Capítulo 23 - Lei de Gauss
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Capítulo 23 - Lei de Gauss


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Halliday
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Fundamentos de Física
Volume 3
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Capítulo 23
Lei de Gauss
Um outro olhar sobre a Lei de Coulomb
A lei de Gauss considera uma superfície 
fechada (imaginária) que envolve a 
distribuição de cargas.
Essa superfície gaussiana, como é 
chamada, pode ter qualquer forma, mas a 
forma que facilita o cálculo do campo 
elétrico é a que reflete a simetria da 
distribuição de cargas.
23.2 Fluxo
(a) Um vento uniforme incide perpendicularmente ao plano de uma espira quadrada de área A. (b) A 
componente da velocidade do vento perpendicular ao plano da espira é v cos \uf071, onde \uf071 é o ângulo entre 
a velocidade do vento e a normal ao plano da espira. (c) O vetor área é perpendicular ao plano da espira 
e faz um ângulo \uf071 com o vetor velocidade. (d) O campo de velocidades interceptado pela espira. A 
vazão de ar através da espira é \uf046 = (v cos \uf071)A.
Essa vazão através de uma área é um exemplo de fluxo; na presente situação, trata-se de um fluxo 
volumétrico.
Fluxo Elétrico
A figura mostra uma superfície gaussiana de forma
arbitrária imersa em um campo elétrico. A superfície está
dividida em pequenos quadrados de área \uf044A. Os vetores
campo elétrico e os vetores área são mostrados para três
quadrados representativos, rotulados como 1, 2 e 3.
A definição exata do fluxo do campo elétrico através de
uma superfície fechada é obtida fazendo a área dos
quadrados da figura tender a zero, tornando-se uma área
diferencial dA. Nesse caso, o somatório acima se torna
uma integral:
Fluxo elétrico 
através de uma 
superfície gaussiana
Exemplo: Fluxo de um Campo Uniforme Através de uma SuperfícieCilíndrica
Exemplo: Fluxo de um Campo Elétrico 
Não Uniforme Através de um Cubo
Como a face direita é perpendicular ao eixo x, todos os pontos da face têm o mesmo valor de x, 3,0 m, e, 
portanto, já que as coordenadas y e z não estão envolvidas na integração, temos:
Face direita O vetor área A é sempre perpendicular 
à superfície e aponta para fora do cubo. Assim, no 
caso da face direita, o vetor aponta no sentido dA 
positivo do eixo x. Em termos dos vetores unitários,
Exemplo: Fluxo de um Campo Elétrico Não Uniforme Através de um Cubo 
(continuação)
A Lei de Gauss
A carga total qenv é a soma algébrica das cargas envolvidas pela
superfície gaussiana e pode ser positiva, negativa ou nula.
Se qenv é positiva, o fluxo total é para fora da superfície gaussiana; se qenv
é negativa, o fluxo total é para dentro.
q 2q 4q
O fluxo de campo elétrico é diretamente proporcional a carga total qenv
Lei de Gauss
A Lei de Gauss
A lei de Gauss relaciona o fluxo total de um campo
elétrico através de uma superfície fechada
(superfície gaussiana) à carga total envolvida pela
superfície.
S1: O campo elétrico aponta para fora da superfície
em todos os pontos, logo \uf0461 > 0.
S2: O campo elétrico aponta para dentro da
superfície em todos os pontos, logo \uf0462 < 0.
S3: qenv = 0, ou seja todas as linhas que entram na
superfície saem em outro ponto da mesma, logo
\uf0463 = 0.
S4: Esta superfície não envolve carga resultante,
logo \uf0464 = 0.
Exemplo: Relação entre a Carga Total e o Fluxo Total
Exemplo: Aplicação da Lei de 
Gauss a um Campo
Não Uniforme
Lei de Gauss e Lei de Coulomb
que é exatamente a lei de Coulomb.
A Fig. 23-8 mostra uma carga pontual positiva q, em
torno da qual foi desenhada uma superfície gaussiana
esférica concêntrica de raio r. Vamos dividir a
superfície em áreas elementares dA.
