Apostila Métodos Quantitativos Matemáticos

Prévia do material em texto

- -1
Conjuntos - elementos e 
classificações
Introdução
Entender a história da Matemática é compreender como essa disciplina é tão importante.
Nascida da necessidade do homem de fazer cálculos, medir espaços e terrenos, a Matemática é
útil em nosso dia a dia e uma poderosa forma de linguagem, já que ajuda com que
compreendamos melhor o mundo que nos cerca. Aqui, iremos estudar os conjuntos números,
seus elementos e classificações.
Ao final desta aula, você será capaz de:
• identificar e classificar os conjuntos numéricos;
• resolver problemas envolvendo conjuntos.
Números
A evolução da Matemática acompanha o progresso da humanidade. No começo, o homem
só utilizava os números naturais, N = {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, ...}, mas, com o passar do tempo, foi
percebendo que algumas situações não podiam ser representadas apenas com esses números,
como, por exemplo, dívidas, temperaturas muito baixas, prejuízos financeiros. Sendo assim,
apareceram os números inteiros Z = {... -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, ...}. Mais problemas foram surgindo,
muitos deles relacionados a construções e, com eles, a ideia de divisão por dois números inteiros,
formando as frações e decimais, chegando então aos números racionais (Q). E assim foi por um
longo período de tempo. Até que descobriram que existiam medidas incomensuráveis, como a
diagonal de um quadrado, por exemplo. Surgiu, assim, a necessidade de ampliar os conjuntos já
conhecidos.
Reunindo todos esses números, formamos conjuntos numéricos distintos, em que cada um
deles apresenta características próprias. É o que veremos a seguir!
Conjuntos numéricos
Chamamos de conjunto toda coleção ou reunião de elementos que possuem
características comuns. Podem ser objetos, letras, números, figuras. O conjunto que apresenta
somente números como elementos chamamos de conjuntos numéricos. De forma geral, segundo
Silva e Abad (2014), utilizamos letras minúsculas para representar os elementos de um conjunto
e letra maiúscula para representar o conjunto. Veja no exemplo a seguir:
A = {a, b, c, d}, em que A é o conjunto, a, b, c, d são seus elementos. Para representar
conjunto, podermos utilizar tanto a linguagem matemática quanto diagramas. Nesse exemplo,
vamos utilizar a linguagem matemática. Acompanhe:
•
•
- -2
Temos ainda algumas relações entre elemento e conjunto. Observe: a é um elemento que
pertence ao conjunto A. Na linguagem matemática, a A. O símbolo representa pertence, e o
símbolo representa não pertence (relações entre elemento e conjunto).
O primeiro conjunto que surgiu foi o conjunto dos números naturais (N), representado por:
N={0,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,…}
Com a necessidade de utilizar números negativos, o conjunto dos números naturais foi
ampliado, surgindo, assim, o conjunto dos números inteiros (Z), que é representado por:
Z={…,-4,-3,-2,-1,0,1,2,3,4,…}
E as frações? Estas representam divisões que pertencem ao conjunto dos números
racionais (Q), desde que a divisão representada por a/b, tenha a como número inteiro e b inteiro
e diferente de zero. Na linguagem matemática, temos:
São considerados números racionais: os números naturais, inteiros, decimais exatos,
dízimas periódicas.
Ainda encontramos um conjunto numérico em que seus elementos são números que não
podem ser escritos na forma de fração, chamado de conjunto dos números irracionais (I). Como
SAIBA MAIS
O sinal * indica que o elemento zero de determinado conjunto está excluído.
FIQUE ATENTO
Dízimas periódicas são números decimais não exatos que apresentam um ou
mais algarismos que se repetem indefinidamente. Esses algarismos que se
repetem formam o período da dízima. Exemplos: 0,7777...; 45,232323...;
0,358888...; 1,2616161...}
- -3
exemplos, temos as dízimas não periódicas (3,65789012...), o número π (lê-se: pi, que é
aproximadamente 3,141516...) e a √2 (1,4142135…).
Por fim, ao conjunto formado pela união de todos os conjuntos (naturais, inteiros, racionais,
irracionais) chamamos de conjunto dos números reais (R). Uma das formas de
representatividade do conjunto dos números reais é a união entre o conjunto dos números
racionais (Q) com o conjunto dos números irracionais (I):
Veja, na figura a seguir, o diagrama que representa essa relação.
Figura 1 - Representação do conjunto dos números reais
Fonte: Elaborada pela autora (2014)
Com esse diagrama, verificamos outra relação existente em conjuntos, que acontece entre
os próprios conjuntos e não entre elementos e conjuntos. Atenção! Utilizaremos o seguinte
símbolo: (está contido). Assim, temos a seguinte relação definida pelo diagrama representado
na figura anterior:
NZQR
Esta relação nos leva ao conceito de subconjunto. Acompanhe! NZQR 
Vamos utilizar o diagrama representado na figura vista anteriormente, representação do
conjunto dos números reais, para entender o que é subconjunto. Ao dizer que o conjunto dos
números naturais está contido no conjunto dos números inteiros, dizemos que N é subconjunto
de Z, uma vez que todos os elementos de N também são elementos de Z.
FIQUE ATENTO
Perceba que todo número natural também é considerado número inteiro, todo
número inteiro também é considerado número racional, e todo número racional é
considerado número real, portanto, N está contido em Z que está contido em Q
que está contido em R.
- -4
Fechamento
Até aqui vimos a definição de números e conjuntos numéricos. Vimos também dizimas
periódicas e classificações desses conjuntos. Em nossa próxima aula veremos as linguagens dos
conjuntos e como podemos fazer operações entre eles.
Nesta aula, você teve a oportunidade de:
• Compreender o que é conjunto e identificar seus elementos
• Identificar e classificar conjuntos numéricos
Referências
DANTE, L. R. : contextos & aplicações. 2. ed. São Paulo: Ática, 2013Matemática
IEZZI, G.Matemática. 5. ed. Rio de Janeiro: Saraiva, 2011.
MORI, I.; ONAGA, D. S. : idéias e desafios. 14. ed. São Paulo: Editora Saraiva,Matemática
2007.
SILVA, E. Q.;ABAD, L. F. S.Coleção Pré-Vestibular Extensivo.São Paulo: Sistema de Ensino
Abril Educação S.A., 2014.
FIQUE ATENTO
Se todos os elementos do conjunto M pertencerem ao conjunto N, dizemos que
M é subconjunto de N, ou M é parte de N.
•
•
- -1
Conjuntos: linguagem e 
operações
Introdução
Entender a Matemática é compreender o progresso da humanidade em sua evolução. Os
números e seus linguagens foram essenciais para a evolução humana e das tecnologias. Os
conjuntos, por mais simples que pareçam, são importantes para compreender e entender a
Matemática e sua metodologia.
Ao final desta aula, você será capaz de:
• estabelecer as relações existentes entre conjuntos;
• resolver problemas envolvendo conjuntos.
Linguagem dos conjuntos
Para conversamos sobre conjuntos, precisamos primeiro compreender a sua linguagem.
Observe a seguinte situação:
• Uma Instituição de Ensino realizou uma pesquisa entre seus docentes para verificar 
quantos professores utilizam os aplicativos Facebook, Twitter e Skype. O resultado 
apresentado foi o seguinte: 90 docentes usam Facebook, 70 usam Skype, 60 usam 
Twitter, 50 usam Facebook e Skype, 41 usam Facebook e Twitter, 25 usam Skype e 
Twitter, 12 usam Facebook, Skype e Twitter e 34 não usam nenhum dos três aplicativos. O 
diretor dessa instituição precisou organizar as informações dadas e lançou um desafio aos 
alunos do curso de Gestão. Determinem: a) quantos professores responderam à pesquisa, 
b) quantos professores têm apenas Facebook.
Complicado? Nem um pouco, mas, para resolver esse problema, precisamos conhecer
algumas relações entre conjuntos e suas operações que facilitam sua solução. Vamos lá?
Operações entre conjuntos – União, 
intersecção, diferença
Ao citar o termo operação, logo nos lembramos das operações básicas com as quais
estamos acostumados a lidar. No estudo de conjuntos, essas operações apresentam-sede
formas diferentes, recebem nomes diferentes e utilizam símbolos diferentes. São elas: união entre
conjuntos, interseção entre conjuntos e diferença entre conjuntos. Vamos analisar cada uma
delas utilizando exemplos. Acompanhe!
I - Seja o conjunto A = {2,4,6,8,10} e o conjunto B = {2,6,9,10,11,12}. Quando juntamos todos
os elementos do conjunto A com todos os elementos do conjunto B, sem repetir, estamos
realizando a união entre os conjuntos. Para isso, utilizamos o símbolo . Veja como:
A B={2,4,6,8,9,10,11,12}
•
•
•
- -2
II - Utilizando o mesmo exemplo dado, para fazer a interseção entre o conjunto A e o 
conjunto B, escrevemos o conjunto formado pelos elementos que são comuns aos dois
conjuntos, utilizando o símbolo . Veja:
A B={2,6,10}
III - Na diferença entre conjuntos, o resultado é representado por um novo conjunto,
chamado de conjunto diferença. Utilizamos a seguinte representação: A – B, em que o conjunto
diferença (A – B) é formado pelos elementos que pertencem ao conjunto A e não pertencem ao
. Veja no exemplo.conjunto B
A-B={4,8}
Na diferença, a ordem precisa ser respeitada. Se fosse feito B – A, teríamos o conjunto
formado pelos elementos que .pertencem ao conjunto B e não pertencem ao conjunto A
B-A={9,11,12}
Ainda temos uma relação importante entre elementos de conjuntos, utilizada em suas
operações para calcular o número de elementos, que pode ser representada da seguinte forma:
• No caso de situações que envolvem dois conjuntos A e B, temos: Dados os 
conjuntos A e B, chamamos de n(A), o número de elementos de A; n(B), o número de 
elementos de B; n(A B), o número de elementos do conjunto A B; n(A B), o número de 
elementos do conjunto A B. Assim, n(A B)= n(A)+ n(B)-n(A B)
• No caso de três conjuntos A, B e C, temos: n(A BC)= n(A)+ n(B)+n(C)-n(A B)-n(B 
C)-n(A C)+n(ABC)
Para compreender melhor os conceitos estudados até aqui, vamos resolver a situação-
problema apresentada no início deste tópico. Sendo assim, utilizaremos duas estratégias para
facilitar e ajudar na resolução. Acompanhe!
