por isso, não se preocupam em refazer esses 
exercícios. Querem, logo após a aula, pegar os exercícios que ainda não 
foram resolvidos e tentar fazê-los. ERRADO! O primeiro passo para 
assimilar um conteúdo novo é REFAZER OS EXERCÍCIOS RESOLVIDOS 
EM LOUSA, tentando entender o passo a passo da resolução. Feito isso, 
passe para a resolução dos exercícios propostos. 
 
5) Consulte sempre! O único momento em que você não poderá consultar 
suas anotações é durante a prova. Enquanto estiver em sala de aula, ou fora 
dela fazendo exercícios, procure consultar e se basear em exemplos 
resolvidos. Esses exemplos irão lhe ajudar muito em algumas situações. 
 
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6) Faça os exercícios da apostila. Muitas vezes, por questões de tempo, 
fica inviável fazer todos os exercícios da apostila (embora isso seja o ideal). 
Ao menos, refaça os exemplos dados em aula e faça alguns exercícios da 
apostila. Essa será a única maneira de aprender o conteúdo. Não adianta 
prestar atenção durante a aula e copiar tudo que for passado em lousa. A 
assimilação só ocorrerá quando você fizer, sozinho, alguns exercícios. 
 
7) Não deixe para estudar na última hora!!! Possivelmente você escuta 
isso desde criança. Mas, agora, leve isto à risca! O conteúdo é bastante 
extenso. Você não conseguirá assimilar todo esse conteúdo se estudar 
apenas uma semana antes da prova! Assim, procure reservar um horário por 
semana para estudar Estatística. Vá fazendo os exercícios da aula e da 
apostila lentamente, de acordo com as orientações dadas pelo professor em 
sala de aula. Estude sempre e não apenas nas vésperas de provas! 
 
 
Seguindo estas orientações, garanto a você que conseguirá aprender 
Estatística mais fácil do que você imagina. Alunos meus que seguiram, foram 
aprovados com tranquilidade. Se você acha que é muita coisa para ser feita, 
ou se você acha que o SEU método de estudo é relativamente bom, ok! Mas... 
que tal mudar? Que tal você, ao menos, TENTAR seguir as orientações aqui 
citadas? Acho que valerá a pena! 
 
 
Sucesso nos estudos! 
 
 
Prof . Conrad 
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 9 
1. Introdução à Estatística 
 
 
1. O que é Estatística? 
 
Toda pesquisa ou trabalho científico, nas mais variadas áreas, como sociologia, 
saúde, psicologia, etc., de um modo bem geral, em algumafase de seu 
desenvolvimento, se depara com situações que envolvem uma grande quantidade de 
dados relevantes ao objeto de estudo. Esses dados têm que ser trabalhados e 
transformados em informações, para que possam ser comparados com outros 
resultados, ou ainda para julgar sua adequação a alguma teoria. Para isto se recorre a 
técnicas desenvolvidas com a finalidade de auxiliar a análise dessas informações. 
 
A utilização dessas técnicas, destinadas à análise de situações complexas ou não, 
tem aumentado e faz parte do nosso cotidiano. Jornais, revistas técnicas artigos, etc., 
publicam frequentemente tabelas, gráficos, porcentagens e outros dispositivos 
destinados a complementar a apresentação de um fato ou justificar um argumento. 
 
A ciência que se dedica a esse trabalho é a Estatística. 
Estatística: é o conjunto de técnicas que permite, de forma sistemática, coletar, 
organizar, descrever, analisar e interpretar dados oriundos de estudos ou 
experimentos, realizados em qualquer área do conhecimento. 
No passado, tratar uma grande massa de números era tarefa custosa e cansativa, que 
exigia horas de trabalho. Recentemente, no entanto, grande quantidade de 
informações pode ser analisada rapidamente com um computador pessoal e 
programas adequados. Desta forma, o computador contribui, positivamente, na difusão 
e uso de métodos estatísticos. Por outro lado, o computador possibilita uma 
automação que pode levar um indivíduo sem preparo específico a utilizar técnicas 
inadequadas para resolver um dado problema. Assim, é necessário a compreensão 
dos conceitos básicos da Estatística, bem como as suposições necessárias para o 
seu uso de forma criteriosa. 
Quando se aborda uma problemática envolvendo métodos estatísticos, deve-se 
planejar a experiência que nos vai permitir recolher os dados, de modo que, 
posteriormente, se possa extrair o máximo de informações relevantes para o problema 
em estudo, ou seja, para a população de onde os dados provêm. Quando de posse 
dos dados, procura-se agrupá-los e reduzi-los sob forma de amostra. 
Seguidamente o objetivo do estudo estatístico pode ser o de estimar uma quantidade 
ou testar uma hipótese. Utilizamos então técnicas estatísticas convenientes que vão 
permitir tirar conclusões acerca da população, baseando-se numa pequena amostra, 
dando-nos ainda uma medida do erro cometido. 
 
2. Estatística Descritiva e Estatística Indutiva 
Numa análise estatística distinguem-se essencialmente duas fases: 
1ª Fase - Estatística Descritiva - Procura-se descrever e resumir dados, afim de que 
se possam tirar conclusões a respeito das características de interesse. 
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 10 
Exemplos de características de interesse: idade, sexo, peso. 
Exemplos de técnicas descritivas: gráficos, tabelas de frequência, parâmetros 
associados às frequências, tais como médias, variâncias, etc. 
2ª Fase - Estatística Indutiva (Inferência) - Conhecidas certas propriedades (obtidas 
a partir de uma análise descritiva de uma amostra), expressas por meio de 
proposições, imaginam-se proposições mais gerais (extrapolação), que exprimam 
conclusões para toda a população. 
 
 
3. Parâmetros x Estatísticas 
 
• Parâmetros: são medidas populacionais quando se investiga a população em sua 
totalidade, neste caso é impossível fazer inferências, pois toda a população foi 
investigada. 
 
• Estatísticas ou Estimadores: são medidas obtidas da amostra, torna-se possível 
neste caso utilizarmos inferências para que possamos fazer conclusões sobre a 
população. 
 
 
4. Planejamento de Experimentos 
Os estudos que utilizam métodos estatísticos vão desde os que são concebidos e 
executados, dando resultados confiáveis, aos que são concebidos deficientemente e 
mal executados, levando a conclusões enganosas e sem qualquer valor real. Eis 
alguns pontos importantes para o planejamento de um estudo capaz de produzir 
resultados válidos: 
1. Identificar com precisão a questão a ser respondida e definir com clareza a 
população de interesse. 
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2. Estabelecer um plano para coleta de dados. Esse plano deve descrever 
detalhadamente a realização de um estudo observacional ou de experimento e deve 
ser elaborado cuidadosamente, de modo que os dados coletados representem 
efetivamente a população em questão. 
3. Coletar os dados. Devemos ser extremamente cautelosos, para minimizar os 
erros que podem resultar de uma coleta tendenciosa de dados. 
4. Analisar os dados e tirar conclusões. Identificar também possíveis fontes de 
erros. 
Os estudos que requerem métodos estatísticos decorrem tipicamente de duas fontes 
comuns: estudos observacionais e experimentais. 
Estudo observacional – verificamos e medimos características específicas, mas não 
tentamos manipular ou modificar os elementos a serem estudados. Ex: plebiscito 
sobre porte de arma de fogo. 
Estudo experimental – aplicamos determinado tratamento e passamos então a 
observar seus efeitos sobre os elementos as serem pesquisados. Ex: tratamento 
médico a um determinado grupo de pacientes a fim de determinar sua eficiência na 
cura. 
 
5. População e Amostra 
Ao se estudar as características de uma população, o ideal seria investigar todos os 
elementos dessa população. Porém, na grande maioria dos casos, é inviável estudar a 
população em virtude de distâncias, custo, tempo, logística, entre outros motivos. A 
alternativa praticada nestes casos é o trabalho com uma amostra confiável. 
População (N): Conjunto de todos os elementos relativos a um determinado 
fenômeno que possuem pelo menos uma característica em comum, a população é o 
conjunto Universo. 
 
Amostra (n): É um subconjunto da população. A amostra deve ser selecionada 
seguindo certas regras e deve ser representativa, de modo que ela represente todas 
as características da população como se fosse uma fotografia desta. 
 
6. Pesquisa Estatística 
É qualquer informação retirada de uma população ou amostra, podendo ser através de 
Censo ou Amostragem. 
Recenseamento (Censo): é a contagem oficial e periódica dos indivíduos de um País, 
ou parte de um País. Ele abrange, no entanto, um leque mais vasto de situações. 
Assim, pode-se definir recenseamento do seguinte modo: 
“estudo científico de um universo de pessoas, instituições ou objetos físicos com o 
propósito de adquirir conhecimentos, observando todos os seus elementos, e fazer 
juízos quantitativos acerca de características importantes desse universo”. 
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 12 
Amostragem: é o processo que procura extrair da população elementos que através 
de cálculos probabilísticos ou não, consigam prover dados inferências da população-
alvo. Este processo deve seguir um método criterioso e adequado. 
 
