Vigas Gerber - Exercícios Resolvidos

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Curso: Engenharia Civil; Disciplina: Teoria das Estruturas I; Professor: Nathan Vasconcelos Gomes. 
Erick André Ferreira Pacheco Matricula: 201601589182 
Imagens das vigas e diagramas obtidas pelo Software Ftool 2017. 
Para cada imagem de seção chave ou ilustração, existem cálculos ou indicações manuais as justificando. 
∴ 
∴ 
R R’ 
R R’ 
RB RC 
RB RC 
LISTA DE EXERCÍCIO Nº2 – VIGAS GERBER E VIGAS ISOSTÁTICAS. 
Determine as reações de apoio para as vigas e os carregamentos mostrados, apresentando cálculo 
de maneira detalhada. 
 
I. Classificar a viga em trechos Com Estabilidade Própria (CEP) ou Sem Estabilidade Própria 
(SEP): 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
II. Nos trechos (SEP), são atribuídos apoios virtuais nos lugares das rótulas. Então é calculada 
as suas reações e adicionadas à viga, mas em sentido oposto: 
 
 
 
 
 
 
 
 
III. Na ordem de trechos (SEP) em primeiro, e (CEP) em seguida, empregar as equações de 
equilíbrio para determinar as reações de apoio reais e virtuais: 
 
 
 
 
Rb + Rc – (14*2,5) = 0 ; Rb + Rc = 35kN (Metade da carga para cada apoio) 
 
 
 
 
 
(14*2,5)*(2,5/2) – Rc*2,5 = 0 Rc = (14*2,5)*(2,5/2) / 2,5 ; 
 Rc = 17,5kN Rb = 17,5kN 
𝑩𝑪 SEP 
𝑪𝑬 CEP 
𝑨𝑩 CEP 
A B C D E F 
 𝑀𝑏 = 0
→↓
←
+
 
 𝐹𝑦 = 0
↑
+
 
𝑩𝑪 SEP 
Curso: Engenharia Civil; Disciplina: Teoria das Estruturas I; Professor: Nathan Vasconcelos Gomes. 
Erick André Ferreira Pacheco Matricula: 201601589182 
Imagens das vigas e diagramas obtidas pelo Software Ftool 2017. 
Para cada imagem de seção chave ou ilustração, existem cálculos ou indicações manuais as justificando. 
Re 
RC = 17,5kN 
∴ 
∴ 
Rd 
 
 
 
Ra – 17,5 – (14*2,5) = 0 ; Ra = 52,5kN 
 
Ha – 15 = 0 Ha = 15kN 
 
 
(14*2,5)*(2,5/2) + 17,5*2,5 - M = 0 M = 87,5kNm 
 
 
 
 
–17,5 – (14*4,5) – 20 + Rd + Re = 0 ; Rd + Re 
= 100,5kN 
 
 
–17,5*4,5 - (14*4,5)*(4,5/2) + Rd*2,5 – 20*1 = 0 
Rd = 96,2kN Re = 4,3kN 
IV. Encontradas as reações de apoio, são incorporados à viga todos os esforços: 
 
V. Traçar Diagramas, DEC (kN): 
 
 
 
 
 
