Livro Prof Doherty Calculo Numérico
283 pág.

Livro Prof Doherty Calculo Numérico

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Introdução aos métodos numéricos
Doherty Andrade
doherty@uem.br
2012
Indice
1 Alguns resultados básicos 1
1.1 Revendo Cálculo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1
1.2 Revendo Álgebra Linear . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10
1.3 Ponto Fixo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13
1.4 Resumo do capítulo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15
2 Erros 16
2.1 Introdução . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16
2.2 Aritmética de ponto flutuante . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17
2.3 Erro absoluto e erro relativo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
2.4 Dígitos Significativos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
2.5 Propagação de Erros . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
2.6 Condicionamento e Estabilidade . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26
2.7 Resumo do capítulo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27
3 Equações não lineares 28
3.1 Introdução . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28
3.2 O método da bissecção . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29
3.3 Usando Maple: o método da bissecção . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32
3.4 Métodos iterativos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35
3.5 O método do ponto fixo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36
3.6 Usando Maple: o método do ponto fixo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39
3.7 O método de Newton-Raphson . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41
3.8 Usando Maple: o método do Newton-Raphson . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47
3.9 O método da secante . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 48
3.10 Usando Maple: o método da secante . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 52
3.11 Como escolher o melhor método . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 53
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D. Andrade Cálculo Numérico ii
3.12 O Método de Newton-Raphson para raízes múltiplas . . . . . . . . . . . . . . 53
3.13 Raízes de polinômios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 55
3.14 Resumo do capítulo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 64
4 Sistemas lineares: métodos diretos 65
4.1 Introdução . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 65
4.2 O método de eliminação de Gauss . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 66
4.3 Usando Maple: sistema triangular . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 71
4.4 Estratégias de pivoteamento . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 72
4.5 Usando Maple: o método de eliminação de Gauss . . . . . . . . . . . . . . . . 74
4.6 Decomposição LU . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 76
4.7 Usando Maple: decomposição LU . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 80
4.8 Decomposição Cholesky . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 81
4.9 O Algoritmo para a decomposição Cholesky . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 84
4.10 Usando Maple: decomposição Cholesky . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 87
4.11 Resumo do capítulo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 90
5 Sistemas lineares: métodos iterativos 91
5.1 Introdução . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 91
5.2 O método de Gauss-Jacobi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 92
5.3 O método de Gauss-Seidel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 96
5.4 Critérios de Parada . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 103
5.5 Estudo da convergência dos métodos iterativos . . . . . . . . . . . . . . . . . 106
5.6 Usando Maple: o método de Gauss-Jacobi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 109
5.7 Usando Maple: o método de Gauss-Seidel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 110
5.8 Resumo do capítulo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 111
6 Sistemas de equações não lineares 113
6.1 Introdução . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 113
6.2 O método de Newton-Raphson . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 113
6.3 Caso Particular: F = (f, g) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 117
6.4 Usando Maple: o método Newton-Raphson . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 119
6.5 O método do ponto Fixo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 121
6.6 Resumo do capítulo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 121
7 Interpolação Polinomial 122
7.1 Introdução . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 122
7.2 Existência do polinômio interpolador . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 123
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7.3 Métodos de Interpolação . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 124
7.4 Usando Maple: o método de Lagrange . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 129
7.5 O Método de Newton . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 129
7.6 Usando Maple: interpolação pelo método de Newton . . . . . . . . . . . . . . 137
7.7 Exemplos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 140
7.8 O Fenômeno Runge . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 143
7.9 Resumo do capítulo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 146
8 Aproximação por quadrados mínimos 147
8.1 Introdução . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 147
8.2 Caso discreto . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 147
8.3 Caso contínuo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 155
8.4 Usando Maple: O método dos quadrados mínimos contínuo . . . . . . . . . . 159
8.5 Polinômios ortogonais e o método dos quadrados mínimos . . . . . . . . . . . 160
8.6 Resumo do capítulo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 167
9 Integração Numérica 168
9.1 Preliminares . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 168
9.2 Fórmulas de Newton-Cotes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 169
9.3 Regra dos Trapézios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 170
9.4 Regra de Simpson . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 171
9.5 Fórmulas compostas: Trapézios e Simpson . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 173
9.6 Usando Maple: regras dos trapézios e Simpson . . . . . . . . . . . . . . . . . 176
9.7 Quadraturas de Gauss . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 178
9.8 Usando Maple: quadratura de Gauss . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 190
9.9 Resumo do capítulo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 193
10 Métodos numéricos para EDOs 194
10.1 Introdução às EDOs . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 194
10.2 O método de Euler . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 198
10.3 O método de Taylor . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 204
10.4 Métodos de Runge-Kutta . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 207
10.5 Métodos numéricos para EDOs: Multistep . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 215
10.6 Usando Maple: métodos para EDOS . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 220
10.7 Resumo do capítulo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 226
D. Andrade Cálculo Numérico iv
11 Problemas de Fronteira 227
11.1 Introdução . . .