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Apostila Matemática - Teoria e Exercícios de Matemática

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( )[ ] ( )− ÷ −2 27 5 30
( ) ( )2 3 2 32 2 3 4 4⋅ ÷ ⋅
( ) ( ) ( ) ( )− ⋅ − ⋅ − ÷ −3 3 3 35 7 12 20
3
4 2
2
7 3
−
−
115
 
3 8 5
5 7 354 4 .2 21 19 4 19 76
7 7
−
− ⎛ ⎞= = − − =⎜ ⎟− ⎝ ⎠−
 
Resp. a 
 
19) Efetue: 
 
 
Solução: 
 1 200 9 18 1 4 9 1 12
15 3 7 42 21
⎧ ⎫+ + + ⎡ − ⎤⎡ ⎤ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞− − + − − =⎨ ⎬⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎢ ⎥⎢ ⎥⎣ ⎦ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎣ ⎦⎩ ⎭
 
 210 19 4 8 1 70 19 4 4 12 2
15 3 7 42 21 5 3 7 21 21
⎧ ⎫⎡ ⎤ ⎧ ⎫⎡ ⎤ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎡ ⎤− − + − − = − − + − − =⎨ ⎬ ⎨ ⎬⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎢ ⎥⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎣ ⎦ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎣ ⎦⎣ ⎦ ⎩ ⎭⎩ ⎭
 
 70 19 42 12 4 1 70 19 49
5 3 21 5 3 21
⎧ + − − ⎫ ⎧ ⎫⎡ ⎤ ⎡ ⎤− − = − − =⎨ ⎬ ⎨ ⎬⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎣ ⎦ ⎣ ⎦⎩ ⎭ ⎩ ⎭
 
 70 19 49 70 133 49 70 84 70 70 20 504 10
5 3 21 5 21 5 21 5 5 5
− −⎧ ⎫ ⎧ ⎫ ⎧ ⎫− − = − = − = − = = =⎨ ⎬ ⎨ ⎬ ⎨ ⎬
⎩ ⎭ ⎩ ⎭ ⎩ ⎭
 
Resp. a 
 
20) Efetue: 
 
 
 
Solução: 
 1 2 3 5 6 11 3 111 . 1 1 1
3 5 8 15 15 8 15
⎧ ⎫⎡ + ⎤ ⎧ ⎫⎛ ⎞ ⎡ ⎤− + + − = − + − =⎨ ⎬ ⎨ ⎬⎜ ⎟⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎝ ⎠ ⎣ ⎦⎣ ⎦ ⎩ ⎭⎩ ⎭
 
 11 3 15 11 11 3 4 11 11 1 1
15 8 15 15 8 15 15 10
⎧ − ⎫ ⎧ ⎫⎡ ⎤ ⎡ ⎤ ⎧ ⎫− + = − + = − + =⎨ ⎬ ⎨ ⎬ ⎨ ⎬⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎣ ⎦ ⎣ ⎦ ⎩ ⎭⎩ ⎭ ⎩ ⎭
 
 11 1 22 3 25 30 25 5 11 1 1
15 10 30 30 30 30 6
+ −⎧ ⎫ ⎧ ⎫− + = − − = = =⎨ ⎬ ⎨ ⎬
⎩ ⎭ ⎩ ⎭
 
Resp. a 
 
21) Efetue: 
 
 
 
Solução: 
 99 10 3 7 2 8 3 10 61
10 15 20 3 4 15
⎧ ⎫⎡ + ⎤ ⎡ − − ⎤⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞+ − − + − − =⎨ ⎬⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎣ ⎦ ⎣ ⎦⎩ ⎭
 