 
Rc = 17,5kN 
Ra 
𝑨𝑩 CEP 
Rc = 17,5kN 
 𝑀𝑎 = 0
→↓
←
+
 
 𝐹𝑦 = 0
↑
+
 
 𝐹𝑥 = 0
→
+
 
𝑪𝑫𝑬 CEP 
 𝐹𝑦 = 0
↑
+
 
 𝑀𝑒 = 0
→↓
←
+
 
MÁXIMO CORTANTE (+) 
MÍNIMO CORTANTE (-) 
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Imagens das vigas e diagramas obtidas pelo Software Ftool 2017. 
Para cada imagem de seção chave ou ilustração, existem cálculos ou indicações manuais as justificando. 
∴ 
𝐺 
Rótula não transfere momento, por isso sempre será nulo: MB e MC = 0 
Num intervalo de momentos nulos o valor máximo entre eles se dará por: QL2/8 ; 14*(2,5)2/8 Mmáx = 
10,9kNm 
Ma = -(14*2,5)*(2,5/2) - 17,5*2,5 Ma = -87,5kNm 
Md = 4.3*2,5 – 20*1,5 - 35*1,25 ; Md = -63kNm 
Mf = 4.3*1 – 14*0,5 ; Mf = -2,7kNm 
Mmáx (trecho FE): 
X = 9,7/14 ; X = 0,69m ; 1 - 0,69 = 0,31m 
Mg = - (14*0,31) * (0,31/2) + (4,3*0,31) ; Mmáx = 0,66 
~ 0,7kNm 
 
 
 DMF (kNm): 
 
 
 
 
 
 
 
DEN (kN): 
Para os esforços normais, o diagrama é representado por meio de uma descontinuidade 
transversalmente à barra. Se as forças (ativa e reativa) forem de tração (+), então a descontinuidade 
ficará acima da barra, mas se forem de compressão (-), ficará abaixo: 
 
 
 
 
Para as próximas soluções, será empregada a mesma metodologia do exercício anterior. 
MÁXIMO MOMENTO (+) 
MÍNIMO MOMENTO (-) 
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Para cada imagem de seção chave ou ilustração, existem cálculos ou indicações manuais as justificando. 
 𝐹𝑦 = 0
↑
+
 
A 
B D C 
E F 
G 
H I 
-12 + (25*1,5) – (Rb*3) + (12,5*4,5) = 0 
-3Rb + 81,75 = 0 
Rb = 27,25kN 
 𝑀𝑎 = 0
→↓
←
+
 
-(12,5*4) – (12*4)*(4/2) + (Re*2) = 0 
2Re - 146 = 0 
Re = 73kN 
 𝑀𝑓 = 0
→↓
←
+
 
Rh 
(12,5*4,5) – (12*1,5)*((1,5/2)+3) - 12 + (Rg*3) = 0 
3Rg = 23,25 
Rg = 7,75kN 
 𝑀ℎ = 0
→↓
←
+
 
(2,25*2,5) – (12*2,5)*(2,5/2) - M = 0 
M = -31,87kNm 
 𝑀𝑖 = 0
→↓
←
+
 
Hi - 15-15 = 0; 
Hi = 30kN 
 𝐹𝑥 = 0
→
+
 
2.b) 
 
 
Trecho (SEP): 
 
 
Rc + Rd –25 = 0 ; 
Rb + Rc = 25kN (Metade da carga para cada apoio) 
25/2 = 12,5 
Rc = 12,5kN ; Rd = 12,5kN 
Trecho (CEP): 
 
 
Ra+ Rb –25 – 12,5 = 0; 
Ra + Rb = 37,5kN; 
 
Logo Ra = 37,5 – 27,25 = 10,25kN 
Trecho (SEP): 
 
Ra+ Rb –25 
– 12,5 – (12*4) + Re + Rf = 0; 
Re + Rf = 60,5kN; 
 
 
Logo Rf = 60,5 – 73 = -12,5kN 
Trecho (SEP): 
 
 
12,5 – (12*1,5) + Rg + Rh = 0; 
Rg + Rh = 5,5kN; 
 
Logo Rh = 5,5 – 7,75 = -2,25kN 
Trecho (CEP): 
 
 
2,25 – (12*2,5) + Ri = 0; 
Ri = 27,75kN; 
 
 
Rh = 2,25kN 
Rf = 12,5kN 
Re = 73kN 
Rb = 27,3kN Ra = 10,3kN 
 𝐹𝑦 = 0
↑
+
 
Rc Rd
Rc = 12,5kN Rd = 12,5kN 
 𝐹𝑦 = 0
↑
+
 
Rd = 12,5kN 
Rd = 12,5kN 
Rf 
 𝐹𝑦 = 0
↑
+
 
 𝐹𝑦 = 0
↑
+
 
Valor de Rf em sentido oposto = 12,5 kN 
Rf = 12,5kN 
Rh = 2,25kN 
 7,75kN 12,5kN 
Ri 
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Para cada imagem de seção chave ou ilustração, existem cálculos ou indicações manuais as justificando. 
 
