Definição e propriedades da função logarítmica

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Matemática 
 
 
 
 
FUNÇÃO LOGARITMICA 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
1 
 
 
 
 
Sumário 
 
Introdução .................................................................................................................................... 2 
Objetivo......................................................................................................................................... 2 
1. Função logarítmica ............................................................................................................... 2 
1.1. Recordando função exponencial ..................................................................................... 2 
1.2. Definição da função logarítmica ...................................................................................... 2 
1.3. Domínio da função logarítmica ....................................................................................... 3 
1.4. Propriedades da função logarítmica ............................................................................... 4 
Exercícios ...................................................................................................................................... 5 
Gabarito ........................................................................................................................................ 6 
Resumo ......................................................................................................................................... 7 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
2 
 
Introdução 
Conforme vimos na apostila anterior, sobre Mudança de Base de Logaritmos, 
em algumas situações, onde os cálculos de logaritmos se fazem necessários, e tenham 
logaritmos com bases diferentes, será necessário fazer a conversão dos logaritmos de 
diferentes para uma única base conveniente. Mas essa mudança poderá causar 
algumas consequências e com elas pode-se aprimorar ainda mais os cálculos de 
expressões que envolvam logaritmos. 
Nesta apostila, iremos abordar a função logarítmica, mostrando seu conceito 
e suas propriedades, considerando as condições de existência do logaritmo, ou seja, 
o logaritmando deve ser positivo e a base também deve ser positiva e diferente de 1. 
Objetivo 
• Definir função logarítmica; 
• Apresentar as propriedades da função logarítmica. 
 
1. Função logarítmica 
1.1. Recordando função exponencial 
Para iniciarmos os estudos de função logarítmica, precisamos recordar a 
função exponencial, onde para todo número real positivo a ≠ 1, a função exponencial 
f: R → R+*, f(x) = ax, é uma correspondência biunívoca entre R e R+*. Ela é crescente se a 
> 1, decrescente se 0 < a < 1 e tem a seguinte propriedade: 
f(x1 + x2) = f(x1) . f(x2), ou seja ax1 + x2 = ax1 . ax2. 
Essas considerações garantem que f possui uma função inversa. 
 
1.2. Definição da função logarítmica 
A inversa da função exponencial de base a é a função loga R+* → R, que associa 
a cada número real positivo x o número real loga x, chamado logaritmo de x na base 
a, com a real positivo e a ≠ 1. 
Observe que f: R → R+*, dada por f(x) = ax, tem a propriedade: 
f(x1 + x2)=f(x1).f(x2), ou seja, ax1+x2 =ax1 . ax2. 
A sua inversa g: R+* → R, dada por g(x) = loga x, tem a propriedade: 
loga (x1 . x2) = loga x1 + x2. 
 
3 
 
As funções logarítmicas mais usadas são aquelas cuja base é maior do que 1. 
Particularmente, as de base 10 (logaritmos decimais), as de base 2 (logaritmos 
binários) e as de base e (logaritmos naturais). 
Sendo assim, chama-se função logarítmica toda função f: R+* → R tal que 
f(x)=logb x, com b є R+* e b ≠ 1. 
Como exemplos, temos: 
a) f(x) = log2 x 
b) h(x) = log0,2 x 
c) g(x) = log1/2 x 
d) t(x) = log√7 x 
 
SAIBA MAIS! 
 
 
 
1.3. Domínio da função logarítmica 
O domínio de uma função representa os valores de x onde a função é definida. 
No caso da função logarítmica, devemos levar em consideração as condições de 
existência do logaritmo. 
Portanto, o logaritmando deve ser positivo e a base também deve ser positiva 
e diferente de 1. 
Vejamos alguns exemplos: 
a) Determine o domínio da função f (x) = log (x + 3). 
Para encontrar o domínio, devemos considerar que (x + 3) > 0, pela condição 
de existência do logaritmo. Resolvendo essa inequação, temos: 
x + 3 > 0 
 x > - 3 
Assim, o domínio da função pode ser representado por: 
As funções logarítmicas são utilizadas também 
no cálculo da magnitude aparente e absoluta (brilho) 
de um corpo celeste, este cálculo é útil para determinar 
a distância deste corpo ao planeta Terra. 
 
4 
 
D = {x є R/x > -3} 
b) Dada a função f(x) = log3 (8−2x), calcule o domínio. 
Lembramos que a base deve ser positiva e diferente de 1, o que já podemos 
garantir neste exemplo, pois vale 3. Só é possível calcular logaritmo de números 
positivos, sendo assim o logaritmando dever ser maior que 0. 
8 – 2x > 0 
-2x > -8 
x < 
8
2
, então x < 4. 
Portando o domínio desta função é: 
Df = {x ∈ R| x < 4}. 
 