Tipos de amostragem 
Os principais tipos de amostragem estão representados no diagrama a seguir: 
 
 
 
 
 
 
 
 
Amostragem
Não 
Probabilística
Acidental ou 
Conveniência
Intencional
Quotas ou 
Proporcional
Desproporcional
Probabilística
Aleatória 
Simples
Estratificada
Sistemática
Conglomerado
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Amostragem Não Probabilística 
A escolha de um método não probabilístico, via de regra, sempre encontrará 
desvantagem frente ao método probabilístico. No entanto, em alguns casos, se faz 
necessário a opção por este método. Fonseca (1996), alerta que não há formas de se 
generalizar os resultados obtidos na amostra parao todo da população quando se 
opta por este método de amostragem. Isto porque os elementos da amostra não têm a 
mesma probabilidade de serem escolhidos e, por isso, não é possível fazer inferências 
sobre a população. Alguns modelos de amostragem não probabilística são: 
- Acidental ou conveniência 
Indicada para estudos exploratórios. Frequentemente utilizados em supermercados 
para testar produtos ou em pesquisas de opinião geralmente realizada em locais onde 
há um grande fluxo de pessoas. 
Neste tipo de amostragem, geralmente o entrevistador aborda indivíduos que passem 
próximo a ele, de forma casual, ou ainda, totalmente acidental. 
- Intencional 
O entrevistador dirige-se a um grupo em específico para saber sua opinião. Por 
exemplo, quando, de um estudo sobre automóveis, o pesquisador procura apenas 
oficinas. 
Podemos pensar, ainda, que a amostragem intencional é um tipo de acidental 
utilizando uma espécie de “filtro”. Se a pesquisa consiste em saber, por exemplo, 
sobre o design de armações de óculos de grau, é natural que o entrevistador procure 
abordar apenas pessoas que passem próximo a ele e que estejam usando óculos. 
- Quotas ou proporcional 
Na realidade, trata-se de uma variação da amostragem intencional. Necessita-se ter 
um prévio conhecimento da população e sua proporcionalidade. Por exemplo, deseja-
se entrevistar apenas indivíduos da classe A, que representa 12% da população. Esta 
será a quota para o trabalho. 
A amostragem proporcional buscará entrevistar pessoas de forma acidental ou 
intencional e que façam parte do grupo (categoria) específico. Por exemplo, se 
estamos realizando uma pesquisa sobre o grau de satisfação de proprietários de 
veículos, devemos, inicialmente, determinar a quantidade de participação na 
população de cada um dos carros analisados. No mês de julho de 2014, os 6 veículos 
mais vendidos no Brasil foram: 
Posição Modelo Nº de veículos 
1ª Palio 15989 
2ª Gol 14347 
3ª Onix 14015 
4ª Strada 12585 
5ª HB20 10857 
6ª Fiesta 10591 
Total 78384 
Fonte: http://carros.ig.com.br/ranking/home/01.html. Acessado em 17/08/2014. 
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 14 
Dessa forma, baseado no total da tabela, podemos calcular as porcentagens de 
proprietários de cada um dos veículos na população: 
Posição Modelo Nº de veículos Porcentagem 
1ª Palio 15989 20,4% 
2ª Gol 14347 18,3% 
3ª Onix 14015 17,9% 
4ª Strada 12585 16,1% 
5ª HB20 10857 13,9% 
6ª Fiesta 10591 13,4% 
Total 78384 100% 
Vamos admitir que faremos uma pesquisa de amostra igual a 2000 indivíduos. Qual 
será a quantidade de pessoas proprietárias de cada um dos modelos listados que 
devemos entrevistar de maneira intencional? Basta calcularmos as quantidades 
correspondentes a cada um dos modelos baseado na porcentagem populacional: 
Posição Modelo Nº de veículos Porcentagem Amostra 
1ª Palio 15989 20,4% 408 
2ª Gol 14347 18,3% 366 
3ª Onix 14015 17,9% 358 
4ª Strada 12585 16,1% 322 
5ª HB20 10857 13,9% 278 
6ª Fiesta 10591 13,4% 268 
Total 78384 100% 2000 
 
- Desproporcional 
Muito utilizada quando a escolha da amostra for desproporcional à população. De 
modo geral, este método de amostragem só deve ser realizado quando não se 
conhece o tamanho real da população correspondente a cada categoria analisada. Por 
exemplo, considere a tabela anterior a respeito dos 6 veículos mais vendidos no Brasil 
no mês de julho de 2014. Caso não tivéssemos acesso às porcentagens 
populacionais, poderíamos realizar uma pesquisa com 2000 pessoas da seguinte 
maneira: 
 
Posição Modelo Amostra 
1ª Palio 334 
2ª Gol 334 
3ª Onix 333 
4ª Strada 333 
5ª HB20 333 
6ª Fiesta 333 
Total 2000 
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Amostragem Probabilística 
 Para que se possam realizar inferências sobre a população, é necessário que se 
trabalhe com amostragem probabilística. É o método que garante segurança quando 
se investiga alguma hipótese. Normalmente os indivíduos investigados possuem a 
mesma probabilidade de ser selecionado na amostra. São tipos de amostragem 
probabilística: 
 
- Aleatória Simples ou Casual Simples 
É o mais utilizado processo de amostragem. Prático e eficaz confere precisão ao 
processo de amostragem. Normalmente utiliza-se uma tabela de números aleatórios e 
nomeiam-se os indivíduos, sorteando-se um por um até completar a amostra 
calculada. 
Exemplo: Queremos escolher 10 alunos de 90 alunos de uma sala. Escrevemos 
números de 1 a 90 em um papel e sorteamos 10 números. Seria o mesmo princípio do 
“bingo”: sortear 10 número a partir de um globo com bolinhas numeradas de 1 a 90. 
Uma maneira de substituir os papéis é utilizar uma tabela de números aleatórios, que 
podem ser encontradas em livros de Estatística. Porém, esse método já está 
ultrapassado, visto que temos acesso a softwares (inclusive para smartphones) que 
fazem sorteios aleatórios. Ou, ainda, funções específicas (como a ALEATÓRIOENTRE 
presente no Microsoft Excel). 
 
- Sistemática 
Em um grande número de exemplos, o pesquisador depara-se com a população 
ordenada. Uma palavra chave de fácil memorização é “fichário”: quando temos nossa 
população cadastrada em fichas numeradas ou, ainda, banco de dados que produzem 
números sequenciais para cada novo cadastro efetuado. 
Exemplos: 
1. No caso de uma linha de produção, podemos, a cada dez itens produzidos, retirar 
um para pertencer a uma amostra de produção diária. Neste caso estaríamos fixando 
o valor da amostra em 10% da população (amostragem probabilística aleatória 
simples) 
2. Quando se trabalha com sorteio de quadras de casas, por exemplo, há uma regra 
crescente para os números das casas. Em casos como este, divide-se a população 
pela amostra e obtém-se um coeficiente (y). A primeira casa será a de número um x 
escolhido aleatoriamente, a segunda será a de número x + y; a terceira será a de 
número x + 2y, a quarta será x + 3y e assim sucessivamente (amostragem 
probabilística aleatória sistemática). 
Observe, se a rua contém 900 casas e desejamos obter uma amostra de 50 casas: 
• dividimos 900 por 50 obtendo o coeficiente y = 18 (900 : 50 = 18); 
• em seguida escolhemos por sorteio casual um número de 1 a 18 (inclusive), 
para indicar o número da primeira casa (x), 
• o segundo número será x + 18; o terceiro será x + 2.18; o quarto será x + 3.18, 
e assim sucessivamente. Se o número sorteado (x) for o número 4 (par), tomaríamos, 
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 16 
pelo lado direito da rua o 4º prédio, o 22º, o 40º etc., até voltarmos ao início da rua, 
pelo lado esquerdo. 
3. Uma clínica possui 200 pacientes (cada um cadastrado com valores de 1 a 200). 
Deseja-se sortear uma amostra de tamanho 10. 
Inicialmente, calculamos o tamanho do “passo” a ser dado na hora de coletar a 
amostra: 
200 : 10 = 20 (é o nosso “passo”) 
Agora, sorteamos um número entre 1 e o nosso “passo”, no caso, 20. Suponhamos ter 
sorteado o número 5. A partir desse valor, somamos o “passo” obtendo os números 
dos elementos de nossa amostra: 
5, 25, 45, 65, 85, 105, 125, 145, 165, 185. 
 
– Aleatória Estratificada 
Quando se deseja guardar uma proporcionalidade na população heterogênea, 
estratifica-se cada subpopulação por intermédio de critérios como classe social, renda, 
idade, sexo, entre outros. 
Esse tipo de amostragem é útil quando se pode construir um sistema de referências, 
mas sabe-se de antemão que existe uma grande variabilidade entre os grupos e uma 
pequena variabilidade dentro de cada grupo. Com o objetivo de eliminar a 
variabilidade entre os grupos, convém utilizar este sistema de amostragem. A cada 
grupo damos o nome de estrato.Depois, retiramos de cada estrato uma amostra 
casual simples. 
 
