Relatório de Física Experimental 2 - Pêndulo Simples

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1 
 
ÍNDICE 
 
INTRODUÇÃO 
OBJETIVOS 
PARTE EXPERIMENTAL 
DISCUSSÕES 
CONCLUSÃ0 
2 
5 
5 
7 
11 
REFERÊNCIAS 
 
11
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
2 
 
RESUMO 
Será apresentado neste trabalho os resultados e discussões obtidos na aula de física 
experimental 2. O objetivo final do experimento é calcular a aceleração da gravidade exercida 
no local onde o experimento foi realizado. Para isso foi utilizado um pêndulo simples e a partir 
do movimento pendular foram realizadas medidas de tempo com variações na massa e no 
comprimento do fio do pêndulo. 
1 INTRODUÇÃO 
1.1 – Movimento Harmônico Simples 
Os movimentos periódicos ou oscilatórios são aqueles que se repetem em intervalos 
regulares ou indefinidamente e esses movimentos são encontrados facilmente no nosso dia-a-
dia (movimento dos pistões nos motores, vibrações sonoras, entre outros), por isso seu estudo 
se torna tão importante. 
Movimento Harmônico Simples é o movimento executado por uma partícula sujeita a 
uma força de módulo proporcional ao deslocamento da partícula e orientada no sentido oposto. 
O sistema massa-mola constitui um oscilador harmônico linear. 
FIGURA 1 – Sistema Massa-Mola 
 
 
 
 
 
Fonte: Nussenzveig; Moysés, p. 40 
A força que atua sobre a mola é representada por 
𝐹𝑥 = −𝑘𝑥 (1.1) 
onde, k é a constante de proporcionalidade entre Fx e x é a constante da força. Nos dois lados 
da posição de equilíbrio, Fx e x possuem sinais opostos. Essa relação fornece corretamente o 
módulo e o sinal da força, não importando se x é negativo, positivo ou nulo. Logo, sem atrito, 
a equação nos dá a força resultante sobre o corpo. 
3 
 
No MHS, o período T é o intervalo de tempo para o fenômeno se repetir, e é dada pela 
equação 
𝑇 =
2𝜋
𝜔
 (1.2) 
O ω é uma constante que tem as mesmas dimensões da velocidade angular, 
exprimindo-se em rad/s. Essa constante é denominada pulsão do MHS. 
O movimento harmônico simples poder ser estudado a partir do movimento circular 
uniforme (MCU), e daí concluímos que a pulsão do MHS, ω, corresponde à frequência angular 
ω do MCU associado ao estudo do MHS. 
A frequência angular do movimento harmônico simples do bloco está relacionada à 
constante elástica k e a massa m do bloco pela equação 
𝜔 = √
𝑘
𝑚
 (1.3) 
Juntando as equações (3) e (4), chegamos à conclusão que o período do oscilador linear 
é dado pela equação 
𝑇 = 2𝜋√
𝑚
𝑘
 (1.4) 
 
1.2 – Pêndulo Simples 
O pêndulo simples consiste em um sistema idealizado composto por um fio leve e 
inextensível de comprimento L. Sua extremidade superior fica fixada a um ponto que permite 
sua livre oscilação e na extremidade inferior é presa uma massa m. 
FIGURA 2 – Pêndulo simples 
 
 
 
 
 
Fonte: Nussenzveig; Moysés, p. 47 
4 
 
Sua trajetória não é reta, mas sim, um arco de circunferência de raio L igual ao 
comprimento do fio. Nossa coordenada será a distância x ao longo do arco. Pra oscilação ser 
um MHS a força restauradora deve ser diretamente proporcional à distância x ou à θ. 
A força restauradora F é o componente tangencial da força resultante: 
𝐹𝜃 = −𝑚𝑔. sin(𝜃) (1.5) 
Essa força é fornecida pela gravidade e a tensão T atua somente pra fazer o peso 
puntiforme se deslocar ao longo de um arco. A força restauradora não é proporcional à 𝜃, mas 
sim ao sen 𝜃, logo o movimento não é harmônico simples. Contudo quando o ângulo 𝜃 é 
pequeno, sen 𝜃 é quase igual a 𝜃 em radianos. Com essa aproximação, podemos escrever a 
equação 1.5 como 
𝐹𝜃 = −mg
𝑥
𝐿
 (1.6) 
A força restauradora é proporcional à coordenada para pequenos deslocamentos, e a 
constante da força é dada por 
𝑘 =
𝑚𝑔
𝐿
 (1.7) 
Segundo a equação 1.3, a frequência angular ω de um pêndulo simples com amplitude 
pequena é dada por 
𝜔 = √
𝑔
𝐿
 (1.8) 
A frequência e o período correspondentes são dados por, respectivamente 
𝑓 =
1
2𝜋
√
𝑔
𝐿
 (1.9) 
 𝑇 = 2𝜋√
𝐿
𝑔
 (1.10) 
As relações não envolvem a massa da partícula. Isso ocorro porque a força 
restauradora, um componente do peso da partícula, é proporcional a m. Logo, a massa é 
cancelada porque aparece em ambos os membros da equação 
 ∑ �⃗� = 𝑚�⃗� (1.11) 
5 
 
