Lista complementar - EP - somatorio e produtorio

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Probabilidade e Estatística - Engenharia Elétrica Professor: Luiz Carlos M. Fernandes
Lista de Exercícios Complementar
Somatório
Propriedades de somatório: (Considere k uma constante arbitrária)
1.
n∑
i=1
kai = k
n∑
i=1
ai
2.
n∑
i=1
k = nk
3.
n∑
i=1
m∑
j=1
aibj =
(
n∑
i=1
ai
) m∑
j=1
bj

4.
n∑
i=1
(ai + bi) =
n∑
i=1
ai +
n∑
i=1
bi
5.
p∑
i=1
ai +
n∑
i=p+1
ai =
n∑
i=1
ai
6.
n∑
i=0
ap−i =
p∑
i=p−n
ai
Questão 1 Calcule as expressões abaixo
(a)
3∑
i=1
3(i+ 1)
(b)
4∑
i=3
3 · 2i
(c)
5∑
i=2
3
(d)
3∑
i=0
21
(e)
2∑
i=1
3∑
j=2
2i3j
(f)
2∑
i=1
(2i + 3i)
(g)
2∑
i=1
2i +
4∑
i=3
2i
(h)
4∑
i=0
a5−i
Questão 2 Expandir as seguintes somas:
(a)
6∑
i=1
2i
(b)
6∑
i=0
x
(c)
7∑
i=3
5
(d)
6∑
i=2
j(j − 1)(j − 2)
6
(e)
10∑
i=5
(3i+ 2)
(f)
3∑
i=3
3i2
i+ 1
Questão 3 Escreva as expressões abaixo usando a notação de somatório:
(a) 1 + 3 + 5 + 7 + 9
(b) −1 + 4− 9 + 16− 25 + 36
(c) 7 + 14 + 21 + 28 + 35 + 42
(d)
1
1·3 +
1
2·4 +
1
3·5 +
1
4·6 +
1
5·7
Questão 4 Avalie
n∑
i=1
(ai − ai−1) considerando a0 = 0.
Questão 5 Use o resultado do exercício anterior para mostrar que
(a)
n∑
i=1
i =
n(n+ 1)
2
(b)
n∑
i=1
i(i+ 1) =
n(n+ 1)(n+ 2)
3
Sugestão: Se an =
n(n+1)
2
, escreva ai − ai−1.
Questão 6 Determine o valor de
n∑
i=1
i2 usando os resultados obtidos no exercícios anterior.
Produtório
Propriedades de produtório: (Considere k uma constante arbitrária)
1.
n∏
i=1
aibi =
n∏
i=1
ai
n∏
i=1
bi
2.
n∏
i=1
k = kn
3.
n∏
i=1
kai = k
n
n∏
i=1
ai
4.
n∏
i=1
aki =
(
n∏
i=1
ai
)k
Questão 7 Calcule as expressões abaixo
(a)
3∏
i=1
i(i+ 1) (b)
3∏
i=1
2i (c)
3∏
i=1
2 (d)
4∏
i=1
(i+ 1)2
Questão 8 Escreva em forma de produtório o produto dos 5 primeiros números naturais.
Questão 9 Escreva o produto dos n maiores inteiros negativos.
Questão 10 Expandir os seguintes produtórios:
(a)
n∏
j=1
(3j + 7)
(b)
4∏
i=1
(i3 − 7i+ 3)
(c)
n∏
i=1
(
1 +
1
i2
)
(d)
3∏
j=1
6j2
Questão 11 Expandir e simplificar
(a)
n∏
j=0
(j + 1)
n∏
i=1
i
(b)
n∏
j=1
j
n−1∏
i=p+1
i ·
p∏
k=1
k
Questão 12 Escreva as expressões abaixo usando a notação de produtório:
(a) 1 · 3 · 5 · 7 · 9
(b) p · (p+ 1) · (p+ 2) · · · (p+ n)
(c)
1
2
· 2
3
· 3
4
· 4
5
· 5
6
· 6
7
(d) x2 · x4 · x6 · x8 · x10
Questão 13 Determine o valor de
5∏
n=1
(
n∑
k=1
k
)
.
Questão 14 Verifique se as afirmações são verdadeiras:
2
(a)
5∏
j=1
j3 = (5!)3
(b)
n∏
j=1
j
p∏
k=1
k
=
n−p∏
i=1
(p+ i)
(c)
7∏
j=2
3j = 36 · 7!
(d)
4∏
n=1
(
n∑
k=1
k
)
= 180
Questão 15 Determine o valor de
(a)
n∏
i=1
xi
(b)
n∏
i=1
xi(i+1)
(c)
n∏
i=1
[
1− 1
(i+ 1)2
]
(d)
n∏
i=1
i
i+ 1
(e)
n∏
i=1
xi
xi−1
(f)
n∏
i=1
xi
3
(Use que
n∑
i=1
i3 =
(
n∑
i=1
i
)2
).
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Bibliografia
SANTOS, José Plínio; MELLO, Margarida; MURARI, Idani Introdução à Análise Combinatória,
4
a
ed, Rio de Janeiro: Editora Ciência Moderna Ltda, 2007.
Uma verdade matemática não é simples nem complicada por si mesma. É uma verdade.
Emile Lemoine
3