geometria analitica

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CÁLCULO VETORIAL E GEOMETRIA 
ANALÍTICA 
 
 
 . 
 
 
 
 
 
 
 
1. 
 
 
Dados os pontos A(1,2), B(−6,−2) e C(1, 2), qual o 
resultado da operação entre os vetores : 3(AB) + 
3(BC) - 5(AC) ? 
 
 
(0,0) 
 
2. 
 
 
Dados os pontos A(1,2), B(−6,−2) e 
C(1, 2), qual o resultado da operação 
entre os vetores : 4(AB) +4(BC) - 
2(AC) ? 
 
(0,0) 
 
3. 
 
 
Marque a alternativa correta 
 
 
 
c) As grandezas vetoriais para serem perfeitamente 
definidas necessita-se conhecer o valor do módulo, sua 
direção e seu sentido. 
 
4. 
 
 
Dados os pontos A(1,2), B(−6,−2) e C(1, 2), 
qual o resultado da operação entre 
os vetores AB - BC ? 
 
 
 
(-14, -8) 
 
5. 
 
 
Determine o valor de x para que os vetores 
u=(x,1) e v=(9,3) sejam paralelos 
 
 
 
3 
 
6. 
 
 
Os pontos A=(2,4) e C=(6,8) são vértices de um 
quadrado ABCD, e pertencem a uma das 
diagonais desse quadrado, que terá área 
medindo: 
 
 
 
16 ua 
 
7. 
 
 
Dados os vetores u ( 4, -x ) e v ( 2, 3 ), 
qual é o valor de x , sabendo que os 
vetores são ortogonais ? 
 
 
 
8/3 
 
8. 
 
 
Calcule o ângulo entre os vetores u=(3,2) e 
v=(6,4). 
 
 
0° 
 
1. 
 
 
Dados os vetores u = i - 4j+ k e v = 2i + 2j- k o vetor u + v é: 
 
 
(3,-2,0) 
 
2. 
 
 
O valor de x para que os pontos (1,3), (-
2,4), e (x,0) do plano sejam colineares é: 
 
 
 
10 
 
3. 
 
 
Calcule as coordenadas dos dois pontos, que 
dividem o segmento de extremidades (0, 2) e (6, 
11), em três segmentos congruentes. 
 
 
(2 ,5) e (4, 8) 
 
4. 
 
 
Se o vetor v tem coordenadas (√8, - 1), 
então seu módulo vale: 
 
 
 
(B) 3 
 
5. 
 
 
Considerando os pontos A(0, -3), B(-5, 2) 
,C(-2, 7) e D(-1, -4), calcule 1/2 (AB) 
 +3(CD) -6(AC) . 
 
 
(25/2, -181/2) 
 
 
6. 
 
 
O versor do vetor v = (-3,4) 
é: 
 
 
(-3/5;4/5) 
 
7. 
 
 
Obter um ponto P do eixo das 
abscissas equidistante aos pontos 
A(3, -5, 2) e B(-2, -1, -3). 
 
12/5 
 
8. 
Sendo a=(2,1,1), b=(1,2,2) e c=(1,1,1). Calcular um vetor v=(x,y,z), tal que v· a= 
4, v· b= 9 e v· c= 5. Podemos afirmar que o vetor v 
é: 
 
 
 
v=(3,4,2) 
 
 1a Questão 
 
 Duas forças de 
intensidade →F1=6,0NF→1=6,0N e →F2=8,0NF
→2=8,0N agem sobre um corpo rígido e suas 
direções são desconhecidas. Determine o 
intervalo de valores que o módulo da intensidade 
da força resultante poderá assumir. 
 
 Entre 2 e 14 N. 
 
 2a Questão 
 
 Dados três pontos A, B e C, exprimir o vetor X - C sabendo que 
X é o ponto da reta AB de acordo com: B - X = 4.(A - X) 
 
 X - C = 4/3 (A-C) - 1/3 (B-C) 
 
 3a Questão 
 
 Dados os vetores u = i + k e v = 2i + 2j o vetor u + v é 
 
 (3,2,1) 
 
 4a Questão 
 
 O ângulo entre os vetores u=(1,0,1) e v=(0,1,0) é igual a: 
 90º 
 
 5a Questão 
 
 Determine os valores de x e de y de modo que (2x, y + 3) = (10, 
10). 
 
 x=5, y=7 
 
 6a Questão 
 
 Determinar o vetor v sabendo que (3, 7, 1)+ 2v = (6, 10, 4) - v. 
 
