AD2-Q3-2019-2-Gabarito

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Gabarito da Questa˜o 3 da AD 2 – Me´todos Determin´ısticos I – 2019-2
Questa˜o 3 (2,5 pontos) Esboce o conjunto dos pontos do plano cartesiano R2 que satisfazem
simultaneamente a`s condic¸o˜es abaixo:
|x− 2| < 3,
|y − 1| > 1,
y = 4− x.
Soluc¸a˜o:
Observe que
|x− 2| < 3⇔ −3 < x− 2 < 3⇔ −3 + 2 < x− 2 + 2 < 3 + 2⇔ −1 < x < 5
Assim, o conjunto dos pontos de R2 satisfazendo |x − 2| < 3 e´ formado pela “faixa”vertical entre
x = −1 e x = 5, sem incluir estas retas:
Como
|y − 1| > 1⇔ y − 1 6 −1 ou y − 1 > 1⇔ y 6 −1 + 1 ou y > 1 + 1⇔ y 6 0 ou y > 2
Assim, o conjunto dos pontos de R2 satisfazendo |y − 1| > 1 e´ formado pelos pontos fora da
“faixa”horizontal entre y = 0 e x = 2, incluindo estas retas:
Me´todos Determin´ısticos I Gabarito da Questa˜o 3 da AD 2 – 2019-2 2
O conjunto dos pontos que satisfazem y = 4 − x e´ uma reta. Vamos encontrar dois pontos para
trac¸ar a reta. Para x = 0, temos y = 4− 0 = 4. Para y = 0, temos 0 = 4− x, logo x = 4. Assim,
a reta passa pelos pontos (0, 4) e (4, 0) e pode ser esboc¸ada como abaixo:
Representando os treˆs conjuntos simultaneamente, temos
A intersec¸a˜o dos treˆs e´ dada, portanto por
Os extremos dos segmentos da reta, isto e´, os pontos em que a reta “entra”na regia˜o dada pelas
duas primeiras desigualdades, podem ser obtidos fazendo x = −1, y = 2 e y = 1 e x = 5 na equac¸a˜o
da reta.
• Para x = −1, temos y = 4 − (−1) = 5, logo o ponto e´ (−1, 5). Este ponto na˜o pertence a`
intersec¸a˜o, pois a reta x = −1 na˜o satisfaz primeira desigualdade.
• Para y = 0, ja´ vimos que x = 4, logo temos o ponto (4, 0).
• Para y =, temos 2 = 4− x, logo x = 4− 2 = 2. Assim, o ponto sera´ (2, 2).
• Para x = 5, temos y = 4 − 5 = −1, logo o ponto (5,−1). Este ponto na˜o pertence a`
intersec¸a˜o, pois a reta x = 5 na˜o satisfaz primeira desigualdade.
Fundac¸a˜o CECIERJ Conso´rcio CEDERJ