 
 
Exemplo 1: Suponha que dos 90 alunos de uma sala, 54 são homens e 36 sejam 
mulheres. Vamos obter 10% da população para a amostra proporcional estratificada. 
Então vamos dividir nossa população em dois estratos: homens e mulheres. Destes 
dois estratos vamos obter 10% de cada um. Assim temos: 
 
Do dicionário Michaelis: 
Extrato: Produto da extração. Substância extraída de outra. Resumo de um escrito. Cópia 
resumida; excerto, fragmento, trecho. 
Estrato: Cada uma das camadas de uma sociedade mais ou menos segregadas entre si e 
hierarquicamente sobrepostas; camada social. 
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Sexo População 10% Amostra 
M 54 5,4 5 
F 36 3,6 4 
Total 90 9 9 
 
Exemplo 2: Suponhamos o mesmo caso dos veículos analisado anteriormente. 
Vamos admitir, agora, que desejamos realizar uma amostra de tamanho 400. Vamos 
calcular o tamanho da amostra baseado na porcentagem populacional: 
Posição Modelo Nº de veículos Porcentagem Amostra calculada 
1ª Palio 15989 20,4% 0,204 . 400 = 81,6 
2ª Gol 14347 18,3% 0,183 . 400 = 73,2 
3ª Onix 14015 17,9% 0,179 . 400 = 71,6 
4ª Strada 12585 16,1% 0,161 . 400 = 64,4 
5ª HB20 10857 13,9% 0,139 . 400 = 55,6 
6ª Fiesta 10591 13,4% 0,134 . 400 = 53,6 
Total 78384 100% 400 
Perceba que os valores obtidos para as amostras de cada estrato são valores 
decimais. Em um processo de amostragem, é impossível entrevistarmos 81,6 
pessoas. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Por isso, devemos arredondar os valores calculados, utilizando as regras de 
arredondamento convencionais: 
Posição Modelo Amostra calculada Amostra 
1ª Palio 0,204 . 400 = 81,6 82 
2ª Gol 0,183 . 400 = 73,2 73 
3ª Onix 0,179 . 400 = 71,6 72 
4ª Strada 0,161 . 400 = 64,4 64 
5ª HB20 0,139 . 400 = 55,6 56 
6ª Fiesta 0,134 . 400 = 53,6 54 
Total 78384 400 
 
ATENÇÃO! 
O número de elementos da amostra deve ser 
sempre um valor inteiro! 
 
Valores decimais devem ser arredondados! 
 
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Porém, veja que o tamanho da amostra havia sido definido, desde o começo, como 
sendo igual a 400 e, após os cálculos e arredondamentos, chegamos a uma soma de 
401 elementos (82+73+72+64+56+54 = 401). Como nossa amostra deve ser, 
obrigatoriamente, igual a 400, devemos ajustar os valores manualmente. Esse ajuste 
consiste e aumentar ou diminuir geralmente 1 ou 2 unidades, preferencialmente no 
maior valor obtido, que, no caso do exemplo, é igual a 82. Assim, nossa amostra final 
será: 
Posição Modelo Amostra calculada Amostra 
1ª Palio 0,204 . 400 = 81,6 82 81 
2ª Gol 0,183 . 400 = 73,2 73 
3ª Onix 0,179 . 400 = 71,6 72 
4ª Strada 0,161 . 400 = 64,4 64 
5ª HB20 0,139 . 400 = 55,6 56 
6ª Fiesta 0,134 . 400 = 53,6 54 
Total 78384 400 
 
 
Exemplo 3: Suponhamos que em uma indústria há 3 máquinas que fabricam dois 
tipos de peças cada uma. Em um certo dia de produção, as quantidades produzidas 
pelas máquinas A, B e C das peças Tipo 1 e Tipo 2 foram: 
Máquina Peças Tipo 1 Peças Tipo 2 
A 120 210 
B 140 300 
C 90 190 
Total 350 700 
 
Deseja-se analisar 8% de todas as peças obtidas a fim de controle de qualidade. 
Realizar uma amostragem estratificada. 
 
Inicialmente, calculamos o tamanho total da amostra de cada um dos tipos de peças: 
 
- 8% de 350 = 0,08 . 350 = 28 peças; 
- 8% de 700 = 0,08 . 700 = 56 peças. 
 
Colocamos os valores obtidos na tabela: 
Ao se fazer um ajuste manual na quantidade da amostra de um estratos, 
procure realizar esse ajuste sempre no estrato que possui o maior 
valor, evitando, assim, grandes distorções nos cálculos. 
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Máquina Peças Tipo 1 Peças Tipo 2 Amostra Tipo 1 Amostra Tipo 2 
A 120 210 
B 140 300 
C 90 190 
Total 350 700 28 56 
 
Em seguida, calculamos 8% de cada um dos valores da tabela. A primeira linha da 
tabela é obtida fazendo: 
 
- 8% de 120 = 0,08 . 120 = 9,6 
- 8% de 210 = 0,08 . 210 = 16,8. 
 
Realizando todos os cálculos, obteremos os valores apresentados em vermelho. Os 
valores em vermelho são, em sua maioria, decimais. Fazemos, assim, o 
arredondamento de tais valores, obtendo os valores em verde. 
 
Máquina Peças Tipo 1 Peças Tipo 2 Amostra Tipo 1 Amostra Tipo 2 
A 120 210 9,6 → 10 16,8 → 17 
B 140 300 11,2 → 11 24 → 24 
C 90 190 7,2 → 7 15,2 → 15 
Total 350 700 28 56 
 
Para checar, somamos os valores em verde de cada coluna e conferimos se é igual ao 
total: 
- Amostra Tipo 1: 10 + 11 + 7 = 28 
- Amostra Tipo 2: 17 + 24 + 15 = 56 
Caso uma dessas somas não fosse igual ao total (28 e 56), deveríamos realizar um 
ajuste nos maiores valores de cada coluna, conforme já explicado anteriormente. 
A resposta para o nosso exemplo serão os valores marcado em verde na tabela. Em 
seguida, devemos sortear as quantidades indicadas de cada tipo de peça para cada 
uma das três máquinas de maneira aleatória. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
O cálculo da quantidade de elementos nas 
amostragens Proporcionais e Estratificadas é feitos 
da mesma maneira. O que muda é a forma como 
serão obtidos os elementos dentro de cada grupo. 
Por exemplo: para entrevistar 81 usuários do 
Palio, poderíamos proceder da seguinte maneira: 
 
- amostragem Proporcional: ficamos parados em 
um cruzamento e abordamos 81 motoristas que 
pararem no semáforo e que esteja dirigindo um 
Palio. 
 
- amostragem Estratificada: obtemos um cadastro 
de todos os compradores de Palio na Fiat; 
sorteamos, usando o Excel, 81 deles e entramos 
em contato para realizar a pesquisa. 
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– Conglomerado 
Muitas vezes a construção do sistema de referência é impossível. Nesta modalidade 
de amostragem, divide-se a área da população em seções (ou conglomerados): em 
seguida sorteia-se algumas dessas seções e, finalmente são estudados todos os 
elementos das seções escolhidas. 
Exemplo: queremos estudar a população que habita uma favela, mas não temos 
meios de conseguir uma relação completa dos habitantes. Porém, temos a relação 
completa dos barracos que compõem a favela. Barraco é uma unidade de 
amostragem maior, que engloba um certo número de indivíduos. Logo, podemos 
escolher uma amostra casual simples de barracos e estudarmos todos os indivíduos 
que moram nos barracos sorteados. Ao conjunto de indivíduos que moram em um 
barraco damos o nome de conglomerado. 
7. Dado x Variável 
 
Dados estatísticos: é qualquer característica que possa ser observada ou medida de 
alguma maneira. As matérias-primas da estatística são os dados observáveis. 
 
Variável: é o que se deseja observar para se tirar algum tipo de conclusão. 
Geralmente as variáveis para estudo são selecionadas por processos de amostragem. 
Os símbolos utilizados para representá-las são letras maiúsculas do alfabeto, tais 
como X, Y, Z,... que podem assumir qualquer valor de um conjunto de dados. 
 
Para podermos decidir como organizar os dados é preciso saber com que tipo de 
variáveis estamos trabalhando. Os tipos de variáveis são: 
 
- quantitativas que podem ser discretas ou contínuas; 
- qualitativas que podem ser ordinais ou nominais. 
 
Veja o diagrama: 
 
 
 
 
Variáveis
Qualitativas
Nominais
Ordinais
Quantitativas
Discretas
Contínuas
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As variáveis quantitativas discretas assumemvalores pontuais. Por exemplo, a idade 
das pessoas em anos. Neste caso, a idade representa valores bem definidos como 20, 
21, 22, 23 anos. 
 
As variáreis quantitativas contínuas assumem valores dentro de um intervalo. Por 
exemplo, podemos considerar a massa das pessoas em gramas. É claro que uma 
pessoa pode ter 60 235 gramas ou 60 236 gramas. Caberia a pergunta: não seria uma 
variável discreta? Neste caso, temos um conjunto muito grande de valores que essa 
variável pode assumir tornando-a contínua. 
 
