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Funções de Variável Complexa Material Teórico Responsável pelo Conteúdo: Prof. Ms. Carlos Henrique de Jesus Costa Revisão Textual: Profa. Ms. Alessandra Fabiana Cavalcanti Revisão Técnica Prof. Ms. Fabio Douglas Farias Introdução aos Números Complexos • Introdução • Unidade Imaginária • A Forma Algébrica • Igualdade de Números Complexos • Conjugado de Números Complexos • Propriedades com o Conjugado dos Números Complexos: · Apresentar o caminho que levou à concepção dos números complexos, principalmente às etapas de evolução dos conjuntos numéricos. · Entender como os matemáticos interpretaram, conceituaram e calcularam problemas envolvendo os números complexos. OBJETIVO DE APRENDIZADO A proposta desta aula é informá-lo (a) a respeito de como se deu a formação do Conjunto dos Números Complexos que são aplicados em várias áreas do conhecimento humano, dentro e fora da Matemática. Ao findar dessa aula, esperamos que seja capaz de interpretar, conceituar e calcular: • A forma Algébrica; • Igualdade de Números Complexos; • Conjugado de um Número Complexo. Para ajudar, realize a leitura do texto indicado no Conteúdo Teórico, acompanhe e refaça os exemplos resolvidos, além de treinar com as Atividades Práticas disponíveis e suas resoluções ao final do conteúdo. Não deixe de assistir também à apresentação narrada do conteúdo juntamente com exercícios resolvidos. Finalmente, e o mais importante, fique atento (a) para as atividades avaliativas propostas e o prazo de entrega. Bons estudos! ORIENTAÇÕES Introdução aos Números Complexos UNIDADE Introdução aos Números Complexos Contextualização O seu “delta” já deu negativo? E agora, o que fazer? Conheça um novo grupo de números que ajudará você a resolver essas equações. “Muitas pessoas, resolvem equações de segundo grau, chegam a resultados estranhos como raízes de números negativos. Não sabem eles, porém, que além dos números reais existe um conjunto bem maior chamado de Complexos e representado pela letra C .” Como você resolveria então a equação do 2º grau a seguir? x x2 2 50 0− + = Relembrando que a equação do 2º grau possui a seguinte forma completa a x b x c. .2 0+ + = com a ≠ 0, podemos resolver, por exemplo, utilizando a fórmula de Bháskara: x b b ac a = − ± −2 4 2 ou ∆ ∆= − = − ±b ac e x b a 2 4 2 . Resolvendo a equação x x2 2 50 0− + = , obtemos: ∃ ℜem x b b ac a x x x = − ± − = − − ± − − = + ± − = + ± − 2 2 4 2 2 2 4 1 50 2 1 2 4 200 2 2 196 2 ( ) ( ) . . . Obs.: Se em uma equação algébrica do 2º grau com coeficientes reais, obtemos um discriminante (delta ou D ) negativo, sabemos que sua equação não possui raízes reais. Por outro lado, pelo Teorema Fundamental da Álgebra (TFA), toda equação algébrica de grau “n” com coeficientes complexos tem exatamente “n” raízes complexas. Logo, as duas raízes dessa equação do 2º grau são Números Complexos. Temos, também, mais um Teorema que diz que se z = a + b.i é raiz complexa de uma equação algébrica com coeficientes reais, então seu conjugado z = a – b.i também é raiz dessa equação. 6 7 Assim, continuando a resolução, temos: x x x x i x i ou x = + ± − = + ± − = + ± − = + ± = + ± 2 196 2 2 196 1 2 2 196 1 2 2 14 2 1 7 1 .( ) . . . == + + = + − ⇒ = + + + −{ } 1 7 1 7 1 7 1 7 2 . . . , . i x i S i i Separando a Unidade Imaginária e aplicando a Propriedade da Radiciação: a b a b. .