1ª estratégia:
FIQUE ATENTO
Assim, o conjunto união entre dois conjuntos A e B é o conjunto formado pelos
elementos que pertencem a A ou B. Na linguagem matemática, temos: A B={x|xA
ou xB}
FIQUE ATENTO
Assim, o conjunto interseção entre dois conjuntos A e B é o conjunto formado
pelos elementos que pertencem a . Na linguagem matemática, temos: A B=A e B
{x|xA e xB}
SAIBA MAIS
O conectivo está relacionado à união (U) e o conectivo está relacionado à OU E
interseção ()
•
•
- -3
Utilizar o recurso chamado de Diagrama de Venn. Nesse diagrama, são utilizados círculos
para representar cada conjunto e suas relações. Observe que, na situação apresentada, temos
três conjuntos – conjunto dos usuários de Facebook (F), conjunto dos usuários de Twitter (T) e
conjunto dos usuários de Skype (S). Três conjuntos, três círculos. Como há situações de união e
interseção, os círculos precisam ser desenhados da seguinte maneira:
Figura 1 - Imagem 1 -Diagrama de Venn
Fonte: Elaborado pela autora (2014)
Figura 2 - Figura 2 - Diagrama de Venn
Fonte: Elaborado pela autora (2014)
Figura 3 - Figura 3 - Diagrama de Venn
Fonte: Elaborado pela autora (2014)
- -4
Figura 4 - Figura 4 - Diagrama de Venn
Fonte: Elaborado pela autora (2014)
Os resultados são:
a) 150 professores foram entrevistados (11+7+6+38+29+13+12+34).
b) 11 professores utilizam apenas Facebook.
2ª estratégia
Analisar e interpretar as informações dadas e substituir 
na relação:
n(A BC)= n(A)+ n(B)+n(C)-n(A B)-n(B C)-n(A C)+n(ABC)
Vamos chamar de F (conjunto dos usuários do 
Facebook); S (conjunto dos usuários do Skype) e T 
(conjunto dos usuários do Twitter). Assim, temos:
n(F)=90; n(S)=70; n(T)=60;
n(FS)=50; n(FT)=41; n(TS)=25;
n(FST)=12
34 não utilizam nenhum dos três.
Respondendo as alternativas:
a) Número total de professores que responderam à 
entrevista:
n(FST)= n(F)+ n(S)+n(T)-n(FS)-n(FT)-n(TS)+n(FST)
Substituindo os valores:
n(FST)= 90+ 70+60-50-41-25+12 = 116
Agora, só falta somar com 34 (número de professores que não responderam) que
encontraremos o valor procurado nessa alternativa. Logo, temos: 116 + 34 = 150 professores.
b) Número de professores que usam apenas Facebook. Chamaremos de x.
- -5
Devemos calcular o número de elementos do conjunto de usuários de Facebook n(F),
subtraindo n(FS)\,n(FT) e n(FST).
Para encontrar o valor dos usuários que Facebook e Skype, é preciso utilizam apenas
subtrair o valor dado n(FS)=50 do valor dado pela interseção dos três conjuntos n(FST)=12.
Assim: 50 – 12 = 38.
De forma análoga, calcula-se o valor dos usuários que Facebook e Twitter.utilizam apenas
Veja: n(FT)=41, menos o valor de n(FST)=12. Assim: 41 – 12 = 29.
Agora é só substituir os valores em x:
x=n(F)-n(FS)- n(FT)-(FST)=90-38-29-12=11
Logo, 11 professores utilizam apenas Facebook.
Agora é sua vez, procure resolver os problemas a seguir utilizando a estratégia que achar
mais fácil.
1. Na empresa Soko Mono, o setor de RH resolveu oferecer curso de inglês ou espanhol aos
seus 220 funcionários. O gerente desse setor precisava saber quantos funcionários não se
inscreveram em nenhum dos dois cursos. Com isso, fez um levantamento e constatou que, dos
220 funcionários, 100 fizeram inscrição em inglês, 80 fizeram inscrição em espanhol e 30 se
inscreveram em inglês e espanhol. Ajude o gerente a descobrir quantos funcionários não fizeram
inscrição.
2. Uma loja que vende diferentes marcas de celulares contratou uma empresa de
marketing para realizar uma pesquisa acerca de suas preferências em relação a duas marcas de
celulares: X, Y. Sabendo que 160 preferem a marca X, 95 preferem a marca Y, 50 preferem as
duas e 80 não responderam, determine a quantidade de clientes que foram entrevistados.
3. Um grupo de pessoas prestou concurso para determinado cargo público. Desse grupo,
70 pessoas acharam a prova A fácil; 45 acharam somente a prova B fácil; 38 acharam ambas as
provas fáceis; e 26 não acharam nenhuma das provas fáceis. Com base nessas informações,
quantas pessoas faziam parte desse grupo?
4. Uma indústria fabrica dois tipos de tecidos: A e B. Das 630 máquinas que essa indústria
possui, 350 produzem o tecido A; 210 produzem o tecido B e 90 máquinas produzem os dois
tipos de tecidos. Determine: a) quantas máquinas produzem apenas o tecido A? b) quantas
máquinas produzem apenas o tecido B? c) quantas máquinas produzem o tecido A ou B? d)
quantas máquinas não produzem nenhum dos dois tipos de tecidos?
Fechamento
Nessa aula estudamos os elementos do conjuntos e também as operações entre eles.
Relembrando: união entre conjuntos (); interseção entre conjuntos (); diferença entre conjuntos.
Também vimos dois recursos na solução de problemas que envolvem união, interseção e
diferença entre conjuntos e outras fórmulas.
Nesta aula, você teve a oportunidade de:
• Entender as operações entre conjuntos;
• Compreender o Diagrama de Venn;
Referências
DANTE, L. R contextos & aplicações. 2. ed. São Paulo: Ática, 2013.. Matemática:
IEZZI, G. . 5. ed. Rio de Janeiro: Saraiva, 2011.Matemática
•
•
- -6
MORI, I.; ONAGA, D. S. . 14. ed. São Paulo: Editora Saraiva,Matemática: idéias e desafios
2007.
SILVA, E. Q.;ABAD, L. F. S. . São Paulo: Sistema deColeção Pré-Vestibular Extensivo
Ensino Abril Educação S.A., 2014.
- -1
Função: conceito, lei de 
formação e representação 
geométrica
Introdução
Função é um dos conceitos mais importante da Matemática. Ela pode ser percebida
quando observamos situações como “o tempo gasto por uma carro para completar um
determinado percurso é dado em fundão da sua velocidade”, ou “o número de metros de tecido
gastos para fazer uma roupa depende do tamanho da roupa”, ou ainda “a área de uma sala
depende de suas dimensões, ou seja, é dada em função destas dimensões:largura e
comprimento”. Nessa aula veremos a ideia geral de função.
Ao final desta aula, você será capaz de:
• compreender o que é função;
• identificar suas variáveis e escrever sua lei de formação a partir de situações-
problema.
Função e seus conceitos
Para iniciar o seu estudo sobre função, veja o que aconteceu com Felipe:
Mara, mãe de Felipe, costumava buscá-lo na escola toda quinta-feira. Neste dia, ele
geralmente saía mais pensativo do que nos outros dias, pois sua última aula era de Matemática.
Toda quinta-feira, Mara costumava passar em um posto de gasolina para abastecer seu carro e
nesta não foi diferente. Sendo assim, completou o tanque e gastou R$ 96,00.Felipe prestou
atenção em tudo e atento como estava olhava bem fixo para os números que giravam no
marcador da bomba de combustível.De repente, teve um estalo e toda a sua aula de Matemática
passou a fazer sentido. !Ali estava um exemplo de função Felipe foi associando os números e
mentalmente montou o seguinte quadro:
Figura 1 - Quadro 1 - Preço a pagar em função do número de litros
Fonte: Elaborado pela autora (2014)
•
•
- -2
Na verdade, Felipe queria mostrar o seguinte:
Em um veículo, dentre vários fatores, o consumo de combustível da suadepende
velocidade. Neste caso, o preço a pagar é dado em função da quantidade de litros adquirida, ou
seja, o preço a pagar do número de litros comprados. Assim, podemos escrever umadepende
fórmula que representa esta relação. Chamando de P, o preço a pagar, e de x, o número de litros
comprados, temos: P = 2,40 x
No exemplo dado, temos duas variáveis: o preço a pagar P e o número de litros comprados
x. Como o preço a pagar (P) (x), P á a variável depende da quantidade de litros comprados
. E, como a quantidade de litros comprados (x) é de livre escolha, x é chamado de dependente
.variável independente
Perceba que Felipe estava analisando uma grandeza (preço do litro da gasolina) em
função de outra grandeza (quantidade de litros de gasolina). Assim, a correspondência entre a
quantidade de litros de gasolina adquirida e o preço a pagar é um exemplo de função, já que o
preço a pagar varia em função da quantidade de litros adquirida.
Para cada quantidade de litros há um e somente um preço determinado a pagar.
Assim, a fórmula P = 2,40x é chamada de lei da função ou lei de formação da função ou
.fórmula matemática da função
O conjunto D de valores que podem ser atribuídos a x é chamado da função. Adomínio
variável x é chamada .variável independente
O valor y, correspondente a determinado valor atribuído a x, é chamado de x pelaimagem 
função e é representado por f(x). A variável y é chamada , porque y assumevariável dependente
valores que dependem dos correspondentes valores de x.
O conjunto (f) formado pelos valores que y assume, em correspondência aos valores deIm
x, é chamado conjunto imagem da função.
Veja o esquema a seguir que ilustra estes conceitos:
FIQUE ATENTO
Deste modo, em toda função temos: para cada valor de uma grandeza analisada
(y) há um e somente um valor correspondente a outra grandeza (x).
FIQUE ATENTO
Portanto, em Matemática, se x e y são duas variáveis tais que para cada valor
atribuído a x existe, em correspondência, um único valor para y, dizemos que y é
uma função em x.
Logo, temos: y = f(x) - Lê-se: y é igual a f de x
- -3
Figura 2 - Figura 1 -Domínio e Conjunto Imagem de uma função f
Fonte: Elaborado pela autora (2014)
Utilizando o exemplo dado como modelo, vamos construir dois conjuntos, A e B, de forma
que A é igual aos valores atribuídos a determinada quantidade de litros comprados: A = {1,3,40},
B é igual a valores em reais: B = {2,40; 7,20; 11, 30; 15; 96} e a função P = 2,40x. Assim, temos:
Figura 3 - Figura 2 -Relação entre os conjuntos A e B
Fonte: Elaborado pela autora (2014)
De acordo com Dante (2013, p. 47), “para caracterizar uma função é necessário conhecer 
: o (A), o (B) e uma regra que associa cada elementotrês componentes domínio contradomínio
de A a um único elemento y = f(x) de B ( ).”. Nesse exemplo, o domínio é A = {1,conjunto imagem
3, 40}, o contradomínio é B = {2,40; 7,20; 11,30; 15; 96}, a regra é dada por P = 2,40x, tendo como
conjunto imagem Im(f) = {2,40; 7,20; 96}.