1.4. Propriedades da função logarítmica 
Na primeira propriedade, temos que o logb x = logb y, então x = y: 
 {x,y,b} R+* e b ≠ 1. 
Na segunda propriedade, a função logarítmica f(x) = logb x é crescente em todo 
seu domínio se, e somente se, b > 1. 
 
 
y
logb x2
logb x1
1
0 x1 x2
x
f(x)=logb x, b > 1
 
5 
 
Representação da função logarítmica f(x) = logb x 
Temos, então: 
logb x2 > logb x1 x2 > x1, {x1,x2,b} R+* e b > 1. 
Para a terceira propriedade, a função logarítmica f(x) = logb x é decrescente em 
todo seu domínio se, e somente se, 0 < b < 1. Os números maiores que 1 têm logaritmo 
negativo e os números compreendidos entre 0 e 1 têm logaritmo negativo. 
 
Representação da função logarítmica f(x) = logb x 
Tem-se, então: 
logb x2 < logb x1 x2 > x1, {x1, x2, b} R+* e b < 1. 
Exercícios 
1. (Paiva, 1999) Determinar o domínio da função f(x) = log5 (3x – 6). 
 
2. (Unicamp, 2014) A altura (em metros) de um arbusto em dada fase de seu 
desenvolvimento pode ser expressa pela função h(t) = 0,5 + log3 (t +1), onde 
o tempo t ≥ 0 é dado em anos. Qual é o tempo necessário para a altura 
aumente de 0,5m para 1,5m? 
 
3. (Paiva, 1999) Determinar o domínio da função f(x) = logx -1 (-x2 + 3x + 4). 
y
1
x1 x2
x
logb x1
logb x2
 
6 
 
Gabarito 
1. Somente irá existir logb a se, e somente se, {a,b} R+* e b ≠ 1. 
Como a base 5 do logaritmo já obedece à condição de existência, basta 
impormos a condição sobre o logaritmo, ou seja: 
3x -6 > 0 
x > 2 
Assim, D(f) = {x є R| x > 2} 
2. Neste exercício, temos a altura do arbusto em dois momentos, ou seja, o 
tempo em que a altura era 0,5m e outro tempo quando a altura era 1,5m. A 
diferença entre esses dois tempos, será o tempo necessário para crescer de 
0,5 para 1,5m. 
Para calcular, iremos substituir primeiramente 0,5 na função e depois também 
1,5. 
h(t) = 0,5 + log3 (t +1) para t = 0,5 
0,5 = 0,5 + log3 (t +1) 
log3 (t +1) = 0,5 - 0,5 
log3 (t +1) = 0 
30 = t + 1 
1 = t + 1 
t = 0 
Logo, no t = 0, o arbusto está com 0,5m de altura. 
h(t) = 0,5 + log3 (t +1) para t = 1,5 
1,5 = 0,5 + log3 (t +1) 
log3 (t +1) = 1,5 – 0,5 
log3 (t +1) = 1 
31 = t + 1 
t = 3 – 1 
t = 2 
Resposta: o tempo necessário para o arbusto crescer de 0,5m para 1,5m é de 2 
anos. 
 
 
7 
 
 
3. Devemos ter: 
 (-x2 + 3x + 4) > 0 (I) 
 x – 1 > 0 (II) 
 x – 1 ≠ 1 (III) 
Vamos encontrar a solução de cada equação e marcá-las na reta, sendo que 
devemos encontrar a interseção entreas três equações. Nos intervalos 
marcados abaixo, todos estão abertos, pois o ponto marcado não deve ser 
incluído. 
 
Logo, D(f) = {x є R| 1 < x < 4 e x ≠ 2}. 
 
Resumo 
Nesta aula de hoje, podemos aprender que se chama função logarítmica toda 
função f:R+* tal que f(x) = logb x, com b є R+* e b ≠ 1. 
Portanto, o logaritmando deve ser positivo e a base também deve ser positiva 
e diferente de 1. 
O domínio de uma função representa os valores de x onde a função é definida. 
No caso da função logarítmica, devemos levar em consideração as condições de 
existência do logaritmo. 
Vimos também as propriedades da função logarítmica, onde poderemos ter 
f(x) = logb x é crescente em todo seu domínio se, e somente se, b > 1. 
(I)
-1 4 x
(II)
1 x
(III)
2 x
(I)∩(II)∩(III)
1 2 4 x
 
8 
 
A função logarítmica f(x) = logb x é decrescente em todo seu domínio se, e 
somente se, 0 < b < 1. 
Função logarítmica é toda função f : |R+* →|R tal que f(x) = logb x, com b є |R+* e b 
≠ 1. 
 
logb x = logb y, então x = y, {x,y,b} R+* e b ≠ 1. 
logb x2 > logb x1 x2 > x1, {x1,x2,b} R+* e b > 1. 
logb x2 < logb x1 x2 > x1, {x1, x2, b} R+* e b < 1. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
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Referências bibliográficas 
DANTE, L.R. Matemática: volume único.1ª.ed.São Paulo, Ática, 2005. 
PAIVA, M.Matemática:volume único.1.ed.São Paulo, Moderna, 1999