= Trocando a Unidade Imaginária i = −1 Os números complexos surgiram quando os matemáticos buscavam fórmulas eficientes de se encontrar raízes de polinômios de terceiro grau, no final do século XVIII. A grande questão era se esses números realmente permitiriam avanço na teoria algébrica. Acompanhe a evolução dos números complexos na Linha do Tempo a seguir: Cardano Surge o impasse da raiz quadrada de um número negativo. Tartaglia Descobriu uma fórmula geral para equações do tipo: x3 + px = q 1500 1570 1600 1670 1700 1770 1800 1870 Bombelli Considerou a raiz quadrada de -1 como um número “imaginário”. Abraham de Moivre O Teorema de Moivre é (cos θ + i sen θ)n = cos (nθ) + i sen (nθ). Gauss Introduziu a expressão número complexo. René Descartes A raiz quadrada de -1 seria chamada de número imaginário. Euler Surgimento do símbolo i. Também destacamos que os números complexos representam uma das es- truturas mais importantes da Ciência. Atualmente, é impossível imaginar a En- genharia Elétrica, a Aerodinâmica, ou a Dinâmica dos Fluídos, sem os números complexos. A Mecânica Quântica faz uso dos números complexos e, na Teoria da Relatividade de Einstein, o espaço tridimensional é visto como real e a dimensão relativa ao tempo como imaginário. Complexos nada “complexos” (Blog): Disponível em: http://goo.gl/ipTBKl Para todos e sobre tudo: Disponível em: http://goo.gl/PucUKtEx pl or 7 UNIDADE Introdução aos Números Complexos Introdução Dentre os conjuntos numéricos que conhecemos temos: Conjunto dos números Naturais (IN) Conjunto dos números Inteiros (Z) Conjunto dos números Racionais ou Fracionários (Q) Esse conjunto consiste na união dos números inteiros mais os numerais que podem ser escritos na forma de fração ou de números decimais. Conjunto dos números Irracionais (I) Podemos observar que existem decimais infinitas não periódicas, às quais damos o nome de Números Irracionais, que não podem ser escritos na forma a b (fração). Conjunto dos números Reais ℜ( ) Da união dos Números Racionais com os Números Irracionais formam o conjunto dos Números Reais. ΙΝ = { }0 1 2 3 4, , , , , Ζ = − − −{ } , , , , , , , ,3 2 1 0 1 2 3 Q x a b com a b e b= = ∈ ∈ ≠ , ,Ζ Ζ 0 Ι = = = = = 2 1 4142135 3 1 7320508 3 1415926535 2 71828 , ... , ... , ... , .. pi e .. ℜ = Q Ι A união dos conjuntos dos números Naturais, Inteiros, Racionais e Irracionais forma o conjunto dos números Reais que, graficamente, podemos demonstrar: I R N Z Q 8 9 Continuando, sabemos que, se x∈ℜ , então x2 0≥ . Assim, a equação x2 1 0+ = não tem solução no conjunto dos números Reais ℜ( ) , pois: Resolução: Não existe solução no conjunto dos Números Reais, pois não há um número real x que, elevado ao quadrado, resulte em –1. Por isso, temos de estender o conjunto dos Números Reais para obter um novo conjunto chamado de CONJUNTO DOS NÚMEROS COMPLEXOS (C). ∃ ℜem x x x 2 2 1 0 1 1 + = = − = ± − Note que ao desenvolver a equação do segundo grau, nos deparamos com a raiz quadrada de um número negativo, sendo impossível a resolução dentro dos Números Reais. A solução só foi possível com a criação e a adequação do conjunto dos Números Complexos. Os Números Complexos constituem o maior conjunto numérico existente, então, graficamente, temos agora: I R C N Z Q Unidade Imaginária Como vimos, a equação x2 1 0+ = não tem solução no campo dos números reais, pois não existe nesse campo raiz quadrada de número negativo x = ± −( )1 . Criou-se, então, um nome e um símbolo para o Número Complexo, representado pela letra “i” , denominado unidade imaginária: i2 1=− ⇒ i = −1 Porque não podemos �car juntos? -1 É complexo. 