Os dados do quadro anterior também podem ser representados, geometricamente, por
meio de um gráfico, ajudando a perceber como uma grandeza varia dependendo da outra.
Observe:
- -4
Figura 4 - Gráfico 2 - Função que representa o preço a pagar (em reais) por determinada quantidade 
de combustível (em litros).
Fonte: Elaborado pela autora (2014)
Agora é com você. Resolva os exercícios a seguir.
1) (DANTE, 2014, p. 44). Escreva a fórmula matemática que expressa a lei de cada uma das
funções a seguir: Um fabricante produz objetos a um custo de R$12,00 a unidade, vendendo-os
por R$20,00 a unidade. Portanto, o lucro y do fabricante é dado em função do número x de
unidades produzidas e vendidas. A Organização Mundial de Saúde (OMS) recomenda que cada
cidade tenha no mínimo 14 m^2 de área verde por habitante. A área verde mínima y que deve ter
uma cidade é dada em função do número x de habitantes.
2) Considere uma função de A em B em que A = {1, 5, 8}, B = {4, 20, 32} e f(x) é o
quádruplo de x para todo x A . Construa o diagrama de flechas desta função; Determine o
Domínio, a Imagem e o Contradomínio desta função, ou seja, D(x), Im (x) e CD(x).
Fechamento
Neste tema vimos os conceitos básicos da função e a sua lei de formação. Também
conheceu três componentes da função: domínio, contradomínio e conjunto imagem.
Nesta aula, você teve a oportunidade de:
• Entender o que é função.
Referências
BRASIL Escola. . [2015]. Disponível em: <http://www.brasilescola.comPlano Cartesiano
/matematica/plano-cartesiano.htm>. Acesso em 21 de outubro de 2014.
DANTE, Luiz Roberto. contextos & aplicações. 2. ed. São Paulo: Ática, 2014. Matemática:
IEZZI, Gelson. . 5. ed. Rio de Janeiro: Saraiva, 2011.Matemática
SILVA, Eduardo Quintas da; ABAD, Luis Felipe Silva. .Coleção Pré-Vestibular Extensivo
São Paulo: Sistema de Ensino Abril Educação S.A., 2014.
•
- -1
Funções: construção de 
gráficos e classificações
Introdução
O conceito de função é um dos mais importantes da Matemática. A função pode ser
associada a tabelas, fórmulas e gráficos. Essas representações podem ser feitas por meio da lei
de formação e de gráficos. Nessa aula veremos essas demonstrações e como elas podem e
devem ser usadas, assim como exemplos teóricos e práticos. Também nesse conteúdo iremos
abordar os tipos de funções sobrejetiva, injetiva e bijetiva.
Ao final desta aula, você será capaz de:
• descrever função por meio de tabelas e gráficos;
• identificar os tipos de funções;
• resolver problemas que envolvam o conceito de função.
Representação geométrica de uma 
função
Para construir o gráfico de uma função, precisamos conhecer sua lei de formação y=f(x).
Depois, seguiremos as seguintes etapas:
• construir uma tabela na qual aparecem os valores de x (variável independente) e os 
valores de y, calculados a partir da lei y=f(x);
• representar cada par ordenado (x,y) da tabela, por um ponto do plano cartesiano;
•
•
•
•
•
SAIBA MAIS
Plano cartesiano é definido por duas retas perpendiculares (chamadas de eixos),
em que a reta horizontal é denominada eixo das abscissas (x) e a vertical,
denominada eixo das ordenadas (y). Onde as duas retas (ou eixos) se encontram
(0) é chamado de origem. Podemos traçar pontos (x,y) no plano que chamamos
de par ordenado, em que x representa a abscissa e y a ordenada. Perceba, na
figura a seguir, que estas retas (eixos) formam quatro quadrantes.
- -2
Figura 1 - Figura 1 -Plano cartesiano e representação de par ordenado no plano
Fonte: Adaptada de Brasil Escola (2015)
• ligar os pontos traçados na etapa 2 por meio de uma curva, que é o própriográfico 
da função y=f(x).
Vamos utilizar um exemplo para aprender cada etapa na construção de um gráfico.
Acompanhe!
Seja a função y = x + 3 com domínio em R.
1ª etapa – Construir uma tabela estabelecendo valores para x. Depois, substituir esses
valores na lei y = x + 3, para encontrar os valores correspondentes de y, como apresentado na
tabela a seguir:
Figura 2 - Tabela 1 - Valores de x e y na função y = x + 3
Fonte: Elaborado pela autora (2014)
•
- -3
2ª etapa e 3ª etapa– A partir da tabela anterior, temos os seguintes pares ordenados: (–2,1);
(–1,2); (0,3); (1,4); (2,5). Agora é preciso representá-los no plano cartesiano e depois unir os
pontos traçados, que neste exemplo, formam uma reta. Veja:
Figura 3 - Figura 2 - Gráfico da função y = x + 3
Fonte: Elaborado pela autora (2014)
Quando analisamos o gráfico de uma função, observamos algumas propriedades, ou seja,
como a função se comporta. 
- Uma função é positiva quando f(x)>0, negativa quando f(x)<0, e quando se anula f(x)=0;
- Uma função é crescente, se x1< x2,então f(x1 )<f(x2 );
- Uma função é decrescente, se x1> x2,então f(x1 )>f(x2 ).
No exemplo dado, a função f definida por y = x + 3 é crescente, pois quanto maior for o
valor de x, maior será o valor do correspondente y = x + 3.
Que tal treinar um pouco?
Pegue uma régua e papel quadriculado para ajudar e construa os gráficos das funções dos
exercícios 1a e 1b apresentados no final de 1.1. Depois analise o comportamento de cada uma,
informando se é função crescente ou decrescente.
FIQUE ATENTO
São chamados de zero (s) ou raiz (es) de uma função f, os valores de x que
anulam a função f.
- -4
A seguir, estudaremos três tipos de funções. Vamos lá?
Funções sobrejetiva, injetiva e bijetiva
Nesta seção vamos conhecer três tipos de funções: sobrejetiva, injetiva e bijetiva. Iniciamos
definindo uma função f com domínio A e contradomínio B e x1 e x2 dois elementos de A.
Uma função f é sobrejetiva se e somente se: Im(f)=B, sendo Im(f) o conjunto imagem da
função f. Ou seja, uma função f é dita sobrejetiva quando todo elemento de seu
contradomínio é imagem de pelo menos um elemento do domínio.
Confira nos exemplos a seguir. Dadas duas funções f e g, definidas pelos conjuntos A e B,
temos:
Figura 4 - Figura 3 - Diagramas de flechas S
Fonte: Elaborado pela autora (2014)
Perceba que no diagrama da função f, todos os elementos do contradomínio B recebem,
pelo menos, uma flecha, o que indica que a função é sobrejetiva (Im(f) = {1,3,5} = B). Agora,
verifique que na função g, existe um elemento de B (3) que não recebe flecha, ou seja, não é
imagem de nenhum elemento de A. Assim, a função g não é sobrejetiva (Im(f) = {1,5} B).
Uma função f é injetiva se e somente se x1 x2 f(x1 )f(x2 ). Assim, uma função é dita
injetiva quando valores diferentes do domínio estiverem associados a imagens diferentes no
contradomínio, ou seja, um elemento de B não pode ser imagem de mais de um elemento de A
. Acompanhe os seguintes exemplos:
Figura 5 - Figura 4 - Diagramas de flechas I
Fonte: Elaborado pela autora (2014)
- -5
Repare, no exemplo dado na figura 8, função f, que para cada valor do conjunto A,
corresponde a valores diferentes em B, o que define uma função injetiva. Já na função g, dois
valores de A (0 e 2) se associam a um mesmo valor de B (1), não sendo g, uma função injetiva.
Uma função f de A em B é dita bijetiva se, e somente se, ela for sobrejetiva e injetiva.
Para que isto ocorra, é necessário e suficiente que todo y B seja imagem de exatamente um x
 A.Veja o esquema as seguir que ilustra este caso:
Figura 6 - Figura 5 - Diagramas de flechas II
Fonte: Elaborado pela autora (2014)
No diagrama de flechas da figura anterior, a imagem de f, que é o conjunto {1,3,5}, coincide
com o contradomínio B, o que caracteriza uma função sobrejetiva. Além disso, elementos
diferentes do domínio A estão associados a imagens distintas em B, fazendo com que f seja uma
função injetiva. Assim, f é uma função bijetiva. Verifique que todo elemento do contradomínio é
imagem de exatamente um elemento do domínio da função f.
Para verificar se compreendeu os conceitos estudados neste tema, faça a atividade a
seguir:
• A tabela a seguir relaciona o tempo t (em horas) e a distância d (em quilômetros) 
percorrida nesse tempo, por um carro que mantém velocidade constante de 100 km/h numa
rodovia.
Figura 7 - Quadro 2 – Relação entre tempo e distância
Fonte: Elaborado pela autora (2014)
De acordo com a situação exposta, :faça o que se pede
a) Complete a tabela.
b) Que grandeza foi calculada em função da outra?
c) A cada instante de tempo corresponde uma única distância percorrida? Explique.
d) Qual é a variável dependente? Por quê?
e) Escreva a lei de formação dessa função.
f) Classifique esta função em injetiva, sobrejetiva ou bijetiva.
Fechamento
- -6
Nesta aula vimos como se dá a construção de gráficos e como traça-los a partir de uma
tabela. Vimos também os tipos de função e estudamos suas nomenclaturas e características.
Nesta aula, você teve a oportunidade de:
• Entender gráficos de função;
• Compreender o que são funções injetivas, sobrejetivas e bijetivas.
Referências
BRASIL Escola. . [2015]. Disponível em: <http://www.brasilescola.comPlano Cartesiano
/matematica/plano-cartesiano.htm>. Acesso em 21 de outubro de 2014.
DANTE, Luiz Roberto. : contextos & aplicações. 2. ed. São Paulo: Ática, 2014. Matemática
IEZZI, Gelson. . 5. ed. Rio de Janeiro: Saraiva, 2011.Matemática
SILVA, Eduardo Quintas da; ABAD, Luis Felipe Silva. .Coleção Pré-Vestibular Extensivo
São Paulo: Sistema de Ensino Abril Educação S.A., 2014.
•
•
- -1
Funções – afins e modulares
Introdução
Antes de partirmos para o conteúdo dessa aula, vamos pensar na seguinte situação:
Vanessa está atrasada para o trabalho e decide ir de táxi, mas ela está com pouco dinheiro, pois
está acostumada a ir de ônibus. Sabendo que numa corrida de táxi é cobrada uma taxa fixa de
R$ 5,00 mais R$ 1,50 por quilômetro rodado, ajude Vanessa a calcular qual o valor que pagará
por uma corrida até o seu trabalho que fica a 15 km partindo de onde ela está. No exemplo, o
preço a pagar (x) depende da distância percorrida (y). Logo, a lei de formação dessa função é a
seguinte: y =1,50x + 5. Portanto, nessa vamos estudar a função definida por situações
semelhantes à apresentada: função afim e a função modular, além de resolver algumas situações-
problema que envolvem estes conceitos. Vamos lá?
