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Matemática TRIGONOMETRIA NO TRIÂNGULO RETÂNGULO 1 Sumário Introdução .................................................................................................................................... 2 Objetivo......................................................................................................................................... 2 1. Trigonometria no triângulo retângulo ................................................................................ 2 1.1. Triângulo retângulo .......................................................................................................... 2 1.2. Razões trigonométricas ................................................................................................... 5 1.3. Ângulos notáveis .............................................................................................................. 6 Exercícios ...................................................................................................................................... 7 Gabarito ........................................................................................................................................ 8 Resumo ......................................................................................................................................... 9 2 Introdução Na apostila anterior, aprendemos sobre a incrível Soma de Gauss, abordamos métodos de resolução baseados nesta técnica e como facilitou nosso dia a dia. Gauss realmente foi brilhante, e sem dúvida, contribuiu muito para otimizar os cálculos. Nesta apostila abordaremos o tema trigonometria, uma das vertentes mais antigas ligadas ao estudo da matemática. Está presente em nossa vida desde a antiguidade com o intuito de medir ângulos e distâncias, além da tentativa de localizar pontos na superfície terrestre. Atualmente após inúmeros estudos, a trigonometria também pode ser usada em diversas situações problema na matemática, além de dar suporte a outras matérias, tais como: estudo de fenômenos periódicos, ótica, eletricidade entre outros. Objetivo • Conceituar triângulos, triângulo retângulo e razões trigonométricas; • Identificar e reconhecer os ângulos notáveis. 1. Trigonometria no triângulo retângulo 1.1. Triângulo retângulo A trigonometria, cujo significado é trigono = triangular e metria = medida, teve sua origem no estudo das relações entre as medidas dos lados e dos ângulos de um triângulo e, de um modo mais particular, do triângulo retângulo. Para introduzir o conteúdo, vamos definir um triângulo como sendo um polígono formado por três segmentos ligados não colineares, ou seja, não estão contidos numa mesma reta, sendo que cada ponto de interseção é chamado de vértice. Os segmentos que formam um triângulo, são chamados de lado do triângulo. Os segmentos se encontram sempre dois a dois, não passando pelo mesmo ponto e formam três lados e três ângulos. Vamos considerar então um triângulo cujos vértices são A, B, C conforme vemos na figura abaixo, formam os ângulos em seus vértices CÂB, A^BC e BĈA, sendo denominados ângulos internos. Uma das propriedades dos triângulos, é que a soma dos ângulos internos será sempre 180º. 3 Figura que representa a uma das propriedades do triângulo Os triângulos são classificados conforme seus lados ou seus ângulos. A especificação dos triângulos baseada na quantidade de lados é nomeada por: triângulo isósceles, triângulo equilátero e triângulo escaleno. O triângulo isósceles tem como caraterística possuir dois lados congruentes, ou seja, iguais; o triângulo equilátero é atribuído à propriedade de seus três lados terem medidas iguais e por fim o triângulo escaleno possui a medida de seus três lados distintos, ou seja, diferentes. É importante destacar que todo triângulo equilátero também é isósceles, pois ter três lados iguais implica em ter também dois lados iguais. Agora, tomando como referência a medida dos ângulos do triângulo, estes podem ser classificados como: triângulo acutângulo, onde todos seus ângulos internos são agudos, ou seja, menores que 90°; triângulo obtusângulo que