9 UNIDADE Introdução aos Números Complexos Assim, a resolução da equação x2 1 0+ = , no conjunto dos números Comple- xos, ficará: Resolução: i = −1Trocando a Unidade Imaginária x x x x i ou x i x i S i 2 2 1 2 1 0 1 1 + = = − = ± − ⇒ =± = + = − ⇒ = ±{ } Um poucode história, segundo o autor Alex Bellos (p.197-198, 2015): ”A primeira pessoa a considerar a raiz quadrada de um número negativo, o matemático italiano Girolamo Cardano, declarou em 1545 que pensar sobre isso tinha lhe causado ‘torturas mentais’, como causaria a qualquer um que não tivesse se deparado antes com o conceito. Assim, ele ignorou, afirmando que, se a solução de uma equação era a raiz quadrada de um número negativo, então ela era ‘tão refinada quanto inútil’. Cardano abrira uma porta para um mundo inteiramente novo na matemática, e então tornara a fechá-la. Algumas décadas depois, um compatriota de Cardano, Rafael Bombelli, reabriu a porta e intrepidamente a atravessou. As raízes quadradas de números negativos estavam aparecendo cada vez mais nos cálculos algébricos e assim Bombelli decidiu tratá-las da mesma forma como se tratam positivos e negativos, somando-as, subtraindo-as, multiplicando-as e dividindo-as quando apareciam. ‘É uma ideia estapafúrdia, na opinião de muita gente’, ele escreveu. ‘Toda a questão parecia basear-se mais em sofística do que na verdade.’ Mas a verdade é que as raízes quadradas de números negativos não só se comportaram bem como lhe permitiram solucionar equações que antes não eram solucionáveis. Em 1637, René Descartes descreveu as raízes quadradas de números negativos como ‘imaginárias’, palavra que ganhou a chancela de aprovação de Leonhard Euler um século depois. ‘Todas as expressões, tais como −1 , −2 etc. são consequentemente números impossíveis ou imaginários, uma vez que representam raízes de quantidades negativas, e quanto a tais números podemos asseverar verdadeiramente que eles não são nem nada, nem maiores que nada, nem menores que nada, o que necessariamente os constitui como imaginários ou impossíveis’. Em 1777, Euler deu ao número −1 seu próprio símbolo, i , de ‘imaginário’, e demonstrou que a raiz quadrada de todo número negativo pode ser expressa como um múltiplo de i . Por exemplo, −4 torna-se 2.i , já que − = × − = × − = × =4 4 1 4 1 2 2( ) .i i . Mais genericamente, − = ( )n n i. . As raízes quadradas de números negativos, que são todas múltiplos de i , são conhecidas coletivamente como ‘números imaginários’. Vejamos alguns exemplos aplicando esse novo conceito: Exemplo 1: Calcular a seguinte equação x2 9 0+ = 10 11 Resolução: x x x x x x i ou x i x i 2 2 1 2 9 0 9 9 9 1 9 1 3 3 3 + = = − = ± − = ± − = ± − = ± = + = − ⇒ .( ) . . . . SS i= ±{ }3. Separando a Unidade Imaginária e aplicando a Propriedade da Radiciação: a b a b. .= Trocando a Unidade Imaginária i = −1 Exemplo 2: Calcular a seguinte equação x x2 2 5 0+ + = Resolução: Cálculo de D (discriminante): ∆ ∆ ∆ ∆ = − = + − = − = − b a c2 2 4 2 4 1 5 4 20 16 . . ( ) . . Cálculo das raízes (Teorema de Bháskara): x b a = − ± ∆ 2. x x x x i x i ou x = − ± − = − ± − = − ± − = − ± = − ± = − 2 16 2 1 2 16 1 2 2 16 1 2 2 4 2 1 2 1 . .