Em pequenas oscilações, o período de um pêndulo simples para um valor de g é 
determinado pelo seu comprimento exclusivamente. Isso indica que quanto maior o 
comprimento do pêndulo, maior é o período do movimento. Em relação a g, quanto maior for, 
maior a força restauradora, ou seja, maior a frequência e menor o período. Quando a amplitude 
não é pequena, o desvio do comportamento harmônico simples pode ser significativo. 
 
2 OBJETIVOS 
O objetivo do experimento é através da coleta de dados de um pêndulo simples e estudo 
do movimento harmônico simples poder calcular a aceleração gravitacional no local, e ser capaz 
de responder quais dentre as opções a seguir interfere no período de oscilação do pêndulo: 
1) Variação da massa; 
2) Variação do comprimento do pêndulo; 
3) Variação na amplitude do movimento. 
 
3 PARTE EXPERIMENTAL 
3.1 MATERIAIS 
1. Linha 
2. Base para amarrar a linha 
3. Pesinhos 
4. Gancho para colocar os pesinhos 
5. Régua 
6. Objeto uniforme e alto para auxiliar as medições (no caso uma caixa) 
7. Cronômetro 
 
 
 
6 
 
3.2 PROCEDIMENTO 
SEMANA 1 – Referência do experimento 
1. Primeiramente, marcamos no chão medidas de 5 em 5 cm que servirão de referência 
para as amplitudes; 
2. Em seguida aferimos a massa do pesinho utilizado; 
3. Montamos, então, o pêndulo; 
4. Medimos o comprimento do pêndulo; 
5. Realizamos 100 medidas de 10 períodos com amplitude de 10 cm; 
6. Tomamos nota. 
 
SEMANA 2 – Alteração de massa 
1. Já com as amplitudes marcadas, aferimos a massa dos pesos; 
2. Montamos o pêndulo; 
3. Foram realizadas 5 medidas de 10 períodos com 1 pesinho; 
4. O passo anterior foi repetido 4 vezes, acrescentando um pesinho por vez; 
5. Tomou-se notas. 
 
SEMANA 3 
Alteração de comprimento 
1. Montamos o pêndulo; 
2. Foram realizadas 5 medidas de 10 períodos com determinado comprimento; 
3. Repetiu-se o passo anterior 4 vezes diminuindo o comprimento em 5 cm em cada 
repetição; 
4. Tomou-se nota. 
 
7 
 
Alteração de amplitude 
1. Com o pêndulo já montado, foram realizadas 5 medidas de 10 períodos com amplitude 
de 5 cm; 
2. Repetiu-se o passo anterior 3 vezes aumentando a amplitude 5 cm a cada repetição; 
3. Foram tomadas notas. 
 
