AULA 5 - RESISTENCIA DOS MATERIAIS II - CARGA AXIAL - TORÇÃO

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RESISTÊNCIA DOS MATERIAIS II
AULA 5 – TORÇÃO
Profª Me. Larissa Galante Dias
Bibliografia Utilizada:
BEER, F. P.; JOHNSTON Jr., R. Resistência dos materiais. 3. ed. São Paulo: Pearson Makron Books, 1995.
HIBBELER, R. C. Resistência dos materiais. 7. ed. São Paulo: Pearson Prentice Hall, 2010.
TORÇÃO
Torque é um momento que tende a torcer um elemento em torno
de seu eixo longitudinal. Podemos ilustrar fisicamente o que acontece
quando um torque é aplicado a um eixo circular considerando que este
seja feito de um material com alto grau de deformação, como a
borracha .
Quando o torque é aplicado, os círculos e as retas longitudinais da
grade, marcados originalmente no eixo, tendem a se distorcer segundo
o padrão mostrado na Figura.
Deformação por Torção de
um eixo Circular
Examinando a figura, vemos que a torção faz que os
círculos continuem como círculos e cada linha
longitudinal da grade se deforme na forma de uma hélice
que intercepta os círculos em ângulos iguais.
Além disso, as seções transversais nas extremidades
do eixo continuam planas, e as linhas radiais nessas
extremidades continuam retas durante a deformação (Figura b)
Por essas observações, podemos considerar que, se o ângulo
de rotação for pequeno, o comprimento e o raio do eixo
permanecerão inalterados.
Se o eixo estiver preso em uma de suas
extremidades for aplicado um torque à sua
outra extremidade, o plano sombreado na
Figura será distorcido até uma forma oblíqua.
Aqui, uma linha radial localizada na seção
transversal a uma distância x da extremidade
fixa do eixo girará de um ângulo ∅(𝑥).
Deformação por Torção de
um eixo Circular
Assim como ocorre com a deformação por
cisalhamento para um eixo maciço, 𝜏 variará de
zero na linha central do eixo longitudinal a um
valor máximo 𝜏𝑚á𝑥 na superfície externa. Essa
variação é mostrada na Figura, nas faces
anteriores de vários elementos selecionados
localizados em uma posição radial intermediária ρ
e no raio externo c.
Fórmula de Torção
𝜏 = 
𝜌
𝑐
𝜏𝑚á𝑥
• Usando essa equação, aplicaremos agora a condição que exige que o
torque produzido pela distribuição de tensão por toda a seção transversal
seja equivalente ao torque interno resultante 𝜏 na seção, o que mantém o
eixo em equilíbrio.
Fórmula de Torção
𝜏𝑚á𝑥 =
𝑇𝑐
𝐽
𝝉𝒎á𝒙 = a tensão de cisalhamento máxima no eixo, que ocorre na
superfície externa
T = torque interno resultante que age na seção transversal. Seu valor
é determinado pelo método das seções e pela equação de equilíbrio
de momento aplicada ao redor da linha central longitudinal do eixo
J = momento polar de inércia da área da seção transversal
c = raio externo do eixo
• A tensão de cisalhamento na distância intermediária ρ pode ser determinada
por uma equação semelhante:
𝜏 =
𝑇𝜌
𝐽
Qualquer uma das duas equações citadas é frequentemente
denominada fórmula da torção. Lembre-se de que ela só é usada se
o eixo for circular e o material for homogêneo e comportar-se de uma
maneira linear elástica, visto que a dedução da fórmula se baseia no
fato de a tensão de cisalhamento ser proporcional à deformação por
cisalhamento (LEI DE HOOKE).
Fórmula de Torção
𝜏𝑚á𝑥 =
𝑇𝑐
𝐽
𝜏 =
𝑇𝜌
𝐽
Eixo Maciço
Se o eixo tiver uma seção transversal circular maciça, o momento polar
de inércia J pode ser determinado por meio de um elemento de área na
forma de um anel diferencial, de espessura dp e circunferência 2𝜋𝜌.
𝐽 =
𝜋
2
𝐶4
J = momento polar de inércia da área da seção Transversal mm4 ou pol4
c = raio externo do eixo
O Torque interno T não somente desenvolve
uma distribuição linear da tensão de
cisalhamento ao longo de cada linha radial no
plano da área de seção transversal, como
também uma distribuição de tensão de
cisalhamento associada é desenvolvida ao
longo de um plano axial.