( ) . . . 11 2 1 2 1 2 1 2 2 + = − − ⇒ = − + − −{ } . . . , . i x i S i i Verificamos que todos os números envolvidos podem ser divididos (simplificados) por 2 (dois). Agora é a sua vez! Tente resolver os exercícios propostos e chegar aos resultados indicados. Ao final deste conteúdo, temos as resoluções detalhadas, ok! Atividades Práticas Resolva, no conjunto dos Números Complexos, as equações: 1. x2 121 0+ = S i= ±{ }11. 2. x x2 6 10 0− + = S i= ±{ }3 3. − + − =x x2 4 29 0 S i= ±{ }2 5. 4. x x2 6 15 0+ + = S i= − ±{ }3 6. 11 UNIDADE Introdução aos Números Complexos A Forma Algébrica Conforme destaca o autor Alex Bellos, em seu livro “Alex Através do Espelho: como a vida reflete os números e como os números refletem a vida” (p.199): “Quando um número real é somado a um número imaginário, digamos 3 2+ .i , ganha o nome de “número complexo”. Todos os números complexos têm o formato a b i+ . , onde a e b são números reais e i é −1 . Como não se pode somar um número real e um número imaginário no sentido da soma tradicional, o sinal de adição é apenas um modo de separar as duas partes, sua parte real e sua parte imaginária. Se a parte real for zero, o número é puramente imaginário, se a parte imaginária for zero, o número é puramente real”. Assim, todo número complexo pode ser escrito na forma z a b i= + . , com a b e i∈ℜ ∈ℜ = −, 2 1 , denominada forma algébrica ou forma binomial. Observamos que um número complexo escrito nessa forma possui 2 (duas) partes: Parte real de z Re(z) = a Parte imaginária de z Im(z) = b z a b i= + . Portanto, temos: z a b i z a i z a é um número real z b i z b i é um número i = + ⇒ = + ⇒ = = + ⇒ = . . ( ) . . ( 0 0 mmaginário puro) Exemplos: a) z = 3 + 2.i → número imaginário b) z = 7.i → número imaginário puro c) z = 5 → número real Vejamos alguns exemplos a respeito: Exemplo 3: Determine o valor de m, para que o número complexo z m i= − +( ) .3 4 seja um imaginário puro. 12 13 Resolução: Para obtermos um número imaginário puro, a parte real deve ser igual a zero, assim: Re(z) = 0 m m − = = 3 0 3 z m i z i z i z i = − + = − + = + = ( ) . ( ) . 3 4 3 3 4 0 4 4 Trocando m = 3, obtemos um número imaginário puro, observe: Exemplo 4: Determine o valor de p, para que o número complexo z p i= + −8 42( ). seja um número real. Resolução: Para obtermos um número real, a parte imaginária deve ser igual a zero, assim: Im(z) = 0 p p p p 2 2 4 0 4 4 2 − = = = ± = ± z p i z i z i z i z = + − = + + − = + − = + = 8 4 8 2 4 8 4 4 8 0 8 2 2 ( ). [( ) ]. ( ). . z p i z i z i z i z = + − = + − − = + − = + = 8 4 8 2 4 8 4 4 8 0 8 2 2 ( ). [( ) ]. ( ). . Trocando p = +2 e p = −2 , obtemos um número real, observe: Agora é a sua vez! Tente resolver os exercícios propostos e chegar aos resultados indicados. Ao final deste conteúdo, temos as resoluções detalhadas, ok! Atividades Práticas 5. O número complexo z m m i= − + +( ) ( ).2 25 5 é imaginário puro. a) Qual é o valor de m? R m. : = +5 b) Determine z. R z i. : .