Ao final desta aula, você será capaz de:
• compreender função afim e modular;
• resolver problemas que envolvam o conceito de função afim.
Função afim
De acordo com o exemplo dado na introdução deste material, vimos que a função definida
por y=1,50x+5 é uma função que chamamos de .função afim
Deste modo, dados dois números reais a e b,com a0, chama-se função afim ou função do
1o grau àquela dada por f(x)= ax+b. O coeficiente a é chamado de coeficiente angular, enquanto
b é chamado de coeficiente linear.
Retomando o problema apresentado, vamos construir uma tabela a partir da função y=1,
50x+5 para depois a representarmos geometricamente por meio de um gráfico. Veja:
Figura 1 - Tabela 1 - Relação entre distância percorrida (km) x valor a ser pago (R$)
Fonte: Elaborada pela autora (2014)
•
•
- -2
A seguir, observe o gráfico que representa essa função:
Figura 2 - Gráfico 1 - Gráfico da função y = 1,50x + 5
Fonte: Elaborada pela autora (2014)
Assim, podemos concluir que:
O valor desta raiz representa a do ponto de interseção da reta que representa aabscissa
função com o eixo Ox.
No exemplo dado em que y = 1,50x + 5, vamos encontrar para qual valor de x esta função é
nula. Assim, para calcular a raiz da função y = 1,50x + 5, utilizamos x=-b/a e substituímos a = 1,50
e b = 5. Logo, temos:
- -3
O ponto (-3,3;0) é oponto de interseção da reta no eixo Ox, como pode ser visualizado no
gráfico traçado para essa função.
Como vimos que o coeficiente a é chamado de coeficiente angular, e b é chamado de
coeficiente linear da função afim, vamos entender um pouco mais sobre isto. Acompanhe!
O número chama-se taxa de variação da função , mas também é conhecido como a f
 ou da reta em relação ao eixo horizontal Oxdeclividade coeficiente angular .
Já o número chama-se valor inicial da função ou da reta. Para x = 0,b f coeficiente linear
temos . Assim, o coeficiente linear ( ) é a ordenada do ponto em que a reta corta o eixoy = b b
Oy. No exemplo, você pode observar no gráfico da figura anterior esse ponto de interseção com
o eixo Oy, que no caso é (0,5).
Agora, que tal ajudar Vanessa com a questão da corrida de táxi? Verificando na tabela 1,
constatamos que o valor que ela pagará por uma corrida até o seu trabalho, que fica a 15 km de
onde estava, é de R$27,50. Entretanto, no fim do dia ela resolveu, também, voltar para casa de
táxi, pagando no trecho percorrido R$33,50. Qual será a distância do trabalho de Vanessa até
sua casa?
Bem, se Vanessa pagou R$33,50, temos que y = 33,50 ou f(x) = 33,50 e, assim, devemos
encontrar a distância percorrida, que é o valor de x, utilizando a fórmula y = 1,50x + 5. Logo:
Portanto, a distância da casa da Vanessa até o seu trabalho é de 19 quilômetros.
Para verificar se compreendeu este conceito, resolva os exercícios a seguir:
1 - Assinale a seguir as funções afim e identifique os coeficientes angular e linear a e b.
a) y = 25x + 4,5 b) y = x2 + 3 c) y = 5x + 1/5 d) y = 2x/7 + 43
2 - Dada a função afim y = 2x - 5, determine a raiz desta função e trace seu gráfico.
Vamos estudar na próxima seção uma outra função, a função modular. Confira!
Função modular
Para estudar a função modular, iniciaremos conceituando o que é módulo e como calcular
o módulo de um número:
Módulo é a distância entre um número até o zero e é representado pelo símbolo | |.
O módulo de 9 é representado por |9| = 9, pois a distância do número 9 até o zero, tem 9
unidades. Com o número – 9 é o mesmo. O módulo de – 9 é representado por |– 9|, que indica
também, 9 unidades até o zero. Portanto, |– 9| = 9.
Observe a representação destes módulos na reta numerada.
- -4
Figura 3 - Figura 1 - Representando distância
Fonte: Elaborada pela autora (2014)
Acompanhe um exemplo!
Seja a função f(x)=|x-2|-1, construa o seu gráfico.
Utilizando a definição de módulo, vamos primeiro escrever f(x) usando sentenças sem
módulo.
Assim, para:
• x2 x-2 0 f(x)=|x-2|-1=x-2-1=x-3
• x<2 x-2 <0 f(x)=|x-2|-1=-(x-2)-1=-x+1
Logo,
Agora, devemos construir uma tabela para cada função e assim obter o gráfico de f(x).
x2 x<2
•
•
- -5
Figura 4 - Tabela 2 - Função y = x-3
Fonte: Elaborada pela autora (2014)
Figura 5 - Tabela 3 - Função y = -x+1
Fonte: Elaborada pela autora (2014)
Traçando o gráfico da função f(x)=|x-2|-1, temos:
Figura 6 - Gráfico 2 - Função f(x)=|x-2|-1
Fonte: Elaborada pela autora (2014)
Confira se está aprendendo, resolvendo a seguinte atividade:
Para cada função modular a seguir, escreva f(x) usando sentenças sem módulo e trace seu
gráfico.
• f(x)=|3-x|+4
• f(x)=|2x-8|
Não podia faltar situações-problema que envolvem o conceito de função, não é mesmo?
Vamos lá!
•
•
- -6
Situações-problema envolvendo função 
afim
• Paulo é segurança de uma casa noturna e recebe um salário fixo de R$840,00. Para 
aumentar sua renda, ele resolveu fazer plantões noturnos em uma boate, recebendo 
R$90,00 por noite de trabalho. Sabendo que no mês passado Paulo fez 4 plantões, calcule 
qual foi o salário que Paulo recebeu após fazer esses plantões.
Resposta comentada:
Para sabermos o salário que o segurança receberá após 5 plantões, vamos escrever a lei de
formação da função que representa esta situação. Como o valor a ser pago depende do número
de horas trabalhadas, podemos concluir que a grandeza salário (y) e tempo (x) definem a lei de
formação: y =90x + 840.
Substituindo a quantidade de plantões feitos (5) em x, temos:
y=90x+840 y=904+840 y=1200
Portanto, .Paulo recebeu R$1.200,00
• Uma empresa que conserta impressoras cobra uma taxa fixa de R$30,00 pela visita 
e mais R$15,00 por hora de mão de obra. Marcos precisou contratar os serviços desta 
empresa e gastou R$105,00. Quanto tempo essa empresa ficou na casa de Marcos?
Resposta comentada:
Para sabermos o tempo que a empresa gastou para consertar a impressora de Marcos
vamos escrever a lei de formação da função, que representa esta situação. Como o valor a ser
cobrado depende do número de horas trabalhadas, temos duas grandezas: valor cobrado e
tempo - variáveis dependente e independente, respectivamente. Denotando por x a variável
independente (tempo) e por y a variável dependente x (valor a ser cobrado) podemos chegar à
seguinte lei de formação: y = 15x + 30.
Substituindo o valor de 105 em y, temos:
105 = 150x + 30 15x = 105 - 30 15x = 75 x = 75/15 x = 5
Portanto, .um funcionário desta empresa ficou 5 horas na casa de Marcos
Agora chegou a sua vez! Resolva as atividades que estão listadas a seguir:
1 - Uma determinada indústria que produz parafusos os vende por R$ 1,20 cada um. Um
lote deste mesmo parafuso apresenta um custo total formado por uma taxa fixa de R$ 50,00
mais o custo de produção por R$ 0,45 por parafuso. Com isto:
a) Escreva a lei de formação da função que representa o custo total y de um lote em
função do número x de parafusos. b) Calcule o custo da produção de um lote com 1500
parafusos. c) Qual o valor, em reais, que um comerciante ganharia com a venda de um lote de
1500 parafusos? d) Para que um determinado comerciante não tenha nem lucro nem prejuízo,
calcule a quantidade de parafusos para a venda de um lote. e) Caso o fabricante venda um lote
com 300 parafusos, ele terá lucro ou prejuízo? De quanto seria?
2 - Rose é representante de vendas e recebe um salário mensal fixo de R$ 1300,00 mais
uma parte que depende da comissão de 12% sobre o total de vendas que faz ao longo do mês.
Sabendo que y representa o salário mensal e x o total de vendas, determine:
a) A lei de formação da função representada por y em função de x. b) O salário que Rose
receberá no mês de julho, caso tenha feito uma venda no valor de R$ 25.000,00.
Fechamento
•
•
- -7
Neste conteúdo estudamos o que é função afim, que é representada por f(x)= ax+b, suas
propriedades e gráfico. Em seguida, vimos a função modular e suas características. Por fim,
aplicamos os conceitos estudados em situações-problema.
Nesta aula, você teve a oportunidade de:
• Identificar funções afins e modulares;
• Compreender os seus gráficos;
• Resolver problemas desses tipos de funções.
Referências
DANTE, Luiz Roberto. : contextos & aplicações. 2. ed. São Paulo: Ática, 2013.Matemática
IEZZI, Gelso. . 5. ed. Rio de Janeiro: Saraiva, 2011.Matemática
MORI, Iracema; ONAGA, Dulce Satiko. : ideias e desafios. 14. ed. São Paulo:Matemática
Saraiva, 2007.
ABAD, Luis Felipe Silva. . São Paulo: Sistema de EnsinoColeção Pré-Vestibular Extensivo
Abril Educação S.A., 2014.
•
•
•
- -1
Funções – quadrática e 
exponencial
Introdução
Neste material, iremos estudar as parábolas. Esta curva define uma função chamada função quadrática. Além
disso, vamos estudar também a função exponencial. Vai ser interessante! Confira!
Ao final desta aula, você será capaz de:
• compreender a função quadrática;
• resolver problemas que envolvam o conceito de função quadrática;
• compreender a função exponencial;
• resolver problemas que envolvam o conceito de função exponencial.
Função quadrática
Para iniciar nosso estudo sobre função quadrática, veja o seguinte problema:
• Na festa de confraternização de uma empresa, havia x pessoas. Cada pessoa cumprimentou todas as 
outras uma única vez. Chamandode y o número total de saudações, determine a função que representa a 
situação apresentada. (IEZZI, 2011, p. 60).
Observe que a expressão y em função de x que representa o problema é:
Este é um exemplo de função quadrática ou função do 2ºgrau.