Eixo Maciço
Se um eixo tiver uma seção transversal tubular, com
raio interno ci; e raio externo Co, então, podemos
determinar seu momento polar de inércia subtraindo J
para um eixo de raio c; daquele determinado para um
eixo de raio Co .
Eixo Tubular
𝐽 =
𝜋
2
(𝑐𝑜
4 − 𝑐𝑖
4)
J = momento polar de inércia da área da seção Transversal
Ci = raio interno;
Co = raio externo.
Em qualquer seção transversal do eixo, a tensão
máxima de cisalhamento ocorre na superfície
externa. Contudo, se o eixo for submetido a uma
série de torques externos, ou se o raio (momento
polar de inércia) mudar, a tensão de torção
máxima no interior do eixo poderá ser diferente de
uma seção para outra. Torna-se, então, importante
Tensão de Torção Máxima 
Absoluta
determinar a localização na qual a razão Tc/J é máxima.
EXEMPLOS
5.1 - A distribuição de tensão em um
eixo maciço foi representada em
gráfico ao longo de três linhas radiais
arbitrárias, como mostra a Figura.
Determine o torque interno resultante
na seção.
5.3 - O eixo mostrado na Figura está apoiado em dois mancais e
sujeito a três torques. Determine a tensão de cisalhamento
desenvolvida nos pontos A e B localizados na seção a-a do eixo.
EXERCÍCIOS
5.5 - O eixo maciço de 30 mm de
diâmetro é usado para transmitir
os torques aplicados às
engrenagens. Determine a tensão
de cisalhamento máxima absoluta
no eixo.
EXERCÍCIOS
5.1 - Um eixo é feito de uma liga de aço com tensão de cisalhamento
admissível 𝜏𝑎𝑑𝑚 = 84 MPa.
a) Se o diâmetro do eixo for 37,5 mm, determine o torque máximo T
que pode ser transmitido.
b) Qual seria o torque máximo T' se fosse feito um furo de 25 mm de
diâmetro no eixo? Faça um rascunho da distribuição da tensão de
cisalhamento ao longo de uma linha radial em cada caso.
EXERCÍCIOS
Na prática da engenharia, normalmente, o material é homogêneo, de
modo que G é constante. Além disso, a área da seção transversal do eixo e o
torque aplicado são constantes ao longo do comprimento do eixo. Se for esse
o caso, o torque interno T(x) = T, o momento polar de inércia J(x) = J, que
resulta:
ÂNGULO DE TORÇÃO
J= momento polar de inércia
G = módulo de elasticidade ao cisalhamento do material
ϕ= ângulo de torção de uma extremidade do eixo em
relação à outra extremidade, medido em radianos
T= torque interno
5.48 - O eixo de aço A-36 é composto pelos tubos AB
EXERCÍCIOS
e CD e uma seção maciça BC. Está apoiado em mancais lisos que permitem que ele
gire livremente. Se as engrenagens, presas às extremidades do eixo, forem
submetidas a torques de 85 N.m, determine o ângulo de torção da extremidade B da
seção maciça em relação à extremidade C. Os tubos têm diâmetro externo de 30 mm
e diâmetro interno de 20 mm. A seção maciça tem diâmetro de 40 mm.
5.50 - As extremidades estriadas e
engrenagens acopladas ao eixo de aço
A-36 estão sujeitas aos torques
mostrados. Determine o ângulo de
torção da engrenagem C em relação à
engrenagem D. O eixo tem diâmetro
de 40 mm.
EXERCÍCIOS
Exercícios de Fixação
1- O eixo maciço de alumínio tem
diâmetro de 50 mm. Determine a tensão
de cisalhamento máxima absoluta no
eixo e trace um rascunho da distribuição
da tensão de cisalhamento ao longo da
linha radial do eixo onde a tensão de
cisalhamento é máxima. Considere
T1=20 N.m.( 5,38 Mpa)
EXERCÍCIOS
2- O conjunto é composto por duas seções
de tubo de aço galvanizado interligados por
uma redução em B. O tubo menor tem
diâmetro externo de 18,75 mm e diâmetro
interno de 17 mm, enquanto que o tubo
maior tem diâmetro externo de 25 mm e
diâmetro interno de 21,5 mm. Se o tubo
estiver firmemente preso à parede em C,
determine a tensão de cisalhamento
máxima desenvolvida em cada seção do
tubo quando o conjugado mostrado na
figurafor aplicado ao cabo da chave. (ab =
62,55 Mpa, 18,89mpa).
EXERCÍCIOS