= +10 6. Obtenha x e y para que o número complexo z x y i= − − −( ) ( ).8 36 2 seja: a) Um número real. R y. : = ±6 b) Um número imaginário puro. R x e y. : = ≠ ±8 6 13 UNIDADE Introdução aos Números Complexos Igualdade de Números Complexos Dois números complexos são iguais se, e somente se, suas partes reais e imaginárias forem respectivamente iguais. Dados: z a b i e z c d i1 2= + = +. . , assim, a igualdade z z1 2= se verifica quando: a b i c d i a c e b d + = + ⇒ = = . . Igualdade de Números Complexos Vejamos um exemplo a respeito: Exemplo 5: Dados: z x y i e z x y i1 22 6 5 4= + + = + +( ) . ( ). . Calcule o valor de x e y sabendo que z z1 2= . Resolução: Para obtermos o valor de x e y, vamos igualar a parte real e a parte imaginária dos dois números complexos, assim: z x y i e z x y i1 22 6 5 4= + + = + +( ) . ( ). 2 5 4 6 2 2 5 4 6 2 5 2 8 12 7 x y x y x y x y x y x y y + = + = ⇒ − + = + = ⇒ ⊕ + = − − = − − . == − = = = 7 7 7 7 7 1 y y y 2 5 2 1 5 2 5 1 2 4 4 2 2 x y x x x x x + = + = = − = = = Sistema com duas equações e duas variáveis do 1º grau, sendo resolvido pelo método da Adição. Substituindo y = 1, para achar o valor de x. Resposta: x = 2 ey = 1. Agora é a sua vez! Tente resolver os exercícios propostos e chegar aos resultados indicados. Ao final deste conteúdo, temos as resoluções detalhadas, ok! 14 15 Atividades Práticas 7. Determine x e y reais de modo que ( ) ( ). .x y i i− + − =3 2 5 . R x e y. : = =3 7 8. Dados: z x y i e z x y i1 24 1 2= − + = − + +( ) . ( ). , calcule o valor de x e y, sabendo que z z1 2= . R x e y. : = =1 2 9. Sendo z a b i e z i1 2 21 4 3 10= − + − = −( ). . , determine a e b, para que z1 seja igual a z2 . R a e b. : = ± =2 14 Conjugado de Números Complexos O conjugado de um número complexo z a b i= + . é indicado por z e definido por z a b i= − . , ou seja, o conjugado é obtido trocando-se apenas o sinal de sua parte imaginária. z a b i z a b i= + ⇒ = −. . Exemplos: → z i= +3 7. ⇒ = −z i3 7. → z i= −7 ⇒ = +z i7 → z i= −20. ⇒ = +z i20. → z = +9 ⇒ = +z 9 Obs.: O conjugado de um número complexo possui grande utilidade nos cálculos com variáveis complexas, além de representar a reflexão do número em torno do eixo das abscissas no Plano de Argand Gauss. Propriedades com o Conjugado dos Números Complexos: 1. z z= O módulo do conjugado de um número é o mesmo módulo do número. Exemplo: Dado o número complexo z i= +2 4. , seu conjugado é z i= −2 4. . Comprovando a propriedade: Fique tranquilo (a)! Em outra Unidade, detalharemos melhor o conceito de Módulo de um Número Complexo! Apenas estamos apresentando o cálculo do módulo para poder comprovar a propriedade do conjugado, ok!!! Cálculo do Módulo: 15 UNIDADE Introdução aos Números Complexos z i a b z a b z z z = − ⇒ = = − = + = + − ⇒ + ⇒ = ⇒ ⇒ ⇒ = 2 4 2 4 2 4 4 16 20 4 5 4 5 2 2 2 2 2( ) ( ) . . 55 z i a b z a b z z z = + ⇒ = = = + = + ⇒ + ⇒ = ⇒ ⇒ ⇒ = 2 4 2 4 2 4 4 16 20 4 5 4 5 2 5 2 2 2 2 . . Portanto: z z= ⇒ =2 5 2 5 2. Se z a b i= + . , então: z z a b. = +2 2 ou z z z. = 2 O produto de um número pelo seu conjugado é o quadrado do módulo do número. Exemplo: Dado o número complexo z i= − −1 7. , seu conjugado é z i= − +1 7. . Comprovando a propriedade: Cálculo do Módulo: z i a b z a b z z = − − ⇒ = − = − = + = − + − ⇒ + ⇒ = ⇒ ⇒ 1 7 1 7 1 7 1 49 50 25 2 25 2 2 2 2 . ( ) ( ) . .. 2 5 2 ⇒ =z z z z i i i i i . ( ).( ) ( ) . . .( ) = − − − + = − + − = − − = 2 2 2 1 7 1 7 5 2 1 7 7 49 25 2 1 49 1 50 1++ = = 49 50 50 50 Em uma próxima Unidade, detalharemos melhor as Operações com Números Complexos! Trocando a Unidade Imaginária i2 1= − 3. z z z+ = 2.Re( ) A soma de um número ao seu conjugado é o dobro da parte real do número. Exemplo: Dado o número complexo z i= +13 7. , seu conjugado é z i= −13 7. . Comprovando a propriedade: Parte Real Re(z) 16 17 z z z i i i i + = + + − = + + − = + = = 2 13 7 13 7 2 13 13 7 13 7 26 13 13 26 26 26 .Re( ) . ( . ) . 