 
 
 
Traçar Diagramas, DEC (kN): 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
DMF (Seções Chave): 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
M = Ra* 1,5 – 12 
M = (10,2* 1,5) – 12 
M = 3,3 kNm 
 
Ma = -12kNm 
Mc e Md = 0; 
M Esqr. = (Ra*6) – (25*4,5) + (Rb*3) – 12 
M= (10,2*6) – (25*4,5) + (27,3*3) - 12 
M = 18,6kNm 
Mb Esqr. = (Ra*3) – (25*1,5) – 12 
Mb Esqr. = (10,2*3) – (25*1,5) - 12 
MbEsqr. = -18,9kNm 
Md e Mf = 0; 
Me Esqr. = -(12*2)*(2/2) - (25*3,5) 
+(27,3*6,5) - (25*8) + (10,2*9,5) -12 
Me Esqr.= -49,15kNm 
Mfg= (Rf*1,5)*(12*1,5)*(1,5/2) 
Mfg= (12,5*1,5) – ((12*1,5)*(1,5/2)) 
Mfg= 5,25kNm 
MÁXIMO CORTANTE (+) 
MÍNIMO CORTANTE (-) 
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Para cada imagem de seção chave ou ilustração, existem cálculos ou indicações manuais as justificando. 
H B E G D C F A 
MConcent.= (12,5*3) – ((12*1,5)*(2,25)+ 
(7,75*1,5) 
MConcent = 8,62kNm ; 8,55 - 12 = -3,37kNm 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
DMF (kNm): 
 
 
 
 
DEN (kN): 
 
 
 
 
 
2.c) 
 
 
 
X = 12,5/12 ; X = 1,04167m; 
Mmáxfg= (12,5*1,04167) – ((12*1,04167)*( 1,04167/2)) 
Mmáxfg = 6,51kNm 
MMáx.= (2,3*0,1916) – ((12*0,1916)*( 0,1916/2)) 
MMáx. = 0,22kNm ; Mi = -31,9kNm 
 
MÁXIMO MOMENTO (+) 
MÍNIMO MOMENTO (-) 
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Para cada imagem de seção chave ou ilustração, existem cálculos ou indicações manuais as justificando.((16*8,5) / 2) ; Rc = 68kN ; Rd = 68kN 
 
 
Ra + Rb – 68 – (16*9) = 0 
Ra + Rb = 212kN 
(Ra*7,5) + (68*6)+((16*9)*1,5) = 0 
7,3Ra = -624 
Ra = -83,2kN 
Rb = 212-(-83,2) = 295,2kN 
 𝑀𝑏 = 0
→↓
←
+
 
 
Re + Rf – 68 – (12*11) = 0 
Re + Rf = 200kN 
(Re*6,5) - (68*11)-((12*11)*5,5) -10 = 0 
6,5Re = 1484 
Re = 228,3kN 
Rf = 200-228,3 = -28,3kN 
 𝑀𝑓 = 0
→↓
←
+
 
 
Rg + Rh + 28,3 – 
((9*15) /2) = 0 
Rg + Rh = 39,2kN 
(Rg*9) – 14 + (28,3*13,5) - 
((9*15/2)*3) = 0 
9Rg = -165,55 
Rg = -18,35kN 
Rh = 39,2-(-18,35) = 57,6kN 
 𝑀ℎ = 0
→↓
←
+
 