1
15
40
3
3
5
6 1
3
2 4
7
3
14
1
42
1
21
+ +⎛
⎝⎜
⎞
⎠⎟
− +⎛
⎝⎜
⎞
⎠⎟
− + − −⎛
⎝⎜
⎞
⎠⎟
−
⎡
⎣
⎢
⎤
⎦
⎥
⎧
⎨
⎪
⎩⎪
⎫
⎬
⎪
⎭⎪
1 1
3
2
5
3
8
1 1
3
2
5
− + + ⋅ − +⎛
⎝⎜
⎞
⎠⎟
⎡
⎣
⎢
⎤
⎦
⎥
⎧
⎨
⎪
⎩⎪
⎫
⎬
⎪
⎭⎪
99
10
1 2
3
1
5
7
20
2
3
2 3
4
2
3
2
5
+ − +⎛
⎝⎜
⎞
⎠⎟
⎡
⎣
⎢
⎤
⎦
⎥ − + − −
⎛
⎝⎜
⎞
⎠⎟
− −⎛
⎝⎜
⎞
⎠⎟
⎡
⎣
⎢
⎤
⎦
⎥
⎧
⎨
⎪
⎩⎪
⎫
⎬
⎪
⎭⎪
116
 99 13 7 2 5 41
10 15 20 3 4 15
⎧ ⎫⎡ ⎤ ⎡ ⎤⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞+ − − + − − =⎨ ⎬⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎣ ⎦ ⎣ ⎦⎩ ⎭
 
 99 15 13 7 2 75 16 99 2 7 2 59
10 15 20 3 60 10 15 20 3 60
− ⎧ − ⎫⎡ ⎤ ⎡ ⎤ ⎡ ⎤ ⎧ ⎫+ − + − = + − + − =⎨ ⎬ ⎨ ⎬⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎣ ⎦ ⎣ ⎦ ⎣ ⎦ ⎩ ⎭⎩ ⎭
 
 99 2 2̀1 40 59 99 2 2 99 2 1 297 4 1 300 10
10 15 60 10 15 60 10 15 30 30 30
+ − + −⎧ ⎫ ⎧ ⎫+ − = + − = + − = = =⎨ ⎬ ⎨ ⎬
⎩ ⎭ ⎩ ⎭
 
Resp. a 
 
22) Efetue: 
 
 
 
Solução: 
 14 4 4 3 11 9 5 6 2 7 4 1.
7 10 11 4 3 9 4
− + + ⎡ + − ⎤⎛ ⎞⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞+ − =⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎢ ⎥⎝ ⎠⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎣ ⎦
 
 10 7 20 5 8 7 3.
7 10 11 4 3 9 4
⎡ ⎤⎛ ⎞⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞+ − =⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎢ ⎥⎝ ⎠⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎣ ⎦
 
 20 10 7 20 40 7 20 331 1 1 1 5 6
11 3 12 11 12 11 12
−⎛ ⎞ ⎡ ⎤ ⎡ ⎤ ⎡ ⎤+ − = + = + = + =⎜ ⎟ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎝ ⎠ ⎣ ⎦ ⎣ ⎦ ⎣ ⎦
 
Resp.a 
 
23)Efetue: 
 
 
 
 
Solução: 
 7 6 14 3 4 7 9
21 21 3 21
⎧ ⎫− + ⎡ + ⎤⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞÷ − − =⎨ ⎬⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎢ ⎥⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎣ ⎦⎩ ⎭
 
 1 17 4 16 1 17 28 16
21 21 3 21 21 21 21
⎧ ⎫⎡ ⎤ ⎧ − ⎫⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎡ ⎤÷ − − = ÷ − =⎨ ⎬ ⎨ ⎬⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎣ ⎦⎣ ⎦ ⎩ ⎭⎩ ⎭
 
 1 17 12 1 5 1 21 1.
21 21 21 21 21 21 5 5
⎧ ⎫ ⎧ ⎫÷ − = ÷ = =⎨ ⎬ ⎨ ⎬
⎩ ⎭ ⎩ ⎭
 
Resp. a 
 
24) Efetue: 
 
 
 