4 RESULTADOS E DISCUSÕES 
Na primeira parte do experimento um pêndulo de (85,0±0,2) cm e massa (55,4±0,2) g 
foi montado. Foram cronometradas 100 amostras de 10 períodos com amplitude de (10±0,2) 
cm. Os valores são apresentados na tabla abaixo: 
TABELA 4.1 – REGISTRO DE DADOS OBTIDOS NA PRIMEIRA PARTE DO EXPERIMENTO 
Amostra Tempo (s) 
(min:s) 
Amostra Tempo (s) Amostra Tempo (s) Amostra Tempo (s) 
1 17,97±00,10 26 17,67±00,10 51 17,72±00,10
76 17,77±00,10 
2 17,92±00,10 27 17,71±00,10 52 17,73±00,10 77 17,72±00,10 
3 17,74±00,10 28 17,67±00,10 53 17,71±00,10 78 17,77±00,10 
4 17,74±00,10 29 17,71±00,10 54 17,81±00,10 79 17,74±00,10 
5 17,70±00,10 30 17,69±00,10 55 17,62±00,10 80 17,69±00,10 
6 17,82±00,10 31 17,73±00,10 56 17,74±00,10 81 17,66±00,10 
7 17,78±00,10 32 17,66±00,10 57 17,75±00,10 82 17,67±00,10 
8 17,93±00,10 33 17,81±00,10 58 17,75±00,10 83 17,74±00,10 
9 17,63±00,10 34 17,79±00,10 59 17,79±00,10 84 17,67±00,10 
10 17,66±00,10 35 17,62±00,10 60 17,66±00,10 85 17,59±00,10 
11 17,74±00,10 36 17,69±00,10 61 17,77±00,10 86 17,67±00,10 
12 17,99±00,10 37 17,78±00,10 62 17,95±00,10 87 17,80±00,10 
13 17,82±00,10 38 17,70±00,10 63 17,85±00,10 88 17,63±00,10 
14 17,79±00,10 39 17,79±00,10 64 17,68±00,10 89 17,66±00,10 
15 17,69±00,10 40 17,55±00,10 65 17,65±00,10 90 17,68±00,10 
16 17,81±00,10 41 17,66±00,10 66 17,75±00,10 91 17,67±00,10 
17 17,84±00,10 42 17,84±00,10 67 17,66±00,10 92 17,70±00,10 
18 17,60±00,10 43 17,77±00,10 68 17,72±00,10 93 17,68±00,10 
19 17,49±00,10 44 17,80±00,10 69 17,76±00,10 94 17,86±00,10 
20 17,79±00,10 45 17,60±00,10 70 17,85±00,10 95 17,71±00,10 
21 17,56±00,10 46 17,84±00,10 71 17,64±00,10 96 17,76±00,10 
22 17,64±00,10 47 17,69±00,10 72 17,70±00,10 97 17,80±00,10 
23 17,64±00,10 48 17,78±00,10 73 17,59±00,10 98 17,74±00,10 
24 17,76±00,10 49 17,83±00,10 74 17,81±00,10 99 17,61±00,10 
25 17,60±00,10 50 17,66±00,10 75 17,79±00,10 100 17,70±00,10 
 
Com esses dados em mãos, iniciamos a análise dos mesmos. Primeiramente, foi 
elaborado um histograma estatístico. O número de classes foi dado pela Regra de Sturges, dada 
pela equação abaixo, onde n é o tamanho do conjunto de dados: 
8 
 
𝑘 = 1 + 3,3𝑙𝑜𝑔10(𝑛) (4.1) 
O resultado é apresentado na tabela 4.2 e gráfico 4.1. 
TABELA 4.2 – DADOS PARA CONSTRUÇÃO DO HISTOGRAMA 
Classe Ponto 
Médio 
Frequência 
Absoluta 
17,49├ 17,55 17,52 1 
17,55├ 17,61 17,58 7 
17,61├ 17,67 17,64 17 
17,67├ 17,73 17,70 26 
17,73├ 17,79 17,77 22 
17,79├ 17,86 17,83 21 
17,86├ 17,93 17,89 2 
17,93├ 18,00 17,95 4 
 
GRÁFICO 4.1 – HISTOGRAMA DE FREQUÊNCIA DAS 100 AMOSTRAS 
 
Em seguida, foram analisados a média e o desvio padrão de quantidades diferentes de 
amostra com o objetivo de descobrir quantas amostras deveriam ser retiradas para os próximos 
passos do experimento sem que houvesse interferência significativa no resultado. As médias 
foram calculadas utilizando a equação abaixo, onde n é o número de amostras: 
�̅� =
∑ 𝑥𝑖
𝑛
𝑖=0
𝑛
 (4.2) 
e o desvio padrão, a seguir, onde n é o número de amostras: 
𝐷𝑃𝐴 = √
∑ |𝑥𝑖−�̅�|
𝑛
𝑖=1
𝑛−1
 (4.3) 
 
0
0,5
1
1,5
2
2,5
3
3,5
4
4,5
5
0
5
10
15
20
25
30
35
17,4 17,5 17,6 17,7 17,8 17,9 18 18,1
D
is
tr
u
b
u
iç
ão
 N
o
rm
al
Fr
eq
u
ên
ci
a
Amostras
Histograma de Frequência
9 
 