4. z z z− = 2.Im( ) A subtração de um número ao seu conjugado é o dobro da parte imaginária do número. Exemplo: Dado o número complexo z i= +13 7. , seu conjugado é z i= −13 7. . Comprovando a propriedade: z z z i i i i i i i i − = + − − = + + − + = + + = 2 13 7 13 7 2 7 13 7 13 7 14 7 7 14 .Im( ) . ( . ) .( ) ii i i14 14= 5. z z z z1 2 1 2+ = + O conjugado da soma é igual à soma dos conjugados. Exemplo: Dados os números complexos: z i1 2 3= − . , seu conjugado é z i1 2 3= + . . z i2 5 10= − + . , seu conjugado é z i1 5 10= − − . . Comprovando a propriedade: z z z z i i i i i i i 1 2 1 2 2 3 5 10 2 3 5 10 2 3 5 10 2 3 5 1 + = + − + − + = + + − − − − + = + − − ( . ) ( ) 00 3 7 3 7 3 7 3 7 i i i i i − + = − − − − = − − 6. z z z z1 2 1 2. .= O conjugado de um produto indicado é igual ao produto dos conjugados. Exemplo: Dados os números complexos: z i1 2 3= − . , seu conjugado é z i1 2 3= + . . z i2 5 10= − + . , seu conjugado é z i1 5 10= − − . . Parte Imaginária Im(z) 17 UNIDADE Introdução aos Números Complexos Comprovando a propriedade: z z z z i i i i i i i 1 2 1 2 2 3 5 10 2 3 5 10 10 20 15 30 . . ( ).( . ) ( ).( ) = − − + = + − − − + + − 22 210 20 15 30 10 35 30 1 10 35 30 1 10 35 = − − − − − + − − = − − − − − + + i i i i i i .( ) .( ) 330 10 35 30 20 35 20 35 20 35 20 35 = − − + + + = + − + − = + − i i i i i 7. z z= ⇔ z é número real. Exemplo: Dados os números complexos: z i1 2 3= − . , seu conjugado é z i1 2 3= + . . z2 25= − , seu conjugado é z 1 25= − . Comprovando a propriedade: z z i i Falso 1 1 2 3 2 3 = − = + → Pois z1 possui parte Real e parte Imaginária. z z Verdadeiro 2 2 25 25 = − = − → Pois z2 possui apenas a parte Real. Agora é a sua vez! Tente resolver os exercícios propostos, ao final deste conteúdo consulte suas resoluções, ok! Atividades Práticas 10. Neste exercício, tente apenas determinar o conjugado dos seguintes números complexos: a) z i= +13 7. ____________________________________________ b) z i= − + 2 3 21. ____________________________________________ c) z i= −13 5 7 . ____________________________________________ d) z i= − −17 2. ____________________________________________ e) z i= + 23 ____________________________________________ f) z i= − −3 1 6 . ____________________________________________ 18 19 g) z i= − +7 2. ____________________________________________ h) z i= 5 2 . ____________________________________________ i) z = − 6 7 ____________________________________________ j) z i= +12 16. ____________________________________________ Resoluções de Atividades Práticas: 1. x2 121 0+ = x x x x x x i ou x 2 2 1 121 0 121 121 121 1 121 1 11 11 + = = − = ± − = ± − = ± − = ± = + .( ) . . .ii x i S i 2 11 11 = − ⇒ = ±{ } . . 2. x x2 6 10 0− + = Cálculo de D (discriminante): ∆ ∆ ∆ ∆ = − = − − = − = − b a c2 2 4 6 4 1 10 36 40 4 . . ( ) . . Cálculo das raízes (Teorema de Bháskara): x b a = − ± ∆ 2. x x x x i x i ou x i x = − − ± − = ± − = ± − = ± = ± = + = ( ) . .( ) . . 6 4 2 1 6 4 1 2 6 4 1 2 6 2 2 3 3 3 1 2 −− ⇒ = + −{ } i S i i3 3, Verificamos que todos os números envolvidos podem ser divididos (simplificados) por 2 (dois). 3. − + − =x x2 4 29 0 Cálculo de ∆ (discriminante): ∆ ∆ ∆ ∆ = − = − − − = − = − b a c2 2 4 4 4 1 29 16 116 100 . . ( ) . . Cálculo das raízes (Teorema de Bháskara): x b a = − ± ∆ 2. 