 
Solução: 
2 4
7
2
5
3
10
1 9
11
5
4
2 2
3
7
9
1 1
4
−⎛
⎝⎜
⎞
⎠⎟
⋅ +⎛
⎝⎜
⎞
⎠⎟
+ +⎛
⎝⎜
⎞
⎠⎟
⋅ ⋅ +⎛
⎝⎜
⎞
⎠⎟
− ⋅ −⎛
⎝⎜
⎞
⎠⎟
⎡
⎣
⎢
⎤
⎦
⎥
1
3
2
7
2
3
1
7
4
3
1
3
3
7
−⎛
⎝⎜
⎞
⎠⎟
÷ +⎛
⎝⎜
⎞
⎠⎟
− − +⎛
⎝⎜
⎞
⎠⎟
⎡
⎣
⎢
⎤
⎦
⎥
⎧
⎨
⎪
⎩⎪
⎫
⎬
⎪
⎭⎪
20
3
7
10
1
5
1
2
1
4
 3
5
1 1
4
5
7
1
2
1
4
2
3
1
5
 
⋅
+⎛
⎝⎜
⎞
⎠⎟
− +⎛
⎝⎜
⎞
⎠⎟
⋅ +⎛
⎝⎜
⎞
⎠⎟
+ ⋅ +⎛
⎝⎜
⎞
⎠⎟
⋅ −⎛
⎝⎜
⎞
⎠⎟
117
 
7 2 2 1 9 3
20 2010 4 10 4. . 3 5 5 3 73 4 1 5 2 1 10 33 3 . . .. . .
5 4 7 4 155 4 7 4 15
+ +⎛ ⎞ ⎛ ⎞− −⎜ ⎟ ⎜ ⎟
⎝ ⎠ ⎝ ⎠ = =
+ + −⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ++⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟
⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠
 
 
18 15 3 3
20 20 20 20 320 20 20. . . . 13 1 43 3 3 1 3 20
4 4 4
−
= = = =
+
 
Resp. a 
 
25) Calcule: (0,333...)² 
 Solução: 
 (0,333...)² = 
23 1 0,111...
9 9
⎛ ⎞ = =⎜ ⎟
⎝ ⎠
 
Resp. d 
 
26) Qual o valor da expressão? 
 
 
 
Solução: 
 1 3 3 1 3 4.
3 9 4 3 9 3
⎛ ⎞ ⎛ ⎞+ ÷ = + =⎜ ⎟ ⎜ ⎟
⎝ ⎠ ⎝ ⎠
 
 1 4 3 4 7 0,777...
3 9 9 9
+
+ = = = 
Resp. e 
 
27) Os divisores positivos do número 72 são: 
Solução: 
{1,2,3,4,6,8,9,12,18,24,36,72} 
 
28) Os divisores positivos do número 90 são: 
Solução: 
{1,2,3,5,6,9,10,15,18,30,45,90} 
 
29) O número de divisores positivos de 360 é: 
Solução: 
360 2 
180 2 
 90 2 
 45 3 
 15 3 
 5 5 
 1 23 . 32 . 5 
Número de divisores positivos (3+1)(2+1)(1+1) = 24 
1
3
0,333... 3
4
+ ÷⎛
⎝⎜
⎞
⎠⎟
118
Resp. c 
 
30) O número de divisores positivos de 72 é: 
Solução: 
 72 2 
36 2 
18 2 
 9 3 
 3 3 
 1 23 . 32 
Número de divisores positivos 3+1 . 2+1 = 4 . 3 = 12 
Resp. a 
 
31) O número de divisores positivos possui de 90 é: 
Solução: 
90 2 
45 3 
15 3 
 5 5 
 1 2 . 32 . 5 
Número de divisores positivos (1+1)(2+1)(1+1) = 12 
Resp. a 
 
32) Calcule o MMC(4,6,10) 
Solução: 
 4 6 10 2 
 2 3 5 2 
 1 3 5 3 
 1 1 5 5 
 1 1 1 23 . 3 . 5 = 60 
Resp. a 
 
33) Calcule o MMC( 8,12, 15) 
Solução: 
 8 12 15 2 
 4 6 15 2 
 2 3 15 2 
 1 3 15 3 
 1 1 5 5 
 1 1 1 23 . 3 . 5 = 120 
Resp. b 
 