Os dados obtidos são apresentados na tabela abaixo: 
TABELA 4.3 – ANÁLISES DE MÉDIAS E DESVIOS PADRÃO 
Nº de amostras Média Desvio Padrão 
100 17,73±00,10 0,09 
50 17,73±00,10 0,10 
25 17,75±00,10 0,13 
10 17,79±00,10 0,11 
5 17,81±00,10 0,11 
 
Despois de analisarmos as médias e os desvios padrão das amostras, e considerando 
os algarismos significativos adotados, chegamos à conclusão de que, para o nosso experimento, 
há pouca diferença entre os valores encontrados, portanto, 5 amostras é um valor aceitável nas 
próximas etapas do experimento. 
Ainda na primeira parte do experimento, utilizando a média das 100 amostras, 
calculamos o período do movimento. Como dito anteriormente, as medidas realizadas são de 
10 períodos, portanto, dividindo a média por 10, obteremos um valor médio de um período. O 
valor obtido é de T=1,77±0,10 s. 
Utilizando a equação 1.10, calculamos então a gravidade do local: 
𝑔 = 𝐿 (
2𝜋
𝑇
)
2
= 85,00 × 10−2 × (
2𝜋
1,77
)
2
= 10,71 
𝑚
𝑠2
 
Através da equação abaixo calculamos a propagação de incertezas: 
𝜎𝑓 = √(
𝜕𝑓
𝜕𝑥1
𝜎𝑥1)
2
+ (
𝜕𝑓
𝜕𝑥2
𝜎𝑥2)
2
+ ⋯ + (
𝜕𝑓
𝜕𝑥𝑁
𝜎𝑥𝑁)
2
 (4.4) 
Aplicando a equação 4.4 para a equação 1.10, temos: 
𝜎𝑔 = √(
𝜕𝑔
𝜕𝐿
𝜎𝐿)
2
+ (
𝜕𝑔
𝜕𝑇
𝜎𝑇)
2
= √((
2𝜋
𝑇
)
2
× 0,002)
2
+ (
−8𝐿𝜋2
𝑇
× 0,01)
2
≅ 0,38 
Portanto, o valor encontrado para a gravidade é de aproximadamente (10,71±0,4) m/s2 
O segundo passo do experimento foi cronometrar 5 amostras de 10 períodos onde 
haveriam 5 variações na massa do pêndulo. Esse pêndulo foi montado com comprimento de 
(95,4±0,2) cm, e amplitude de (10±0,2) cm. Cada pesinho utilizado possuía massa de (48±0,2) 
g e utilizado a equação 4.4, calculamos a incerteza da medida das massas que são apresentadas 
10 
 
na tabela 4.4. Utilizando as equações 4.2 e 4.3 calculamos a média e os desvios padrão das 
medidas, respectivamente. Os registros obtidos são mostrados na tabela a baixo: 
TABELA 4.4 – EXPERIMENTO COM VARIAÇÃO DE MASSA 
Massa (48±0,2) g (96±0,3) g (144±0,4) g (192±0,4) g (240±0,4) g 
Amostra Tempo (s) Tempo (s) Tempo (s) Tempo (s) Tempo (s) 
1 17,40±00,10 17,48±00,10 17,37±00,10 17,46±00,10 17,28±00,10 
2 17,61±00,10 17,42±00,10 17,56±00,10 17,41±00,10 17,74±00,10 
3 17,58±00,10 17,77±00,10 17,27±00,10 17,60±00,10 17,56±00,10 
4 17,39±00,10 17,59±00,10 017,44±00,10 17,37±00,10 17,53±00,10 
5 17,58±00,10 17,58±00,10 17,47±00,10 17,38±00,10 17,38±00,10 
Média 17,51±00,10 17,57±00,10 17,42±00,10 17,44±00,10 17,50±00,10 
Desv. Padrão 0,11 0,13 0,11 0,09 0,18 
 