19 UNIDADE Introdução aos Números Complexos x x x x i x = − ± − − = − ± − − = − ± − − = − ± − = ± 4 100 2 1 4 100 1 2 4 100 1 2 4 10 2 2 5 . .( ) . . .ii ou x i x i S i i1 2 2 5 2 5 2 5 2 5 = + = − ⇒ = + −{ } . . . , . Verificamos que todos os números envolvidos podem ser divididos (simplificados) por - 2 (menos dois). 4. x x2 6 15 0+ + = Cálculo de D (discriminante): ∆ ∆ ∆ ∆ = − = − = − = − b a c2 2 4 6 4 1 15 36 60 24 . . ( ) . . Cálculo das raízes (Teorema de Bháskara): x b a = − ± ∆ 2. x x x x x i = − ± − = − ± − = − ± − = − ± −= − ± 6 24 2 1 6 24 1 2 6 4 6 1 2 6 4 6 1 2 6 2 6 2 . .( ) . . . . . xx i ou x i x i S i i= − ± = − + = − − ⇒ = − + − −{ }3 6 3 6 3 6 3 6 3 61 2 . . . . , . Decompondo o número 24 em fatores primos chegamos ao produto de 4 x 6, assim podemos simplificar a raiz, extraindo apenas a raiz quadrada do fator 4. Verificamos que todos os números envolvidos podem ser divididos (simplificados) por 2 (dois). 5. O número complexo z m m i= − + +( ) ( ).2 25 5 é imaginário puro. Resolução: a) Qual é o valor de m? Nesse caso, para obtermos um número imaginário puro, a parte real deve ser igual a zero e a parte imaginária precisa ser diferente de zero, assim: Re( )z m m m m ou m m = − = = = ± = ± = + = − 0 25 0 25 25 5 5 5 2 2 e Im( )z m m ≠ + ≠ ≠ − 0 5 0 5 20 21 Portanto, m = +5 b) Determine z. Trocando m = +5, obtemos o seguinte número imaginário puro: z m m i z i z i z = − + + = + − + + + = + − + = + ( ) ( ). [( ) ] ( ). ( ) . 2 2 25 5 5 25 5 5 25 25 10 0 100 10 . . i z i= 6. Obtenha x e y para que o número complexo z x y i= − − −( ) ( ).8 362 seja: Resolução: a) Um número real. Para obtermos um número real, a parte imaginária deve ser igual a zero, assim: Im(z) = 0 y y y y 2 2 36 0 36 36 6 − = = = ± = ± b) Um número imaginário puro. Nesse caso, para obtermos um número imaginário puro, a parte real deve ser igual a zero e a parte imaginária precisa ser diferente de zero, assim: Re( )z x x = − = = 0 8 0 8 e Im( )z y y y y ≠ − ≠ ≠ ≠ ± ≠ ± 0 36 0 36 36 6 2 2 7. Determine x e y reais de modo que ( ) ( ). .x y i i− + − =3 2 5 . Resolução: Para obtermos o valor de x e y, vamos igualar a parte real e a parte imaginária dos dois números complexos, assim: ( ) ( ). . ( ) ( ). . x y i i ou x y i i − + − = − + − = + 3 2 5 3 2 0 5 21 UNIDADE Introdução aos Números Complexos x e y x y y − = − = = = + = 3 0 2 5 3 5 2 7 Resposta: x = 3 e y = 7. 8. Dados: z x y i e z x y i1 24 1 2= − + = − + +( ) . ( ). . Calcule o valor de x e y sabendo que z z1 2= Resolução: Para obtermos o valor de x e y, vamos igualar a parte real e a parte imaginária dos dois números complexos, assim: z x y i e z x y i1 24 1 2= − + = − + +( ) . ( ). x y y y y y − = − + − = − − = − − − = − − = + 1 1 1 1 1 2 1 2 .( ) x y x y x y x y x x x x − = − + = ⇒ ⊕ − = − + = = = = = 1 2 4 1 2 4 3 3 3 3 3 3 1 Sistema com duas equações e duas variáveis do 1º grau, sendo resolvido pelo método da Adição. Substituindo x = 1, para achar o valor de y. Resposta: x e y= =1 2 . 9. Sendo z a b i e z i1 2 21 4 3 10= − + − = −( ). . , determine a e b, para que z1 seja igual a z2 . z a b i e z i1 2 21 4 3 10= − + − = −( ). . a a a a a 2 2 2 1 3 3 1 4 4 2 − = = + = = ± = ± e 4 10 10 4 14 1 14 − = − − = − − − = − − = b b b b .( ) Multiplicando por (– 1) ambos os lados da equação. Resposta: a e b= ± =2 14 . 