As variáveis qualitativas ordinais são aquelas que atribuem qualidades de modo que 
possam ser ordenadas de maneira hierárquica. Por exemplo, o grau de escolaridade: 
analfabeto, 1° grau incompleto, 1° grau completo, 2° grau incompleto e assim por 
diante. 
 
Por fim, as variáveis qualitativas nominais são aquelas que atribuem qualidade mas 
que não é possível fazer uma ordenação. Por exemplo, matéria do colégio que mais 
gostava: Matemática, Física, Biologia, História... 
 
É importante ressaltar que não existem regras fixas para se dizer que uma variável é 
discreta ou contínua. Muitas vezes, podemos dar tanto um tratamento contínuo à 
variável idade quanto um tratamento discreto. Tal decisão depende do que se quer 
analisar e da quantidade de dados envolvida. Por exemplo: se estivermos fazendo 
uma pesquisa numa festa e encontramos jovens de 18 a 25 anos, podemos considerar 
a variável idade como discreta, ou seja, podemos contar exatamente quantas pessoas 
há com 18, 19, 20, 21, 22, 23, 24 e 25 anos. Porém, imaginemos que numa outra 
festa, com 1000 convidados, encontrássemos pessoas de 3 à 80 anos. É claro que 
poderíamos contar o número de indivíduos com 3,4,5,6,..., 79 e 80 anos. Porém, 
muitas vezes, nosso interesse está em analisar algumas faixas etárias. Por exemplo: 
 
de 3 a 18 anos 
de 18 a 25 anos 
de 25 a 35 anos 
de 35 a 50 anos 
de 50 a 80 anos 
 
Nesse caso, a variável idade passa a receber um tratamento contínuo. Assim, é 
preciso tomarmos muito cuidado com o fato de que algumas pessoas defendem que a 
variável IDADE é discreta. Dependendo do tratamento dado a ela, podemos 
transformá-la de discreta para contínua. 
 
Vejamos um outro caso: suponhamos um fabricante de tintas, que produz tintas 
coloridas fazendo o uso da tinta branca+pigmentos. Suponhamos, ainda, que ele 
trabalhe com as seguintes cores: branco, amarelo, vermelho, azul e preto. 
Aparentemente, a variável COR é qualitativa nominal. Porém, esse fabricante afirma 
que o pigmento amarelo é mais barato que o vermelho e que para se produzir tinta 
azul se usa muito corante (e mais corante ainda para tinta preta). Isso faz com que os 
custo sejam elevados para a tinta preta e reduzidos para a branca. Neste caso, 
podemos estabelecer uma ordem crescente para os custos: 
 
1°) branco 
2°) amarelo 
3°) vermelho 
4°) azul 
5°) preto 
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Percebemos que foi estabelecida uma ordem. Assim, a variável COR é, agora, 
qualitativa ordinal. 
 
 
 
Questionário 
 
Para efeitos de análise, foi passado um questionário para uma amostra de 30 ouvintes 
de uma determinada palestra. Pediu-se para que respondessem com a maior exatidão 
possível. Um modelo do questionário é mostrado a seguir. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
É importante destacar alguns pontos importantes a respeito do questionário: 
 
� Deve-se ter muito cuidado na elaboração das questões para que não gerem 
ambigüidades quanto à interpretação nem problemas de respostas diferentes que 
não possibilitem uma análise posterior. 
� O resultado de um questionário nem sempre corresponde à realidade, visto que a 
pessoa pode não saber ao certo sua altura ou fazer muito tempo que não se pesa. 
� Alguns cuidados especiais devem ser tomados na elaboração de questões 
“abertas”, ou seja, que não são do tipo teste, para que as respostas sejam 
padronizadas. Por exemplo, se não for especificado, uma pessoa pode responder 
que a sua altura é de 172 cm e outra de 1,72 m. Ou ainda, o que seria muito pior 
pois alteraria o resultado da pesquisa, é no caso de perguntar o número de irmãos: 
uma pessoa pode ter 4 irmãos vivos e 1 que faleceu. Qual valor ela deveria colocar 
no questionário: 4 ou 5? Daí a necessidade da especificação. 
� Vale a pena, também, ficar atento a perguntas do tipo: “você gosta de carros 
brancos? ( ) sim ( ) não”. Aparentemente não há nenhum problema nessa 
Questionário 
 
Procure responder às questões com a maior exatidão possível. 
Não deixe questões em branco! 
 
1) Sexo: ( ) masculino ( ) feminino 
 
2) Idade (em anos): _____ 
 
3) Altura (em metros): ________ m 
 
4) Peso (em quilos): ______ kg 
 
5) Número de irmãos (vivos): _____ 
 
6) Fuma atualmente? ( ) SIM ( ) NÃO 
 
7) Qual a sua tolerância quanto à fumaça do cigarro? 
 ( ) Muito tolerante ( ) Pouco tolerante ( ) Indiferente 
 
8) Número de horas médias por semana que pratica exercícios e atividades físicas (academia, andar, 
correr, alongamento, esportes, etc): ______ horas 
 
9) Qualidade da programação atual da Rede Globo: 
 ( ) Boa ( ) Regular ( ) Péssima ( ) Não sabe 
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 23 
pergunta, porém, uma análise mais cuidadosa faria perceber que o entrevistado 
poderia responder “não, não gosto de carros brancos, prefiro os vermelhos” como 
poderia responder “não, não gosto de carros, prefiro motos”. Porém, essa 
diferença de respostas não seria detectada com a pergunta (ambígua) acima. 
Neste caso, devemos reformular tal pergunta ou fazer outras confirmatórias. 
Embora isso não seja tratado neste texto, alertamos quanto ao fato na hora de 
elaborar e responder um questionário. 
 
O resultado de tal questionário em uma amostra de tamanho 30 é mostrado na tabela 
a seguir. As variáveis em questão são: 
 
Sexo – masculino (M) ou feminino (F) 
Idade – em anos 
Altura – em metros 
Peso – em quilos 
Irmãos – número de irmãos vivos 
Fuma – é fumante (SIM) ou não é fumante (NÃO) 
Tolerância – nível de tolerância à fumaça do cigarro: muito tolerante (M), pouco 
tolerante (P) ou indiferente (I) 
Exercícios – número médio de horas que pratica atividades físicas por semana 
Qualidade – qualidade da programação atual da Rede Globo: boa (B), regular (R), 
péssima (P) ou não sabe (N) 
 
A partir da tabela a seguir, onde estão representados os dados brutos (ou seja, 
aqueles obtidos a partir do questionário), percebemos que há uma certa dificuldade 
de, por exemplo, dizer se a maioria das pessoas é muito ou pouco tolerante ao fumo, 
ou quanto ao número médio de horas que as pessoas praticam atividades físicas. Tal 
dificuldade já se apresenta com um pequeno conjunto de dados (apenas 30 
entrevistados). Para conjuntos maiores, diria que é praticamente impossível tirar 
alguma conclusão apenas observando os dados brutos. 
 
Daí a necessidade de reorganizarmos os dados em tabelas e gráficos. A organização 
em tabelas deve ser a mais simples possível, evitando-se utilizar tabelas muito 
incrementadas ou coloridas. A forma como esses dados serão organizados também 
pode variar, de acordo com os interesses e do que se quer analisar. Assim, daremos 
aqui, alguns exemplos de organização e tipos de gráficos. 
 
Aliás, quanto aos gráficos, nem sempre há um gráfico correto e outro errado. Para 
representar um conjunto de dados, muitas vezes é possível usar mais de um tipo de 
gráfico. O melhor é aquele que mais enfatiza o resultado que você deseja apresentar, 
ou seja, que dá maior destaque às informações que você julga importantes.Observação Sexo Idade Altura Peso Irmãos Fuma Tolerância Exercícios Qualidade 
1 F 17 1,60 60 0 SIM I 0 B 
2 F 18 1,69 55 2 SIM I 0 R 
3 M 18 1,85 73 1 NÃO M 5 R 
4 M 23 1,85 80 0 NÃO M 4 P 
5 F 19 1,55 50 0 SIM I 2 B 
6 M 19 1,76 60 2 NÃO M 2 P 
7 F 20 1,64 47 1 NÃO P 3 B 
8 F 18 1,62 58 1 SIM I 2 N 
9 F 18 1,64 58 3 NÃO P 10 R 
10 F 17 1,72 70 0 NÃO M 8 B 
11 F 18 1,66 54 2 NÃO P 5 B 
12 F 18 1,70 58 0 NÃO I 2 R 
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13 F 21 1,65 63 1 SIM P 1 R 
14 M 18 1,90 85 2 NÃO P 0 B 
15 M 18 1,65 70 2 NÃO P 0 R 
16 M 19 1,70 70 1 NÃO I 3 P 
17 M 20 1,75 68 3 SIM I 2 N 
18 M 22 1,78 65 4 NÃO P 3 R 
19 M 24 1,79 72 1 NÃO M 5 B 
20 M 23 1,84 81 5 NÃO P 5 B 
21 F 18 1,64 54 2 NÃO I 10 B 
22 F 19 1,70 59 1 NÃO P 6 B 
23 F 21 1,78 60 0 NÃO M 2 R 
24 F 24 1,69 62 1 NÃO I 1 R 
25 F 21 1,72 70 2 NÃO P 7 P 
26 F 19 1,74 65 4 NÃO P 7 B 
27 M 18 1,75 70 1 NÃO P 6 P 
28 F 20 1,67 54 1 NÃO M 5 R 
29 M 20 1,81 76 3 NÃO P 7 B 
30 M 24 1,79 65 0 NÃO P 12 B 
 
Baseado na classificação de variáveis que apresentamos, podemos dizer que são: 
 
SEXO – nominal 
IDADE – discreta 
ALTURA – contínua (pois assume uma grande variedade de valores, embora 
possamos considerá-la discreta) 
PESO – discreta 
IRMÃOS – discreta 
FUMA – nominal 
TOLERÂNCIA – nominal 
EXERCÍCIOS – discreta 
QUALIDADE – ordinal 
 
 
RESUMO 
 
As variáveis podem ser classificadas dos seguintes modos: 
 
1) Qualitativas (ou atributos): são características de uma população que não podem ser medidas, sendo 
classificadas em nominais ou ordinais. 
 