tem um de seus ângulos internos com medida maior que 90°, ou seja obtuso, e os outros dois são ângulos agudos e para finalizar o triângulo retângulo. Dois lados iguais Isósceles Escaleno Três lados iguais Equilátero Três lados diferentes 4 O triângulo retângulo é composto por um ângulo de 90°, também conhecido por ângulo reto, e os outros ângulos são agudos, assim ambos são menores que 90°. Agora, na figura seguinte, vamos ressaltar todos os elementos que compõe o triângulo retângulo; Considere um triângulo retângulo ABC, retângulo em C, ou seja, o ângulo de 90° localiza-se em C. Triângulo Retângulo ABC Como é possível observar o triângulo retângulo é composto por um lado denominado hipotenusa, e dois segmentos que formam o ângulo reto, são chamados de catetos, podendo de acordo com a posição do ângulo indicado serem também denominados cateto oposto e cateto adjacente. Estes componentes recebem estes nomes de acordo com a posição do ângulo agudo (menor que 90°) de referência, por isso estas posições não são fixas. Cateto oposto: é aquele que fica de frente para determinado ângulo agudo. Cateto adjacente: é aquele que fica ao lado de um determinado ângulo agudo; Hipotenusa: é o maior lado do triângulo retângulo, ficando sempre em frente ao ângulo reto (90°). Acutângulo Obtusângulo A Hipotenusa C B Cateto Cateto Hipotenusa 5 Exemplo: Determine os lados que indicam a hipotenusa, cateto oposto e cateto adjacente no triângulo a seguir: a) Considerando o ângulo 𝛼: Vamos começar pela hipotenusa (H), que é o lado de frente ao ângulo reto: 𝐻 = 𝐴𝐵̅̅ ̅̅ , o cateto oposto localiza-se de frente ao ângulo agudo 𝛼 determinado, logo cateto oposto= 𝐵𝐶̅̅ ̅̅ , e por fim o cateto adjacente =𝐴𝐶̅̅ ̅̅ . b) Considerando o ângulo 𝛽 Agora o ângulo de referência mudou, logo a hipotenusa é a mesma 𝐻 = 𝐴𝐵̅̅ ̅̅ , o cateto oposto localiza-se de frente ao ângulo agudo 𝛽, logo 𝐶𝑂 = 𝐴𝐶̅̅ ̅̅ , e por fim o cateto adjacente é: 𝐶𝐴 = 𝐵𝐶̅̅ ̅̅ . 1.2. Razões trigonométricas A trigonometria estuda as relações e propriedades associadas ao triângulo retângulo, relacionando as medidas de seus ângulos com as medidas de seus lados. Assim é possível encontrar seus lados e ângulos quando estes dados não são informados no problema. Neste contexto surgem as razões trigonométricas, que podem ser usadas apenas no triângulo retângulo e tem como objetivo, fornecer informações adicionais, de modo a facilitar a resolução. Existem seis razões trigonométricas que serão explicitadas com base em um ângulo agudo 𝛼. 6 • Seno de uma ângulo é a razão entre a medida do seu cateto oposto e a medida da hipotenusa, ou seja , 𝑠𝑒𝑛 𝛼 = 𝑐𝑎𝑡𝑒𝑡𝑜 𝑜𝑝𝑜𝑠𝑡𝑜 ℎ𝑖𝑝𝑜𝑡𝑒𝑛𝑢𝑠𝑎 • Cosseno de um ângulo é a razão entre a medida de seu cateto adjacente e a medida de sua hipotenusa, ou seja, 𝑐𝑜𝑠 𝛼 = 𝑐𝑎𝑡𝑒𝑡𝑜 𝑎𝑑𝑗𝑎𝑐𝑒𝑛𝑡𝑒 ℎ𝑖𝑝𝑜𝑡𝑒𝑛𝑢𝑠𝑎 • Tangente de um ângulo é a razão entre a medida de seu cateto oposto e a medida de seu cateto adjacente, ou seja, 𝑡𝑔 𝛼 = 𝑐𝑎𝑡𝑒𝑡𝑜 𝑜𝑝𝑜𝑠𝑡𝑜 𝑐𝑎𝑡𝑒𝑡𝑜 𝑎𝑑𝑗𝑎𝑐𝑒𝑛𝑡𝑒 As razões trigonométricas a seguir são caracterizadas por serem razões inversasao seno, cosseno e tangente. • Cotangente é a razão inversa da tangente e pode ser escrita de duas maneiras: 𝑐𝑜𝑡𝑔 𝛼 = 𝑐𝑎𝑡𝑒𝑡𝑜 𝑎𝑑𝑗𝑎𝑐𝑒𝑛𝑡𝑒 𝑐𝑎𝑡𝑒𝑡𝑜 𝑜𝑝𝑜𝑠𝑡𝑜 ou 𝑐𝑜𝑡𝑔 𝛼 = 1 𝑡𝑔𝛼 . • Secante de um ângulo é a razão inversa do cosseno, ou seja, 𝑠𝑒𝑐 𝛼 = 1 𝑐𝑜𝑠 𝛼 . • Cossecante de um ângulo é a razão inversa do seno, ou seja, 𝑐𝑜𝑠𝑠𝑒𝑐 𝛼 = 1 𝑠𝑒𝑛 𝛼 . Para cada ângulo agudo possível em um triângulo retângulo é atribuído somente um valor para o seno, cosseno e tangente, assim é possível encontrar uma tabela que dispõe de todos esses valores. 1.3. Ângulos notáveis Ângulo é a região compreendida entre duas semirretas de mesma origem não colineares que se encontram em um ponto coincidente denominado vértice, assim existe um número que é associado ao tamanho desta abertura. SAIBA MAIS! Alguns ângulos são denominados notáveis por aparecem com frequência em diversas situações cotidianas além de estarem presentes em problemas trigonométricos, são eles: 30°, 45° e 60°. Para as razões trigonométricas relacionadas a estes ângulos, é mais viável utilizar os valores que compõe a tabela seguinte. Teodolito é o nome do aparelho óptico de precisão que atualmente é utilizado por engenheiros e agrimensores para medir e assim determinar o valor de ângulos verticais e horizontais. 