 (1, 1, 1) 
 
 7a Questão 
 
 Tem-se os vetores x = (a + 3, 5, 2) e o vetor y = (- 4, b + 5, 
2), logo os valores de a e b de modo que os vetores x e y sejam 
iguais é, respectivamente: 
 
 (A) - 7 
e 0 
 
 8a Questão 
 
 O valor de x para que os vetores u=(x,2,0) e v=(9,6,0) sejam 
paralelos é: 
 
 3 
 
 Dados os vetores u = (4, a, -1) e v (a, 2, 3) e os pontos A (4, -
1, 2) e B (3, 2, -1), determinar o valor de a tal que u.(v + BA) = 
5. 
 
 7/3 
 
 2a Questão 
 
 Sendo o módulo do vetor u = 2 , o módulo do 
vetor v = 3 e o ângulo entre os vetores u e v igual à 
120°, calcular o módulo de u - v ao quadrado. 
 
 raiz 
quadrada 
de 19 
 
 
 3a Questão 
 
 
Um reservatório em formato de paralelepípedo é 
determinado pelos seguintes vetores: 
 u=(1; -1; 2) v=(2;0;1) w=(-1;3;0) com unidades 
dadas em metros. Sabendo que cada metro cúbico 
de volume equivale a 1000 litros, qual é a 
capacidade do reservatório? 
 
 10000 litros. 
 
 4a Questão 
 
 Dado um tetraedro de vértices ABCD. Qual seu 
volume, sabendo que suas dimensões são os 
vetores: = (1,0,-1), = (0,-2,-2) e =(-2,1,-2)? 
 
 5/3 u.v. 
 
 5a Questão 
 
 Calcular o ângulo entre os vetores u=(4,1,1) e v=(2,-1,2). 
 
 45° 
 
 6a Questão 
 
 Sejam os vetores →uu→ = (1,1,0), →vv→ = (2,0,1) 
e →w1w1→ = 3→uu→-2→vv→, →w2w2→= →uu→ + 
3→vv→e →w3w3→= →ii→+→jj→-2→kk→. Determinar o 
volume do paralelepípedo definido 
por →w1w1→, →w2w2→e →w3w3→. 
 
 44 unidades de 
volume 
Respondido em 15/11/2019 09:47:33 
 
 7a Questão 
 
 Dado os vetores a (1,2,3) e b (4,5,6) qual o valor aproximado do 
ângulo entre eles 
 
 13º 
 
 8a Questão 
 
 Determinar o versor do vetor u=(-2,1,-1) 
 
 (-2/V6 , 1/V6 , -1/V6) 
 
 
1. 
 
 
Determine a equação paramétrica da reta que passa 
pelo ponto (5,-2, 0 ) que tem a direção do vetor (0, 0, 
1 ) 
 
 
 
x= 5 y=-2 z=t 
 
2. 
 
 
Sabe-se que o módulo do vetor VAB mede 4 
unidades de cumprimento, sendo A = (1, 2) e 
B = (-2, k). Nessas condições é correto 
afirmar que o valor de k é: 
 
2 
 
3. 
 
 
podemos afirmar que a distância dos 
pontos A=( -2,0,1) e B=(1,-3,2) é: 
 
 
 
√ 1 919 
 
4. 
 
 
Dados os pontos A(-1, 3), B(2, 5), C(3, -1) e 
O(0, 0), calcular OA - AB 
 
 
(-4 1 ) 
 
5. 
 
 
Determine a equação paramétrica da reta 
que passa pelo ponto (4,-2, 0 ) que tem a 
direção do vetor (1, 0, 1) 
 
 
x=4+t y=-2 z=t 
 
 
6. 
 
 
Podemos afirmar que a distância entre os pontos 
A=(1,2,3) e B=(5,2,3) é: 
 
 
 
4 
 
7. 
 