 - Nominal: são utilizados símbolos, ou números, para representar determinado tipo de dados, 
mostrando, assim, a qual grupo ou categoria eles pertencem, como sexo, nacionalidade, etc. 
 
 - Ordinal: quando uma classificação for dividida em categorias ordenadas em graus convencionados, 
havendo uma relação entre as categorias do tipo “maior do que”, “menor do que”, “igual a”, primeiro, 
segundo, terceiro e, assim, sucessivamente. 
 
2) Quantitativas: são características populacionais que podem ser quantificadas, sendo classificadas em 
discretas e contínuas. 
 
 - Discretas: são aquelas variáveis que podem assumir somente valores inteiros num conjunto de 
valores. É gerada pelo processo de contagem, como o número de veículos que passa em um posto de 
gasolina, o número de estudantes nesta sala de aula. 
 
 - Contínuas: são aquelas variáveis que podem assumir um valor dentro de um intervalo de valores. É 
gerada pelo processo de medição. Neste caso serve como exemplo o volume de água em um 
reservatório ou o peso de um pacote de cereal. 
 
 
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8. Arredondamento de números 
 
Uma questão importante a ser compreendida por todos os estudantes de Estatística é 
quanto ao arredondamento. Raramente um cálculo realizado será exato. O mais 
comum é que os resultados obtidos tenham várias casas decimais. 
 
O primeiro ponto a ser discutido é: “quantas casas decimais eu devo utilizar?” Não há 
uma regra definida para isto. O que vale, aqui, é utilizar a coerência e o bom senso. 
Por exemplo, suponhamos que estamos trabalhando o cálculo de valores monetários, 
em reais. O que faz mais sentido neste caso é trabalharmos com 2 casas após a 
vírgula, visto que a terceira casa após a vírgula não faz sentido, ou seja, R$ 3,451 
impossibilita, na prática, o pagamento de R$ 0,001. Neste caso, o melhor é utilizarmos 
R$ 3,45. Um outro exemplo: se estivermos trabalhando com medidas efetuadas com a 
régua, podemos utilizar até 2 casas após a vírgula, ou seja, faz sentido apresentarmos 
um resultado do tipo 5,43 cm, visto que estaríamos dizendo que a medida obtida tem 5 
centímetros, 4 milímetros e 3 décimos de milímetro (este valor indicaria a incerteza da 
medida). Porém, não vamos discutir nesta apostila incertezas e erros quando 
utilizamos instrumentos de precisão. 
 
Um segundo ponto a ser notado é a respeito de qual regra de arredondamento 
devemos utilizar. Existem várias maneiras de fazermos o arredondamento de um 
número, porém, vamos utilizar o método tradicional de arredondamento que nos diz: 
quando a casa decimal seguinte àquela que vamos arredondar for 0, 1, 2, 3 ou 4, esta 
casa decimal permanece como está. Se a casa decimal seguinte for 5, 6, 7, 8 ou 9, 
somamos 1 à casa decimal a ser arredondada. Vejamos alguns exemplos. 
 
1) Arredondar 23,4581 para 3 casas decimais. Note que a quarta casa é 1 (menor que 
5) . Logo, a casa a ser arredondada, que é o número 8, permanece igual. Assim, após 
o arredondamento, temos o número 23,458. 
 
2) Arredondar 3,276 para duas casas decimais. Verificamos que a terceira casa é 6 
(maior ou igual a 5). Logo, devemos somar 1 à segunda casa decimal. Após o 
arredondamento o número fica 3,28. 
 
3) Arredondar 12,49999 para 1 casa decimal. Como o número da segunda casa 
decimal é maior ou igual a 5, adicionamos 1 unidade ao valor a ser arredondado, ou 
seja, 4+1=5. Logo, o número após o arredondamento fica 12,5. 
 
4) Arredondar para 2 casas decimais o número 35,89076. Como na terceira casa 
temos o zero, mantemos o valor da segunda casa, ou seja, o número após 
arredondamento fica 35,89. 
 
5) Arredondar para 2 casas decimais o número 0,39601. Como na terceira casa 
decimal temos um valor superior a 5, devemos somar 1 unidade ao valor da segunda 
casa. Note, porém, que na segunda casa decimal temos o número 9. Pensemos, 
então, no número 39 (1ª + 2ª decimais). Somando 1 a esse número, teremos 40. Logo, 
o número arredondado fica 0,40. 
 
 
 
 
E s t a t í s t i c a D e s c r i t i v a 
P r o f . C o n r a d E . P i n h e i r o 
 
 26 
9. Exercícios 
 
1) Classifique em verdadeiro ou falso as seguintes informações: 
a) Estatística é um conjunto de técnicas destinadas a organizar um conjunto de dados. 
b) Sempre que estivermos trabalhando com números, deveremos utilizar a Inferência 
Estatística. 
c) A Estatística Descritiva fornece uma maneira adequada de tratar um conjunto de 
valores, numéricos ou não, com a finalidade de conhecermos o fenômeno de 
interesse. 
d) Qualquer amostra representa, de forma adequada, uma população. 
e) As técnicas estatísticas não são adequadas para casos que envolvem experimentos 
destrutivos como, por exemplo, queima de equipamentos, destruição de corpos de 
provas, etc. 
 
2) Um pesquisador está interessado em fazer um levantamento sobre alguns aspectos 
socioeconômicos dos empregados da Companhia MK. Escolha 4 variáveis a serem 
pesquisadas identificando se são qualitativas ou quantitativas. 
 
3) Classifique as variáveis em qualitativas (nominais/ordinais) ou quantitativas 
(discretas/ contínuas): 
a) cor dos cabelos dos alunos de uma escola. 
b) número de filhos de casais residentes em uma determinada rua. 
c) o ponto obtido em cada jogada de um dado. 
d) naturalidade das pessoas que vivem na cidade de São Paulo. 
e) escolaridade dos funcionários de uma empresa. 
f) classe social. 
g) patentes do exército. 
h) cargo na empresa. 
i) número de quilômetros percorridos entre a sua casa e o trabalho. 
j) tempo, em segundos, que cada trabalhador de uma indústria leva para montar 
determinado equipamento. 
 
4) Diga se variáveis são discretas, contínuas, ordinais ou nominais: salários, sexo dos 
filhos, número de peças defeituosas produzidas por uma máquina, altura de pessoas, 
grau de instrução, número de filhos, peso. 
 
5) Uma marca de vinho branco importada é vendida na maior parte dos 
supermercados do país. Desejando saber o preço médio de venda, o distribuidor 
deseja usar uma amostragem aleatória com 45 pontos de venda. Especifique um 
plano de amostragem que podeser utilizado. 
 
6) Suponha que se tenha uma tabela com a relação das 400 maiores empresas do 
país, no ano de 2005, por volume de vendas, listadas em ordem alfabética. Desejando 
uma amostra aleatória de 40 elementos. Qual o tipo de amostragem que pode-se 
utilizar? 
 
7) Classifique o tipo de amostragem utilizada em cada caso: 
a) Em uma sala de aula composta por 60 alunos arrumados em 6 fileiras de 10 alunos 
cada, toma-se uma amostra de 10 alunos jogando-se um dado e escolhendo os alunos 
da fileira correspondente ao resultado da jogada. 
b) Em uma sala de aula composta por 60 alunos, toma-se uma amostra de 10 alunos 
escolhendo-se um valor qualquer na lista de chamada e selecionando os 10 alunos a 
partir daquele número. Se chegar ao fim da lista antes de completar 10 alunos, volta-
se ao início da lista, até completar 10 alunos. 
E s t a t í s t i c a D e s c r i t i v a 
P r o f . C o n r a d E . P i n h e i r o 
 
 27 
8) Complete a tabela a seguir arredondando os números dados para a quantidade de 
casas decimais indicadas: 
 
Número Arred. Para 1 casa Arred. Para 2 
casas 
Arred. Para 3 
casas 
0,215664 
23,45977 
15,0246 
22,4502 
3,1195 
2,951009 
5,6987 
2,10243 
8,145501 
0,00924 
 
 
9) O diretor de uma escola, na qual estão matriculados 280 meninos e 320 meninas, 
desejoso de conhecer as condições de vida extra-escolar de seus alunos e não 
dispondo de tempo para entrevistar todas as famílias, resolve fazer um levantamento 
por amostragem, em 10% dessa clientela. Obtenha, para esse diretor, os elementos 
componentes da amostra. 
 