Hb – 18 = 0; Hb = 18kN 
 𝐹𝑥 = 0
→
+
 
Hb =18kN 
Trecho (SEP): 
 
 
 
Trecho (CEP): 
 
 
 
 
Trecho (SEP): 
 
 
 
 
Trecho (CEP): 
 
 
 
 
 
 
 
 
Traçar Diagramas, DEC (kN): 
 
 
 
MÍNIMO CORTANTE (-) 
MÁXIMO CORTANTE (+) 
Rc = 68kN Rd = 68kN 
Ra = -83,2kN Rb = 295,2kN 
Rd = 68kN 
Re = 228,3kN 
Rf = 28,3kN 
Rf = 28,3kN 
Rg = -18,35kN Rf = 57,6kN 
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Para cada imagem de seção chave ou ilustração, existem cálculos ou indicações manuais as justificando. 
DFM (Seções Chave): 
M1 = -(83,2*4,5) ; Ma = -374,4kNm 
Mb = -(83,2*7,5) - (16*3) * (3/2) = -696kNm 
MC e Md =0 logo Mmáx. = QL
2/8 ; 16*(8,5)2/8 Mmáx = 144,5kNm 
Me = -(12*4,5) * (4,5/2) - (68*4,5) = -427,5kNm 
Mf = 10kNm 
Mg = (28,3*4,5) = 127,4kNm 
MMáx. = (28,3*5,16) - (18,4*0,66) - (1,6335) = 133kNm 
Mh = 14kNm 
 
 
 
 
 
DEN (kN): 
 
 
 
VIGAS ISOSTÁTICAS: 1.a) 
(12*9) / 2 = Ra = 54kN ; Rb = 54kN (Viga Bi apoiada) DEC (kN): 
 
 
MÁXIMO MOMENTO (+) 
MÍNIMO MOMENTO (-) 
MÁXIMO CORTANTE (+) 
MÍNIMO CORTANTE (-) 
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Para cada imagem de seção chave ou ilustração, existem cálculos ou indicações manuais as justificando. 
 
Ra + Rb – (12*9) = 0 
Ra + Rb = 108kN 
-(Rb*6) + (12*9) * (9/2) = 
0 
6Rb = 486 
Rb = 81kN 
Rb = 108-83,2 = 27kN 
 𝑀𝑎 = 0
→↓
←
+
 
DMF (kNm): 
Ma e Mb =0 logo Mmáx. = QL
2/8 ; 12*(9)2/8 Mmáx = 121,5kNm 
 
 
 
Não existem forças axiais, por isso o diagrama de esforço normal não é traçado. 
1.b) 
 
 
 
 
 
 
DEC (kN): 
 
 
 
 
DMF (kNM): (Sem forças axiais, logo sem DEN). 
MMáx. = (27*2,25) - (12*2,25) * (2,25/2) = 30,37kNm ; M = (27*6) - (12*6) * (6/2) = -54kNm 
 
 
 
MÁXIMO MOMENTO (+) 
MÁXIMO CORTANTE (+) 
MÍNIMO CORTANTE (-) 
MÍNIMO MOMENTO (-) 
MÁXIMO MOMENTO (+) 
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Para cada imagem de seção chave ou ilustração, existem cálculos ou indicações manuais as justificando. 
 
Ra + Rb – (12*9) – 20 = 0 
Ra+ Rb = 128kN 
(Ra*5) - (20*2)-((12*9)*2,5) -8 = 0 
5Ra = 318 
Ra = 63,6kN 
Rb = 128-63,6 = 64,4kN 
 𝑀𝑏 = 0
→↓
←
+
 
1.c) 
 
 
 
 
 
 
DEC (kN): 
 
 
 
DMF (Seções Chave): 
M1 = -8kNm 
Ma = -(12*2) - 8 = -32kNm 
MMáx. (64,4*2) – ((12*4) * 2) Mmáx = 32,8kNm 
Mb = -(12*2) = -24kNm 
 
 
 
 
 
 
(Sem forças axiais, logo sem DEN). 
 