Por definição, o vetor área dA em qualquer ponto é
perpendicular à superfície e orientado para fora.
Pela simetria da situação, sabemos que o campo elétrico
também é perpendicular à superfície e orientado para
fora.
Assim, como o ângulo \uf071 entre E e dA é zero, podemos
escrever a lei de Gauss na forma
Um Condutor Carregado
Se uma carga em excesso é introduzida em 
um condutor isolado, a carga se concentra 
na superfície do condutor; o interior do 
condutor continua a ser neutro.
A Fig. 23-9a mostra uma vista de perfil de um pedaço de
cobre, pendurado por um fio isolante, com uma carga em
excesso q. Colocamos uma superfície gaussiana logo abaixo
da superfície do condutor. O campo elétrico no interior do
condutor deve ser nulo. Como a carga em excesso não está
no interior da superfície gaussiana, deve estar do lado de
fora, o que significa que só pode estar na superfície do
condutor.
A Fig. 23-9b mostra o mesmo condutor, agora com uma
cavidade interna. Colocamos uma superfície gaussiana em
torno da cavidade. Como o campo elétrico é nulo no interior
do condutor, o fluxo através dessa superfície gaussiana é
zero e, portanto, não existe carga em excesso na superfície
da cavidade; toda a carga em excesso permanece na
superfície externa do condutor.
Um Condutor Carregado: O Campo Elétrico Externo
O campo elétrico externo nas proximidades da superfície de um
condutor pode ser determinado com facilidade usando a lei de
Gauss. Para isso, consideramos uma região da superfície
suficientemente pequena para que possamos desprezar a
curvatura e usamos um plano para representar a região. Em
seguida, imaginamos um pequeno cilindro gaussiano engastado
na superfície, como na Fig. 23-10: uma das bases está do lado
de dentro do condutor, a outra base está do lado de fora, e o eixo
do cilindro é perpendicular à superfície do condutor.
O campo elétrico na superfície e logo acima da superfície
também é perpendicular à superfície. Vamos supor que a área A
da base do cilindro é suficientemente pequena para que o
módulo E do campo elétrico seja constante em toda a base.
Nesse caso, o fluxo através da base é EA, e esse é o fluxo total
\uf046 através da superfície gaussiana.
A carga qenv envolvida pela superfície gaussiana está na
superfície do condutor e ocupa uma área A. Se \uf073 é a carga por
unidade de área, qenv é igual a \uf073A.
Campo elétrico nas imediações de uma superfície condutora
Exemplo: Casca de Metal Esférica, 
Campo Elétrico e Carga
Aplicando a Lei de Gauss: Simetria Cilíndrica
A Figura mostra uma parte de uma barra de
plástico cilíndrica de comprimento infinito com
uma densidade linear uniforme de carga positiva
\uf06c. Vamos obter uma expressão para o módulo do
campo elétrico a uma distância r do eixo da
barra.
Em todos os pontos da parte curva da superfície
gaussiana, o campo elétrico tem o mesmo
módulo E e está orientado radialmente para fora
da superfície.
O fluxo do campo elétrico através da superfície
curva é
Linha de carga
Exemplo: A Lei de Gauss euma 
Tempestade Elétrica
Aplicando a Lei de Gauss: Simetria Planar, Placa Não Condutora
onde \uf073A é a carga envolvida pela superfície
gaussiana.
Assim,
A Figura mostra uma parte de uma placa fina, infinita,
não condutora, com uma densidade superficial de carga
positiva \uf073. Uma folha de plástico, com uma das
superfícies uniformemente carregada, pode ser um bom
modelo. Vamos calcular o campo elétrico a uma
distância r da placa.
Uma superfície gaussiana adequada para esse tipo de
problema é um cilindro com o eixo perpendicular à
placa e com uma base de cada lado da placa, como
mostra a figura. Por simetria, o campo elétrico é
perpendicular à placa e, portanto, às bases do cilindro.
Como a carga é positiva, o campo elétrico aponta para
longe da placa. O produto E \uf0d7