10) Em uma escola existem 250 alunos, distribuídos conforme quadro. Obtenha uma 
amostra proporcional estratificada de 40 alunos. 
 
Séries Número de 
alunos 
AMOSTRA 
1a 35 
2a 32 
3a 30 
4a 28 
5a 35 
6a 32 
7a 31 
8a 27 
Total 250 40 
 
11) Uma cidade X apresenta o seguinte quadro relativo às suas escolas de Ensino 
Fundamental. Obtenha uma amostra proporcional estratificada de 120 estudantes. 
 
 Número de 
estudantes 
 AMOSTRA 
Escolas Masculino Feminino Masc. Fem. 
A 80 95 
B 102 120 
C 110 92 
D 134 228 
E 150 130 
F 300 290 
Total 876 955 
 
E s t a t í s t i c a D e s c r i t i v a 
P r o f . C o n r a d E . P i n h e i r o 
 
 28 
12) Classifique as variáveis em qualitativas (nominal ou ordinal) ou quantitativas 
(discreta ou contínua): 
a) número de ações negociadas por dia na bolsa de valores ao longo de 1 ano; 
b) número de filhos de um certo casal; 
c) comprimento dos pregos produzidos por uma máquina; 
d) número de volumes na biblioteca da faculdade; 
e) salário dos funcionários de uma empresa; 
f) cor predominante da parede externa de sua casa; 
g) grau de escolaridade; 
h) número de horas dormidas na última noite; 
i) tipo de comida preferida; 
j) cargo dos funcionários de uma empresa. 
 
 
13) Em um local de exame da FUVEST existem 150 funcionários, distribuídos segundo 
seus cargos conforme tabela. Obtenha uma amostra proporcional estratificada de 30 
funcionários. 
 
Cargo Número de 
funcionários 
Amostra 
Coordenadores 4 
Fiscais da coordenação 15 
Fiscais de sala 96 
Auxiliares de Fiscais 24 
Apoio 11 
Total 
 
 
 
14) Uma escola apresenta a seguinte distribuição de alunos para o ensino 
fundamental (EF) e ensino médio (EM): 
 
 Número de 
estudantes 
 AMOSTRA 
Série Masculino Feminino Masc. Fem. 
EF – 5ª 65 50 
EF – 6ª 58 48 
EF – 7ª 86 78 
EF – 8ª 95 78 
EM – 1º 150 100 
EM – 2º 140 90 
EM – 3º 106 56 
Total 
 
 
Obtenha uma amostra proporcional estratificada de 130 estudantes. 
 
 
15) Uma população encontra-se em três estratos, com tamanhos, respectivamente, n1 
= 40, n2 = 100 e n3 = 60. Sabendo que, ao ser realizada uma amostragem 
estratificada proporcional, nove elementos da amostra foram retirados do 3o estrato, 
determine o número total de elementos da amostra. 
 
 
 
E s t a t í s t i c a D e s c r i t i v a 
P r o f . C o n r a d E . P i n h e i r o 
 
 29 
16) A tabela abaixo mostra a performance de 6 montadoras de automóveis em um 
determinado mês do ano de 2005. Sabendo-se que foram retiradas amostras 
estratificadas proporcionais, complete a tabela: 
 
Montadora de 
automóveis 
Quantidade de veículos 
produzidos 
Amostra 
Estratificada 
Proporcional 
A 7200 
B 238 
C 5100 
D 
E 6900 483 
F 182 
TOTAL 
 2065 
 
 
17) Um fabricante de computadores produz 8700 máquinas por mês. O departamento 
de qualidade necessita de uma amostra sistemática de 30 peças para teste. Sabendo 
que a 1ª máquina selecionada foi a nº 12, então as próximas 4 máquinas foram 
respectivamente: (considere que todas as máquinas estão numeradas de 0001 a 
8700) (Justifique a resposta). 
 
a) 24, 36, 48, 60 
b) 42, 72, 102, 132 
c) 302, 592, 882, 1172 
d) 290, 580, 870, 1160 
 
 
18) A produção diária de uma indústria é de 450 peças. Uma amostra sistemática de 
tamanho 30 será extraída de uma produção, começando pela peça de número 10. 
Assinale a alternativa correspondente aos números das cinco primeiros peças: 
(justifique a resposta) 
 
a) 10 – 25 – 40 – 55 – 70 
b) 10 – 15 – 20 – 25 – 30 
c) 10 – 12 – 14 – 16 – 18 
d) 10 – 20 – 30 – 40 – 50 
 
 
 
 
Respostas 
 
1) a) V b) F c) V d) F e) F 
2) resposta pessoal 
3) a) nominal 
b) discreta 
c) discreta 
d) nominal 
e) ordinal 
f) ordinal 
g) ordinal 
h) ordinal 
i) discreta (pode ser contínua dependendo da interpretação) 
j) contínua 
4) continua, nominal, discreta, contínua, ordinal, discreta, contínua. 
5) Proporcional ou estratificada 
6) Sistemática 
7) a) conglomerado 
b) sistemática 
 
E s t a t í s t i c a D e s c r i t i v a 
P r o f . C o n r a d E . P i n h e i r o 
 
 30 
8) 
Número Arred. Para 1 casa Arred. Para 2 casas Arred. Para 3 casas 
0,215664 0,2 0,22 0,216 
23,45977 23,5 23,46 23,460 
15,0246 15,0 15,02 15,025 
22,4502 22,5 22,45 22,450 
3,1195 3,1 3,12 3,120 
2,951009 3,0 2,95 2,951 
5,6987 5,7 5,70 5,699 
2,10243 2,1 2,10 2,102 
8,145501 8,1 8,15 8,146 
0,00924 0,0 0,01 0,009 
9) 28 homens e 32 mulheres 
 
10) 
Séries Número de alunos AMOSTRA 
1a 35 6 
2a 32 5 
3a 30 5 
4a 28 4 
5a 35 6 
6a 32 5 
7a 31 5 
8a 27 4 
Total 250 40 
 
11) 
 Número de estudantes AMOSTRA 
Escolas Masculino Feminino Masc. Fem. 
A 80 95 5 6 
B 102 120 7 8 
C 110 92 7 6 
D 134 228 9 15 
E 150 130 10 9 
F 300 290 19 19 
Total 876 955 57 63 
 
12) a) contínua b) discreta c) contínua d) discreta e) contínua f) nominal g) ordinal h) discreta i) nominal j) ordinal 
13) 
Cargo Número de funcionários Amostra 
 Coordenadores 4 1 
Fiscais da coordenação 15 3 
Fiscais de sala 96 19 
Auxiliares de Fiscais 24 5 
Apoio 11 2 
Total 150 30 
 
14) 
 Número de estudantes AMOSTRA 
Série Masculino Feminino Masc. Fem. 
EF – 5ª 65 50 7 5 
EF – 6ª 58 48 6 5 
EF – 7ª 86 78 9 8 
EF – 8ª 95 78 10 8 
EM – 1º 150 100 17* 12* 
EM – 2º 140 90 15* 10 
EM – 3º 106 56 12 6 
Total 700 500 76 54 
15) 6+15+9 = 30 
16) 
Montadora de 
automóveis 
Quantidade de veículos 
produzidos 
Amostra Estratificada 
Proporcional 
A 7200 504 
B 3400 238 
C 5100 357 
D 4300 301 
E 6900 483 
F 2600 182 
TOTAL 29500 2065 
 
17) C 
18) A 
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2. Organização de Dados 
 
A partir de uma pesquisa, os resultados obtidos, chamados de dados brutos, estão de 
forma desordenada, geralmente na mesma ordem em que foram obtidos ao longo 
dessa pesquisa. Para começar acompreender melhor esses dados, é necessário 
fazer uma organização deles de modo a se conseguir extrair algumas informações 
para uma análise detalhada posterior a respeito das características de estudo. 
 
A maneira mais elementar para se organizar inicialmente os dados provenientes de 
uma pesquisa é através da construção de tabelas, como veremos adiante. 
 
1. ROL 
 
Chama-se ROL a sequência dos dados brutos ordenada de forma não decrescente. 
 
Exemplo: suponhamos uma pesquisa em que 10 casais foram entrevistados com 
relação ao número de filhos que possuíam. Os resultados obtidos, na ordem das 
entrevistas (dados brutos) foram: 2, 1, 1, 3, 0, 1, 0, 0, 0, 2. 
 