34) Calcule o MMC( 6, 15, 210) 
Solução: 
 6 15 210 2 
 3 15 105 3 
 1 5 35 5 
119
 1 1 7 7 
 1 2 . 3 . 5 . 7 = 210 
Resp. d 
 
35) Calcule o MDC(45,108) 
Solução: 
 45 108 2 
 45 54 2 
 45 27 3 
 15 9 3 
 5 3 3 
 5 1 5 
 1 23 . 33 . 5 =(MMC) 32 = 9 = MDC 
Resp. c 
 
36) Calcule o MDC(72, 90,210) 
Solução: 
 72 90 210 2 
 36 45 105 2 
 18 45 105 2 
 9 45 105 3 
 3 15 35 3 
 1 5 35 5 
 1 1 7 7 
 1 23 . 32 .5 . 7 = MMC 2 . 3 = 6 = MDC 
Resp. a 
 
37) Se 5.3.2a 2= e 7.3.2b = , então o MMC(a,b) é: 
Solução: 
5.3.2a 2= 
7.3.2b = 
MMC (a,b) =? 
MMC (a,b) = 22.3 .5.7 630= 
Resp. d 
 
38) Se 2m 3.2a = e n3 3.2b = e 34 3.2)b,a(MMC = então: 
Solução: 
2m 3.2a = 
n3 3.2b = 
MMC (a,b) = 4 32 .3 
m = 4 
n = 3 
Resp. d 
 
120
39) Sabendo-se que 5.3.2A 2x= 2x2 5.3.2B = e que o MMC(A,B) possui 
45 divisores positivos, qual o valor de x ? 
Solução: 
5.3.2A 2x= 
2x2 5.3.2B = 
O número de divisores do MMC é 45 
x = ? 
MMC(A,B) = 2 2 22 .3 .5x 
Logo número de divisores do MMC é 
(2x + 1)(2 + 1) (2 + 1) 
 45 = (2x + 1) 9 
 45 = 18x + 9 
 45 – 9 = 18x 
 18x = 36 
 x = 2 
Resp. b 
 
40) O produto de dois números inteiros e positivos, que não são primos entre si, é 
igual a 825. Então, o máximo divisor comum desses dois números é: 
Solução: 
 Sejam x e y os números inteiros positivos dados. Como x e y não são primos entre si, 
existe um fator primo comum na decomposição deles. 
 Como x . y = 825 = 3 . 52 . 11, então, o fator primo comum só pode ser 5. 
 Daí o MDC ( x , y ) = 5 
Resp. c 
 
41) Saem do porto de Santos, navios argentinos de 6 em 6 dias, os do Uruguai de 4 
em 4 dias. Se num dia saírem dois navios desses países que tempo demorará a 
saírem juntos outra vez? 
Solução: 
6 em 6 dias ⇒ argentinos 
4 em 4 dias ⇒ Uruguai 
sair juntos = ? 
6 4 2 
3 2 2 
3 1 3 
1 23 . 3 = 12 
Resp. c 
 
42) Três locomotivas apitam em intervalos de 45, 50 e 60 minutos, 
respectivamente. Se coincidir das três apitarem juntas numa vez, quantas horas 
levará para apitarem juntas novamente? 
Solução: 
45 50 60 2 
45 25 30 2 
45 25 15 3 
121
15 25 5 3 
 5 25 5 5 
 1 5 1 5 
 1 1 1 22 . 3 .52 = 900 = 15 horas 
Resp. a 
 
43) Numa corrida de automóveis, o primeiro corredor dá uma volta completa na 
pista em 10 segundos, o segundo, em 11 segundos e o terceiro em 12 segundos. 
Quantas voltas terão dado cada um, respectivamente, até o momento em que 
passarão juntos na linha de saída? 
Solução: 
1º corredor → 10 seg. 
2º corredor → 11 seg. 
3º corredor → 12 seg. 
MMC - 10 11