O gráfico de toda função quadrática é representado por uma curva chamada parábola, cujas características
•
•
•
•
•
- -2
O gráfico de toda função quadrática é representado por uma curva chamada parábola, cujas características
estudaremos a seguir. Acompanhe!
A parábola pode apresentar a concavidade para baixo ou para cima, dependendo do sinal do coeficiente . Veja:a
Figura 1 - Figura 1 -Concavidade
Fonte: Elaborada pela autora (2015)
Ao fazer x = 0, temos o . Veja: f(x)=ax^2+bx+c. Como f(x)=y,temos: y=ponto de interseção com o eixo Oy
ax^2+bx+c. Logo, substituindo x = 0, teremos:
y= a〖×0〗^2+b×0+c. Assim, y=c.
Ao fazer f(x) = 0, temos o . Logo, ax^2+bx+c=0. Neste caso (f(x) = 0), temos oponto de interseção com o eixo Ox
zero da função, ou seja, as raízes que representam a solução da equação do 2o grau ax^2+bx+c=0.
Com isto, dependendo do sinal que ∆ assume, temos uma quantidade de raízes definidas da seguinte forma:
• Se ∆ <0, não existem raízes reais. Logo, o gráfico não corta o eixo Ox.
Figura 2 - Figura 2 - Gráfico não corta eixo Ox.
Fonte: Elaborada pela autora (2015)
• Se ∆ =0, existem 2 raízes reais e idênticas. Logo, o gráfico tangencia o eixo Ox em um único ponto.
Figura 3 - Figura 3 -Gráfico corta eixo Ox em um único ponto
•
•
- -3
Fonte: Elaborada pela autora (2015)
• Se ∆ >0, existem 2 raízes reais e distintas. Logo, o gráfico corta o eixo Ox em dois pontos distintos.
Figura 4 - Figura 4 -Gráfico corta o eixo Ox em dois pontos distintos.
Fonte: Elaborada pela autora (2015)
Também podemos calcular o valor máximo e mínimo em uma função quadrática. Basta determinarmos o vértice
(V) da parábola (V (x_v,y_v), ponto em que a parábola atinge seu valor máximo ou mínimo).
Ilustrando na parábola, temos:
Figura 5 - Figura 5 -Máximo e Mínimo da Parábola
•
- -4
Figura 5 - Figura 5 -Máximo e Mínimo da Parábola
Fonte: Elaborada pela autora (2015)
Podemos encontrar a aplicação destes conceitos nas mais diversas áreas do conhecimento, como: Física,
Biologia, Matemática Financeira e Administração, quando tratamos de lançamento de projéteis, em processos de
fotossíntese, lucros, prejuízos, entre outros.
Retomando o problema apresentado no início do tópico, vamos calcular quantos cumprimentos são dados, se
tivermos 70 pessoas na confraternização. Veja que a função que expressa esta situação é:
Substituindo x = 70, teremos:
Portanto, 70 pessoas farão 2415 saudações.
Confira outra situação em que usamos a função quadrática.
- Marcos e Felipe adoram jogar futebol. Participando do campeonato patrocinado pela empresa em que
trabalham, Marcos e Felipe empataram na artilharia deste campeonato com 3 gols cada um. Sabendo que um dos
gols feito por Marcos foi julgado o mais técnico, e que a trajetória desta bola, após o chute, foi descrita por uma
parábola definida pela função: y= -x^2+6x, (sendo y a altura, em metros, e x o tempo, em segundos), calcule o
instante em que a bola, no chute a gol julgado o mais técnico, atinge sua altura máxima e também qual altura
máxima esta bola atingiu.
Resposta comentada
Vamos utilizar o conceito de valor máximo da função, definido pelas expressões:
- -5
x_v=-b/2a e y_v=-∆/4a e a função dada por: y= -x^2+6x
Temos que . Substituindo nos pontos do vértice em que a função apresenta valor máximo, temosa= -1,b=6 e c=0
que:
Para calcular o instante (em segundos) em que a bola atinge sua altura máxima, utilizamos:
x_v=-b/2a x_v=-6/(2×(-1) )=3
Para calcular a altura máxima (em metros) que bola atinge, utilizamos:
y_v=-∆/4a ⇒ y_v=-36/(4×(-1))=9
Portanto, a bola atinge a altura máxima de 9 metros em 3 segundos após o chute.
Os exercícios a seguir lhe ajudam a conferir se está entendendo o conceito apresentado. Tente resolvê-los!
1) Assinale as funções que são quadráticas:
a) y= 2x^2+1 b) y= -7x+4
c) y= x^2-6x+9 d) y= -5x^2+2x+5
2) Para cada função quadrática identificada no exercício 1:
a) Determine os coeficientes a, b e c. b) Faça o estudo das raízes. c) Determine os pontos máximo e mínimo, se
existirem. d) Trace os gráficos.
Na próxima seção estudaremos a função exponencial. Este tipo de função pode ser encontrada em problemas
que tratam do crescimento e decrescimento de fenômenos da natureza, assim como, situações que envolvem
juro composto. Confira!
Função exponencial
Para iniciar nosso estudo sobre função exponencial, observe a seguinte situação:
• Uma maionese malconservada causou mal estar nos frequentadores de um clube. Uma investigação 
revelou a presença da bactéria salmonela, que se multiplica segundo a lei: n(t)=200×2at, em que n(t) é o 
número de bactérias encontradas na amostra de maionese t horas após o início do almoço e a é uma 
constante real. É possível calcular o número inicial de bactérias? (IEZZI, 2011, p. 103). Em alguns seres 
vivos microscópicos, como as bactérias, o crescimento acontece de forma exponencial. Por isso, é 
utilizada a função exponencial em problemas desse tipo.
O gráfico de uma função exponencial pode ser representado pela seguinte curva, chamada de curva exponencial
:
Figura 6 - Figura 6 -Gráfico da função f(x)=2x
•
- -6
Figura 6 - Figura 6 -Gráfico da função f(x)=2x
Fonte: Elaborada pela autora (2015)
Vamos resolver o problema da bactéria? Como é pedido o número inicial de bactérias, o tempo é zero. Assim,
substituindo na função n(t)=200×2at em que t=0, temos:
n(t0 )=200×2^(a×0) n(t0 )=200×2^0 =200×1=200
Portanto, o número inicial de bactérias é 200.
A seguir mais exercícios para checar seu aprendizado. Confira!
1) Identifique qual das funções dadas representam funções exponenciais.
a) f(x)= 9x b) f(x)= x2
c) f(x)= y(1/5) d) f(x)= 〖1/2〗x
2) O número de bactérias de uma cultura, t horas após o início de certo experimento, é dado pela expressão n(t)=
〖1200 × 2〗0,4t. Nessas condições, quanto tempo após o início do experimento a cultura terá 38400 bactérias?
(DANTE, 2014, p. 170).
Fechamento
Neste tema você pode estudou que toda função do tipo f(x)=ax2+bx+c é chamada de função quadrática. E, toda
função f(x)=ax é chamada de função exponencial. Estudou também como os gráficos de cada função são
representados.
Nesta aula, você teve a oportunidade de:
• Aprender como resolver problemas que envolvem os conceitos matemáticos estudados.
Referências
DANTE, Luiz Roberto. : contextos & aplicações. 2. ed. São Paulo: Ática, 2014.Matemática
IEZZI, Gelson. . 5. ed. Rio de Janeiro: Saraiva, 2011.Matemática
MORI, Iracema; ONAGA, Dulce Satiko. : ideias e desafios. 14. ed. São Paulo: Saraiva, 2007.Matemática
SILVA, Eduardo Quintas da; ABAD, Luis Felipe Silva. o. São Paulo: Sistema deColeção Pré-Vestibular Extensiv
Ensino Abril Educação S.A., 2014.
•
- -1
Progressão Aritmética - PA
Introdução
As eleições para presidente no Brasil ocorrem de 4 em 4 anos. Vamos iniciar nossa contagem a partir de 1994.
Desse modo, temos a seguinte sequência de anos eleitorais. Veja: 1994 – 1998 – 2002 – 2006 – 2010 – 2014
Perceba que esses números formam uma sequência numérica, pois possuem uma lei de formação bem definida,
ou seja, sempre ocorrem de 4 em 4 anos. Esse exemplo pode ser representado por progressão aritmética,
também conhecida como PA. A PA é uma sequência numérica em que cada termo, a partir do segundo, é igual à
soma do termo anterior com uma constante r.
Ao final desta aula, você será capaz de:
• identificar progressão aritmética (PA) e suas características;
• aplicar os conhecimentos de PA em situações-problema.
Sequência numérica
Chamamos de sequência a todo conjunto em que seus elementos estão dispostos em determinada ordem.
Quando todos os elementos de uma sequênciasão números reais ), a sequência é denominada sequência
numérica, podendo ser finita ou infinita.
Uma sequência de n elementos é indicada por: com Todos elementos de uma sequência pertencem ao conjunto
dos números reais.
São exemplos de sequências numéricas: anos em que acontecem a Copa do Mundo e as Olimpíadas, anos
bissextos, entre outros.
Progressão aritmética (PA)
Observe a sequência 5, 10, 15, 20, 25, ... A diferença entre quaisquer dos termos consecutivos dessa sequência é
sempre igual a 5 (10 – 5 = 5; 15 – 10 = 5; 20 – 15 = 5).
Dessa forma, chamamos de progressão aritmética (PA) toda sequência de números reais em que a
diferença entre um termo qualquer (a partir do segundo) e o termo antecedente é sempre a mesma
(constante). Essa constante é chamada razão da PA e indicada por r.
Podemos classificar uma progressão aritmética em crescente, decrescente ou constante. Veja alguns exemplos
para ajudá-lo a entender como classificamos uma PA. Acompanhe!
• (3, 4, 5, 6, 7, 8, 9 ...) PA crescente, pois a razão dessa PA é igual a 1, logo r > 0. Toda PA cuja razão é maior 
que zero (r > 0) é classificada como PA crescente. (9 – 8 = 1; 8 – 7 = 1; 7 – 6 = 1 e assim sucessivamente)
• (14, 12, 10, 8, 6, 4, ...) PA decrescente, pois a razão dessa PA é igual a – 2, logo r < 0. Toda PA cuja razão é 
•
•
•
•
- -2
• (14, 12, 10, 8, 6, 4, ...) PA decrescente, pois a razão dessa PA é igual a – 2, logo r < 0. Toda PA cuja razão é 
menor que zero (r < 0) é classificada como PA decrescente. (4 – 6 = – 2 ; 6 – 8 = – 2 ; 10 – 12 = –2 e assim 
sucessivamente)
• ( 7, 7, 7, 7, 7,...) PA constante, pois a razão é igual a zero (r = 0). Toda PA cuja razão é igual a 0 (r = 0) é 
classificada com PA constante. (7 – 7 = 0; 7 – 7 = 0 e assim sucessivamente)
Toda PA apresenta uma fórmula geral que é utilizada na resolução de problemas que envolvem esse conceito,
que é dada por:
Em que:
Veja a seguinte situação:
• A empresa X observou que o recebimento de currículos para análise em seu departamento de RH 
aumentava mensalmente segundo uma PA de razão 30. Se, em janeiro, recebeu 120 currículos, quantos 
currículos a empresa recebeu em março daquele ano?