O terceiro passo do experimento consistiu em cronometrar outras 5 amostras de 10 
períodos com 5 variações de comprimento. A amplitude do movimento foi de (10±0,2) cm e a 
massa do pêndulo de (48±0,2) g. Os resultados obtidos, juntamente com a média e o desvio 
padrão das amostras são apresentados na tabela abaixo: 
TABELA 4.5 – EXPERIMENTO COM VARIAÇÃO DE COMPRIMENTO 
Comprimento (87,5±0,2) cm (82,5±0,2) cm (78,0±0,2) cm (73,0±0,2) cm (68,2±0,2) cm 
Amostra Tempo (s) Tempo (s) Tempo (s) Tempo (s) Tempo (s) 
1 17,31±00,10 17,07±00,10 16,73±00,10 16,26±00,10 15,85±00,10 
2 17,77±00,10 17,36±00,10 16,67±00,10 16,46±00,10 15,90±00,10 
3 17,67±00,10 17,37±00,10 16,75±00,10 16,27±00,10 15,76±00,10 
4 17,79±00,10 17,32±00,10 16,81±00,10 16,35±00,10 15,90±00,10 
5 17,71±00,10 17,37±00,10 16,81±00,10 16,31±00,10 15,88±00,10 
Média 17,65±00,10 17,30±00,10 16,75±00,10 16,33±00,10 15,86±00,10 
Desv. Padrão 0,18 0,12 0,05 0,07 0,05 
 
O seguinte passo consistiu em cronometrar mais 5 amostras de 10 períodos, porém 
com variações na amplitude. O comprimento do pêndulo foi de (68,2±0,2) cm e a massa do 
pêndulo foi de (48±0,2) g. Novamente, calculou-se a média e o desvio padrão das amostras. 
Esses resultados são apresentados na tabela abaixo: 
TABELA 4.6 – EXPERIMENTO COM VARIAÇÃO DE AMPLITUDE 
Amplitude (5,0±0,2) cm (10,0±0,2) cm (15,0±0,2) cm (20,0±0,2) cm 
Amostra Tempo (s) Tempo (s) Tempo (s) Tempo (s) 
1 15,80±00,10 15,85±00,10 15,93±00,10 15,90±00,10 
2 15,95±00,10 15,90±00,10 15,85±00,10 15,94±00,10 
3 15,50±00,10 15,76±00,10 15,86±00,10 15,94±00,10 
4 15,69±00,10 15,90±00,10 16,00±00,10 15,87±00,10 
5 15,80±00,10 15,88±00,10 15,82±00,10 15,99±00,10 
Média 15,75 15,86 15,89 15,93 
Desv. Padrão 0,17 0,06 0,07 0,05 
11 
 
Para analisarmos quais alterações interferem na frequência do movimento, calculamos 
a média das médias de todos os casos aplicando a equação 4.2 e calculamos
o desvio padrão 
dessa nova média utilizando a equação 4.3 em cada um desses casos. O resultado encontrado 
pode ser conferido na tabela 4.7. 
TABELA 4.7 – RESULTADOS GERAIS 
 Variação de massa Variação de 
comprimento 
Variação de 
amplitude 
Média 17,49 16,78 15,86 
Desvio Padrão 0,06 0,72 0,08 
 
Considerando o desvio padrão nos 3 casos, podemos observar que o desvio padrão 
para variação de comprimento é a única com valores significativos segundo os padrões do 
experimento. Isso quer dizer que a variação de comprimento é a única que altera o período do 
movimento do pêndulo. 
 
5 CONCLUSÃO 
Considerando o valor teórico de 9,8 m/s2 da aceleração gravitacional e levando em 
consideração os erros não-controlados do experimento, podemos concluir que o resultado 
encontrado para a aceleração gravitacional no local do experimento, (10,71±0,4) m/s2, é um 
valor aceitável para o experimento. 
Com os resultados conseguidos na continuação do experimento, pudemos também 
validar o que diz a fórmula xxx, onde, considerando a aceleração gravitacional constante, 
apenas o comprimento do pêndulo interfere no período do movimento. 
 
6 REFERÊNCIAS BIBLIOGRÁFICAS 
YOUNG, Hugj D.; FREEDMAN, Roger A. Física II: Termodinâmica e Ondas. 12ed. São 
Paulo: Addison Wesley, 2008. 
HALLIDAY, David; RESNICK, Robert; WALKER, Jear. Fundamentos de Física, volume 2: 
gravitação, ondas e termodinâmica. 9ed. Rio de Janeiro: LTC, 2012. 
NUSSENVEIG, Moysés H.. Curso de Física Básica, volume 3. 4ed. São Paulo: Edgar 
Blüecher, 1999