Apostila Exercicios Resolvidos Matematica Atuarial 2 (2)
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Apostila Exercicios Resolvidos Matematica Atuarial 2 (2)


DisciplinaMatemática Atuarial II56 materiais823 seguidores
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UNIVERSIDADE FEDERAL DO RIO GRANDE DO NORTE 
DEPARTAMENTO DE DEMOGRAFIA E CIÊNCIAS ATUARIAIS 
Matemática Atuarial 2 
Apostila de Exercícios Resolvidos 
 
PROF. CRISTIANE SILVA CORRÊA 
2017 
 
 
 
 
 
Matemática Atuarial 2 - Apostila de Exercícios Resolvidos - Prof. Cristiane Silva Corrêa \u2013 
DDCA/UFRN 
 
1 
 
Sumário 
Função de sobrevivência \u2013 Livro do Renato Assunção ................................................................. 2 
Status último sobrevivente ........................................................................................................... 4 
Seguros e Anuidades para várias vidas ......................................................................................... 5 
Seguros e Anuidades \u2013 contínuo. .................................................................................................. 7 
Anuidades Reversíveis \u2013 lista 1 ................................................................................................... 19 
Anuidades Reversíveis \u2013 Lista 2 ................................................................................................... 22 
Reservas Prospectiva ................................................................................................................... 25 
Reservas Retrospectiva ............................................................................................................... 31 
Prêmios e Reservas ..................................................................................................................... 35 
Reservas \u2013 Miscelânea ................................................................................................................ 35 
Valores Garantidos ...................................................................................................................... 40 
 
 
 
Matemática Atuarial 2 - Apostila de Exercícios Resolvidos - Prof. Cristiane Silva Corrêa \u2013 
DDCA/UFRN 
 
2 
 
Função de sobrevivência \u2013 Livro do Renato Assunção 
 
1. Paulo tem 30 anos de idade enquanto Simone tem 25 anos. Ache expressões que dependam 
apenas de probabilidades relacionadas a cada um dos dois separadamente para as seguintes 
probabilidades: 
(a) de que tanto Paulo quanto Simone vivam por pelo menos mais 30 anos. 
(b) de que pelo menos um deles não viva por mais 30 anos pelo menos. 
(c) de que ambos alcancem a idade de 60 anos. 
(d) de que um faleça antes de alcançar 45 anos e de que o outro faleça após completar 55 anos. 
(e) de que um faleça antes de alcançar 45 anos e de que o outro faleça com 55 anos. 
(f) de que apenas um deles faleça com 45 anos ou menos. 
(g) de que no máximo um deles faleça com a idade de 45 anos ou menos. 
 
 
 
 
Outras respostas possíveis: 
b) 30qxy=30qx+30qy-30qx*30qy 
f) 15q30*20p25+20q25*15p30. 
g) 15q30*20p25+20q25*15p30+15p30*20p25 
 
 
Matemática Atuarial 2 - Apostila de Exercícios Resolvidos - Prof. Cristiane Silva Corrêa \u2013 
DDCA/UFRN 
 
3 
 
 
 
 
 
 
 
 
Outra solução: 
( ) ( )
yxnxynxnx
y
ynyxnx
y
ynxn
y
yxn ppppp
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pp
p
p
:11111
1
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1
1
1
1:
+\u2212\u2212+\u2212
\u2212
+\u2212\u2212\u2212+\u2212
\u2212
\u2212
\u2212
\u2212
\u22c5=\u22c5\u22c5=
\u22c5\u22c5\u22c5
=
\u22c5
=
 
 
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DDCA/UFRN 
 
4 
 
Status último sobrevivente 
 
1 - Expresse, para os status vida conjunta e último sobrevivente: 
a) A função de distribuição acumulada; 
b) A função de sobrevivência; 
c) A função de densidade de probabilidade; 
d) A força de mortalidade; 
e) A probabilidade do status existir por n anos; 
f) A probabilidade do status morrer em n anos. 
 
2 \u2013 Em uma discussão em sala de aula, o aluno A demonstrou que ytxtyx qqq = . Já o aluno B 
mostrou que xytytxtyx qqqq \u2212+= . Mostre qual dos alunos está correto em sua afirmação. 
R.: Os dois alunos estão corretos. 
3 \u2013 Sabendo que yxnyxnyxn ppnyxTnPq 1| )1)(( +\u2212=+\u2264<= e que ytxtytxtyxt ppppp \u2212+= , 
mostre que nynxxynnyynxnnxxnynyxn qqpqpqqpqq ++++ +\u22c5+\u22c5=| . 
Resposta: 
( )
( ) ( ) ( )
( )
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( )( ) ( )( )
nynxxynnyynxnnxxnynyxn
nynxxynxnnyynynnxxn
nynxynxnnyynxnnxynxnnyynnxxn
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nynxxynnyynnxxn
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xynxynynxn
ytxnynxnynynxnxn
ynxnynxnytxnynxnyxn
ynxnynxnytxnynxnyxnyxnyxnyxn
ytxtytxtyxt
yxnyxn
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qqpqpqqpqq
qqppqppqp
qqppqppqppqpqp
qqqqppqpqp
qpqpqp
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ppppppppq
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ppppp
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nyxTPnyxTP
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+
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++++
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+
+\u22c5+\u22c5=
+\u2212\u22c5+\u2212\u22c5=
+\u2212\u2212\u22c5+\u22c5=
\u2212+\u22c5\u2212\u22c5+\u22c5=
\u22c5\u2212\u22c5+\u22c5=
\u2212+=
\u2212\u2212+=
\u2212+\u2212+\u2212=
+\u2212\u2212\u2212+=
\u2212+\u2212\u2212+=\u21d2\u2212=
\u2212+=
\u2212=
+>\u2212>=
>\u2212\u2212+>\u2212=
\u2264\u2212+\u2264=
+\u2264<=
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Matemática Atuarial 2 - Apostila de Exercícios Resolvidos - Prof. Cristiane Silva Corrêa \u2013 
DDCA/UFRN 
 