Para estes dados, podemos construir o ROL: 0, 0, 0, 0, 1, 1, 1, 2, 2, 3. 
 
Importante: note que o ROL possui a mesma quantidade de dados inicialmente 
coletados. Ou seja, em nosso exemplo anterior, obteve-se 10 valores. Logo, o ROL 
deve possuir 10 valores também. 
 
 
2. Tabelas 
 
Consiste em dispor os dados em linhas e colunas distribuídas de modo ordenado. A 
elaboração de tabelas segue as normas do Instituto Brasileiro de Geografia e 
Estatística (IBGE). 
 
Os principais elementos de uma tabela são: 
 
- título: descreve que tipos de dados serão apresentados na tabela; 
- cabeçalho: contém a descrição de cada coluna da tabela; 
- corpo: contém os dados agrupados por linhas; 
- rodapé: local onde se pode acrescentar informações complementares da tabela, tais 
como fonte dos dados, observações e notas. 
 
Quando trabalhamos com dados quantitativos (numéricos), basicamente podemos 
construir dois tipos de tabelas, de acordo com as variáveis analisadas: tabela para 
variáveis discretas ou tabela para variáveis contínuas. Quando a variável é contínua, 
surge, na tabela, um elemento que agrupa tais valores chamado de classe. 
 
 
 
 
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 32 
3. Classes 
 
Quando temos dados brutos provenientes de uma variável contínua, devemos agrupá-
los, para a construção de uma tabela, em intervalos que também são conhecidos por 
classes. 
 
Os tipos de classes ou intervalos estão exemplificados na tabela a seguir: 
 
Representação 1 Representação 2 Significado 
5 |─ 8 [5 ; 8[ Inclui o valor a esquerda; exclui o valor à direita. 
5 ─| 8 ]5 ; 8] Exclui o valor a esquerda; inclui o valor à direita. 
5 |─| 8 [5 ; 8] Inclui o valor a esquerda; inclui o valor à direita. 
5 ─ 8 ]5 ; 8[ Exclui o valor a esquerda; exclui o valor à direita. 
 
 
Exemplo: consideremos o seguinte ROL: 
 
16, 18, 20, 20, 20, 20, 22, 23, 23, 25, 25, 26, 26, 29, 30. 
 
Vamos construir três tabelas, apenas para compararmos as formas de agrupamento 
de acordo com a representação utilizada: 
Tabela 1 
Classes quantidade 
15 |─ 20 2 
20 |─ 25 7 
25 |─| 30 6 
Total 15 
 
Tabela 2 
Classes quantidade 
15 ─| 20 6 
20 ─| 25 5 
25 ─| 30 4 
Total 15 
 
Tabela 3 
Classes quantidade 
15 ─| 20 6 
20 ─ 25 3 
25 |─| 30 6 
Total 15 
 
Embora as três tabelas estejam corretas, o mais comum é trabalharmos com um 
padrão, conforme ocorre nas tabelas 1 e 2. Dentre esses dois padrões, o mais comum 
é o da tabela 1. Note que na última classe da tabela 1, fechamos os dois extremos, 
visto que o valor 30 pertencia ao nosso conjunto de dados brutos representados no 
ROL e esse valor corresponde ao maior valor da última classe da tabela. Assim, a 
última classe ficou com intervalo fechado tanto a esquerda quanto a direita. Isso pode, 
e deve, ser feito, quando o maior valor do ROL coincidir com o valor representado na 
última classe evitando que precisemos criar uma nova classe para inserir um único 
valor. 
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P r o f . C o n r a d E . P i n h e i r o 
 
 33 
4. Amplitude de classe 
 
Consideremos a tabela 1 apresentado no exemplo anterior. Perceba que todas as 
classes possuem o mesmo tamanho. A primeira classe é 15 |─ 20. O limite inferior da 
primeira classe é 15. O limite superior da primeira classe é 20. A amplitude de 
classe corresponde à diferença entre o limite superior e inferior. Ou seja: 
amplitude de classe = 20-15 = 5. 
 
5. Amplitude total 
 
Ainda com relação à tabela 1, vamos observar os extremos da tabela. O mínimo é 15, 
enquanto que o máximo vale 30. Portanto, a amplitude total da tabela é 30 - 15 = 15. 
 
 
6. Frequências 
 
 
Frequências simples ou absolutas (fi) - é o número de vezes que se observa 
determinado valor. A soma de todas as frequências absolutas corresponde ao 
tamanho total da amostra (n): 
 
∑ = nfi 
 
 
Frequências relativas (fri) – são os valores das razões (quociente) entre as 
frequências simples e a frequência total multiplicada por 100 para que os dados sejam 
apresentados em porcentagem: 
 
100.
n
fif ri = 
 
 
Frequência Acumulada Simples (Fi) – valores obtidos adicionando a cada frequência 
absoluta os valores das frequências anteriores. Algumas vezes esta frequência é 
representada através da notação fac. 
 
Fk = f1 + f2 + …+fk 
 
 
Frequência Acumulada Relativa (Fri) – É a frequência acumulada da classe, dividida 
pela frequência total da distribuição. Multiplicando-se o resultado por 100 obteremos 
as frequências em porcentagem. Algumas vezes esta frequência é representada 
através da notação facr. 
 
 
100.
∑
= fi
FiFri 
 
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 34 
7. Distribuição de Frequências 
 
A tabela de dados brutos pode não ser prática para responder às questões de 
interesse, portanto, a partir da tabela de dados brutos, podemos construir uma nova 
tabela com as informações resumidas, para cada variável. Essa tabela é denominada 
de tabela de frequência (ou distribuição de frequência) e, como o nome indica, conterá 
os valores de variável e suas respectivas contagens. 
 
 
Exemplo 1: consideremos o quadro seguinte que mostra as notas de Estatística dos 
alunos de uma classe. 
 
Número 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 
Nota 5,0 4,0 6,0 8,0 3,0 5,0 7,0 6,0 8,0 4,0 6,0 9,0 7,0 5,0 7,0 5,0 6,0 8,0 7,0 9,0 4,0 6,0 6,0 8,0 7,0 
 
Os dados apresentados na tabela acima estão na forma primitiva (dados brutos). 
 
Para facilitar, vamos escrever o ROL desse conjunto de dados: 
 
3, 4, 4, 4, 5, 5, 5, 5, 6, 6, 6, 6, 6, 6, 7, 7, 7, 7, 7, 8, 8, 8, 8, 9, 9. 
 
Agora, mostraremos, passo a passo como construir a tabela de distribuição de 
frequências. 
 
 
1º PASSO: identificar qual é a nossa variável de estudo (xi). No caso, estamos 
analisando as notas dos alunos. Então, Notas correspondem aos valores que estamos 
observando (xi) com uma respectiva frequência absoluta (fi) que corresponde a 
quantidade de alunos que obteve determinada nota. 
 
Assim, montamos o esqueleto da nossa tabela, sempre lembrando de colocar os totais 
na última linha. 
 
 
Notas(xi) Nº de alunos(fi) Fi fri Fri 
 
 
 
 
 
 
 
Total 
 
 
2º PASSO: verificamos no ROL quais valores foram observados, ou seja, quais as 
notas que existem no ROL. Marcamos, em ordem crescente, esses valores na coluna 
dos valores observados (xi): 
 
 
 
 
 
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 35 
Notas(xi) Nº de alunos(fi) Fi fri Fri 
3,0 
4,0 
5,0 
6,0 
7,0 
8,0 
9,0 
Total 
 
3º PASSO: vamos completar a coluna das frequências absolutas (fi). A frequência 
absoluta de um certo valor corresponde a quantas vezes esse valor ocorreu um nosso 
conjunto de dados. Em nosso exemplo, a frequência absoluta corresponde a quantosalunos tirou determinada nota. 
 
Notas(xi) Nº de alunos(fi) Fi fri Fri 
3,0 1 
4,0 3 
5,0 4 
6,0 6 
7,0 5 
8,0 4 
9,0 2 
Total 
 
4º PASSO: Calculamos o total da coluna fi. Para isso, basta somar todos os valores 
que aparecem nessa coluna. 
 
 
Notas(xi) Nº de alunos(fi) Fi fri Fri 
3,0 1 
4,0 3 
5,0 4 
6,0 6 
7,0 5 
8,0 4 
9,0 2 
Total 25 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
O total calculado na coluna fi deverá ser igual a 
quantidade de dados brutos e, também, igual a 
quantidade de valores presentes no ROL. 
 
Esse total (no caso do exemplo é igual a 25) 
geralmente é representado por n e corresponde 
ao tamanho da nossa amostra. 
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 36 
 
5º PASSO: cálculo da frequência acumulada (Fi).Os valores dessa coluna tem como 
objetivo “acumular” a soma dos valores das frequências absolutas até a linha em 
questão. A ideia aqui é formar sempre um L, conforme veremos a seguir: o campo em 
verde é preenchido com a soma de todos os valores da coluna amarela. 
 