Vamos resolver?
O recebimento mensal desse currículo forma uma PA com uma razão igual a 30 (, e primeiro termo igual a 120 ().
Sendo assim, temos que descobrir o terceiro elemento () dessa PA, pois março é o terceiro mês do ano.
Utilizando a fórmula geral da PA, temos: . Logo, substituindo os valores dados, ficamos com:
•
•
•
- -3
Assim, essa empresa recebeu, em março daquele ano, 180 currículos.
Aproveitando a mesma situação, vamos analisar o seguinte: essa empresa precisa fazer um levantamento de
quantos currículos receberá ao longo de 1 ano. Para ajudá-la nessa segunda questão, precisamos utilizar a
fórmula da soma dos n primeiros termos de uma PA.
Desse modo, a empresa X receberá, ao longo de um ano, 3.420 currículos.
- -4
Desse modo, a empresa X receberá, ao longo de um ano, 3.420 currículos.
Ainda podemos determinar uma PA quando conhecemos seus elementos. A partir da definição de PA já
apresentada anteriormente, escrevemos uma representação que ajuda na resolução de problemas. Observe:
Uma PA com três termos pode ter a seguinte representação: Para uma PA com cinco termos, escrevemos:
Veja um exercício para entender melhor.
• Os salários de 5 empregados em uma determinada empresa estão em PA. Se o segundo e quinto 
funcionários recebem, respectivamente, R$ 2.500,00 e R$ 4.000,00, quanto recebe o primeiro funcionário?
Podemos escrever essa PA da seguinte forma:.O primeiro termo dessa PA é 2.500, o quinto é 4.000, que também
.é igual a Assim, temos: . Com isso, podemos calcular a razão dessa PA. Veja:
Para calcular o salário do primeiro funcionário, utilizamos como sendo o primeiro termo desta PA. Dessa forma,
temos:
Portanto, o salário do primeiro funcionário é R$ 2.000,00.
Resolva os exercícios a seguir e verifique se está compreendendo.
1) Fabrício trabalha para seu João entregando panfletos na rua. Resolveu fazer uma proposta para seu
empregador tentando ganhar um salário diferente do quem vem ganhando em alguns meses. O salário que João
paga para Fabrício é de R$ 300,00 por mês. A proposta foi a seguinte: Fabrício disse a João que gostaria de
receber um pouco do salário por dia. R$ 1,00 no primeiro dia de cada mês e, a cada dia subsequente, receberia R$
1,00 a mais do que no dia anterior. O empregador concordou, mas, depois de um tempo, verificou que saiu no
prejuízo. Com base na proposta de Fabrício, calcule quanto Fabrício receberá a mais do que receberia com o
salário de R$ 300,00, levando em conta um mês com 30 dias.
2) Breno parou em um estacionamento por 5 horas. Calcule quanto ele gastará sabendo que os valores, a partir
da segunda hora, seguem uma progressão aritmética com o estabelecimento cobrando R$ 6,00 na primeira hora,
R$ 4,00 na segunda hora e R$ 0,50 na sétima hora.
Fechamento
Neste aula aprendemos o que é sequência numérica e também o que é progressão aritmética. Vimos como
resolver problemas de PA utilizando-se de uma fórmula.
Nesta aula, você teve a oportunidade de:
• Conhecer a fórmula do termo geral de uma PA;
• Entender a fórmula geral da soma dos termos de uma PA;
• Compreender como as classificações de PA.
Referências
DANTE, L. R. : contextos & aplicações. 2. ed. São Paulo: Ática, 2013.Matemática
IEZZI, G. . 5. ed. Rio de Janeiro: Saraiva, 2011.Matemática
SILVA, E. Q.; ABAD, L. F. S. . São Paulo: Sistema de Ensino Abril Educação S.A.,Coleção Pré-Vestibular Extensivo
2014.
•
•
•
•
- -1
Progressão Geométrica - PG
Introdução
Nesta aula estudaremos a progressão geométrica, também conhecida como PG. Uma progressão geométrica é
uma sequência numérica em que cada termo, a partir do segundo, é igual ao produto do termo anterior por uma
constante, chamada de razão da progressão geométrica. Parece complicado, mas não é! Vamos lá!
Ao final desta aula, você será capaz de:
• identificar a progressão geométrica (PG) e suas características;
• aplicar os conhecimentos de PG em situações-problema.
PG
Veja a situação:
• Um professor titular da Universidade Indústria do Saber recebia R$ 2.000,00 por mês de salário no ano 
de 2010. O acordo feito de reajuste salarial entre as partes foi o seguinte: o valor do salário seria 
reajustado em 10% ao ano, nos 4 anos subsequentes sobre o salário do ano anterior. Vejamos uma tabela 
que representa o reajuste do salário do professor:
Figura 1 - Tabela 1 - Salário x Ano de recebimento
Fonte: Elaborada pela autora (2014)
Vamos primeiro dividir os valores de dois termos consecutivos dessa sequência. Observe, a seguir, que os
quocientes das divisões efetuadas serão todos iguais.
•
•
•
- -2
Figura 2 - Tabela 2 - Encontrando a razão da PG
Fonte: Elaborada pela autora (2014)
Os salários correspondentes a cada ano representam uma sequência numérica que obedecem a uma lei de
formação, em que cada termo (a partir do segundo) é obtido por meio da multiplicação do termo anterior por um
fator fixo, denominado razão (q). Chamamos essa sequência de progressão geométrica (PG).
Uma progressão geométrica pode ser classificada em crescente, decrescente ou alternada (oscilante). Veja os
seguintes exemplos:
Agora, retornaremos ao problema do professor universitário, pois ele deseja saber qual será seu salário em
2020. Vamos ajudá-lo? Para isso, precisamos conhecer a fórmula do termo geral da PG.
FIQUE ATENTO
Define-se progressão geométrica (PG) como uma sequência de números reais não nulos em
que o quociente entre um termo qualquer (a partir do segundo) e o termo antecedente é
sempre o mesmo (constante). Essa constante é chamada razão da PG e indicada por q.
- -3
No exemplo dado, temos que:
Para calcular o salário do professor no ano de 2020, devemos calcular o décimo primeiro termo dessa PG(), uma
vez que 2020 ocupa a décima primeira posição, a partir do termo inicial (2010). Para isso, utilizamos a fórmula
do termo geral da PG. Acompanhe!
Podemos concluir, então, que o salário desse professor em 2020 será de R$ 5.180,00.
Entretanto, esse professor é muito curioso. Sendo assim, ele quer saber a soma dos seus vencimentos nos anos
de 2010, inclusive, até 2014, sem precisar fazer muitos cálculos. Será possível? Claro!
- -4
Para ajudar o professor a encontrar a soma desejada, primeiro precisamos calcular o que representa a soma
(uma parcela de cada ano) dos salários recebidos de 2010 até 2014.
Mas não terminamos ainda! Considerando que ele recebeu 12 meses de salário, é preciso multiplicar o valor
encontrado em por 12. Logo, temos que:
Assim, a soma de todos os salários mensais recebido por esse professor de 2010 até 2014 é aproximadamente
R$ 146.400,00.
Que tal mais uma atividade para você verificar se está aprendendo?
• Luiz Marcelo comprou um carro e pagou em 7 parcelas crescentes. A primeira prestação foi de R$ 
1.000,00 e cada parcela subsequente o dobro da anterior. Determine qual foi o valor total do carro pago 
por Luiz Marcelo.
Temos que encontrar o .Veja:
Sabemos que: = 1.000 e q = 2
•
- -5
Portanto, o carro custou R$ 127.000,00.
Agora é sua vez!
Tente resolver os exercícios de PG a seguir, ok?
1)Marta foi contratada por uma empresa e seu salário inicial é de R$ 1.200,00. Supondo que Marta receberá um
aumento de 5% a cada mês, qual será seu salário daqui a 6 meses?
2)Na época de Natal, Lohana foi contratada para trabalhar em uma loja de roupas de segunda a sábado. A
proprietária da loja ofereceu um salário um pouco diferente. No primeiro dia, o salário seria de R$ 1,00 e, nos
dias subsequentes, seria o dobro do que recebeu no dia anterior. Calcule quanto Lohana recebeu em 12 dias de
trabalho.
Fechamento
Neste aula estudamos a progressão geométrica, seu conceito e sua fórmula. Também vimos problemas e como
resolve-los a partir da aplicação de fórmulas.
Nesta aula, você teve a oportunidade de:
• Entender o termo geral de uma PG;
• Aplicar a fórmula geral da soma dos termos de uma PG;
• Compreender as classificações da PG.
Referências
DANTE, L. R. : contextos & aplicações. 2. ed. São Paulo: Ática, 2013.Matemática
IEZZI, G. . 5. ed. Rio de Janeiro: Saraiva, 2011.Matemática
SILVA, E. Q.; ABAD, L. F. S. . São Paulo: Sistema de Ensino Abril Educação S.A.,Coleção Pré-Vestibular Extensivo
2014.
•
•
•
- -1
Porcentagem - percentuais, 
acréscimos e decréscimos
Introdução
Com frequência, utilizamos expressões que apresentam termos como: acréscimos, aumentos, descontos e
reduções, tomando por base 100 unidades. Essas expressões são parte do estudo da porcentagem, que pode ser
aplicada por meio de percentuais, acréscimos e decréscimos, temas dessa aula.
Ao final desta aula, você será capaz de:
• identificar os números percentuais;
• aplicar as operações com porcentagem em situações-problema.
Conceito
Vamos iniciar este tema apresentando as diversas maneiras de escrever um número na forma de porcentagem.
Podemos representar a porcentagem na forma de número decimal e, ainda, na forma de fração irredutível,
quando possível. Acompanhe os seguintes exemplos:
Veja, a seguir, situações em que ocorre a porcentagem.
Deveria começar por percentual de um valor, exemplo, quanto é 30% de 80 m? 
Resposta: 30% x 80 = 0,3x80 = 24
•
•
FIQUE ATENTO
Todo número escrito na forma de porcentagem pode ser representado por uma razão com
denominador 100, recebendo, dessa forma, o nome de razão centesimal.
- -2
Percentual de uma quantidade
Marcos precisa ler 120 relatórios. Já leu 20%. Quantos relatórios ainda faltam para ler?
Primeiro, vamos calcular quanto representa 20% de 120. Veja:
- Dessa forma, Marcos já leu 24 relatórios e ainda faltam ler 96.