7 Ângulo 0 30º 45º 60º 90º 180º 270º 360º Seno (Sen) 0 1 2 √ 2 2 √3 2 1 0 -1 0 Cosseno (Cos) 1 √3 2 √2 2 1 2 0 -1 0 1 Tangente (Tg) 0 √3 3 1 √3 ∄ 0 ∄ 0 PRATIQUE! Exercícios 1. (Autor, 2019) Explique e exemplifique sobre cateto oposto, cateto adjacente e hipotenusa. 2. (Autor, 2019) Em cada item há medidas de lados de um triângulo retângulo, em que a representa a medida da hipotenusa, e b representa o cateto oposto e c indica o cateto adjacente, considere 𝛼 como o ângulo agudo de referência. Determine o seno, o cosseno e a tangente em cada caso: a) a = 5, b = 3 e c = 8 b) a = 1, b = 7 e c = 2 3. (ENEM-2010) Um balão atmosférico, lançado em Bauru (343 quilômetros a Noroeste de São Paulo), na noite do último domingo, caiu nesta segunda- feira em Cuiabá Paulista, na região de Presidente Prudente, assustando agricultores da região. O artefato faz parte do programa Projeto Hibiscus, desenvolvido por Brasil, França, Argentina, Inglaterra e Itália, para a medição do comportamento da camada de ozônio, e sua descida se deu após o cumprimento do tempo previsto de medição. Geralmente os valores que compõe a tabela acima são usados nas situações que aparecem as razões trigonométricas relacionadas aos ângulos notáveis. A prática de exercícios facilita lembrar esses valores. 8 Na data do acontecido, duas pessoas avistaram o balão. Uma estava a 1,8 km da posição vertical do balão e o avistou sob um ângulo de 60º; a outra estava a 5,5 km da posição vertical do balão, alinhada com a primeira, e no mesmo sentido, conforme se vê na figura, e o avistou sob um ângulo de 30º. Qual a altura aproximada em que se encontrava o balão? a) 1,8km b) 1,9km c) 3,1 km d) 3,7 km e) 5,5 km Gabarito 1. O triângulo retângulo é composto por um lado denominado hipotenusa, e dois segmentos que formam o ângulo reto, são chamados de catetos, podendo de acordo com a posição do ângulo indicado, serem também denominados cateto oposto e cateto adjacente. Estes componentes recebem estes nomes de acordo com a posição do ângulo agudo (menor que 90°) de referência, por isso estas posições não são fixas. Tem-se que o: • O cateto oposto é um lado que sempre deverá estar em frente ao ângulo agudo. • Cateto adjacente: lado que compõe um dos lados que forma um dos ângulos agudos; 9 • Hipotenusa: é o lado oposto ao ângulo reto (90°). 2. Para encontrar as razões trigonométricas solicitadas basta substituir os valores informados: a) 𝑠𝑒𝑛 𝛼 = 𝐶𝑂 𝐻 = 𝑏 𝑎 = 3 5 cos 𝛼 = 𝐶𝐴 𝐻 = 𝑐 𝑎 = 8 5 𝑡𝑔 𝛼 = 𝐶𝑂 𝐶𝐴 = 𝑏 𝑐 = 3 8 b) 𝑠𝑒𝑛 𝛼 = 𝐶𝑂 𝐻 = 𝑏 𝑎 = 7 1 𝑐𝑜𝑠 𝛼 = 𝐶𝐴 𝐻 = 𝑐 𝑎 = 2 1 𝑡𝑔 𝛼 = 𝐶𝑂 𝐶𝐴 = 𝑏 𝑐 = 7 2 3. Para resolver este exercício é necessário interpretar as informações: • será denominado por x a medida da altura que no triângulo retângulo possui a característica de ser o cateto oposto, logo h = co = x, • o cateto adjacente possui medida equivalente a 1,8 km; agora basta relacionar estes valores a razão trigonométrica adequada; 𝑡𝑔 𝛼 = 𝑐𝑎𝑡𝑒𝑡𝑜 𝑜𝑝𝑜𝑠𝑡𝑜 𝑐𝑎𝑡𝑒𝑡𝑜 𝑎𝑑𝑗𝑎𝑐𝑒𝑛𝑡𝑒 𝑡𝑔 60° = 𝑥 1,8 √3 = 𝑥 1,8 𝑥 = √3. 1,8 = 3,1𝑘𝑚 Resumo O triângulo é um polígono constituído por três lados e três ângulos, de acordo com as medidas destes parâmetros os triângulos podem ser classificados. A trigonometria do triângulo retângulo aborda com mais detalhes as características e 10 propriedades deste tipo de triângulo; através dos cálculos entre a medida de seus lados e seus ângulos, encontramos as razões trigonométricas; são elas: seno, cosseno, tangente e as inversas destas, denominadas cossecante, secante e cotangente respectivamente. Por fim é necessário conhecer os ângulos de 30°, 45° e 60° considerados notáveis por serem constantemente utilizados em nossa realidade, bem como em problemas trigonométricos. 11 Referências bibliográficas GIOVANNI, José Ruy; BONJORNO, José Roberto. Matemática Completa. São Paulo: FTD, 2005 IEZZI, Gelson et al. Matemática: ciência e aplicações. São Paulo: Atual, 201 MACHADO, A. dos Santos. Matemática: temas e metas 2 - Trigonometria e Progressões. São Paulo: Atual, 1986.
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