Notas(xi) Nº de alunos(fi) Fi fri Fri 
3,0 1 1 
4,0 3 
5,0 4 
6,0 6 
7,0 5 
8,0 4 
9,0 2 
Total 25 
 
 
 
Notas(xi) Nº de alunos(fi) Fi fri Fri 
3,0 1 1 
4,0 3 4 
5,0 4 
6,0 6 
7,0 5 
8,0 4 
9,0 2 
Total 25 
 
 
Notas(xi) Nº de alunos(fi) Fi fri Fri 
3,0 1 1 
4,0 3 4 
5,0 4 8 
6,0 6 
7,0 5 
8,0 4 
9,0 2 
Total 25 
 
 
Notas(xi) Nº de alunos(fi) Fi fri Fri 
3,0 1 1 
4,0 3 4 
5,0 4 8 
6,0 6 14 
7,0 5 
8,0 4 
9,0 2 
Total 25 
 
 
 
E s t a t í s t i c a D e s c r i t i v a 
P r o f . C o n r a d E . P i n h e i r o 
 
 37 
Notas(xi) Nº de alunos(fi) Fi fri Fri 
3,0 1 1 
4,0 3 4 
5,0 4 8 
6,0 6 14 
7,0 5 19 
8,0 4 
9,0 2 8% 100% 
Total 25 
 
 
Notas(xi) Nº de alunos(fi) Fi fri Fri 
3,0 1 1 
4,0 3 4 
5,0 4 8 
6,0 6 14 
7,0 5 19 
8,0 4 23 
9,0 2 
Total 25 
 
 
Notas(xi) Nº de alunos(fi) Fi fri Fri 
3,0 1 1 
4,0 3 4 
5,0 4 8 
6,0 6 14 
7,0 5 19 
8,0 4 23 
9,0 2 25 
Total 25 --- 
 
 
 
 
 
 
 
 
Note que o total da coluna Fi não deverá ser calculado, visto que a soma 
dos valores (1+4+8+14+19+23+25 = 94) não possui significado algum. 
E s t a t í s t i c a D e s c r i t i v a 
P r o f . C o n r a d E . P i n h e i r o 
 
 38 
6º PASSO: calcularemos, agora, as frequência relativas absolutas (fri). Para calcular, 
devemos dividir, para cada linha da tabela, a frequência absoluta (fi) pelo total (n). O 
resultado da divisão poderá ser multiplicado por 100 de modo a ser apresentado na 
forma de porcentagem. Nos exemplos a seguir, dividimos a célula indicada em 
amarelo pelo total da coluna em vermelho. O resultado foi multiplicado por 100 e 
colocado na célula azul. 
 
Fazemos, aqui, (1 / 25) x 100 = 4%: 
 
Notas(xi) Nº de alunos(fi) Fi fri Fri 
3,0 1 1 4% 
4,0 3 4 
5,0 4 8 
6,0 6 14 
7,0 5 19 
8,0 4 23 
9,0 2 25 
Total 25 --- 
 
Fazemos, aqui, (3 / 25) x 100 = 12%: 
 
 
Notas(xi) Nº de alunos(fi) Fi fri Fri 
3,0 1 1 4% 
4,0 3 4 12% 
5,0 4 8 
6,0 6 14 
7,0 5 19 
8,0 4 23 
9,0 2 25 
Total 25 --- 
 
Fazemos, aqui, (4 / 25) x 100 = 16%: 
 
 
Notas(xi) Nº de alunos(fi) Fi fri Fri 
3,0 1 1 4% 
4,0 3 4 12% 
5,0 4 8 16% 
6,0 6 14 
7,0 5 19 
8,0 4 23 
9,0 2 25 
Total 25 --- 
 
 
Prosseguimos com o mesmo procedimento até a última linha da tabela. Neste caso, 
fazemos (2 / 25) x 100 = 8%: 
 
 
 
 
 
E s t a t í s t i c a D e s c r i t i v a 
P r o f . C o n r a d E . P i n h e i r o 
 
 39 
Notas(xi) Nº de alunos(fi) Fi fri Fri 
3,0 1 1 4% 
4,0 3 4 12% 
5,0 4 8 16% 
6,0 6 14 24% 
7,0 5 19 20% 
8,0 4 23 16% 
9,0 2 25 8% 
Total 25 --- 100% 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
7º PASSO: cálculo da coluna de frequências relativas acumuladas (Fri). Esta coluna 
pode ser calculada com base na coluna de frequências relativas absolutas (fri), de 
modo análogo ao que fizemos no 5º PASSO. Veja alguns resultados: 
 
 
Notas(xi) Nº de alunos(fi) Fi fri Fri 
3,0 1 1 4% 4% 
4,0 3 4 12% 16% 
5,0 4 8 16% 
6,0 6 14 24% 
7,0 5 19 20% 
8,0 4 23 16% 
9,0 2 25 8% 
Total 25 --- 100% 
 
. 
. 
. 
 
Notas(xi) Nº de alunos(fi) Fi fri Fri 
3,0 1 1 4% 4% 
4,0 3 4 12% 16% 
5,0 4 8 16% 32% 
6,0 6 14 24% 56% 
7,0 5 19 20% 76% 
8,0 4 23 16% 
9,0 2 25 8% 
Total 25 --- 100% 
 
ATENÇÃO! 
A soma de todas as porcentagens deverá ser 
exatamente igual a 100%. Caso utilize 1 ou 2 
casas decimais, verifique se a soma é igual a 
100,0% ou 100,00%. É errado deixar valores que 
somem, por exemplo, 99,99% ou 100,01%! 
 
E s t a t í s t i c a D e s c r i t i v a 
P r o f . C o n r a d E . P i n h e i r o 
 
 40 
. 
. 
. 
 
Notas(xi) Nº de alunos(fi) Fi fri Fri 
3,0 1 1 4% 4% 
4,0 3 4 12% 16% 
5,0 4 8 16% 32% 
6,0 6 14 24% 56% 
7,0 5 19 20% 76% 
8,0 4 23 16% 92% 
9,0 2 25 8% 
Total 25 --- 100% 
 
A tabela de frequências completa será: 
 
Notas(xi) Nº de alunos(fi) Fi fri Fri 
3,0 1 1 4% 4% 
4,0 3 4 12% 16% 
5,0 4 8 16% 32% 
6,0 6 14 24% 56% 
7,0 5 19 20% 76% 
8,0 4 23 16% 92% 
9,0 2 25 8% 100% 
Total 25 --- 100% --- 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Note que o total da coluna Fri não deverá ser calculado, visto que a soma 
das porcentagens não pode ser maior que 100%. 
 
 
As colunas fri e Fri não precisam, necessariamente, 
apresentar os valores em porcentagens. Elas 
podem exibir os resultados decimais (valores de 0 
a 1) e possuem o mesmo significado e 
interpretação de quando são exibidos com o 
símbolo %. 
E s t a t í s t i c a D e s c r i t i v a 
P r o f . C o n r a d E . P i n h e i r o 
 
 41 
 
Uma alternativa à construção da tabela anterior seria a de colocar os valores das 
frequências relativas absolutas (fri) e acumuladas (Fri) na forma decimal, ou seja, no 
cálculo, basta não multiplicarmos o resultado da divisão por 100 conforme explicado 
anteriormente. Nesse caso, todos os valores estariam dentro do intervalo de 0 a 1. 
Consequentemente, a soma dos valores da coluna fri seria exatamente 1. Nossa tabela 
ficaria: 
 
Notas(xi) Nº de alunos(fi) Fi fri Fri 
3,0 1 1 0,04 0,04 
4,0 3 4 0,12 0,16 
5,0 4 8 0,16 0,32 
6,0 6 14 0,24 0,56 
7,0 5 19 0,20 0,76 
8,0 4 23 0,16 0,92 
9,0 2 25 0,08 1 
Total 25 --- 1 --- 
 
 
 
Exemplo 2: a tabela de distribuição de frequências abaixo representa a altura de 40 
jovens. Note que altura é uma variável contínua e, por isso, estamos trabalhando com 
os dados agrupados em classes: 
 
classes fi fri Fi Fri 
150 l─ 154 4 10,0% 4 10,0% 
154 l─ 158 9 22,5% 13 32,5% 
158 l─ 162 11 27,5% 24 60,0% 
162 l─ 166 8 20,0% 32 80,0% 
166 l─ 170 5 12,5% 37 92,5% 
170 l─ 174 3 7,5% 40 100% 
Total 40 100% --- --- 
 
 
8. Escolha do número e tamanho de classes 
Spiegel (1975) apresenta algumas sugestões de como elaborar uma distribuição de 
frequências: 
 
“1. Determinam-se o maior e o menor número dos dados brutos e, então, calcula-se a 
amplitude total do rol (diferença entre o maior e o menor daqueles números). 
2. Divide-se a amplitude total em um número conveniente de intervalos de classe que 
tenham a mesma amplitude. Se isto não é possível, usam-se intervalos de classe de 
amplitudes diferentes ou abertos. O número de intervalos de classe é comumente 
tomado entre 5 e 20, dependendo dos dados. Os intervalos de

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