Acréscimos/aumentos
Agora, suponha a seguinte situação: todo ano, os salários dos professores sofrem um acréscimo com base na
inflação anual. Caso a inflação tenha sido de 4,5% naquele ano, qual será o valor reajustado do salário de um
professor que ganha por mês R$ 1.850,00?
Para isso, vamos calcular, primeiro, quanto é 4,5% sobre o salário de 1.850 reais. E depois, adicionar os valores.
Veja:
ou
Logo, o salário do professor após o reajuste será de 1.850 + 83,25 = .R$ 1.933,25
Como se trata de acréscimo, podemos calcular de uma forma mais rápida. Observe:
O salário do professor representa 100% e o percentual de reajuste (acréscimo que o salário sofrerá) é de 4,5%.
Vamos escrever 100% e 4,5% na forma de fração ou de número decimal:
Como desejamos calcular o acréscimo de 4,5% sobre o salário que representa 100%, basta adicionar essas
porcentagens e multiplicar pelo valor do salário que o professor recebe que encontraremos o resultado imediato.
Veja:
Como desejamos calcular o acréscimo de 4,5% sobre o salário que 
representa 100%, basta adicionar essas porcentagens e multiplicar 
pelo valor do salário que o professor recebe que encontraremos o 
resultado imediato. Veja:
Descontos/Decréscimos
Suponha que, por conta do início da safra, o preço do tomate sofreu um decréscimo de 28% no mês de setembro
em um determinado ano. Sabendo que, em fevereiro, o valor do quilo do tomate era de R$ 6,00, calcule qual o
valor do quilo do tomate após sofrer esse decréscimo.
FIQUE ATENTO
Como se trata de acréscimo, o cálculo do percentual sobre o valor dado é adicionado.
- -3
Para isso, vamos calcular, primeiro, quanto é 28% de 6 reais. E depois, subtrair os valores. Veja:
ou
Para calcular o valor do quilo do tomate após o decréscimo, basta subtrair 6 – 1,68 = 4,32.
Logo, o valor do quilo do tomate em setembro de um determinado ano é de .R$ 4,32
De forma análoga ao feito em III, utilizamos o mesmo raciocínio para calcular rapidamente o decréscimo
/desconto sobre o valor de algo. Veja como ficaria neste exemplo:
Fechamento
Neste tema, você aprendeu que um número escrito na forma de porcentagem pode ser escrito na forma de fração
centesimal, em que o denominador é sempre 100 e o numerador o valor do percentual. Também viu as situações
em que a porcentagem representa acréscimo ou desconto.
Nesta aula, você teve a oportunidade de:
• Aprender o que são números percentuais;
• Resolver operações de porcentagem.
Referências
CRESPO, A. A. . 14. ed. São Paulo: Saraiva, 2011.Matemática Financeira Fácil
DANTE, L. R. . 1. ed. São Paulo: Ática, 2012.Matemática
______. : contextos & aplicações. 2. ed. São Paulo: Ática, 2013.Matemática
IEZZI, G. . 5. ed. Rio de Janeiro: Saraiva, 2011Matemática
FIQUE ATENTO
Como se trata de decréscimo, o cálculo do percentual sobre o valor dado é subtraído.
SAIBA MAIS
Desse modo, podemos utilizar uma fórmula geral para cálculos de acréscimos/aumentos e
decréscimos/descontos sobre determinada quantidade ou determinado valor. Veja:
e
Em que P representa a quantidade/valor final, x representa a taxa percentual e representa a
quantidade/valor inicial.
•
•
- -4
IEZZI, G. . 5. ed. Rio de Janeiro: Saraiva, 2011Matemática
SILVA, E. Q.; ABAD, L. F. S. . São Paulo: Sistema de Ensino Abril Educação S.A.,Coleção Pré-Vestibular Extensivo
2014.
SOUZA, P. S. . Dissertação de Mestrado.Matemática Financeira no Ensino Básico no Município de Montanha
Universidade Federal do Espírito Santo, São Mateus, 2011.
- -1
Porcentagem – Acréscimos, 
decréscimos sucessivos e 
cálculos de juros
Introdução
Com frequência, utilizamos expressões que apresentam termos como: acréscimos, aumentos, descontos e
reduções, tomando por base 100 unidades. A porcentagem está presente em diversas situações do nosso
cotidiano. Nesta aula veremos acréscimos e decréscimos sucessivos e a fazer cálculos de juros!
Ao final desta aula, você será capaz de:
• aplicar as operações com porcentagem em situações-problema;
• empregar o conceito de juro em situações-problema.• compreender o que acréscimos e decréscimos sucessivos;
Acréscimos e decréscimos sucessivos
Para entender este item, vamos levar em conta a seguinte situação:
• Antônio comprou um carro novo por R$ 45.000,00. Após dois anos e meio, precisou vendê-lo e, para 
isso, foi pesquisar qual o valor do seu automóvel depois desse tempo. Descobriu que o valor do carro 
sofreu depreciação de 10% e 7% nos 2 primeiros anos, respectivamente. Qual foi o valor desse veículo 
após a depreciação?
No caso de acréscimos/decréscimos sucessivos, vamos utilizar a seguinte fórmula:
Sendo assim, temos que: (preço inicial) = 45.000. A primeira taxa é de 10%, ou seja, 0,1 e a segunda taxa é de 7%,
ou seja, 0,07.
Logo, utilizando a fórmula , temos que:
37.665
Acompanhe a situação a seguir:
• Um salão de beleza reajusta o preço de seus produtos semestralmente. Por conta desses valores 
reajustados, o preço de um determinado serviço sofreu acréscimos sucessivos de 5% e 8,5% ao longo de 
um ano. Determine o valor final desse serviço, que, anteriormente, custava R$ 150,00.
Utilizando a fórmula para cálculo de acréscimos sucessivos, temos:
•
•
•
•
FIQUE ATENTO
No exemplo dado, utilizamos o conceito de decréscimo sucessivo. Para situações em que
ocorrem acréscimos sucessivos, a resolução é análoga à apresentada, só que os valores são
somados. Fique atento!
•
- -2
Utilizando a fórmula para cálculo de acréscimos sucessivos, temos:
Em que(preço inicial) = 150. A primeira taxa é de 5%, ou seja, 0,05 e a segunda taxa é de 8,5%, ou seja, 0,085.
Substituindo os valores, temos:
170,89
.Portanto, o valor final desse serviço é de R$ 170,89
Uso de porcentagem no cálculo de juro
O juro simples é sempre calculado em relação ao capital inicial, período a período. Assim, o valor do juro é
constante a cada período de tempo, ou seja, não se altera.
Veja a seguinte situação:
• Ana foi ao banco e aplicou R$ 5.000,00 com juro simples de 4% ao mês. Qual será o valor total que 
receberá ao final de 7 meses de aplicação?
Para resolver essa situação, podemos calcular o percentual de 4% sobre o valor de 5.000 e depois multiplicar
pelo tempo de aplicação. Acompanhe:
Agora multiplicamos o valor do juro encontrado por 7, que foi o tempo que o seu dinheiro ficou aplicado. Veja:
Para saber o valor total que Ana receberá, basta adicionar o valor 
do juro encontrado durante o tempo de aplicação com juro simples 
ao valor inicial aplicado. Observe:
.Portanto, Ana receberá R$ 6.400,00
Portanto,
• A dívida que uma pessoa contrai ou a quantia que uma pessoa investe chama-se capital.
• A soma do capital com os juros, por sua vez, é chamada de montante (capital + juros).
• E, por fim, a taxa de porcentagem que se paga pelo empréstimo do dinheiro chama-se taxa de juros.
•
FIQUE ATENTO
Juro simples é a quantia calculada sobre a aplicação de um capital (dinheiro) ao final de um ou
mais períodos de aplicação. Nesse caso, ao final de cada período de aplicação, o juro não é
incorporado ao capital, mesmo que o dinheiro continue aplicado.
•
•
•
FIQUE ATENTO
Lembre-se de que a taxa percentual pode ser escrita na forma decimal ou fracionária.
- -3
No caso de juro composto, a lógica é a mesma dos aumentos sucessivos, ou seja, o juro é somado ao capital para o
cálculo de juros nos períodos seguintes. Utilizando a situação-problema a seguir, podemos entender melhor.
Veja:
• Fernando aplicou R$ 4.000,00 em um banco que paga juro composto de 2% ao mês. Qual será seu 
montante depois de 3 meses de investimento?
Vamos aos cálculos? Como se trata de juros compostos, utilizamos a fórmula apresentada em acréscimos
sucessivos. Acompanhe:
Em que(preço inicial) = 4.000. A taxa é de 2% ao mês, ou seja, 0,02.
Substituindo os valores, temos:
4244,83
Decorridos 3 meses, .Fernando terá um montante de R$ 4.244,83
Chegou a vez de você verificar se está compreendendo os conceitos de porcentagem abordados. Assim, procure
resolver os exercícios a seguir:
1) Laura ganha R$ 2.500,00 por mês. Utiliza 35% do seu salário para pagar o aluguel do seu imóvel. Quanto
sobra do salário de Laura?
2) Em certa cidade com 150 mil habitantes, 35% têm mais de 60 anos. Qual o número de habitantes que tem
mais de 60 anos?
3) Sérgio irá vender seu automóvel, que sofreu 25% de depreciação ao longo de um ano. Qual o valor atual desse
automóvel se o preço pago foi de R$ 38.450,00 na época da compra?
4) Um item sofre acréscimos sucessivos de 8% e 10% ao longo de certo período. Se o preço inicial desse item era
de R$ 4.800,00, qual o seu valor final?
5) Ana aplicou, a juro simples, R$ 108.000,00 em 180 dias a uma taxa de 3,5% ao mês. Qual o valor que resgatou
após esse tempo?
6) Se um determinado equipamento custava R$ 3.500,00 e passou a custar R$ 2.520,00, qual foi o percentual de
desconto dado?
7) Certa carta de investimento rende 3,5% ao mês a juros compostos. Se Deise aplicar R$ 120.000,00 por um
período de 5 meses, quanto obterá de rendimento?
8) Celma fez um empréstimo de R$ 6.000,00 a juros compostos de 2,6% ao mês. Após 4 meses, qual é o valor
devido por Celma?
SAIBA MAIS
A taxa percentual e o período de tempo devem sempre estar na mesma unidade.
•
SAIBA MAIS
Juro é a quantia calculada sobre a aplicação de um capital (dinheiro) ao final de um ou mais
períodos de aplicação. No caso de juros compostos, ao final de cada período de aplicação, o
juro é incorporado ao capital.