22 23 10. Neste exercício, tente apenas determinar o conjugado dos seguintes números complexos: a) z i= +13 7. Resp.: z i= −13 7. b) z i= − + 2 3 21. Resp.: z i= − − 2 3 21. c) z i= −13 5 7 . Resp.: z i= +13 5 7 . d) z i= − −17 2. Resp.: z i= − +17 2. e) z i= + 23 Resp.: z i ou z i= − + = −23 23 f) z i= − −3 1 6 . Resp.: z i ou z i= + − = − +3 1 6 1 6 3. . g) z i= − +7 2. Resp.: z i ou z i= + + = +7 2 2 7. . h) z i= 5 2 . Resp.: z i= − 5 2 . i) z = − 6 7 Resp.: z = − 6 7 j) z i= +12 16. Resp.: z i= −12 16. 23 UNIDADE Introdução aos Números Complexos Material Complementar Indicações para saber mais sobre os assuntos abordados nesta Unidade: Sites Site Me Salva! https://mesalva.com/ Vídeos Um sonho complexo O Jovem Hans se depara com as palavras complexo e imaginário e fica muito incomodado, pois para ele matemática deveria ser real, concreta e exata. Resolve dormir e sonha com um personagem estranho, que tem meia barba, usa bermudas e fraque e é uma mistura dos dois personagens do livro O Médico e o monstro, o qual representa uma dualidade do mundo. Ao acordar, entende que o sonho mostrou um pouco da magia dos números complexos. https://goo.gl/PYqd5n O sonho não acabou Este é o segundo vídeo sobre os números complexos com o mesmo personagem Hans, um jovem estudante. Hans vai dormir e sonha com outro jovem. Agora é o Morfeu, o deus dos sonhos. Morfeu explica direitinho ao jovem sobre a história dos números complexos, chegando à fórmula de De Moivre. https://goo.gl/yckRBI O sonho continua Este é o terceiro vídeo da série sobre os números complexos. Hans, o jovem estudante sonha novamente com Morfeu, que lhe conta sobre a fórmula de Euler e sobre os conjuntos numéricos. https://goo.gl/7ZL4nR História dos Números Complexos Vídeo produzido por um grupo de alunos do 3º ano do Ensino Médio do Colégio Graccho, como atividade pedagógica de Matemática. https://goo.gl/p9WkQ9 Me Salva! CPX01 - Números complexos - Introdução e forma algébrica https://goo.gl/9BFXH6 24 25 Referências ÁVILA, G.S.S. Variáveis Complexas e Aplicações. Rio de Janeiro: LTC, 2000. BELLOS, A. Alex através do espelho: como a vida reflete os números e como os números refletem a vida. São Paulo: Companhia das Letras, 2015. CAON, F. Números Complexos: inter-relações entre conteúdo e aplicações. (Dissertação) -Universidade Estadual de Ponta Grossa. Ponta Grossa. 2013. 74. f. Disponível em: http://bicen-tede.uepg.br/tde_busca/arquivo. php?codArquivo=926 . Acesso em 03 de agosto de 2015. CERRI, C.; MONTEIRO, M. S. História dos Números Complexos. CAEM - Centro de Aperfeiçoamento de Ensino de Matemática (Instituto de Matemática e Estatística da USP). Disponível em: http://www.ime.usp.br/~martha/caem/ complexos.pdf . Acesso em 03 de agosto de 2015. CERRI, C. Desvendando os Números Reais. São Paulo: IME-USP. Novembro de 2006. Disponível em: www.mat.ufg.br/bienal/2006/mini/cristina.cerri.pdf . Acesso em 03 de agosto de 2015. CHURCHILL, R.V. Variáveis complexas e suas aplicações. Tradução: Tadao Yoshioka; revisão técnica: Alfredo Alves de Farias. São Paulo: McGraw-Hill do Brasil e Editora da Universidade de São Paulo, 1975. DANTE, L. R. Matemática, volume único. São Paulo: Ática, 2005. DIAS, N. L. Pequena introdução aos números. Curitiba: InterSaberes, 2014. (e-book). GIOVANNI, J. R. 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