5 
 
Seguros e Anuidades para várias vidas 
 
1 \u2013 Para uma população tem-se a seguinte função da Tabela de Vida: 
 
x 60 61 62 63 64 65 66 67 68 69 70 
lx 50 48 45 42 38 32 30 27 23 15 0 
 
Considere dois indivíduos, (x)=60 e (y)=64, e i=0,04. Calcule: 
a) Dotal Puro por 5 anos para Vida conjunta 
b) Dotal Puro por 5 anos para último sobrevivente 
c) Anuidade Vitalícia para Vida conjunta 
d) Anuidade Vitalícia para último sobrevivente 
e) Seguro Vida Inteira para Vida conjunta 
f) Seguro Vida Inteira para último sobrevivente 
g) Anuidade temporária de 5 anos para Vida conjunta 
h) Anuidade temporária de 5 anos para último sobrevivente 
 
a) 
 
0,2076
38
15
50
32
04,01
1
04,01
1
04,01
1
1
1
5
64
69
60
65
5
64
564
60
560
5
64:605 =\uf8f7
\uf8f8
\uf8f6
\uf8ec
\uf8ed
\uf8eb
+
=\uf8f7
\uf8f8
\uf8f6
\uf8ec
\uf8ed
\uf8eb
+
=\uf8f7
\uf8f8
\uf8f6
\uf8ec
\uf8ed
\uf8eb
+
=
\uf8f7
\uf8f8
\uf8f6
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\uf8ed
\uf8eb
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++
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n
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b) 
0,6428
38
15
50
32
38
15
50
32
04,01
1
)(
5
64
69
60
65
64
69
60
655
46:065 =\uf8f7
\uf8f8
\uf8f6
\uf8ec
\uf8ed
\uf8eb
\u2212+\uf8f7
\uf8f8
\uf8f6
\uf8ec
\uf8ed
\uf8eb
+
=\uf8f7\uf8f7
\uf8f8
\uf8f6
\uf8ec\uf8ec
\uf8ed
\uf8eb
\u2212+=
\uf8f7
\uf8f7
\uf8f8
\uf8f6
\uf8ec
\uf8ec
\uf8ed
\uf8eb
\u2212+=\u2212+= ++++
l
l
l
l
l
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l
l
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l
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y
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x
nx
y
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x
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ynxnynxn
n
yxn
 
 
c) 
Matemática Atuarial 2 - Apostila de Exercícios Resolvidos - Prof. Cristiane Silva Corrêa \u2013 
DDCA/UFRN 
 
6 
 
3,5657
38
0
50
30
04,01
1
...
38
32
50
48
04,01
1
38
15
50
32
04,01
1
04,01
1
...
04,01
1
04,01
1
04,01
1
610
64
664
60
660
6
64
164
60
160
1
64
064
60
060
0
0
6
0 64
64
60
60
=\uf8f7
\uf8f8
\uf8f6
\uf8ec
\uf8ed
\uf8eb
+
++\uf8f7
\uf8f8
\uf8f6
\uf8ec
\uf8ed
\uf8eb
+
+\uf8f7
\uf8f8
\uf8f6
\uf8ec
\uf8ed
\uf8eb
+
=
=\uf8f7
\uf8f8
\uf8f6
\uf8ec
\uf8ed
\uf8eb
+
++\uf8f7
\uf8f8
\uf8f6
\uf8ec
\uf8ed
\uf8eb
+
+\uf8f7
\uf8f8
\uf8f6
\uf8ec
\uf8ed
\uf8eb
+
=
=\uf8f7
\uf8f8
\uf8f6
\uf8ec
\uf8ed
\uf8eb
+
==
++++++
\u221e
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++++\u2211 \u2211
l
l
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1
1
1
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60
46:06
000
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\u2212+\uf8f7
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\uf8f6
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\uf8eb
+
=
\uf8f7
\uf8f7
\uf8f8
\uf8f6
\uf8ec
\uf8ec
\uf8ed
\uf8eb
\u2212+\uf8f7
\uf8f8
\uf8f6
\uf8ec
\uf8ed
\uf8eb
+
=\u2212+==
\u2211
\u2211\u2211\u2211
=
++++
\u221e
=
++++
\u221e
=
\u221e
=
j
jjjj
j
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