MÁXIMO CORTANTE (+) 
MÍNIMO CORTANTE (-) 
MÁXIMO MOMENTO (+) 
MÍNIMO MOMENTO (-) 
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Imagens das vigas e diagramas obtidas pelo Software Ftool 2017. 
Para cada imagem de seção chave ou ilustração, existem cálculos ou indicações manuais as justificando. 
 
Ra + Rb – (8*4) – 10 = 0 
Ra+ Rb = 42kN 
-(Rb*6) + (10*7)-((8*4)*4) +10 = 0 
6Rb = 208 
Rb = 34,7kN 
Ra = 42-34,7 = 7,3kN 
 𝑀𝑎 = 0
→↓
←
+
 
Ha – 8 = 0; Hb = 8kN 
 𝐹𝑥 = 0
→
+
 
Ra + Rb – (10*4) – (12*4) – 
10 - 25 = 0 
Ra+ Rb = 123kN 
-(Rb*6) + (25*2) + ((12*4)*4) + (10*6,5 = 0 
6Rb = 307 
Rb = 51,2kN ; Ra = 123-51,2 = 
71,8kN 
 𝑀𝑎 = 0
→↓
←
+
 
1.d) 
 
 
 
 
 
 
 
DEC (kN): 
 
 
DMF (Seções Chave): 
Ma = 10kNm 
7,3/8 = 0,9125m ; 4 - 0,9125 = 3,0875m 
MMáx. = -(10*4,0875) + (34,7*3,0875) - ((8*3,0875)) * (3,0875 / 2)) Mmáx = 28,1kNm 
Mb = -(10*1) = -10kNm 
 
 
 
1.e) 
 
 
 
 
 
 
MÍNIMO CORTANTE (-) 
MÁXIMO CORTANTE (+) 
MÁXIMO MOMENTO (+) 
MÍNIMO MOMENTO (-) 
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Para cada imagem de seção chave ou ilustração, existem cálculos ou indicações manuais as justificando. 
Hb – 5 – 10 = 0; Hb = 15kN 
 𝐹𝑥 = 0
→
+
 
Ra + Rb – (15*8) = 0 
Ra+ Rb = 120kN 
(Ra*5) - ((15*8)*2) +12 = 0 
5Ra = 228 
Ra = 45,6kN ; Rb = 120-45,6 = 
74,4kN 
 𝑀𝑏 = 0
→↓
←
+
 
DEC (kN): 
 
 
 
 
DMF (Seções Chave): 
Ma = -(10*2) * (2 / 2) = -20kNm 
M = (71,8*2) - (10*4)) * 2 = 63,6kNm 
6,8/12 = 0,57m ; 
MMáx. = -(25*0,57) - ((12*0,57)) * (0,57 / 2)) + (71,8*2,57) – ((10*4)*2,57) Mmáx = 65,52kNm 
Mb = -(10*0,5) = -5kNm 
 
 
DEN (kN): 
 
 
 
1.f) 
 
 
 
 
 
 
MÁXIMO CORTANTE (+) 
MÍNIMO CORTANTE (-) 
MÁXIMO MOMENTO (+) 
MÍNIMO MOMENTO (-) 
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Para cada imagem de seção chave ou ilustração, existem cálculos ou indicações manuais as justificando. 
 