- -4
Fechamento
Nesta aula estudamos acréscimo e decréscimo sucessivos e também vimos como calcular juro. Lembrando que
juro é o valor que se paga ou recebe por um capital (C), emprestado ou aplicado, a uma taxa combinada por um
período de tempo determinado, e que este pode ser calculado como juro simples ou como juros compostos,
dependendo da situação.
Nesta aula, você teve a oportunidade de:
• Aplicar acréscimo e decréscimo em um problema-solução;
• Resolver questões de cálculos de juros.
Referências
CRESPO, A. A. . 14. ed. São Paulo: Saraiva, 2011.Matemática Financeira Fácil
DANTE, L. R. . 1. ed. São Paulo: Ática, 2012.Matemática
______. : contextos & aplicações. 2. ed. São Paulo: Ática, 2013.Matemática
IEZZI, G. . 5. ed. Rio de Janeiro: Saraiva, 2011Matemática
SILVA, E. Q.; ABAD, L. F. S. . São Paulo: Sistema de Ensino Abril Educação S.A.,Coleção Pré-Vestibular Extensivo
2014.
SOUZA, P. S. . Dissertação de Mestrado.Matemática Financeira no Ensino Básico no Município de Montanha
Universidade Federal do Espírito Santo, São Mateus, 2011.
•
•
- -1
Razão e proporção – conceitos
Introdução
A proporcionalidade pode se apresentar em tamanhos diferentes, razões e situações diversas. Esse será o
assunto dessa aula e nela você ainda estudará assuntos como conceitos de razão, proporção e grandes
diretamente proporcionais. Vamos lá?
Ao final desta aula, você será capaz de:
• definir razões e proporções matematicamente;
• desenvolver os conceitos de razão e proporção em situações-problema.
Entendendo a razão
Observe a seguinte situação:
Numa certa empresa no setor X, há 15 homens e 20 mulheres. Uma das maneiras de comparar esses números é
calcular a razão entre eles, estando atento à ordem considerada. Veja: a razão entre o número de homens e o
número de mulheres pode ser representada por:
15:20 = 0,75 = 75%
Note que podemos escrever a razão entre dois números na forma de fração (), na forma de fração irredutível,
quando possível, ( ), na forma de número decimal (0,75) ou na forma de porcentagem (75%). Portanto,
A razão entre dois números a e b, com b diferente de 0, é o quociente de , que pode ser indicado por ou qualquer
outra forma equivalente.
Destaca-se aqui que a ordem dos números no cálculo de uma razão é importante. Por isso, cada número
recebe um nome.
Retornando à situação apresentada no início deste tópico, vamos analisar outros dois setores (Y e Z) desta
mesma empresa. Temos, assim, que a razão entre o númerode homens e o número de mulheres:
• no setor Y, que tem 14 homens e 18 mulheres, é , pois
• no setor Z, que tem 12 homens e 16 mulheres, é , pois
Observe que a razão entre o número de homens e o de mulheres é o mesmo no setor X e no setor Z. Em casos
como esse, as duas razões formam uma proporção .
Entendendo a proporção
A proporcionalidade está presente no dia a dia de muitas pessoas. Não só aparece na ampliação e na redução de
fotos, como vimos na imagem no início deste tema, mas também nas mais diversas atividades, tais como: a
análise da planta de uma casa, o desenho de um mapa, a interpretação de um gráfico, a dosagem de um remédio,
•
•
•
•
FIQUE ATENTO
Quando temos uma igualdade entre duas razões, formamos uma proporção.
- -2
fotos, como vimos na imagem no início deste tema, mas também nas mais diversas atividades, tais como: a
análise da planta de uma casa, o desenho de um mapa, a interpretação de um gráfico, a dosagem de um remédio,
a leitura de uma receita, entre muitas outras. Nessas situações, a noção de razão é fundamental para o
desenvolvimento da ideia de proporcionalidade e dos cálculos nela presentes.
Utilizando o exemplo anterior, indicamos a proporção da seguinte maneira: e lemos “15 está para 20 assim como
12 está para 16”. De modo geral, podemos escrever:
Se duas razões são iguais, elas formam uma proporção.
Assim, se a razão entre os números a e b é igual à razão entre os números c e d, dizemos que a razão é
uma proporção.
Assim, temos que a leitura da proporção é: a está para b assim como c está para d.
O primeiro e o último termos citados na leitura são os extremos da proporção (a e d). Os outros dois
termos são os meios da proporção (b e c).
Para facilitar alguns cálculos que envolvem proporção em situações-problema, é preciso aprender a propriedade
da proporção. Vamos lá?
Aprendendo a propriedade fundamental da 
proporção
Em toda proporção, o produto dos meios é igual ao produto dos extremos. Veja simbolicamente:
--->
Ainda existem outras propriedades das proporções. Vamos conhecê-las?
• Adição entre seus termos:
• Subtração entre seus termos:
No exemplo dado no início deste material, verificamos que uma empresa possui setores X, Y e Z contendo
quantidades distintas de homens e mulheres. Nas razões especiais, estudamos a relação entre comprimento,
tempo e área. Estas quantidades representam grandezas.
Fechamento
Nesta aula você aprendeu que razão é o quociente de a:b, com b diferente pode ser indicada por ou qualquer
outra forma equivalente Você estudou também que, se duas razões são iguais, elas foram uma proporção. Assim,
se a razão entre os números a e b for igual à razão entre os números c e d, dizemos que é uma proporção.
Proporção foi o segundo assunto que abordamos neste tema, afirmando que em toda proporção direta o produto
dos meios é igual ao produto dos extremos – propriedade fundamental das proporções.
Nesta aula, você teve a oportunidade de:
• Compreender os conceitos de razão e proporção matematicamente;
• Resolver razão e proporção em situações-problema.
Referências
DANTE, L. R. : contextos & aplicações. 2. ed. São Paulo: Ática, 2013.Matemática
IEZZI, G. . 5. ed. Rio de Janeiro: Saraiva, 2011.Matemática
SOUZA, P. de S. . Dissertação deMatemática Financeira no Ensino Básico no Município de Montanha
Mestrado. Universidade Federal do Espírito Santo, São Mateus, 2011.
•
•
•
•
- -1
Razão e Proporção – Grandezas 
diretamente e inversamente 
proporcionais
Introdução
Nessa aula, estudaremos as grandezas diretamente e inversamente proporcionais. Vamos também aprender a
identificá-las e como aplicá-las e resolvê-las em problemas. Vamos lá!
Ao final desta aula, você será capaz de:
• aplicar grandezas diretamente proporcionais em situações-problema.
Entendendo grandezas diretamente e 
inversamente proporcionais
A seguir, estudaremos as grandezas direta e inversamente proporcionais. Vamos lá?
Grandezas diretamente proporcionais
Observe a seguinte situação:
• Marcos, conversando com sua mãe, perguntou o seguinte:
“Quando a gente compra café, o preço depende da quantidade comprada?”
Repare no quadro a seguir o que acontece com o preço do café em relação à quantidade comprada:
Figura 1 - Tabela 1 – tabela de preço x quantidade de café
Fonte: Marques (2014)
Se comprarmos 1 quilo de café, pagamos 4 reais; se comprarmos metade da quantidade, ½ quilo, pagamos 2
reais, a metade do primeiro preço. E se comprarmos o dobro de café, 2 quilos, o preço também dobra (2 x 4),
ficando 8 reais. Assim, podemos concluir que peso e preço são, então, grandezas que variam de modo
proporcional. É fácil perceber que quanto maior a quantidade de café comprada maior é o preço pago por ele.
Grandezas que apresentam esse tipo de comportamento são diretamente proporcionais. Desta forma, podemos
concluir:
•
•
- -2
concluir:
Quando o valor de uma grandeza dobra, triplica ou fica metade, o valor de outra grandeza também
dobra, triplica ou fica a metade, e assim por diante. Dizemos, então, que as duas grandezas envolvidas
nessa situação são diretamente proporcionais ou apenas que são proporcionais.
No exemplo dado, conforme afirmamos, as grandezas são diretamente proporcionais, assim as razões entre
preço e quantidade de café formam a seguinte proporção: . Simplificando cada uma dessas razões, temos: , e
Perceba que todas obtiveram como resultado da simplificação. Logo, a =razão de proporcionalidade
Mas e quando as grandezas variam de modo inverso? Acompanhe!
Grandezas inversamente proporcionais
Para estudar as grandezas, observe a seguinte situação:
• Inês gosta muito de ler. Se ela consegue ler 8 páginas de determinado livro por hora, ela lerá este livro 
em 12 horas. Entretanto, ela resolveu ser mais rápida na leitura e conseguiu ler 16 páginas por hora 
levando 6 horas para terminar de ler o mesmo livro.
Perceba que ao aumentar a quantidade de páginas lidas em uma hora, o tempo que Inês levou para ler o livro
diminuiu. Por quê? Neste caso, quando a grandeza (número de páginas) aumenta o dobro (8 páginas para 16
páginas) a outra (tempo) diminui pela metade (12 horas para 6 horas).
Vamos complicar um pouco mais?
• Mara, Raphael e Luiza fizerem um mesmo percurso de três formas diferentes: de bicicleta, de 
calhambeque e de carro veloz. Mara, de bicicleta, fez esse percurso com uma velocidade média de 15 km
/h e gastou 120 minutos (2h). Em seu Calhambeque, Raphael fez o mesmo percurso com uma velocidade 
média de 30 km/h e gastou 60 minutos (1h). Já a Luiza, em seu carro novo, andou a uma velocidade 
média de 90 km/h e gastou 20 minutos.
Observe que quem gastou mais tempo foi Mara, em seu veículo de velocidade menor. Além disso, pode-se
perceber que a velocidade e o tempo não são grandezas diretamente proporcionais, pois a velocidade dobrou
(15 para 30) e o tempo não dobrou (120 para 60).
Agora, vamos analisar o quadro a seguir, com os valores dessa situação envolvendo duas grandezas: velocidade
(em km/h) e tempo (em min).
Figura 2 - Tabela 2 – Tabela velocidade x tempo de um mesmo percurso
Fonte: Marques (2014)
Note que na primeira coluna da tabela, quando a velocidade dobra (15 para 30) o tempo, representado na
SAIBA MAIS
• Duas grandezas são diretamente proporcionais quando o aumento (ou
diminuição) de uma corresponde ao aumento (ou diminuição) da outra na
mesma razão;
• Quando duas grandezas A e B são diretamente proporcionais, os números que
expressam essas grandezas variam na mesma razão.
•
•
•
•
- -3
Note que na primeira coluna da tabela, quando a velocidade dobra (15 para 30) o tempo, representado na
segunda coluna, se reduz pela metade (120 para 60). Depois, a velocidade de 30 km/h passa para 90 km/h, ou
seja, a velocidade triplicou. E o tempo? Nesse caso o tempo reduziu a terça parte (60 para 20). Assim, dobrando a
velocidade, o tempo reduz-se