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U N I DA DE 4 - N O Ç Õ E S M AT E M Á T I C A S N A Q U Í M I C A Maiara Fernanda Souza Pinto SUMÁRIO • 4.1 Conjuntos de números e números reais; • 4.2Valor absoluto e relativo de um número • 4.3 Expoentes: naturais, zero e racionais • 4.4 Frações comuns e decimais • 4.5 Porcentagem • 4.6 Razão e Proporção • 4.7 Notação científica • 4.8 Números significativos CONJUNTO DOS NÚMEROS REAIS CONJUNTO DOS NÚMEROS NATURAIS • Conjunto nos números Naturais: • Conjunto dos Números Inteiros: CONJUNTO DOS NÚMEROS REAIS CONJUNTO DOS NÚMEROS NATURAIS • Conjunto dos Números Racionais: são todos aqueles que podem ser expressos na forma de fração. • ½= 0,5 • 201/100= 20,1 Note que se dividirmos quatro por nove, iremos obter 0,44444... que é um número com infinitas casas decimais, todas elas iguais a quatro. Trata-se de uma dízima periódica simples. CONJUNTO DOS NÚMEROS REAIS CONJUNTO DOS NÚMEROS NATURAIS • Conjunto dos Números Irracionais: tem como característica infinitas casas decimais e diferentemente das dízimas, elas não são periódicas, não podendo ser expressas na forma de uma fração. Exemplo:. CONJUNTO DOS NÚMEROS REAIS CONJUNTO DOS NÚMEROS NATURAIS • Conjunto dos Números Reais: é formado pela união do conjunto dos números racionais com o conjunto dos irracionais. RESUMO VALOR ABSOLUTO X VALOR RELATIVO O valor absoluto de um número não depende da posição em que o número se encontra, representa um valor sozinho. O valor relativo de um número depende da ordem em que o algarismo se encontra. Exemplo : 1.236 VR: 1000 200 30 6 Ao somar os valores relativos de um número obtemos o próprio número. EXPOENTES: NATURAIS, ZERO E RACIONAIS • O número que se repete como fator denomina-se base. O número de vezes que a base se repete é denominado expoente. Esta operação resulta em uma multiplicação com fatores iguais. Denomina-se potência o resultado desta multiplicação. • 2²= 2 X 2 = 4 • 2³= 2 X 2 X 2 = 8 • ATENÇÃO: todo número diferente de zero, elevado a zero é igual a 1. 0° = INDETERMINAÇÃO EXPOENTES: NATURAIS, ZERO E RACIONAIS • Na potenciação dos números racionais devemos aplicar o expoente aos dois elementos da fração, o numerador e o denominador. • Nos casos em que o expoente é negativo, devemos trocar o sinal do expoente e inverter a base racional, isto é, o numerador passa a ser denominador e o denominador passa a ser numerador. Observe: FRAÇÕES COMUNS E DECIMAIS • Frações nada mais é que uma divisão. • Onde se tem o numerador e o denominador. FRAÇÕES COMUNS E DECIMAIS • Frações equivalentes: frações que representam a mesma quantidade. Se quisermos encontrar frações equivalentes para uma fração basta multiplicarmos o numerador e denominador pelo mesmo número natural diferente de zero. FRAÇÕES • Frações mistas: São frações onde parte dela é um número inteiro e a outra parte é uma fração. FRAÇÕES • Frações Compostas ou Complexas: numerador e denominador também são frações. FRAÇÕES DECIMAIS Dentre todas as frações, existe um tipo especial cujo denominador é uma potência de 10. Este tipo é denominado fração decimal. PORCENTAGEM • Porcentagem é o valor obtido ao aplicarmos uma taxa percentual a um determinado valor. RAZÃO E PROPORÇÃO • Na matemática, a razão estabelece uma comparação entre duas grandezas, sendo o coeficiente entre dois números. • Já a proporção é determinada pela igualdade entre duas razões, ou ainda, quando duas razões possuem o mesmo resultado. PROPRIEDADES DA PROPORÇÃO • O produto dos meios é igual ao produto dos extremos, por exemplo: • Logo: • A·D = B·C • Essa propriedade é denominada de multiplicação cruzada. NOTAÇÃO CIENTÍFICA • A notação científica é uma forma de escrever números usando potência de 10. É utilizada para reduzir a escrita de números que apresentam muitos algarismos. Exemplos: NOTAÇÃO CIENTÍFICA • Um número estará em notação científica quando estiver escrito no seguinte formato: • x . 