 
Determinar o valor de m para que as 
retas r: y=mx-5 e s: x=-2+t sejam 
ortogonais. 
 z
=-3x y=4-2t 
 
 z=5t 
 
 
-15/2 
 
8. 
 
 
Determine a equação paramétrica da reta 
que passa pelo ponto (5,2, 0 ) que tem a 
direção do vetor (2,2, 2 ) 
 
 
x= 5+2t y=2+2t z=2t 
 
 1a Questão 
 
 A equação do plano que contém os pontos A(0,1,2 ) B( 1,-1,4) e 
C(2,2,2) está na opção 
 
 -2x + 2y + 5z -12 = 0 
 
 2a Questão 
 
 Encontre a equação geral do plano determinado pelos pontos: 
A(-1,0,1), B(2,-2,1) e C(0,1,-2). 
 
 6x+9y+5z+1=0 
 
 3a Questão 
 
 Qual é a equação do plano que contém o ponto A (3, 4, -4) e é 
ortogonal ao vetor (-1,-2,-6) ? 
 
 
 -x - 2 y - 6 z - 13 = 0 
 
 4a Questão 
 
 Qual é a equação do plano que contém o ponto A (3, -4, -4) e é 
ortogonal ao vetor (-1,-2,-6) ? 
 
 
 -x - 2 y - 6 z - 29 = 0 
 
 5a Questão 
 
 A equação geral do plano que passa pelo ponto P (1, 4, 0 ), 
sendo n = ( 2, -1, 3 ) um vetor normal ao plano é: 
 2x - y + 3z + 2 = 0 
 
 
 6a Questão 
 
 Dado o plano 1:2x+5y+3z+3=0 e a reta AB, sendo A 
(1,1,1) e B(2,2,2), determina a equação do plano que 
passa pelo ponto onde a reta AB fura o plano 1 e é 
paralelo ao plano 2:x3=0. 
 
 x=310x
=310 
 
 7a Questão 
 
 O Módulo do vetor VAB, sendo A = (-1, 3) e B = (1; 3) é: 
 
 2 
 
 8a Questão 
 
 Qual a equação do plano pi que passa pelo ponto A=(2,-1,3) e 
tem n=(3,2,-4) como vetor normal. 
 
 3x+2y-4z+8=0 
 
 
 
1.Sobre os segmentos orientados pode-se afirmar: 
 
 
O vetor w , quando multiplicado por um escalar (α), 
o vetor resultante é paralelo a w . 
 
2. 
 
 
Dados os vetores u=2i -3j , v=i-j e w =-2i+j , 
determine 3u-v/2-w /2 
 
 
 
(13/2, -9) 
 
3. 
 
 
Sendo A = (2, 0, 1) B = (0, 3, -2) e C = (1, 2, 
0), determinar D, tal que: (BD) = ( AB ) + (CB) 
 
 
b) (-3, 7, -7) 
 
4. 
 
 
Determine as coordenadas do ponto médio do 
segmento AB, sendo A = (-1, 4, 2) e B = (-3, 
-2, 0). 
 
 
 
(-2, 1, 1) 
 
5. 
 
 
Sejam os vetores u = (2,3,4) e v = (-2,0,-5). o 
produto escalar de u e v é: 
 
 
-24 
 
6. 
 
 
Determine o ponto médio do segmento AB, 
sendo A = (3, 1, 0) e B = (1, 5, 2). 
 
 
(2, 3, 1) 
 
 1a Questão 
 
 Identifique o centro e o raio da circunferência representada pela 
equação geral x² + y² - 2x - 8y + 12 = 0. 
 
 o centro é (1, 4) e o raio é √5. 
Respondido em 15/11/2019 10:03:09 
 
 2a Questão 
 
 No triângulo ABC, os vértices A (1,2), B(-
2,3) e C(0,5), sendo M o ponto médio do 
lado BC. Podemos afirmar que o 
comprimento da mediana AM é: 
 AM=2√ 2 AM
=22 
 
 3a Questão 
 
 O centro e o raio da circunferência dada pela equação x² + y² - 
8x - 6y + 9 = 0 são respectivamente: 
 
 Centro C(4,3) e raio 4 
 
 4a Questão 
 
 Qual o vetor soma de dois vetores perpendiculares entre si cujos 
módulos são 6 e 8 unidades? 
 10 unidades 
 
 5a Questão 
 
 Seja u=(1,0,1) e v=(0,1,0). O produto escalar u.v é igual a: 
 
 0 
 
 6a Questão 
 
 Qual a equação da circunferência de centro C(3, 4) e que passa 
pelo ponto P(4, 2)? 
 