Ra– (10*4) = 0 
Ra= 40kN 
 ((10*4)*2) -5 = 0 
Ma = 75kNm 
 𝑀𝑎 = 0
→↓
←
+
 
DEC (kN): 
 
DMF (Seções Chave): 
Ma = -(15*1) * (1 / 2) = -7,5kNm 
M = (45,6*2) – ((15*3)*(1,5)) + 12 = 23,7kNm ; (23,7+12) = 35,7kNm 
MMáx. = (74,4*2,86) - ((15*5)*(2,46)) Mmáx = 35,72kNm 
Mb = -(15*2)*(2/2) = -30kNm 
 
 
 
DEN (kN): 
 
 
 
 
1.g) 
 
 
 
 
 
 
 
 
MÁXIMO MOMENTO (+) 
MÍNIMO MOMENTO (-) 
MÍNIMO CORTANTE (-) 
MÁXIMO CORTANTE (+) 
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Imagens das vigas e diagramas obtidas pelo Software Ftool 2017. 
Para cada imagem de seção chave ou ilustração, existem cálculos ou indicações manuais as justificando. 
 
Ra– (8*3) + 10 = 0 
Ra= 14kN 
 -((8*3)*1,5) + (10*3) 
Ma = -6kNm 
 𝑀𝑎 = 0
→↓
←
+
 
DEC (kN): 
 
 
 
DMF (Seções Chave): 
Ma = -75kNm 
M = 5kNm 
 
 
 
 
 
 
 
1.h) 
 
 
 
 
DEC (kN): 
 
 
 
MÁXIMO MOMENTO (+) 
MÁXIMO CORTANTE (+) 
MÍNIMO MOMENTO (-) 
MÁXIMO CORTANTE (+) 
MÍNIMO CORTANTE (-) 
Curso: Engenharia Civil; Disciplina: Teoria das Estruturas I; Professor: Nathan Vasconcelos Gomes. 
Erick André Ferreira Pacheco Matricula: 201601589182 
Imagens das vigas e diagramas obtidas pelo SoftwareFtool 2017. 
Para cada imagem de seção chave ou ilustração, existem cálculos ou indicações manuais as justificando. 
 
Ra– (10*4) = 0 
Ra= 40kN 
 -((10*4)*2) + (5+5+5+5) 
Ma = -60kNm 
 𝑀𝑎 = 0
→↓
←
+
 
DMF (Seções Chave): 
Ma = -6kNm 
10/8 = 1,25m; 
MMáx. = (10*1,25) - ((8*1,25)) * (1,25 / 2)) Mmáx = 6,25kNm 
 
 
 
 
1.i) 
 
 
 
 
 
DEC (kN): 
 
 
DMF (Seções Chave): 
Ma = -60kNm 
M1 = (3*5) – ((10*3)*(1,5)) = -30kNm ; -30 + 5 = -25kNm 
M2 = (2*5) – ((10*2)*(1)) = -10kNm ; -10 + 5 = -5kNm 
M3 = (2*5) – ((10*1)*(0,5)) = 5kNm 
M4 = 5kNm 
 
MÍNIMO MOMENTO (-) 
MÁXIMO MOMENTO (+) 
MÁXIMO CORTANTE (+) 
MÍNIMO CORTANTE (+) 
Curso: Engenharia Civil; Disciplina: Teoria das Estruturas I; Professor: Nathan Vasconcelos Gomes. 
Erick André Ferreira Pacheco Matricula: 201601589182 
Imagens das vigas e diagramas obtidas pelo Software Ftool 2017. 
Para cada imagem de seção chave ou ilustração, existem cálculos ou indicações manuais as justificando. 
 
Ra + Rb -(12*2) – ((12*5)/2) = 0 
Ra + Rb = 54kN 
 ((12*5)/2)*((2/3)*5) – Rb*5 + (12*2)*6 = 0 
5Rb = 244 
Rb = 48,8kN; Ra = 54-48,8 = 5,2kN 
 𝑀𝑎 = 0
→↓
←
+
 
 
 
 
 
 
1.j) 
 
 
 
 
 
 
DEC (kN): 
 
DMF (Seções Chave): 
Mb = -(12*2)*(2/2) = -24kNm 
 
 
MÍNIMO MOMENTO (-) 
MÍNIMO CORTANTE (-) 
MÍNIMO MOMENTO (-) 
MÁXIMO MOMENTO (+) 
MÁXIMO CORTANTE (+)