10 y • X é um valor qualquer* multiplicado por uma potência de base 10 e • y é o expoente que pode ser positivo ou negativo Ex: 3000 = 3.103 0,003 = 3.10-3 • Nota: Usamos expoentes positivos quando estamos representando números grandes e expoentes negativos • quando estamos representando números pequenos. OPERAÇÕES COM POTÊNCIAS DE 10 • Adição/subtração: Para somar potências de 10, precisamos transformar todas as parcelas de modo que fiquem iguais a menor potência, em seguida, colocamos a potência de 10 em evidência e, finalmente realizamos a operação: OPERAÇÕES COM POTÊNCIAS DE 10 • Multiplicação/divisão: Para multiplicar potências de 10, precisamos multiplicar os números que multiplicam as potências e somar as potências: ALGARISMOS SIGNIFICATIVOS • A precisão de um número é devidamente expressa com uma quantidade de algarismos significativos que representem sua incerteza relativa. • O maior número de algarismos significativos decimais amplia a precisão da medida. ALGARISMOS SIGNIFICATIVOS- O ZERO É SIGNIFICATIVO? • Os números 2,54 e 2,5400 são iguais matematicamente, mas são bastante diferentes quando representam os resultados de uma medida, como, por exemplo a massa de um corpo: 2,54g 2,5400g. • valor 2,54g é obtido numa balança cuja sensibilidade é 0,01g, o que significa que a massa medida está compreendida entre 2,53-2,55g. • Por outro lado, o valor 2,5400g só pode ser obtido em uma balança sensível com imprecisão de ±0,0001 g; isto significa que, neste caso, a massa está compreendida no intervalo de 2,5399g - 2,5401g, muito menor que o anterior. ALGARISMOS SIGNIFICATIVOS- ARREDONDAMENTO • Antes de estudarmos as aplicações dessas regras, precisamos saber as formas corretas de reduzir adequadamente a quantidade de algarismos significativos de número. Essa redução é feita obedecendo às seguintes regras de arredondamento: • a) Se o dígito que segue o último algarismo significativo é > 5, então o número antecessor é aumentado em uma unidade. • Ex: 1,346 arredonda para 1,35. • Se o dígito que segue o último algarismo significativo é < 5, então o último dígito significativo é mantido. Ex: 1,343 arredonda para 1,34 • E se for = 5,0 com antecessor par, permanece. Mas, com antecessor ímpar acrescenta uma unidade no antecessor • Ex: 1,345 arredonda para 1,34 (permanece) e 1,355 arredonda para 1,36 (acrescenta uma unidade) REFERÊNCIAS BIBLIOGRÁFICAS • Atkins, P. W.; Jones, L. Princípios de química: questionando a vida moderna e o meio • ambiente. 3ª ed. Porto Alegre: Bookman, 2006. • Brady, J. E.; Russel, J.W. & Holum, J.R. Química: a matéria e suas transformações. 3ª ed. Rio de Janeiro: Livros Técnicos e Científicos, 2002. • Brown, T. L.; Lemay, H. E.; Bursten, B. E.; Burdge, J. R. Química: a ciência central. 9ª ed. • São Paulo: Pearson Prentice Hall, 2005. • Gomes, L. A. K. Materiais: foco dos estudos em química. Química Nova na Escola, v. 8, 1998, p. 15-18. • ANDRADE, J. C. O papel dos erros determinados em análises químicas, Química Nova, v. 10, p. 59- 165, 1987. • BACCAN, N. et al. Química analítica quantitativa elementar. 3 ed. Campinas: Ed. Edgar Blucher, 2001. • SKOOG, A. S. et al. Fundamentos de química analítica,São Paulo: Ed. Thomson Learning, 2005.
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