 (x−3)2+(y−4)2=5(x−3)2+(y−4)2=5 
 
 
 7a Questão 
 
 Dados dois vetores de módulos 8 cm e 22 cm, a resultante entre 
eles terá o módulo compreendido entre: 
 
 14 cm e 30 cm 
 
 8a Questão 
 
 Dados os vetores u = ( 1,2,3) e v = (m-3, 2,-3), 
podemos afirmar que 
o valor de m para que o produto escalar u.v seja igual 
a zero , é: 
 
 8 
 
 1a Questão 
 
 
Determine o valor de a, sabendo que os 
vetores →u=2→i+3→j+4→ku→=2i→
+3j→+4k→ e → v=→i −3→j+ a→k
 →v=i→ -3j→+ ak→ são ortogonais 
 
 7/4 
 
 2a Questão 
 
 Determine a equação da circunferência de centro em C(-2,k) e 
tangente ao eixo das ordenadas 
 x
2+y2+4x-2ky+k2=0 
 
 
 (ESPCEX 2013) Sobre a curva 9x² + 25y² − 36x + 50y − 164 = 
0, assinale a alternativa correta. 
 
 Sua excentricidade é 0,8. 
 
 4a Questão 
 
 Determine o centro e o raio da circunferência de equação x²+y²-
4x+6y-3=0. 
 
 (2,-3) e 4 
 
 5a Questão 
 
 A distância focal e a excentricidade da elipse com centro na 
origem e que passa pelos pontos (1, 0) e (0, -2) são, 
respectivamente, 
 
 2√ 3 23 e √ 3 232 
 
 6a Questão 
 
 A equação 4x² + 9y² = 25 representa uma: 
 
 Elipse 
 
 7a Questão 
 
 Chama-se Produto Escalar de dois vetores →uu→ = x1→ii→ + 
y1→jj→+ z1→kk→ e →vv→ = x2→ii→ + y2→jj→+ 
z2→kk→ denotado por →uu→.→vv→ : 
 
 ao número real k, dado por : k = x1x2 + 
y1y2 + z1z2 
 
 8a Questão 
 
 
 
 
 60° 
uestão 
 
 
 A cônica representada pela equação 3x²-4y²+8y-16=0 é: 
 
 hipérbole 
 
 2a Questão 
 
 Consideremos num sistema de coordenadas cartesianas um 
ponto P=(2,0) e uma reta r de equação x-1=0.Qual é o lugar 
geométrico dos pontos do plano cujas distâncias ao ponto P e à 
reta r são iguais ? 
 
 Uma parábola 
cuja equação 
é y2 =2x-3 
 
 3a Questão 
 
 Qual o raio e o centro da circunferência de 
equação (x+1)2+(y−2)2=4(x+1)2+(y-2)2=4 
 
 raio = 2 e centro (-1, 2) 
 
 
 4a Questão 
 
 Uma parábola é um conjunto de pontos no plano cujas distâncias a 
um ponto fixo e a uma reta fixa são iguais. 
O ponto e a reta citados, na definição acima, são chamados: 
 
 foco e diretriz 
 
 5a Questão 
 
 Com base na equação 16x2 - 9y2 = 144. Podemos afirmar que se 
trata de uma equaçao de: 
 
 hipérbole 
 
 6a Questão 
 
 Dados os vetores no plano R2 , u = 2 i - 5 j e v = i + j , pede-se 
determinar o módulo do vetor u + v. 
 
 5 
 
 
 7a Questão 
 
 Encontre a área do triângulo de vértices A(1, 2, 5) B(3, 
4, -1) e C(-2, -1, 4) 
 
 10 x (2) 
1/2 
 
 8a Questão 
 
 Determine a excentricidade da hipérbole de 
equação 25x² - 16y² - 400 = 0. ( 41 = 6,4) 
 
 1,6